八年级数学上学期期中模拟卷（新教材浙教版第1～3章，高效培优）

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C B B D B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） s1 12.40°/40度 13.50x+120≥500（答案不唯一） 9 14.3或2 10 15.3 16. 25 3.25 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(④x<-20 3 (2)2≤x<4 【详解】(1)解：5x-19>1+8x -3x>20 t<、20 3 -3分 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-(x-2)≥6 (2)解： x+1>4x-1 3 3x-（x-2)≥6 2x+2≥6 2x≥4 x≥2 x+1>4x-1 3 3x+3>4x-1 -x>-4 x<4 2≤x<4--8分 18.(1)证明：∠C=90°， ∴DC⊥BC. DE⊥AB,DE=DC, ∴·点D在∠ABC的平分线上， 即BD平分∠ABC;-4分 (2)25°」 【详解】(1)略； (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°， .∠ABC=90°-∠A=50°， :BD平分∠ABC, :∠DBC=1∠ABC=25 2 .-8分 19.(1)该商场第一次购进这款玩具100件. (2)每件玩具的标价至少是100元. 【详解】(1)解：设该商场第一次购进这款玩具x件，则第二次购进这款玩具2x件，依题意得 14800_7200=2」 2x 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=100, 经检验：x=100是原方程的解. 即该商场第一次购进这款玩具100件.4分 (2)解：由(1)，可得该商场第一次购进这款玩具100件， 则第二次购进这款玩具100×2=200（件）， 设每件玩具的标价为y元， 100+200-80)y+80×60%y-7200-14800≥4800 则 解得y≥100 即每件玩具的标价至少是100元. -8分 20.(1)30°，是 (2)证明：：∠ACB=80°，∠MON=60°，∠ACB=∠OAC+∠MON, .∠0AC=80°-60°=20°. .∠MON=3∠OAC,即∠AOC=3∠OAC, ∴△AOC是“和谐三角形”. 540° (3)360或7 【详解】(1)解：：AB⊥OM, ∴.∠OAB=90° .∠MON=60°， ∴.∠AB0=180°-∠OAB-∠MON=30°， .∠OAB=3∠AB0, .△AOB是“和谐三角形”.--2分 (2)(2)证明：：∠ACB=80°，∠MON=60°，∠ACB=∠OAC+∠MON, .∠0AC=80°-60°=20°， ∴.∠MON=3∠OAC,即∠AOC=3∠OAC, .△AOC是“和谐三角形”.--5分 ∠DEF=∠B=x(x>0) (3)解：设 .∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°， 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DFE=∠BDC, ∴.AB∥EF, .∠ADE=∠DEF=x, ∴.∠ADE=∠B, .DE∥BC, ∴.∠CDE=∠BCD :DE是∠ADC的平分线， .∠CDE=∠ADE=x, ∴.∠BCD=x, ∴在△BCD中，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-2x,∠B=∠BCD=x, ,△BCD是“和谐三角形”， .∠BDC=3∠B或∠B=3∠BDC, 180°-2x=3x或=3(180°-2) 解得x=36或x=540° 7 540° 即∠B的度数为36°或7.—-8分 21.四121：90+2P 1 (2②290：22 6)90°-2 1 【详解】(1)解：∠A=62°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-62°=118° ,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P, :∠PBC=)ABC,∠PCB=)∠ACB 2 2 :.∠PBC+∠PCB=)(∠ABC+∠ACB)=)xI18°=59° ∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC)=180°-59°=121° 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当∠A=B, :.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-B, :∠ABC与∠ACB的平分线交于点P, &2P8c-Ac,∠c84c, ∠PsC+∠PCB=2(∠ABC+∠ACB)=2xI80P-B)=90°-P, (2)解：：∠A=58°， ∠ABD=∠A+∠ACB,即∠ABD-∠ACB=58°， :∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E, ZECBACB,ZFBD :RBD-∠Bc8=0-号4CB-MD-A8-29. .∠BEC=∠EBD-∠ECB=29°. 若∠A=, :.∠ABD=∠A+∠ACB,即∠ABD-∠ACB=Y, ,∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E, &∠BCB=ACB,∠BD-ABD, :∠ED-∠Rc8=ABD-AcB-AD-4c到-之， 21 &∠BEC=∠BBD-∠BCB=之7,5分 (3)解：：∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠A=a, .∠CBM+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+a., :∠CBM、∠BCN的平分线交于点O, 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a<c0=5cBM,∠c0=w， ∠0c=180-(u0+∠ncg)=180-uBM+∠BCw）=I80-80+a)=90-4.8分 22.(1)①② (2)9 (3)m>1 【详解】(1)解：解方程2x-4=0可得，x=2 ①2x+1>3x-3,解得x<4,由于x=2在x<4的解集中，故①是方程2x-4=0的“包容不等式”； ②3(-)56，解得x≤3由于x=2在x≤3的解集中，救②是方程2x-4=0的“包容不等式”： x+2≥0 ③x-3>0,解不等式组得x>3,由于x=2不在x>3的解集中，故③不是方程2x-4=0的“包容不等式 组”；2分 3x-a<1 (2)解：解不等式组 41可得， -2<x< a+1; 2 3 ,该不等式组有且只有4个整数解 2<a+1s3 3 解得5<a≤8， 由于a是整数，则a=6或7或8， 解方程x-b=0可得x=b 3x-a<1 ,关于的不等式组 是方程 的“包容不等式组”， 2 x-b=0 -2<b<a+l 3 由于b是整数，则b可以为1,0,1,2， 要使得a-b最大，则a最大，取a=8,b最小，取b=-1 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a-b的最大值为 -（-1)=9 -6分 2x+y=5k x=2k+1 (3)解：解方程组x-y=k+3可得，y=k-2 2x+y=5k .方程组x-y=k+3的解满足x>0,y<0 [2k+1>0 k-2<0, 解得2k<2 1 x<m ,不等式组y>-2是该方程组的“包容不等式组”， [2k+1<m “不等式组k-2>-2有解， 由y>-2可得，k-2>-2,则>0， .0<k<2, .1<2k+1<5 ∴由2k+1<m得m>1.-10分 23.(1)证明：，AF⊥AG, .∠GAF=90°， .在Rt△ABC中，AB=AC, ∴.∠BAC=90°， ∴.∠GAF=∠BAC, ·.∠GAF-∠FAE=∠BAC-∠FAE,即LFAB=∠GAC, 在△ABF和△ACG中， [AB=AC ∠FAB=∠GAC AF=AG 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△MBF2△4CG(SMS) --3分 2 (2)D3:②∠GAC=67.5°，△GFM的面积为ab: 【详解】(1)略： (2)解：①如图，连接GE,过点A作AM⊥FG于点M,作AP⊥DE于点P,过点E作EN⊥FG于点 N, G D E ,△AGH与△AFH的面积之比是3：2， S.AGH= 1GH.AM GH 3 :S.AFH FH·AM FH2, 2 .AB=AC. ∴.∠ABC=∠ACB DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB. ∴.∠ADE=∠AED, .'AD=AE, ,AB=AC,点D为AB边的中点， AE-AD-14B-14C 2 2 点E为AC边的中点， 1 由(1)可知，△ABF2△ACG, SABF=SACG 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CllM NclM+EN) wMEN(MN). SAFE FH(AM +EN)F2 S.ADF GH(AM+EW） GH 3, S.AEE 即 ”EFb S.IDF.AP DF a. 2 b2 a3-6分 ②如图，连接GE, G D M FE AF⊥AG, ∴.∠FAG=90°， .AF∥GC, .∠AGC=180°-∠FAG=90° 由(1)可知，△ABF≌△ACG, ∴.∠GCA=∠FBA,BF=CG, ,点D为AB边的中点，点E为AC边的中点， BD-AB,CE-AC. .AB=AC」 .BD=CE, 在△BDF和△CEG中， 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=CE ∠FBD=∠GCE BF=CG △BDF≌aCEG(SAS) .∠BDF=∠CEG,EG=DF=a, 由①可知，AD=AE, 由(1)可知，∠DAE=90° ∴.∠AED=∠ADE=45° .∠CEG=∠BDF=180°-∠ADE=135°， .∠MEC=∠AED=45° ∴.∠GEM=∠CEG-∠MEC=90°，即GE⊥FM, E是FM中点， .FM=2EF=2b」 S.w-FM-GE-x2bxa-ab ·∠GEM=90°， .∠GEF=180°-∠GEM=90°. .∠GEF=∠GEM, 在△GEF和△GEM中， EF EM ∠GEF=∠GEM GE=GE AGEF≌AGEM(SAS) .∠GFE=∠GME, .AF∥GC, ∴.∠AFE=∠EMC. &Z4 FG+ZGFE=809-GME=l80°-∠GEE,即ZGE-T80-∠AG 2 ,AF⊥AG, 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠GAF=90°， 又：AG=AF, .∠AFG=∠AGF=45° A∠GE-180°-，4G_18045°-67.59 2 2 .∠AED=45, ∠FHE=180°-∠GFE-∠AED=67.5°， .∠AHG=∠FHE=67.5°， ∠GAC=180°-∠AHG-∠AGH=67.5°.-10分 24.(1)13 (2)5」 (3)25km. 36 ④x=5 【详解】(1)解：如图，由题干的模型，AC=3,DF=2,CF=12,AB+BD的最小值即为AD的 长 A 3 B F ⑤ H 0 .AH=AC+CH=3+2=5,HD=CF=12,∠AHD=90°， :.AD=VAH+HD=3+12=169=13 V+32+12-x}+2 的最小值为13.-2分 (2)解：如图，在直线MN上取MN=4,作AM LMN于点M,AM=-2:作CN⊥MN于点N, CN=1,点A、C在MN的两侧. 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A K 3 在MN上取点P,使MP=x,则PN=4-x, AP=V2+22,PC=V(4-x}2+ ,AP+PC之AC,当点P在线段AC上时取等号， ∴.代数式的最小值即为AC的长. 过点A作AK∥MN,交CN的延长线于点K, 则四边形AMNK是长方形，AK=MN=4,CK=CN+NK=1+2=3,∠AKC=90°， AC=AK2+CK2=4+32=5 VP+2+4-+1P的最小值为5.—5分 (3)解：桥P9垂直于河岸，河宽8km, .PO=8km,从A到B的路程为AP+PQ+OB=AP+B+8, 如图，将点A沿垂直于河岸的方向向对岸平移8km,得点A,连接A'O、A'B. B Q 17 5 15 3 .AM'I‖lP2,且AA'=P2=8km, .四边形APQA是平行四边形， 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=4'O, .AP+OB=AO+B≥AB,当、O、B三点共线时取等号. 过点A'作A'K⊥BK于点K,其中BK是过点B的河岸垂线， ,平移的距离等于河宽， ∴.点A'到北岸的距离等于点A到南岸的距离，即3km, ,点B到北岸的距离为5km,且点A'、B在北岸的两侧， ∴.BK=3+5=8(km),A'K=15km,∠A'KB=90°， :AB=VAK2+BK2=Vi+8=289=17km), .最短路程为17+8=25(km).--8分 (4解：如图，把V81-?看作斜边为9、一条直角边为×的直角三角形的另一条直角边，把 V144-x2 看作斜边为12、一条直角边为x的直角三角形的另一条直角边. 构造两个直角三角形，使它们有公共直角边PB=x,直角顶点重合于点B,且点A、C在直线PB 的两侧，连接AP、CP,则∠ABP=∠CBP=90,PA=9,PC=I2,AB=81-,BC=V144- 且点A、B、C在同一条直线上， D 9 12 B 15 :81-+14-x=15 .AB+BC=15,即AC=15 .P42+PC2=92+122=225=152=AC2」 .∠APC=90°（勾股定理的逆定理）， 成e=P4P0=x0x12=4 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S=AC:PB= ×15×PB 2 2x15xPB=54. PB=10836 155,即x=36 5· 36 经检验，当x=5时，81-x+44-x=5.4+9.6=15,符合题意， =36 5. -12分 14/14 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版八年级上册第1章~第3章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面能组成三角形的三边长是（     ） A．2，4，2 B．3，4，5 C．4，5，9 D．4，5，10 2．下列图案中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 4．已知：如图，，若，，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 5．在中，a、b、c分别是、、的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，和，和是两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物．若这只蚂蚁从顶点出发，沿着表面爬行到顶点处，则最短的路线长为（     ） A．17cm B．13cm C．12cm D．9cm 8．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．不等式组的解集为__________． 12．如图，在中，，是上一点，，，垂足分别为，，，连接，则的度数为___________； 13．某校机器人社团计划购买一套新的传感器模块用于备赛，社团已筹集到120元资金，并决定剩下的费用从社团经费中节省获得，且从本月起每月从社团经费中节省50元，直到总费用不少于500元．设社团节省经费的时间为个月，则可列不等式为____________________．（不必化简） 14．如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动．动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于．则点运动时间为___________时，与全等． 15．如图，中，，是的角平分线，于点E，于点F，若，则的长为_______． 16．如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图）折叠成一个正方形（如图）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为________，的长为________． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解不等式（组）： (1)； (2) 18．已知：如图，在中，，是上一点，于，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 19．“双十一”前夕，某商场用元购进某款电动玩具销售．由于销售良好，过了一段时间，商场又用元购进这款玩具，所购数量是第一次购进数量的倍，但每件价格比第一次购进贵了元． (1)求该商场第一次购进这款玩具多少件？ (2)在（1）的条件下，设该商场两次购进的玩具按相同的标价销售，最后剩下的件玩具按标价的六折再销售，若两次购进的玩具全部售完，且使利润不低于元，则每件玩具的标价至少是多少元？ 20．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 概念理解：如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； (2)若，求证：是“和谐三角形”． (3)应用拓展：如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数． 21．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究：              图1                      图2                 图3 (1)如图1，在中，与的平分线交于点．若，则__________；若，则__________（用表示）． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则的度数为__________；若，则__________（用表示）． (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点．若，则__________（用表示） 22．如果某个不等式（组）的解集中，至少包含一个方程（组）的解，则称该不等式（组）为这个方程（组）的“包容不等式（组）”． 例如：不等式是方程的“包容不等式”，因为包含在的解集中； 不等式组是方程组的“包容不等式组”，因为包含在的解集中，也包含在中． (1)下列不等式（组）中是方程的“包容不等式（组）”是_________（填序号）． ①；②；③ (2)已知整数，，关于的不等式组是方程的“包容不等式组”，且该不等式组有且只有4个整数解，求的最大值． (3)已知关于，的方程组的解满足，．若不等式组是该方程组的“包容不等式组”，求的取值范围． 23．如图1，在中，，点为边的中点，交于点．点为线段上一点，连接，，且，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点，当，且是、中点时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含，的代数式表示）． 24．“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版八年级上册第1章~第3章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面能组成三角形的三边长是（     ） A．2，4，2 B．3，4，5 C．4，5，9 D．4，5，10 【答案】B 【分析】通过比较较小两边之和与最长边的大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形． B、，能组成三角形． C、，不能组成三角形． D、，不能组成三角形． 2．下列图案中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两部分完全重合． 【详解】解：A选项：该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． B选项：该图形沿竖直或水平中心线折叠，两部分能完全重合，是轴对称图形． C选项：该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． D选项：该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，对照选择支得出答案． 【详解】解： 解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：． 在数轴上表示对应着． 4．已知：如图，，若，，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等得出，结合图形利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．在中，a、b、c分别是、、的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据选项是角度比例还是边长比例，分别用三角形内角和定理、勾股定理逆定理判定是否为直角三角形. 【详解】解：A选项，设，， ∵ 三角形内角和为 ∴ 解得 ∴ 最大角，不是直角三角形，符合题意； B选项，设，， ∵ ∴ 是直角三角形，不符合题意； C选项，设，， ∵ ∴ 是直角三角形，不符合题意； D选项，设，， ∵ 解得 ∴ 最大角，是直角三角形，不符合题意. 6．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．取，，满足，但，故A不一定成立； B．当时，不成立，故B不一定成立． C．∵，∴，∴，故C一定成立． D．∵，∴，∴，故D不成立． 7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，和，和是两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物．若这只蚂蚁从顶点出发，沿着表面爬行到顶点处，则最短的路线长为（     ） A．17cm B．13cm C．12cm D．9cm 【答案】B 【详解】台阶的展开图如图所示，连接，标示点． ∵，， ∴在中，， 即蚂蚁爬行的最短路线长为． 8．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 9．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】延长交于点，证明，得到，，可得，由可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由作图可得平分，因此，从而证明，得到，再将的周长转化为即可解答． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．不等式组的解集为__________． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 所以，不等式组的解集． 【点睛】一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 12．如图，在中，，是上一点，，，垂足分别为，，，连接，则的度数为___________； 【答案】/度 【分析】根据角平分线的判定定理即可求解． 【详解】解：，，，， ． 13．某校机器人社团计划购买一套新的传感器模块用于备赛，社团已筹集到120元资金，并决定剩下的费用从社团经费中节省获得，且从本月起每月从社团经费中节省50元，直到总费用不少于500元．设社团节省经费的时间为个月，则可列不等式为____________________．（不必化简） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据总费用不少于500元的不等关系，结合已有费用和个月节省的费用列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知，已有费用120元，个月节省的费用为元，要求总费用不少于500元，因此可列不等式为． 14．如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动．动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于．则点运动时间为___________时，与全等． 【答案】或 【分析】设点运动时间为，分为点在边上与点在边上两类讨论，利用全等可得，列方程求解即可． 【详解】解：设点运动时间为， ①当点在边上时，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∵与全等， ∴斜边与斜边是对应边，即， ∴， 解得； ②当点在边上时，如图， ∴，， 同理①可知，， ∴， 解得； 综上所述，或． 15．如图，中，，是的角平分线，于点E，于点F，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过作于点，根据角平分线的性质得到，再根据计算即可． 【详解】解：过作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 16．如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图）折叠成一个正方形（如图）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为________，的长为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知正方形的边长为5，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可；过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是50，得到关于x的方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积是． 如下图所示，过点D作， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， 在中，， 设， 则， ∴四边形的面积是， 由折叠可知，四边形的面积是， ∴， 解得：， ∴的长为3.25． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．已知：如图，在中，，是上一点，于，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ，， 点在的平分线上， 即平分； (2)． 【分析】（1）根据角平分线的判定即可证明； （2）利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：在中，，， ， 平分， ． 19．“双十一”前夕，某商场用元购进某款电动玩具销售．由于销售良好，过了一段时间，商场又用元购进这款玩具，所购数量是第一次购进数量的倍，但每件价格比第一次购进贵了元． (1)求该商场第一次购进这款玩具多少件？ (2)在（1）的条件下，设该商场两次购进的玩具按相同的标价销售，最后剩下的件玩具按标价的六折再销售，若两次购进的玩具全部售完，且使利润不低于元，则每件玩具的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该商场第一次购进这款玩具件． (2)每件玩具的标价至少是100元． 【分析】（1）设该商场第一次购进这款玩具x件，则第二次购进这款玩具件，根据两次购得的单价的差值为2元列出分式方程； （2）设每件玩具的标价为y元，根据利润不低于元列出不等式并解答． 【详解】（1）解∶设该商场第一次购进这款玩具x件，则第二次购进这款玩具件，依题意得 ， 解得， 经检验： 是原方程的解． 即该商场第一次购进这款玩具件． （2）解：由（1），可得该商场第一次购进这款玩具件， 则第二次购进这款玩具（件）， 设每件玩具的标价为y元， 则， 解得， 即每件玩具的标价至少是元． 20．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 概念理解：如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； (2)若，求证：是“和谐三角形”． (3)应用拓展：如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】(1)，是 (2)证明：∵，，， ∴， ∴，即， ∴是“和谐三角形”． (3)或 【分析】（1）先得出，再根据三角形的内角和定理即可得的度数，然后根据“和谐三角形”的定义即可得； （2）先求出的度数，再根据“和谐三角形”的定义即可得证； （3）设，先得出，，进而可得和的度数，再根据“和谐三角形”的定义建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是“和谐三角形”． （2）略． （3）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴在中，，， ∵是“和谐三角形”， ∴或， ∴或， 解得或， 即的度数为或． 21．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究：              图1                      图2                 图3 (1)如图1，在中，与的平分线交于点．若，则__________；若，则__________（用表示）． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则的度数为__________；若，则__________（用表示）． (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点．若，则__________（用表示） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，，最后根据三角形内角和定理即可求解，再把代入上面的求解过程求解即可． （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 当， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． （2）解∶∵， ∴， 即， ∵的平分线与的平分线交于点E， ∴，． ∴， ∴； 若， ∴， 即， ∵的平分线与的平分线交于点E， ∴，． ∴， ∴； （3）解：∵， ，， ∴， ∵、的平分线交于点Q， ∴， ∴． 22．如果某个不等式（组）的解集中，至少包含一个方程（组）的解，则称该不等式（组）为这个方程（组）的“包容不等式（组）”． 例如：不等式是方程的“包容不等式”，因为包含在的解集中； 不等式组是方程组的“包容不等式组”，因为包含在的解集中，也包含在中． (1)下列不等式（组）中是方程的“包容不等式（组）”是_________（填序号）． ①；②；③ (2)已知整数，，关于的不等式组是方程的“包容不等式组”，且该不等式组有且只有4个整数解，求的最大值． (3)已知关于，的方程组的解满足，．若不等式组是该方程组的“包容不等式组”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分别求出不等式组的解集和方程的解，根据不等式组的解集的情况确定的值，再由新定义确定的值，即可求解； （3）先解方程组可得，再由方程组的解满足，，得到，解得，然后可确定，再由定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得， ①，解得，由于在的解集中，故①是方程的“包容不等式”； ②，解得，由于在的解集中，故②是方程的“包容不等式”； ③，解不等式组得，由于不在的解集中，故③不是方程的“包容不等式组”； （2）解：解不等式组可得，， ∵该不等式组有且只有4个整数解 ∴ 解得， 由于是整数，则或7或8， 解方程可得 ∵关于的不等式组是方程的“包容不等式组”， ∴， 由于是整数，则可以为， 要使得最大，则最大，取，最小，取 ∴的最大值为； （3）解：解方程组可得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， ∵不等式组是该方程组的“包容不等式组”， ∴不等式组有解， 由可得，，则， ∴， ∴， ∴由得． 23．如图1，在中，，点为边的中点，交于点．点为线段上一点，连接，，且，连接． (1)求证：； (2)若，． ①如图2，连接交于，当与的面积之比是，求的值； ②如图3，延长交于点，当，且是、中点时，试求出的度数及的面积（注意：面积用含，的代数式表示）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． (2)①；②，的面积为． 【分析】（1）由在中，，可得，可得，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，作于点，过点作于点，由与的面积之比是，可得，由（1）可知，则，由点D为边的中点，可证明点E为边的中点，则，，可得，即可得结论； ②连接，先证明，可得，，可得，再根据中点得，即可求得的面积，再证明，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）略； （2）解：①如图，连接，过点作于点，作于点，过点作于点， ∵与的面积之比是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴点E为边的中点， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∵点D为边的中点，点E为边的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由①可知，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1)． (2)． (3) km． (4)． 【分析】（1）按题干模型， 的最小值等于 的长，在直角边为 、 的直角三角形中用勾股定理求 ； （2）把 、 看作两条共线直角边 、 上的斜边，最小值等于直角边为 与 的直角三角形的斜边长； （3）桥长固定为河宽 ，把点 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用“两点之间线段最短”求 的最小值，再加上桥长； （4）是模型的逆向运用：把 、 看作斜边为 、、公共直角边为 的两个直角三角形的另一条直角边，由 用勾股定理的逆定理与等积法求 ． 【详解】（1）解：如图，由题干的模型，，，， 的最小值即为 的长． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （2）解：如图，在直线 上取 ，作 于点 ，；作 于点 ，，点 、 在 的两侧． 在 上取点 ，使 ，则 ， ∴ ，， ∵ ，当点 在线段 上时取等号， ∴ 代数式的最小值即为 的长． 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则四边形 是长方形，，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （3）解：∵ 桥 垂直于河岸，河宽 ， ∴ ，从 到 的路程为 ． 如图，将点 沿垂直于河岸的方向向对岸平移 ，得点 ，连接 、． ∵ ，且 km， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ，当 、、 三点共线时取等号． 过点 作 于点 ，其中 是过点 的河岸垂线， ∵ 平移的距离等于河宽， ∴ 点 到北岸的距离等于点 到南岸的距离，即 ， ∵ 点 到北岸的距离为 km，且点 、 在北岸的两侧， ∴ ()， ，， ∴ ()， ∴ 最短路程为 ()． （4）解：如图，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边． 构造两个直角三角形，使它们有公共直角边 ，直角顶点重合于点 ，且点 、 在直线 的两侧，连接 、，则 ，，，，，且点 、、 在同一条直线上． ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ （勾股定理的逆定理）， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 经检验，当 时，，符合题意， ∴ ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $