七年级数学上学期期中模拟卷（新教材浙教版第1～4章，高效培优）

2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C C B D B C 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12．11 13． 14．9999 15．②③ 16． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1)7 (2)13 【详解】（1）解：．-------4分 （2）解：．-------8分 18．(1) (2) 【详解】（1）解：原式．-------4分 （2）解：原式．-------8分 19．(1) -------2分 (2) 小张同学这一周完成了自己的计划．理由如下： 一周内每天与计划的差值之和为： （千米）， ∵ ， ∴ 实际总路程大于计划总路程，完成了跑步计划．-------5分 (3) 大卡 解：一周计划总路程为 （千米）， 由（2）得一周实际总路程比计划多千米， 实际总路程为 （千米）， 总消耗热量为 （大卡）． 答：小张共计消耗大卡的热量．-------8分 20．(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【详解】（1）解：．-------2分 （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为．-------4分 （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴．-------6分 （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧．-------8分 21．(1)11，12，11，； (2) 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴．-------4分 （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．-------8分 22．(1)①；②点表示的数是，点表示的数是． (2)折痕点表示的数是或． (3)点表示的数是，点表示的数是． 【详解】（1）解：将数轴向右折叠，表示的点与表示的点重合， ∴折痕点（两点的中点）表示的数为． ①设点与表示数的点重合，则表示的点是表示的点与表示的点的中点， ∴，解得． 即表示的点与表示的点重合． ②设点表示的数为，点表示的数为（），且． 折叠后重合，则折痕点是的中点， ∴，且． 解得，． ∴点表示的数是，点表示的数是-------3分 （2）解：点表示的数为，点表示的数为． 设折痕点表示的数为，则点的对应点表示的数为． ∵， ∴，即． ∴或， 解得或． ∴折痕点表示的数是或．-------7分 （3）解：点表示数，点表示数（），折叠后重合， ∴折痕点表示的数为（即的中点）． 当点与折痕点重合时，点表示的数为． ∵点在点的左侧，且， ∴点表示的数为．-------10分 23．(1)；或 (2) (3)； (4) 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 如果表示数a和的两点之间的距离是4， 则或-------3分 （2）解：表示和的距离加和的距离， 数a的点位于与3之间， 和的距离加和的距离为，即的值为；-------5分 （3）解：表示和的距离加和的距离加和的距离， 当时，到三个数的距离和最小，即最小，为；-------7分 （4）解：表示和的距离加和的距离加和的距离加和的距离， 结合数轴，可得当在和之间时，到四个数的距离和最小，即， 此时，的最小值为．-------10分 24．(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为；-------4分 （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为；-------8分 （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为．-------12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版七年级上册第1章~第4章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的相反数是（     ） A．3 B． C．6 D． 2．在下列实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．2025年中国足球超级联赛，大连英博足球队在主场梭鱼湾共进行了15场比赛，现场累计观众人数约万人，将数据万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．利川红茶是国家地理标志产品．某商店的红茶每千克m元，现按八折优惠出售，购买2千克应付（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知有理数a，b在数轴上的点如图所示，则a，b，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．若一个多项式与的和是，则这个多项式与的差是（     ） A． B． C． D． 8．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 下列关于除方说法中，不正确的是（     ）． A．任何非零数的圈次方都等于； B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数； C． D．和的圈次方都等于它本身． 9．下列说法中：①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点表示的数都是有理数；③若，则；④近似数所表示的准确数的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数；⑥若，则；⑦若是有理数，则不可能是负数；⑧如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．比较大小：________．（填“”“”或“”） 12．计算： ＋ － ＝______． 13．去年7月份小明到银行开户，存入元，以后每月根据收支情况存入一笔钱，下表为小明从8月份到月份的存款情况：则截止到去年月份，存折上共有________元钱． 月份 8 9 当月存款额与上月比较 14．已知，，，……，类比这些等式，若，则__________． 15．已知a，b是有理数，且，，．下列结论：①；②；；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的结论序号是_________（填序号）． 16．对于一组整式：，，，，在每个式子前分别添加“”或“”号后求和，再求和的绝对值，称此操作为“代数和绝对值”操作．例如，依次添加“，，，”进行“代数和绝对值”操作，结果为．若存在一种“代数和绝对值”操作，使得操作后化简的结果为常数，则此常数是______；设为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，令．若有理数，满足，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．某技校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周，小张同学周六的跑步路程为_______千米； (2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？请通过计算说明理由； (3)若小张同学跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？ 20．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 21．小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 22．阅读下面材料，完成探究任务 我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别用数表示，那么，两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 在一张白纸上画一条数轴，开展折叠探究活动： (1)操作一： 如图1，将数轴向右折叠，若表示的点与表示3的点重合． ①表示5的点与表示___________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧），且两点折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)操作二： 已知点，，是数轴上三个不同的点．如图2，点和点表示的数分别是和8．现将数轴向右折叠，点的对应点落在数轴上，点为折痕点，若，求折痕点所表示的数． (3)操作三： 如图3，数轴上表示数的点与表示数的点经折叠后重合（）．已知点，点在线段上，点在点的左侧，，且．当点与折痕点重合时，请你直接用含，的代数式表示点，点所表示的数． 23．我们知道的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数a、的两点间的距离； 根据以上结论探究： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；如果表示数a和的两点之间的距离是4，那么______． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，则的值为______． (3)利用数轴解决问题：当_____时，的值最小，最小值是______． (4)利用数轴解决问题：的最小值是______． 24．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版七年级上册第1章~第4章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的相反数是（     ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】只有符号不同的两个数互为相反数，所以的相反数是． 2．在下列实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：， 无理数有，，共个． 3．2025年中国足球超级联赛，大连英博足球队在主场梭鱼湾共进行了15场比赛，现场累计观众人数约万人，将数据万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万． 4．利川红茶是国家地理标志产品．某商店的红茶每千克m元，现按八折优惠出售，购买2千克应付（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：由题意可知，购买2千克应付（元）． 5．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，选项错误，不合题意； B、，选项错误，不合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不合题意． 6．已知有理数a，b在数轴上的点如图所示，则a，b，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，且，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴． 7．若一个多项式与的和是，则这个多项式与的差是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用和减去多项式求出这个多项式，再用所求结果减去即可． 【详解】解：该多项式为 ； 所求差为 ． 8．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 下列关于除方说法中，不正确的是（     ）． A．任何非零数的圈次方都等于； B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数； C． D．和的圈次方都等于它本身． 【答案】D 【分析】根据除方的定义，将圈次方运算转化为常规除法运算，逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：对任意非零数，表示个相除的商， A选项：，故A正确， B选项：，即等于的倒数，故B正确， C选项：， ， ， ， 即，故C正确. D选项：的圈次方恒为，等于它本身， 当为偶数时，，不等于本身，故D错误. 9．下列说法中：①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点表示的数都是有理数；③若，则；④近似数所表示的准确数的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数；⑥若，则；⑦若是有理数，则不可能是负数；⑧如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据实数的定义，数轴上的点和实数一一对应，相反数的定义，近似数的定义，绝对值的定义和运算法则，有理数的加法和乘法的运算法则，逐一分析各项即可． 【详解】解：①实数包括无理数和有理数，故正确； ②数轴上的点可表示无理数，并非都是有理数，故错误； ③若，当时，无意义，故错误； ④近似数精确到百分位，准确数的取值范围是，故错误； ⑤绝对值等于本身的数是正数或，故错误； ⑥由得，则，故错误； ⑦当时，， 当时，，故不可能是负数，故正确； ⑧两有理数积为负则一正一负，和为正则正数绝对值大，故正确． ∴正确的有①⑦⑧，共个． 10．对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将整理为的形式，其中，，再逐一分析三个说法. 【详解】解：由题意得，记，，则，化简结果为或，是从中选的三个不同的数， ① 若化简结果为常数，则，即， 取，则，，为常数，故①正确； ② 若为单项式，则为单项式，分两种情况： （常数单项式）：， 当时，，则为和，共种排列； 当时，，则为和，共种排列； 当或时，无符合条件的，共种操作； （一次单项式）：，即， 仅符合，此时可选，共种操作， 两种情况无重叠，总共有种操作，故②正确； ③ 若，则从个数中选个按从小到大排列，共组： ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种， 总共有种结果，故③错误， 综上，正确的有个. 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴． 12．计算： ＋ － ＝______． 【答案】11 【详解】解：，，， 原式 ． 13．去年7月份小明到银行开户，存入元，以后每月根据收支情况存入一笔钱，下表为小明从8月份到月份的存款情况：则截止到去年月份，存折上共有________元钱． 月份 8 9 当月存款额与上月比较 【答案】 【分析】根据7月初始存入元，表格中数值为当月存款额与上月存款额的差值，分别计算8至月每月的存款额，再将7至月的所有存款额累加得到总金额. 【详解】解：∵7月份存入元， ∴8月份存款额为：元， ∵9月份存款额与上月比较为， ∴9月份存款额为：元， ∵月份存款额与上月比较为， ∴月份存款额为：元， ∵月份存款额与上月比较为， ∴月份存款额为：元， ∵月份存款额与上月比较为， ∴月份存款额为：元， ∴截止到去年月份，存折上的总金额为：元， ∴截止到去年月份，存折上共有元. 14．已知，，，……，类比这些等式，若，则__________． 【答案】9999 【分析】对比已知等式中根号内的整数与对应分数的分母数值，归纳通用规律后代入计算即可． 【详解】解：观察给出的三个等式的数值特征 ∵第一个等式中根号内的整数为2，对应分数的分母为，分子为， ∵第二个等式中根号内的整数为3，对应分数的分母为，分子为， 第三个等式中根号内的整数为4，对应分数的分母为，分子为， ∴ 可得规律：， 当题目中根号内的整数为100时，对应， ∴ ． 15．已知a，b是有理数，且，，．下列结论：①；②；；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的结论序号是_________（填序号）． 【答案】 ②③ 【分析】先由已知条件推导的符号与绝对值大小关系，再通过符号判断、绝对值化简、分类讨论逐一验证各结论的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，且. ∵，， ∴，故①错误； ∵，，， ∴异号两数相加和为负时，负数的绝对值更大，即，故②正确； ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即，， ∵， ∴，即， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∵， ∴或， 将代入得： 或 ， 即 或 ， ∴ 或 ，并非恒等于8，故④错误， 综上，正确的结论为②③． 16．对于一组整式：，，，，在每个式子前分别添加“”或“”号后求和，再求和的绝对值，称此操作为“代数和绝对值”操作．例如，依次添加“，，，”进行“代数和绝对值”操作，结果为．若存在一种“代数和绝对值”操作，使得操作后化简的结果为常数，则此常数是______；设为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，令．若有理数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】第一问要使操作结果为常数，需的系数和为，计算得到满足条件的结果为；第二问先求出的最小值，再结合绝对值的性质得到各变量的取值范围，进而计算目标式的最小值． 【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为； （2）， ， 因此， 分区间化简得： 当时，； 当时，； 当时，； 因此的最小值为，仅当时取最小值， 根据绝对值的性质： ，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号， 因此，题目等式等于，故等号成立，得，，， 求的最小值，代入，当取最小值，取最小值时，原式最小为 ． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)13 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 19．某技校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周，小张同学周六的跑步路程为_______千米； (2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？请通过计算说明理由； (3)若小张同学跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？ 【答案】(1) (2) 小张同学这一周完成了自己的计划．理由如下： 一周内每天与计划的差值之和为： （千米）， ∵ ， ∴ 实际总路程大于计划总路程，完成了跑步计划． (3) 大卡 【分析】（1）用每日计划跑步路程加上周六与计划的差值，计算周六实际跑步路程； （2）将一周的差值求和，根据和的正负判断总路程是否完成计划； （3）先计算一周实际跑步总路程，再乘每千米消耗的热量，得到总消耗热量． 【详解】（1）解：已知每日计划跑千米，周六与计划的差值为千米， （千米）； （2）略 （3）解：一周计划总路程为 （千米）， 由（2）得一周实际总路程比计划多千米， 实际总路程为 （千米）， 总消耗热量为 （大卡）． 答：小张共计消耗大卡的热量． 20．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系． 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 21．小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．阅读下面材料，完成探究任务 我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别用数表示，那么，两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 在一张白纸上画一条数轴，开展折叠探究活动： (1)操作一： 如图1，将数轴向右折叠，若表示的点与表示3的点重合． ①表示5的点与表示___________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧），且两点折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)操作二： 已知点，，是数轴上三个不同的点．如图2，点和点表示的数分别是和8．现将数轴向右折叠，点的对应点落在数轴上，点为折痕点，若，求折痕点所表示的数． (3)操作三： 如图3，数轴上表示数的点与表示数的点经折叠后重合（）．已知点，点在线段上，点在点的左侧，，且．当点与折痕点重合时，请你直接用含，的代数式表示点，点所表示的数． 【答案】(1)①；②点表示的数是，点表示的数是． (2)折痕点表示的数是或． (3)点表示的数是，点表示的数是． 【详解】（1）解：将数轴向右折叠，表示的点与表示的点重合， ∴折痕点（两点的中点）表示的数为． ①设点与表示数的点重合，则表示的点是表示的点与表示的点的中点， ∴，解得． 即表示的点与表示的点重合． ②设点表示的数为，点表示的数为（），且． 折叠后重合，则折痕点是的中点， ∴，且． 解得，． ∴点表示的数是，点表示的数是 （2）解：点表示的数为，点表示的数为． 设折痕点表示的数为，则点的对应点表示的数为． ∵， ∴，即． ∴或， 解得或． ∴折痕点表示的数是或． （3）解：点表示数，点表示数（），折叠后重合， ∴折痕点表示的数为（即的中点）． 当点与折痕点重合时，点表示的数为． ∵点在点的左侧，且， ∴点表示的数为． 23．我们知道的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数a、的两点间的距离； 根据以上结论探究： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；如果表示数a和的两点之间的距离是4，那么______． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，则的值为______． (3)利用数轴解决问题：当_____时，的值最小，最小值是______． (4)利用数轴解决问题：的最小值是______． 【答案】(1)；或 (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据数轴即可解答； （2）根据题意，可得表示和的距离加和的距离，据此即可解答； （3）结合数轴，可得当时，最小，即可解答； （4）结合数轴，可得当在和之间时，最小，即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 如果表示数a和的两点之间的距离是4， 则或 （2）解：表示和的距离加和的距离， 数a的点位于与3之间， 和的距离加和的距离为，即的值为； （3）解：表示和的距离加和的距离加和的距离， 当时，到三个数的距离和最小，即最小，为； （4）解：表示和的距离加和的距离加和的距离加和的距离， 结合数轴，可得当在和之间时，到四个数的距离和最小，即， 此时，的最小值为． 24．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $