七年级数学上学期期中模拟卷（新教材湘教版第1～3章，高效培优）

2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D D B D D D C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．0 12． 13． 14． 0 9 15．8 16． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ．--------2分 （2）解：原式 ．--------6分 18．(1) (2) 【详解】（1）解：原式；--------3分 （2）解：原式.--------6分 19．(1)负有理数集合：--------2分 (2)整数集合：--------4分 (3)分数集合：--------6分 (4)有理数集合：--------8分 20．(1)2784元 解：（元）， 答：这一周超市出售樱桃的销售额为2784元；--------4分 （2）方式二购买更便宜，理由如下： 方式一：（元）； 方式二：由题意，一次性购买8斤樱桃，只需付6斤的费用，即（元）， ∵， ∴方式二购买更便宜．--------8分 21．(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：先化简多项式： ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴项与项的系数均为0，即， 解得；--------3分 （2）解：当，时， 代入的表达式得：， ∵， ∴ ；--------7分 （3）解：∵， ∴， ∴．--------10分 22．(1)十字框中的五个数的和是中间数23的5倍 (2) (3)仍具有这种规律 不能等于． 理由∶2026不能被5整除， 十字框中的五个数之和不能等于2026． 【详解】（1）解：， 则十字框中的五个数的和是中间数23的5倍；--------2分 （2）解：设中间数为，则其余四个数分别为、、、， 则；--------5分 （3）解：分析可知，所框住的五个数中，中间的数与其余四个数的关系一定，当十字框上下左右平移，可框住5个数，这5个数字还具有这种关系；--------7分 （4）不能等于． 理由∶2026不能被5整除， 十字框中的五个数之和不能等于2026．--------10分 23．(1)①；②点表示的数是，点表示的数是． (2)折痕点表示的数是或． (3)点表示的数是，点表示的数是． 【详解】（1）解：将数轴向右折叠，表示的点与表示的点重合， ∴折痕点（两点的中点）表示的数为． ①设点与表示数的点重合，则表示的点是表示的点与表示的点的中点， ∴，解得． 即表示的点与表示的点重合． ②设点表示的数为，点表示的数为（），且． 折叠后重合，则折痕点是的中点， ∴，且． 解得，． ∴点表示的数是，点表示的数是--------4分 （2）解：点表示的数为，点表示的数为． 设折痕点表示的数为，则点的对应点表示的数为． ∵， ∴，即． ∴或， 解得或． ∴折痕点表示的数是或．--------8分 （3）解：点表示数，点表示数（），折叠后重合， ∴折痕点表示的数为（即的中点）． 当点与折痕点重合时，点表示的数为． ∵点在点的左侧，且， ∴点表示的数为．--------12分 24．(1)，--------3分 (2) (3)①； ②选择“明辨组”的代数法：， 选择“聪慧组”的作图法： 如图， 由图可得，． 【分析】（1）根据图形和规律，即可求解； （2）去括号进行计算，即可求解； （3）根据“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵， ， ， ∴． （2）解：设 则 即 化简得 ∴， ∴．--------7分 （3）解：①设， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解法一：选择“明辨组”的代数法： 设， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．--------12分 解法二：选择“聪慧组”的作图法略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版七年级上册第1章~第2章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果一条航道，通航前6天记为天，那么通航后天记作（     ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．在下列各数中：0，，，，，3.14，，非负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．某商场周一至周五的盈亏情况如下表所示“”表示盈利，“”表示亏损，单位：元 星期 一 二 三 四 五 盈亏 则这五天共盈利（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽，照这样推算，前天截取的木棍总长度为（     ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 6．有理数，在数轴上的位置如图所示：在下列结论中：①；②；③；④；⑤；正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 下列关于除方说法中，不正确的是（     ）． A．任何非零数的圈次方都等于； B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数； C． D．和的圈次方都等于它本身． 9．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的，对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时针转动了2026次后，关于点B的说法正确的是（     ） A．点B对应的数是2027 B．点B对应的数是2026 C．点B不在数轴上 D．点B对应的数是2025 10．对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．__________ 12．当时，代数式的值为2025；当时，代数式的值为________________________． 13．按如图所示的程序进行运算，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止．当输入的数为5时，输出的数是________． 14．定义一种新运算，观察下列算式： ；；；． 请你填一填． __________；__________； 若，则__________． 15．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 16．对于任意一个四位数M ，其百位数字与千位数字的平方和恰好为M的十位和个位组成的两位数，则这个四位数M为“平方和数”．例如： ，，是“平方和数”；又如：， ，，不是“平方和数”．则4652，5747中是“平方和数”的是___________．一个“平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记， ，当、均是整数时，求出所有满足条件的M的最大值是___________． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．化简下列各式： (1)； (2) 19．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： ，，，，，，，，，． (1)负有理数集合：{________________________…}； (2)整数集合：{________________________…}； (3)分数集合：{________________________…}； (4)有理数集合：{________________________…}． 20．光明中学校园附近的水果超市最近新进了一批樱桃，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负．超市记录了第一周樱桃的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 20 35 25 30 28 (1)求这一周超市出售此种樱桃的销售额． (2)超市为了促销这种樱桃，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3斤樱桃，每斤25元；超出3斤的部分，每斤打七折； 方式二：每斤售价25元，买3斤送1斤． 有一名顾客想一次性购买8斤樱桃，该顾客通过哪种方式购买更便宜？请通过计算说明理由． 21．已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），． (1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值； (2)当，时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 22．将连续的奇数，排列成如图所示的数阵： (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系 (2)设中间数为，用代数式表示十字框中五个数之和． (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 23．阅读下面材料，完成探究任务 我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别用数表示，那么，两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 在一张白纸上画一条数轴，开展折叠探究活动： (1)操作一： 如图1，将数轴向右折叠，若表示的点与表示3的点重合． ①表示5的点与表示___________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧），且两点折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)操作二： 已知点，，是数轴上三个不同的点．如图2，点和点表示的数分别是和8．现将数轴向右折叠，点的对应点落在数轴上，点为折痕点，若，求折痕点所表示的数． (3)操作三： 如图3，数轴上表示数的点与表示数的点经折叠后重合（）．已知点，点在线段上，点在点的左侧，，且．当点与折痕点重合时，请你直接用含，的代数式表示点，点所表示的数． 24．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空： ________________； 猜想：_______________； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ∴： 即___________； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①请计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形．） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版七年级上册第1章~第2章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果一条航道，通航前6天记为天，那么通航后天记作（     ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【详解】解：∵通航前6天记为天，即规定通航前为负， ∴通航后记为正，通航后天记作天． 2．在下列各数中：0，，，，，3.14，，非负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，， 非负数包括0和正数，则符合条件的数有0，，3.14，共3个． 3．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同类项定义及合并同类项运算法则逐项验证即可． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、与不是同类项，不能合并，选项计算错误； D、与不是同类项，不能合并，选项计算错误． 4．某商场周一至周五的盈亏情况如下表所示“”表示盈利，“”表示亏损，单位：元 星期 一 二 三 四 五 盈亏 则这五天共盈利（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解： 元． 5．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽，照这样推算，前天截取的木棍总长度为（     ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】利用截取总长度等于总长度减剩余长度的关系，先推导第天剩余木棍长度的规律，简化计算． 【详解】解：第一天截取木棍的一半，剩余尺； 第二天截取剩余部分的一半，剩余尺； 第三天截取剩余部分的一半，剩余尺， 观察规律可得，第天截取后，剩余长度为尺， ∵ 木棍总长度为尺， ∴ 前天截取的总长度为尺． 6．有理数，在数轴上的位置如图所示：在下列结论中：①；②；③；④；⑤；正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据题中数轴比较出大小及符号后逐项验证即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ①正确，符合题意； ②错误，不符合题意； ③则，，错误，不符合题意； ④则，正确，符合题意； ⑤正确，符合题意； 综上，正确的结论有3个． 7．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先化简，根据其值与、无关，令含、的项的系数为，求解、后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ∵ 的值与、的取值无关， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ． 8．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 下列关于除方说法中，不正确的是（     ）． A．任何非零数的圈次方都等于； B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数； C． D．和的圈次方都等于它本身． 【答案】D 【分析】根据除方的定义，将圈次方运算转化为常规除法运算，逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：对任意非零数，表示个相除的商， A选项：，故A正确， B选项：，即等于的倒数，故B正确， C选项：， ， ， ， 即，故C正确. D选项：的圈次方恒为，等于它本身， 当为偶数时，，不等于本身，故D错误. 9．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的，对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时针转动了2026次后，关于点B的说法正确的是（     ） A．点B对应的数是2027 B．点B对应的数是2026 C．点B不在数轴上 D．点B对应的数是2025 【答案】D 【分析】根据题意确定五边形边长及转动周期，分析点在数轴上的位置规律，结合余数求解． 【详解】解：由点，分别与数轴上的，对应，得五边形边长为， 五边形有条边， 每转动次，图形向右平移个单位长度，为一个循环周期， ， 转动次后的状态与转动次后的状态对应点位置规律相同，且经历了个周期， 转动次后，点落在数轴上，对应的数为， 转动次后，点在数轴上，对应的数为． 10．对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将整理为的形式，其中，，再逐一分析三个说法. 【详解】解：由题意得，记，，则，化简结果为或，是从中选的三个不同的数， ① 若化简结果为常数，则，即， 取，则，，为常数，故①正确； ② 若为单项式，则为单项式，分两种情况： （常数单项式）：， 当时，，则为和，共种排列； 当时，，则为和，共种排列； 当或时，无符合条件的，共种操作； （一次单项式）：，即， 仅符合，此时可选，共种操作， 两种情况无重叠，总共有种操作，故②正确； ③ 若，则从个数中选个按从小到大排列，共组： ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种， 总共有种结果，故③错误， 综上，正确的有个. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．__________ 【答案】0 【分析】需依据有理数减法法则将减法运算转化为加法，结合相反数的运算性质求解． 【详解】解：． 12．当时，代数式的值为2025；当时，代数式的值为________________________． 【答案】 【分析】先根据时的代数式取值求出的整体值，再将时的代数式变形为含的整体形式，代入计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2025， ∴代入得， ∴， ∴， ∵当时，代入代数式， ∴得， ∴将代入上式，得． 13．按如图所示的程序进行运算，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止．当输入的数为5时，输出的数是________． 【答案】 【分析】根据程序流程图，将 代入计算，若结果不大于 则继续代入计算，直到结果大于 为止. 【详解】解：当输入 时，运算结果为 . ， 把 作为输入再次运算. 当输入 时，运算结果为 . ， 输出结果为 . 14．定义一种新运算，观察下列算式： ；；；． 请你填一填． __________；__________； 若，则__________． 【答案】 0 9 【分析】归纳已知算式的新运算规则，观察已知算式，可总结新运算的通用规则为：运算结果等于前一个数的4倍加上后一个数．依次代入计算，利用整体代入求解最后一空，即可求解． 【详解】解： ．． ∵ ∴． 等式两边同时除以2，得． ． 15．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 【答案】 8 【分析】将理解为数轴上点到三点的距离之和.当位于这三个数对应的点的中间位置时，距离之和最小． 【详解】解：原式可变形为， 根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离之和， ， 当时，该距离之和最小，最小值为． 16．对于任意一个四位数M ，其百位数字与千位数字的平方和恰好为M的十位和个位组成的两位数，则这个四位数M为“平方和数”．例如： ，，是“平方和数”；又如：， ，，不是“平方和数”．则4652，5747中是“平方和数”的是___________．一个“平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记， ，当、均是整数时，求出所有满足条件的M的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据“平方和数”的定义，计算两个数的千位、百位数字的平方和，与后两位组成的两位数对比即可完成第一空的判断；利用平方和数的定义替换中的，结合为整数的条件确定的取值，逐一代入验证是否为整数，筛选出所有符合条件的后取最大值即可得到第二空的结果． 【详解】解：∵ 4652的千位数字为4，百位数字为6， ∴ ，恰好是十位和个位组成的两位数52， ∴ 4652是“平方和数”． ∵ 5747的千位数字为5，百位数字为7， ∴ ，而十位和个位组成的两位数为47，， ∴ 5747不是“平方和数”． 是“平方和数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴ ． ∴． ∵ 是整数， ∴ 是的倍数． 是千位数字，满足，是百位数字，满足， ∴ ， ∴ 唯一满足是的倍数的取值为， 即，其中的取值范围为． 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，是整数，此时，对应； 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，是整数，此时，对应； 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，是整数，此时，对应； 当时，，，不是整数，不符合要求． 综上，所有满足条件的为2868、5550、8268，其中最大值为8268． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法则计算； （2）根据有理数混合运算法则，按照乘方、绝对值、乘除、加减的顺序计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 19．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： ，，，，，，，，，． (1)负有理数集合：{________________________…}； (2)整数集合：{________________________…}； (3)分数集合：{________________________…}； (4)有理数集合：{________________________…}． 【答案】(1)负有理数集合： (2)整数集合： (3)分数集合： (4)有理数集合： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 20．光明中学校园附近的水果超市最近新进了一批樱桃，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负．超市记录了第一周樱桃的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 20 35 25 30 28 (1)求这一周超市出售此种樱桃的销售额． (2)超市为了促销这种樱桃，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3斤樱桃，每斤25元；超出3斤的部分，每斤打七折； 方式二：每斤售价25元，买3斤送1斤． 有一名顾客想一次性购买8斤樱桃，该顾客通过哪种方式购买更便宜？请通过计算说明理由． 【答案】(1)2784元 (2)方式二购买更便宜，理由如下： 方式一：（元）； 方式二：由题意，一次性购买8斤樱桃，只需付6斤的费用，即（元）， ∵， ∴方式二购买更便宜． 【分析】（1）根据题意，由有理数加减和乘法运算列式求解即可得到答案； （2）由两种购买方式，按要求分别计算费用，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：这一周超市出售樱桃的销售额为2784元； （2）略 21．已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），． (1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值； (2)当，时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据多项式与取值无关的条件，令含的项系数为0，列方程求解； （2）先化简多项式，代入m、n的取值后，结合的表达式计算； （3）将看作整体，利用已知方程求整体值，代入计算． 【详解】（1）解：先化简多项式： ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴项与项的系数均为0，即， 解得； （2）解：当，时， 代入的表达式得：， ∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴． 22．将连续的奇数，排列成如图所示的数阵： (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系 (2)设中间数为，用代数式表示十字框中五个数之和． (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数23的5倍 (2) (3)仍具有这种规律 (4)不能等于． 理由∶2026不能被5整除， 十字框中的五个数之和不能等于2026． 【分析】（1）根据十字框中的数字计算即可得解； （2）设中间数为，则其余四个数分别为、、、，相加求和即可得解； （3）根据题意分析即可； （4）根据整除关系分析即可． 【详解】（1）解：， 则十字框中的五个数的和是中间数23的5倍； （2）解：设中间数为，则其余四个数分别为、、、， 则； （3）解：分析可知，所框住的五个数中，中间的数与其余四个数的关系一定，当十字框上下左右平移，可框住5个数，这5个数字还具有这种关系； （4）略 23．阅读下面材料，完成探究任务 我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别用数表示，那么，两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 在一张白纸上画一条数轴，开展折叠探究活动： (1)操作一： 如图1，将数轴向右折叠，若表示的点与表示3的点重合． ①表示5的点与表示___________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧），且两点折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)操作二： 已知点，，是数轴上三个不同的点．如图2，点和点表示的数分别是和8．现将数轴向右折叠，点的对应点落在数轴上，点为折痕点，若，求折痕点所表示的数． (3)操作三： 如图3，数轴上表示数的点与表示数的点经折叠后重合（）．已知点，点在线段上，点在点的左侧，，且．当点与折痕点重合时，请你直接用含，的代数式表示点，点所表示的数． 【答案】(1)①；②点表示的数是，点表示的数是． (2)折痕点表示的数是或． (3)点表示的数是，点表示的数是． 【详解】（1）解：将数轴向右折叠，表示的点与表示的点重合， ∴折痕点（两点的中点）表示的数为． ①设点与表示数的点重合，则表示的点是表示的点与表示的点的中点， ∴，解得． 即表示的点与表示的点重合． ②设点表示的数为，点表示的数为（），且． 折叠后重合，则折痕点是的中点， ∴，且． 解得，． ∴点表示的数是，点表示的数是 （2）解：点表示的数为，点表示的数为． 设折痕点表示的数为，则点的对应点表示的数为． ∵， ∴，即． ∴或， 解得或． ∴折痕点表示的数是或． （3）解：点表示数，点表示数（），折叠后重合， ∴折痕点表示的数为（即的中点）． 当点与折痕点重合时，点表示的数为． ∵点在点的左侧，且， ∴点表示的数为． 24．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空： ________________； 猜想：_______________； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ∴： 即___________； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①请计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形．） 【答案】(1)， (2) (3)①； ②选择“明辨组”的代数法：， 选择“聪慧组”的作图法： 如图， 由图可得，． 【分析】（1）根据图形和规律，即可求解； （2）去括号进行计算，即可求解； （3）根据“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵， ， ， ∴． （2）解：设 则 即 化简得 ∴， ∴． （3）解：①设， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解法一：选择“明辨组”的代数法： 设， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解法二：选择“聪慧组”的作图法略 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $