期中复习专题4——创新题专项训练- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册
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内容正文：
期中复习专题4——创新题专项训练
范围：第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章实数、第4章代数式
【题型1】自定义新运算（含递推与嵌套）
考查方向：不限于单次代入，含连乘、分组、递推嵌套等自定规则，先读懂运算本质再按序求值，突出对新规则的迁移运用。
1.（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）定义：对于任意两个不相等的有理数、，计算、．将这两个计算结果的最小值称为、的“关联差”．例如：对于1、，因为，，所以1、的“关联差”为．
（1）求2、3的“关联差”；
（2）试比较4、的“关联差”与、5的“关联差”的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）解：4、的“关联差”大于、5的“关联差”． 理由：
对于4和，
∵，，
∴两个数的最小值为，即4、的“关联差”为．
对于和5，
∵，，
∴两个数的最小值为，即、5的“关联差”为．
，
4、的“关联差”大于、5的“关联差”．
【分析】（1）按“关联差”定义计算两个对应式子的值，取最小值即可得到结果．
（2）分别计算两组数的“关联差”，再比较两个差值的大小．
（1）解：，，
，
2、3的“关联差”为．
（2）略．
2.（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新运算，例如，下列说法正确的有（ ）
①；
②；
③当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算、代数式求值，根据新定义逐项计算即可求解．
解：①∵，
∴，
，
，
…，
，
∴
，故①不正确；
②∵，
∴，
，
，
…，
，
∴
，故②正确；
③∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，故③不正确．
故选B．
3.（26-27七年级上·吉林长春·期中）对于有理数，定义一种新运算，表示大于的最小整数，例如：，，下列结论正确的是________．
①；②；③若，那么；④若，都是整数，且，那么．
【答案】①②③
【分析】根据新定义“为大于的最小整数”，逐一验证每个结论，通过计算运算结果、推导取值范围判断正误．
解：根据定义，是大于的最小整数，逐一分析如下：
①大于的最小整数是，故，①正确；
②大于的最小整数是，大于的最小整数是，故，②正确；
③ 若，说明是大于的最小整数
∴，
∵若，则大于的最小整数会是，与矛盾，
∴，
∴的取值范围是，③正确；
④若为整数，则大于的最小整数是，大于的最小整数是，
∴，
∵，
∴，即，④错误，
故正确的有①②③．
4.（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）一个数学活动小组在学习2024版七年级数学教材1.2.1有理数的概念后，教材上明确了整数与循环小数都可以写成分数的形式，因而整数与循环小数都是有理数，如，对于如何表示成分数，大家遇到了困惑，组长小明提出了把转化成分数的方法如下：
因为，所以，
在小明的启发下，小组成员很快解决了表示成分数的问题，
，所以．
大家仿照这个数学小组的解决方案，把写成分数，从而完整的领会循环小数是有理数的定义．
【答案】，，
【分析】本题考查循环小数与分数的转换，有理数的四则运算，掌握题目中的例题的方法是解题的关键．根据题目中的例题的方法解答即可．
解：，
；
，
；
，
．
【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出
考查方向：按框图运算顺序由输入求输出，或由输出逆向反推输入，含多分支选择与循环取整。
1.（24-25七年级上·山东青岛·期末）老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示：
（1）按上述运算程序填写下表，根据计算你发现了什么规律？
输入
…
输出
…
（2）请说明你发现的规律是正确的．
【答案】（1），，无论输入的值为多少，输出的值都是；（2）
，
无论输入的值为多少，输出的值都是．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式加减的应用；
（1）根据运算程序的运算顺序，输入数据进行计算，得出结果，填入表格，根据表格中数据找出规律并表达出来；
（2）用代数式表示，用规定的计算顺序列出代数式，并计算结果即可．
（1）解： ，，；
，，；
无论输入的值为多少，输出的值都是．
输入
输出
（2） 略
2.（25-26七年级上·山东德州·期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（ ）
A．8 B．2 C．4 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的运算，先把0输入，根据程序计算并判断计算结果是不是可以输出，若不能输出重新代入计算结果输入计算，直至输出即可．理解运算程序是解决本题的关键．
解：当输入0时， ．
由于2不大于2，再次输入，
所以输出4．
故选：C．
3.（25-26七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______．
【答案】256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可．
解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为，
∴符合题意，
故答案为：256．
【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键．
4.（25-26七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：
（1）若，则 ；
（2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．
【答案】（1）；（2）或或
【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．
（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；
（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．
（1）解：输入，得到，
不是无理数不能输出，返回可得：，
是无理数可以输出，
，
故答案为：；
（2），，，
输入的值为或或时，无法得到的值，
故答案为：或或．
【题型3】数轴动点与绝对值分类综合
考查方向：动点在不同时段速度、方向变化，分段表示位置，求距离相等、相遇、追及的时间或位置，多解需分类讨论。
1.（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足．
（1）请直接写出，，值：__________________．
（2）图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查非负性，化简绝对值，有理数与数轴，熟练掌握非负性，绝对值的意义，是解题的关键：
（1）最小的正整数为1，求出，非负性求出即可；
（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．
（1）解：∵是最小的正整数，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）当时，；
当时，；
综上或．
2.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分两段讨论动点的位置，把三点距离之和转化为含的式子，结合取值范围确定距离和的最大与最小值，再计算．
解：当点在上，即，
，
由，可知；
当点在上，即，
，
由，可知，
则，，
故．
3.（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．
（1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为___________．
（2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为___________．
【答案】 4 或
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：
（1）根据数据上两点距离计算公式分别求出拉动前后、的长即可得到答案；
（2）分伸长和缩短两种情况，仿照（1）讨论求解即可．
解：（1）没有拉动时，，
拉动后，
∵橡皮筋均匀伸缩，
∴拉动后，
∴拉动后点C表示的数为，
故答案为：4；
（2）当伸长后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，则伸长后点C表示的数为，
∴伸长后，
∴伸长后，
∴伸长后点B表示的数为；
同理当缩短后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，点B表示的数为；
综上所述，点B表示的数为或．
故答案为：或．
4.（25-26七年级下·西藏那曲·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点．
（1）在数轴上，把点向左平移个单位长度得到点，求点表示的数；
（2）若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数；
（3）若点从点向点以每秒个单位长度向运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动问当点运动秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
∴运动秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为
因为表示的数是，
，
，
∴，即．
∴P在C点的左侧．
【分析】（1）根据数轴上两点距离即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）根据题意，得出运动秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解．
（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移个单位长度得到点，
∴点表示的数为；
（2）解：∵点表示的数是所表示数的相反数，
∴点表示的数为；
（3）略
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键．
【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展
考查方向：把｜a−b｜当作数轴上两点距离，求多个绝对值之和的最小值与对应区间，或用“折线最短”模型求最值。
1.（25-26七年级上·重庆巫山·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．
（1）用“>”或“<”填空：______0，______0；
（2）点为数轴上一动点，则的最小值=_______．
（3）若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值．
【答案】（1），；（2）6；（3）
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，代数式求值，绝对值的几何意义，相反数、倒数的定义等知识点．
（1）由数轴可得，即可判断，正负；
（2）根据绝对值的几何意义可得该式子表示为：表示数的点到表示数和的点距离之和，再结合数轴即可求解；
（3）根据点在数轴的位置即可判断出，，于是解绝对值方程即可求出、的值，根据相反数的应用可得，根据倒数的定义可得，将上述字母或式子的值代入原式，即可求出代数式的值．
（1）解：由数轴可得，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：，
则该式子表示为：表示数的点到表示数和的点距离之和，
∴当时，；
当时，；
当时，，
∴的最小值为6，
故答案为：6；
（3）解：由图可知：，，
，，、互为相反数，、互为倒数，
，，，，
∴
．
2.（25-26六年级上·山东泰安·期中）已知有理数a，b，c满足：a到原点的距离是4，b是最小的正整数，且，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的分类，有理数的加减等知识﹒先根据题意得到，，或，再分类计算即可求解﹒
解：∵a到原点的距离是4，
∴或，
∵b是最小的正整数，
∴，
∵ ，
∴或，
∵，
∴﹒
当，，时，；
当，，时，﹒
故选：B
3.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数轴上、两点对应数分别为、，且，为数轴上一动点，对应数为，当点到、距离和为10时，则的值为______．
【答案】3或/或3
【分析】根据题意可得，，进行分类讨论①当时，②当时，③当时，即可解答．
解：∵，
∴，，
①当时，
由图可知，此时，
∵，
∴，则；
②当时，
由图可知，此时，
不符合题意，舍去；
③当时，
由图可知，此时，
∵，
∴，则；
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据题意，画出图形，进行分类讨论，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及绝对值的意义．
4.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）如图，点，，，，在数轴上（单位长度为1）．
（1）如果点表示原点，那么点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；
（2）如果点，表示的数互为相反数，求点和点到原点的距离的和．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）根据点表示原点，单位长度为，写出点、点、点表示的数；
（2）根据点，表示的数互为相反数确定原点，再根据原点的位置确定点和点表示的数，从而求出点和点到原点的距离的和．
（1）解：点表示原点，
点表示，
点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是；
（2）解：如下图所示，
如果点，表示的数互为相反数，则原点是点右边的一个点，
点表示的数是，点表示的数是，
点和点到原点的距离的和为．
【题型5】平方根、立方根与无理数创新
考查方向：被开方数非负与算术平方根的非负性；夹逼法估算无理数在哪两个整数之间并比较大小；整数部分与小数部分的表示。
1.（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
（1）若，则的取值范围是__________．
【知识应用】
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据算术平方根的被开方数为非负数可得a的取值范围；
（2）根据绝对值与算术平方根的非负性列出二元一次方程组，求解后代入计算即可；
（3）先根据被开方数的非负性确定a的取值范围，再化简绝对值，整理等式即可得到结果．
（1）解：对于，根据算术平方根定义，被开方数必须为非负数，
因此的取值范围是；
（2）解：，，且，
，
解得 ，
；
（3）解：，
，即，
，
原方程可化为，
整理得，
两边平方得，
．
2.（24-25八年级上·广东深圳·期末）是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无限不循环小数是无理数，即可作答．
解：是分数，是有理数，不符合题意；
是整数，是有理数，不符合题意；
是有限小数，是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故选：D．
3.（2026·陕西西安·模拟预测）据你估计，170的算术平方根应该比______ 大，但比______ 小（填写两个连续整数）．
【答案】 13 14
【分析】找到与170相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质比较大小，即可得到符合要求的两个连续整数．
解： ，，
∴，
，
故170的算术平方根应该比13大，但比14小．
4.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方．
（1）直接写出，的值，并比较，，的大小．
（2）求的所有可能值．
【答案】（1），或；；（2）
【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值．
（1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小．
（2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值．
（1）解：∵是的立方根，
∴．
∵的平方根是，的立方根是，
∴当取时，；当取时，．
∴或．
当时，，
∵，
∴；
当时，，
∵，
∴；
综上，；
（2）解：当时，，
∴；
当时，，
∴；
故只有一个值为．
【题型6】乘方周期与数阵规律
考查方向：乘方个位数字的循环周期；数表、数阵中行列或按周期排列的数的规律，用代数式表达并求某一项。
1.（2026·广东肇庆·二模）观察下列各式的特点：
第1组：；
第2组：；
第3组：；
…
（1）根据上述规律，写出第n组数；__________，__________，__________；
（2）小李猜想：当第n组数，时，b与c的奇偶性相同，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由．
【答案】（1）；（2）正确，详见解析
【分析】（1）根据题意探究规律即可；
（2）两个式子相减即可求解．
（1）解：；
（2）解：，为偶数，
∴b与c的奇偶性一致．
2.（25-26七年级下·广东佛山·期末）科拉兹猜想又称“”猜想，是著名的数学趣味问题．对任意一个正整数，按如下规则反复运算：若为偶数，则除以2；若为奇数，则乘3再加1．大量计算表明，无论初始数是多少，最终都会进入一个固定的循环．这个循环是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据题目给定的运算规则，逐一验证选项中的循环是否成立，即可得到正确结果，运算规则为：正整数若为偶数，除以；若为奇数，乘再加．
解：选项A，是奇数，根据规则得，不满足循环，不符合题意；
选项B ，是偶数，，是偶数，，是奇数，，运算后回到起点，形成固定循环，符合题意；
选项C ，是偶数，，是奇数，，不满足循环，不符合题意；
选项D ，是奇数，，不满足循环，不符合题意．
3.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）探索规律：；；；；；，那么的个位数字是___．
【答案】7
【分析】先分别找出的正整数次幂和的正整数次幂的个位数字循环规律，再分别确定和的个位数字，最后计算差的个位数字．
解：
先观察的个位数字规律：
，个位数字是3；
，个位数字是9；
，个位数字是7；
，个位数字是1；
，个位数字是3；
由此可得，的个位数字每个为一个循环周期，循环的个位数字依次为．
，
的个位数字是循环中的第二个数字，即为．
再观察的个位数字规律：
，个位数字是；
，个位数字是；
，个位数字是；
，个位数字是；
，个位数字是；
由此可得，的个位数字每个为一个循环周期，循环的个位数字依次为．
，
的个位数字是循环中的第一个数字，即为．
的个位数字为 ．
4.（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下面的图形和对应的等式，设第1个图中“○”数为，第2个图中“○”数为，第3个图中“○”数为，…，第个图中“○”数为，根据你发现的规律解答问题．
（1）填空：____________（填具体数字）；____________（用含的式子表示）．
（2）因为，，，…，根据上述规律，______（用幂的形式表示）．
【答案】（1）；；（2）
【分析】本题考查了数字规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）根据图中所示规律即可求解；
（2）根据（1）中的规律可得，即可求解；
（1）解：由图可知：，；
（2）解：∵，，，…，
∴
【题型7】图形计数与代数规律结合
考查方向：点阵、拼图、摆桌椅等图形中数量随序号的递变，归纳第 n 个图形的代数表达式并验证。
1.（26-27七年级·全国·小升初衔接）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人．
（1）观察上图，根据规律将表格补充完整．
餐桌数量
1
2
3
4
5
…
可坐人数
4
6
8
…
（2）按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（ ）人．
【答案】（1）10；12；（2）
【分析】（1）根据所给图形的规律解答即可；
（2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时 ，2张时 ，依此类推可得规律，据此解答．
（1）解：由图得：4张餐桌可坐人数： ，5张餐桌可坐人数： ；
（2）解：推导n张餐桌的表达式：由规律可知，
n张餐桌可坐人数为 ；
综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐人 ．
2.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，按这样的规律，第个图形中，碳原子的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据前三个图形可得第11个图形中，碳原子的个数．
解：第个图形中有个碳原子，
第个图形中有个碳原子，
第个图形中有个碳原子，
按这样的规律，
第个图形中，碳原子的个数为个．
3.（25-26七年级上·湖北随州·期末）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有________架无人机；第n个图有________架无人机．
【答案】 50
【分析】本题考查了图形变化的规律，代数式求值．根据前3个图案无人机的数量，推算出第n个图案无人机的数量为架，再将代入，即可求解．
解：第①个图案无人机的数量为（架），
第②个图案无人机的数量为（架），
第③个图案无人机的数量为（架），
……
第n个图案无人机的数量为架，
当时，（架）．
故答案为：50；．
4.（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）．
显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题：
（1）图4中共有________个矩形；
（2）图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）；
（3）已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？
【答案】（1）60；（2）；（3）481200个
【分析】（1）根据，推出图4中的矩形个数即可；
（2）由（1）推导出规律即可；
（3）观察可知图的面积是图1面积的倍，进而求出的值，代入（2）中规律进行求解即可.
（1）解：∵，
∴图4中的矩形个数为（个）；
（2）解：由（1）可知，图n中共有个矩形；
（3）解：观察可知，图的面积是图1面积的倍，
∴当时，，
当时，，
故该人行道图案上共有个矩形.
【题型8】情境创新应用（分段计费、最优方案、精确度）
考查方向：阶梯计费、折扣优惠、盈亏比较等真实情境，列代数式表示并比较大小确定最优方案；近似数的精确度与科学记数法判断。
1.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下：
阶梯
年用水量（每户）
综合水价（元/）
第一档
不超过的部分
第二档
超过但不超过的部分
第三档
超过的部分
（1）小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________；
（2）在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）．
【答案】（1）；；（2）当时，总水费为元；当时，总水费为元．
【分析】（1）超过但不超过，根据前两档计费标准计算，当水费为元时，代入即可求解；
（2）根据条件可判断年用水量超过，先计算年水费，再对分和两种情况分别计算年水费．
（1）解：；
，
解得；
（2）解：，
，
故年的用水量超过，
年的水费为
当时，年的水费为元，
总水费为；
当时，
年的水费为，
总水费为；
故当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元；
当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元．
2.（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．．
B．由四舍五入得到的近似数万精确到百分位．
C．棱柱有个面，个顶点．
D．“、两数的和的平方”可表示为．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的乘方、近似数、棱柱的特点、完全平方公式等知识点，掌握相关知识点是解题的关键．
根据有理数的乘方、近似数、棱柱的特点、完全平方公式逐项判断即可．
解：A．，故 A错误，不符合题意；
B．，末位数字6位于百位，即精确到百位，并非百分位，故 B错误，不符合题意；
C．n棱柱有2个底面和n个侧面，则面数为，顶点数为，故 C正确，符合题意；
D．“a、b两数的和的平方”应表示为，而非，故D错误，不符合题意．
故选C．
3.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某商场计划购进甲、乙两种羽绒服共50件进行销售，其中甲种羽绒服每件进价700元，售价1020元；乙种羽绒服每件进价600元，售价880元．而且商场决定：销售时每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．若商场购进甲种羽绒服的数量不影响销售完这50件羽绒服所获得利润，则a的值为_________________．
【答案】40
【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中无关项的计算方法，理解材料提示含义，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
根据题意，商场购进甲种羽绒服的数量不影响总利润，意味着总利润与甲种羽绒服的数量无关．因此，在总利润的表达式中，甲种羽绒服数量的系数必须为零，从而建立方程求解a．
解：设购进甲种羽绒服x件，则乙种羽绒服为件．
每件甲种羽绒服的利润为元，即元；
每件乙种羽绒服的利润为元，即280元．
总利润，
化简得：，
由于P与x无关，故x的系数为零，即，解得．
故答案为：40．
4.（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题
某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案：
方案一：买1个足球送1个护腿板；
方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个．
（1）方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）；
（2）当时，哪种方案更省钱？计算说明理由；
（3）当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用．
【答案】（1）,；（2）方案一更省钱；（3）存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元
【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式．
（1）分别根据方案一和方案二列式计算即可；
（2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题；
（3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可．
（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元，
方案二的总付款金额为元；
故答案为：，；
（2）解：当时，
方案一的总付款金额为：（元），
方案二的总付款金额为：（元），
，
方案一更省钱；
（3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，
混合总费用为：（元），
，
存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元．
【题型9】整体代入与整体换元
考查方向：已知某个代数式的整体值，不分别求字母，整体代入、整体换元或逆用公式化简求值。
1.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道，
①；
②．
①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简．
请利用“整体思想”尝试解决下列问题：
（1）把看成一个整体，化简；
（2）若时，整式，当时，求整式的值．
【答案】（1）；（2）32
【分析】（1）把看成一个整体，仿照示例化简即可；
（2）将代入中化简得，再将代入所求式子，然后整体代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：将代入中得，
，
∴，
∴，
当时，．
2.（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）的平方根分别是，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可．
解：∵，的平方根分别是，，
∴，互为相反数且都不为0，
∴，
∴，
故选：B
3.（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）当时，代数式______；
（2）当，时，代数式的值是______；
（3）当时，代数式的值是______；
（4）已知，，则代数式的值为______．
【答案】 2 15 100 137
【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
（1）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可．
（2）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可．
（3）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可．
（4）直接将式子的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可．
解：（1）将代入代数式得
，
故答案为：2；
（2）将，代入代数式得
，
故答案为：15；
（3）将代入代数式得
，
故答案为：100；
（4）把，，代入代数式得
，
故答案为：137；
4.（24-25七年级上·福建泉州·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若，则 ；
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值以及整体思想，正确掌握整体代入法是解题的关键．
（1）先整理，再把代入，即可作答；
（2）先整理，再把，代入，即可作答．
（1）解：依题意，因为
所以；
（2）解：依题意，因为，，
所以．
【题型10】错看条件逆向还原与阅读理解开放探究
考查方向：看错系数、符号或数值后据错误结果反推正确结果；给新材料或新规则，先读懂定义再迁移应用、开放设问求值或说理。
1.（2026·河北沧州·模拟预测）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，当时，求的值．”
（1）嘉嘉准确的计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了16，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？
（2）小明把“”看成了“”，在此时小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？
【答案】（1）淇淇把B式中的一次项系数看成了；（2）小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数
【分析】（1）设淇淇把B式中的一次项系数看成了m，先求出淇淇的答案，进而得到，把代入，求出的值即可；
（2）计算出小明的结果，再进行判断即可．
（1）解：设淇淇把B式中的一次项系数看成了m，
根据题意得：淇淇的答案为：，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴淇淇把B式中的一次项系数看成了；
（2）∵，
∴
；
当时，
原式，
∵与互为相反数，
∴小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握整式的加减运算法则，正确的计算，是解题的关键．
2.（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（ ）
A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项
【答案】C
【分析】先根据求出a、b的值， 继而得出，即可得出答案．
解：解∶由题意知
，
而
∴，，
解得：，，
∴
，
∴最终计算的中不含的项为二次项，
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项，熟练掌握整式加减的步骤是解题的关键．
3.（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是__________．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先根据整式的加减法则求出，再根据整式的加减计算即可得．
解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小王同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？
（1）请你通过化简，说明小王计算结果正确的原因．
（2）小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论取何值，多项式的值都不变，求的值．
【答案】（1）解：
，
原式的化简结果与无关，
无论取何值，都不会影响结果；
（2）8
【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据化简的结果做出判断即可；
（2）将原式化为，根据无论取何值，多项式的值都不变，求出的值，代入计算即可得出答案．
解：（1）略
（2）解：
无论取何值，多项式的值都不变，
，，即，，
．
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期中复习专题4——创新题专项训练
范围：第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章实数、第4章代数式
目录
【题型1】自定义新运算 1
【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出 3
【题型3】数轴动点与绝对值分类综合 4
【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展 5
【题型5】平方根、立方根与无理数创新 6
【题型6】乘方周期与数阵规律 7
【题型7】图形计数与代数规律结合 8
【题型8】情境创新应用（分段计费、最优方案、精确度） 10
【题型9】整体代入与整体换元 11
【题型10】错看条件逆向还原与阅读理解开放探究 13
【题型1】自定义新运算
考查方向：不限于单次代入，含连乘、分组、递推嵌套等自定规则，先读懂运算本质再按序求值，突出对新规则的迁移运用。
1.（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）定义：对于任意两个不相等的有理数、，计算、．将这两个计算结果的最小值称为、的“关联差”．例如：对于1、，因为，，所以1、的“关联差”为．
（1）求2、3的“关联差”；
（2）试比较4、的“关联差”与、5的“关联差”的大小关系，并说明理由．
2.（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新运算，例如，下列说法正确的有（ ）
①；
②；
③当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（26-27七年级上·吉林长春·期中）对于有理数，定义一种新运算，表示大于的最小整数，例如：，，下列结论正确的是________．
①；②；③若，那么；④若，都是整数，且，那么．
4.（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）一个数学活动小组在学习2024版七年级数学教材1.2.1有理数的概念后，教材上明确了整数与循环小数都可以写成分数的形式，因而整数与循环小数都是有理数，如，对于如何表示成分数，大家遇到了困惑，组长小明提出了把转化成分数的方法如下：
因为，所以，
在小明的启发下，小组成员很快解决了表示成分数的问题，
，所以．
大家仿照这个数学小组的解决方案，把写成分数，从而完整的领会循环小数是有理数的定义．
【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出
考查方向：按框图运算顺序由输入求输出，或由输出逆向反推输入，含多分支选择与循环取整。
1.（24-25七年级上·山东青岛·期末）老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示：
（1）按上述运算程序填写下表，根据计算你发现了什么规律？
输入
…
输出
…
（2）请说明你发现的规律是正确的．
2.（25-26七年级上·山东德州·期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（ ）
A．8 B．2 C．4 D．1
3.（25-26七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______．
4.（25-26七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：
（1）若，则 ；
（2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．
【题型3】数轴动点与绝对值分类综合
考查方向：动点在不同时段速度、方向变化，分段表示位置，求距离相等、相遇、追及的时间或位置，多解需分类讨论。
1.（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足．
（1）请直接写出，，值：__________________．
（2）图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：．
2.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．
（1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为___________．
（2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为___________．
4.（25-26七年级下·西藏那曲·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点．
（1）在数轴上，把点向左平移个单位长度得到点，求点表示的数；
（2）若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数；
（3）若点从点向点以每秒个单位长度向运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动问当点运动秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由．
【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展
考查方向：把｜a−b｜当作数轴上两点距离，求多个绝对值之和的最小值与对应区间，或用“折线最短”模型求最值。
1.（25-26七年级上·重庆巫山·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．
（1）用“>”或“<”填空：______0，______0；
（2）点为数轴上一动点，则的最小值=_______．
（3）若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值．
2.（25-26六年级上·山东泰安·期中）已知有理数a，b，c满足：a到原点的距离是4，b是最小的正整数，且，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数轴上、两点对应数分别为、，且，为数轴上一动点，对应数为，当点到、距离和为10时，则的值为______．
4.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）如图，点，，，，在数轴上（单位长度为1）．
（1）如果点表示原点，那么点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；
（2）如果点，表示的数互为相反数，求点和点到原点的距离的和．
【题型5】平方根、立方根与无理数创新
考查方向：被开方数非负与算术平方根的非负性；夹逼法估算无理数在哪两个整数之间并比较大小；整数部分与小数部分的表示。
1.（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
（1）若，则的取值范围是__________．
【知识应用】
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）若，求的值．
2.（24-25八年级上·广东深圳·期末）是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
3.（2026·陕西西安·模拟预测）据你估计，170的算术平方根应该比______ 大，但比______ 小（填写两个连续整数）．
4.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方．
（1）直接写出，的值，并比较，，的大小．
（2）求的所有可能值．
【题型6】乘方周期与数阵规律
考查方向：乘方个位数字的循环周期；数表、数阵中行列或按周期排列的数的规律，用代数式表达并求某一项。
1.（2026·广东肇庆·二模）观察下列各式的特点：
第1组：；
第2组：；
第3组：；
…
（1）根据上述规律，写出第n组数；__________，__________，__________；
（2）小李猜想：当第n组数，时，b与c的奇偶性相同，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由．
2.（25-26七年级下·广东佛山·期末）科拉兹猜想又称“”猜想，是著名的数学趣味问题．对任意一个正整数，按如下规则反复运算：若为偶数，则除以2；若为奇数，则乘3再加1．大量计算表明，无论初始数是多少，最终都会进入一个固定的循环．这个循环是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）探索规律：；；；；；，那么的个位数字是___．
4.（25-26七年级上·安徽六安·期中）观察下面的图形和对应的等式，设第1个图中“○”数为，第2个图中“○”数为，第3个图中“○”数为，…，第个图中“○”数为，根据你发现的规律解答问题．
（1）填空：____________（填具体数字）；____________（用含的式子表示）．
（2）因为，，，…，根据上述规律，______（用幂的形式表示）．
【题型7】图形计数与代数规律结合
考查方向：点阵、拼图、摆桌椅等图形中数量随序号的递变，归纳第 n 个图形的代数表达式并验证。
1.（26-27七年级·全国·小升初衔接）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人．
（1）观察上图，根据规律将表格补充完整．
餐桌数量
1
2
3
4
5
…
可坐人数
4
6
8
…
（2）按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（ ）人．
2.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，按这样的规律，第个图形中，碳原子的个数为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26七年级上·湖北随州·期末）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有________架无人机；第n个图有________架无人机．
4.（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）．
显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题：
（1）图4中共有________个矩形；
（2）图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）；
（3）已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？
【题型8】情境创新应用（分段计费、最优方案、精确度）
考查方向：阶梯计费、折扣优惠、盈亏比较等真实情境，列代数式表示并比较大小确定最优方案；近似数的精确度与科学记数法判断。
1.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下：
阶梯
年用水量（每户）
综合水价（元/）
第一档
不超过的部分
第二档
超过但不超过的部分
第三档
超过的部分
（1）小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________；
（2）在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）．
2.（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．．
B．由四舍五入得到的近似数万精确到百分位．
C．棱柱有个面，个顶点．
D．“、两数的和的平方”可表示为．
3.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某商场计划购进甲、乙两种羽绒服共50件进行销售，其中甲种羽绒服每件进价700元，售价1020元；乙种羽绒服每件进价600元，售价880元．而且商场决定：销售时每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．若商场购进甲种羽绒服的数量不影响销售完这50件羽绒服所获得利润，则a的值为_________________．
4.（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题
某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案：
方案一：买1个足球送1个护腿板；
方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个．
（1）方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）；
（2）当时，哪种方案更省钱？计算说明理由；
（3）当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用．
【题型9】整体代入与整体换元
考查方向：已知某个代数式的整体值，不分别求字母，整体代入、整体换元或逆用公式化简求值。
1.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道，
①；
②．
①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简．
请利用“整体思想”尝试解决下列问题：
（1）把看成一个整体，化简；
（2）若时，整式，当时，求整式的值．
2.（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）的平方根分别是，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3.（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）当时，代数式______；
（2）当，时，代数式的值是______；
（3）当时，代数式的值是______；
（4）已知，，则代数式的值为______．
4.（24-25七年级上·福建泉州·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若，则 ；
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）若，，求的值．
【题型10】错看条件逆向还原与阅读理解开放探究
考查方向：看错系数、符号或数值后据错误结果反推正确结果；给新材料或新规则，先读懂定义再迁移应用、开放设问求值或说理。
1.（2026·河北沧州·模拟预测）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，当时，求的值．”
（1）嘉嘉准确的计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了16，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？
（2）小明把“”看成了“”，在此时小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？
2.（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（ ）
A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项
3.（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是__________．
4.（25-26七年级上·河南驻马店·期末）数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小王同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？
（1）请你通过化简，说明小王计算结果正确的原因．
（2）小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论取何值，多项式的值都不变，求的值．
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