3.2.2第2课时直线与双曲线的位置关系作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固+能力进阶”分层设计，以选择、填空、解答题梯度呈现，覆盖直线与双曲线位置关系核心知识点，从概念理解到综合应用，培养数学抽象、运算及推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线定义、渐近线、焦点等概念及简单位置关系|单选考交点判断（如第1题），解答题结合方程求解（如第9题），夯实运算能力| |能力进阶|中点弦、轨迹方程、与圆综合等复杂应用|题11考中点弦斜率，题14结合动圆外切求轨迹，发展逻辑推理与创新意识|

3.2.2第2课时 直线与双曲线的位置关系 【基础巩固】 1．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 解析：A　因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点， 则a>2或a<－2，故只有A符合题意． 2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l，与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：B　如图，过点P(1，2)与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点有两种情况，分别是垂直于x轴和与渐近线y＝－2x平行． 3．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　) A． B． C． D． 解析：D　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3， 所以|PF|＝3. 又A的坐标是(1，3)， 故△APF的面积为×3×(2－1)＝. 4．(多选)已知双曲线的标准方程为x2－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．该曲线两顶点间的距离为2 B．该曲线与双曲线y2－＝1有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1 D．该曲线与直线l：y＝(x－2)有且仅有一个公共点 解析：CD　由已知双曲线中a＝1，b＝，则c＝2，顶点为(1，0)和(－1，0)，则两顶点间的距离为2，A错误；该双曲线的渐近线方程是y＝±x，而双曲线y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，渐近线不相同，B错误；该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为c－a＝1，C正确；直线l与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且仅有一个公共点，D正确．故选CD. 5．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．10 D．10 解析：C　因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，所以，即b＝a. 因为左焦点F，所以c＝， 所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3， 所以a2＝1，b2＝2， 所以双曲线的方程为x2－＝1， 直线l的方程为y＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消去y，可得x2＋4x＋7＝0， 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7， 所以|AB|＝ ＝＝10.故选C. 6．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________． 解析：取B为双曲线的右焦点，如图所示． ∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝|OB|＝2. 又∠AOB＝， ∴＝tan ＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 答案：2 7．设动点M到定点F(3，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比为常数，则点M的轨迹方程为________． 解析：设点M的坐标为(x，y)， 设点M到直线l的距离为d， 由已知得＝d， 因为点F(3，0)，直线l的方程为x＝， 所以|MF|＝ ＝， 所以， 整理得＝1， 所以点M的轨迹方程是＝1. 答案：＝1 8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B.若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为________． 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， ∴线段AB中点的坐标为(m，2m)． 又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上， 所以5m2＝5，所以m＝±1. 答案：±1 9．已知双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)与椭圆＝1有相同的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 解：(1)设双曲线C的两个焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，由题意，得c＝2， ∴a2＋b2＝a2＋a2＝c2＝4，则a＝， 即所求双曲线C的方程为x2－y2＝2. (2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可能为P(1，2)，故此时不满足题意； 当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y，整理得(1－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0， 则Δ＝4k2m2－4(1－k2)(－m2－2)＝－8k2＋4m2＋8>0，即2k2－m2－2<0，　① x1＋x2＝＝2，　② 点P(1，2)在AB所在直线y＝kx＋m上， 即2＝k＋m.　③ 联立②③两式，解得k＝，经检验，符合题意，因此直线方程为x－2y＋3＝0. 10．(2024·驻马店期中)已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围． 解：(1)因为e＝，则，即c＝a， 由题，不妨设焦点F(c，0)，其中一条渐近线为bx－ay＝0， 则焦点F到渐近线的距离d＝＝1， 则解得 所以双曲线E的标准方程为x2－y2＝1. (2)由题，设直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化简得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 因为直线与双曲线左支交于不同两点， 所以 解得 即－＜k＜－1， 所以实数k的取值范围为. 【能力进阶】 11．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q(12，15)，则双曲线C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 解析：B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点为Q(12，15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30. 由两式相减得 ， 则， 由直线l的斜率k＝＝1， 得＝1，则. 则双曲线C的离心率e＝.故选B. 12．(2026·四川成都三模)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，A，B分别为双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线上(异于A，B两点)，则直线PA与直线PB的斜率之积为(　　) A．4 B.－4 C． D．－ 解析：C　因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以. 又A(－a，0)，B(a，0)，设P(x0，y0)，所以＝1， kPA·kPB＝＝b2·， 所以直线PA与直线PB的斜率之积为. 13．如图所示，F1和F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 解析：连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝＝c，|AF2|＝c，∴2a＝c，从而双曲线的离心率e＝. 答案：1＋ 14．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝，圆B：(x－2)2＋y2＝，动圆P与圆A，圆B都外切． (1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线． (2)若直线y＝kx＋1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求k的取值范围． 解：(1)设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R， 由题意得|PA|＝R＋＝R＋， ∴|PA|－|PB|＝2， ∴圆P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x≥1)，如图所示． (2)由方程组 消去y得(3－k2)x2－2kx－4＝0(x≥1)， ∵直线与双曲线有两个不同的交点， 则有从而 解得 即－2<k<－. 故k的取值范围为. 15．(课标变化题)过点F的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点M，与曲线y＝－(x>0)交于点R.若FR的中点为N，则|ON|－|MN|＝________． 解析：如图，作出直线y＝－x，则直线y＝－x与曲线y＝－＝.设F′＝2|OF|＝4.曲线y＝－(x>0)是以x轴，y轴为渐近线的等轴双曲线的一支，实轴长为2，焦距为4＝|FF′|，所以F，F′为焦点． 连接F′R，则|FR|－|F′R|＝2.又N为FR的中点，所以|ON|＝＝＝＝－. 连接OM，因为FR与圆O相切，所以OM⊥FR，又|OF|＝2＝2|OM|，所以在Rt△OMF中，|FM|＝＝－. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2第2课时 直线与双曲线的位置关系 【基础巩固】 1．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l，与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　) A． B． C． D． 4．(多选)已知双曲线的标准方程为x2－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．该曲线两顶点间的距离为2 B．该曲线与双曲线y2－＝1有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1 D．该曲线与直线l：y＝(x－2)有且仅有一个公共点 5．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．10 D．10 6．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________． 7．设动点M到定点F(3，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比为常数，则点M的轨迹方程为________． 8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B.若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为________． 9．已知双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)与椭圆＝1有相同的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 10．(2024·驻马店期中)已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围． 【能力进阶】 11．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q(12，15)，则双曲线C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 12．(2026·四川成都三模)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，A，B分别为双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线上(异于A，B两点)，则直线PA与直线PB的斜率之积为(　　) A．4 B.－4 C． D．－ 13．如图所示，F1和F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 14．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝，圆B：(x－2)2＋y2＝，动圆P与圆A，圆B都外切． (1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线． (2)若直线y＝kx＋1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求k的取值范围． 15．(课标变化题)过点F的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点M，与曲线y＝－(x>0)交于点R.若FR的中点为N，则|ON|－|MN|＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $