精品解析：辽宁省多校调研2026-2027学年高三上学期10月份联合考试数学试题

辽宁省多校调研2026年高三10月份联合考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，向量，若向量与向量共线，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由与共线,故, 所以, 故选D 2. 集合，集合，则的元素个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【详解】，， ，则共有2个元素. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，再由余弦型三角函数的周期得解. 【详解】由可知，，即， 因为， 所以， 当时，对定义域内任意都有成立， 故函数的最小正周期为. 5. 复数，，则下列哪组中的两个变量成线性关系（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】通过复数代数形式的乘方运算结合三角二倍角公式，验证各组变量是否满足线性关系的定义即可求解. 【详解】根据完全平方公式展开得  ，  结合，可得恒等式， 符合线性关系（其中为常数）的形式， 故与成线性关系，D选项正确. . A选项，由，是的二次式，无法写成（ 为常数）的形式， 故不成线性关系. B选项，由，两边平方得，是的二次式（）， 无法写成（ 为常数）的形式，故不成线性关系. C选项，由 ，是的四次式， 无法写成（ 为常数）的形式，故不成线性关系. 6. 已知函数，，则与的公切线条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数的几何意义得出与的公切线方程，通过截距相等，斜率相等求解. 【详解】，， 设公切线在上的切点为，， 则公切线为：，即， 设公切线在上的切点为， 则公切线为：，即， 由，， 得，化简得， 令， ， ，令，， ，所以是增函数， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，所以有2个零点， 则有2个解， 所以与的公切线条数为2. 7. 2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得，则最大理想速度为：，故D正确. 8. 若函数在区间上存在最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论函数的最值的情况，可得的取值范围. 【详解】若，则当时，，，所以，所以在无最大值； 若，则，函数在上单调递减，无最大值； 若，，则， 设，因为，所以的图象是开口向下的抛物线， 又，当时，，所以在有唯一零点，设为， 则当时，，所以，所以在上单调递增； 当时，，所以，所以在上单调递减. 故当时，函数取得最大值. 若，则，则，且当时，，所以在无最大值； 若，则当时，，所以在无最大值. 综上可得，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角、、对应的边为、、，若，，为与的等差中项，为的外接圆半径，为的内切圆半径，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差中项性质、余弦定理、正弦定理、三角形面积与内切圆半径的关系，结合已知条件逐一计算判断各选项即可. 【详解】对于A，由，，为与的等差中项，得，解得，故A正确； 对于B，由，，，得；又，得，故B错误； 对于C，由，，得，则，故C正确； 对于D，由，，，得；又，则，解得，故D正确. 10. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项. 【详解】令得，或，， 由图可知：，，， 所以，， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 所以， ，故B错误. 当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移）， 为偶函数得，， 所以，，则的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当或或时，数列为常数列 B. 当且仅当或时，数列单调递增 C. 存在，使得数列在第2项时恰好变为常数列 D. 存在，使得数列在第3项时恰好变为常数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】解方程，根据方程的解可判断A的真假；利用特例，可判断BCD的真假. 【详解】对A，由，所以数列中若有某一项等于2或4或6，那么该数列后面的项都是这个常数. 所以当且仅当或或时，数列为常数列.故A正确； 对B，当， ，由A可知，从第二项开始，各项均为6，所以数列不是单调递增数列，故B错误； 对C，由B选项分析可得，当时，数列在第2项时恰好变为常数列.故C正确； 对D，取，则数列在第3项时恰好变为常数列， 且. 因为，，， 且三次方程一定有解. 即一定存在，使得.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由复数模的性质，得. 13. 已知函数满足：对于，都有，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，令推出递推关系，识别出数列为等差数列，写出通项公式后代入求值． 【详解】令，得， 又，所以， 对正整数，令，得， 即是首项为，公差为的等差数列， 所以, 所以． 14. 已知实数，满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用立方和公式，设，将用表示，由为实数，构造一元二次方程，根据判别式大于等于0求的范围. 【详解】令，由立方和公式：， 将条件，代入可得：，整理得. 若，即，左边等于，右边等于，矛盾，故，. 因为，是实数，则，可看作方程的两根，判别式. 代入：，化简. 又无意义，对分式分析：当时，，分式结果为正数，不满足不等式； 当时，满足不等式. 当时，，满足原方程；取不到. 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在边长为3的等边中，点为边上靠近点的三等分点，点为中点，，连接．设，． （1）用，表示与； （2）求与； （3）求的值． 【答案】（1） ，. （2） ，. （3） . 【解析】 【分析】(1)根据向量线性运算，结合共线向量性质，设参数联立求解，即可用表示与； (2)先由数量积定义求出，再对(1)所得向量平方，利用模长公式计算与； (3)确定对应的两个向量，计算向量数量积与模长，代入向量夹角余弦公式求出的值. 【小问1详解】 由为上靠近的三等分点，得， 故， 为中点，故， 因在上，设； 因F在上，设， 由向量相等对应系数相等，解得， 故. 【小问2详解】 等边三角形中，， 计算得，故， 由， 得，故. 【小问3详解】 为与的夹角，其中，， 计算得 ， 故，结合， 故. 16. 设等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，设的前项和为，求； （3）设数列满足，设的前项和为，求． 【答案】（1） ； （2） ； （3） （或化简为）。 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则由题意得，， 故解得，因为，因此， 结合上述方程，联立得， 解得或， 因为，所以不满足条件，故， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题意得，， 因此， ， 两式相减得， ， ， ， 故. 【小问3详解】 ， 即， 则. 17. 在中，内角、、所对应边分别为、、，满足，且恒为的最大边． （1）若，则求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，再由求出，利用正弦定理即可得解； （2）由正弦定理及三角恒等变换可化为，求出的范围，利用余弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 由知， 所以， 根据大边对大角知，，又， 故， 又，所以 根据正弦定理可得 . 【小问2详解】 根据正弦定理，， 由，可得，代入上式可得： ， 由，可得，所以， 所以，， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，且的取值范围恰好为，求的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，由的正负得到的单调性； （2）由（1）知：且的两个极值为，；根据零点个数可知，结合可确定的正负；设，根据函数零点个数可构造不等式组，由此可得；代回原函数验证可知满足题意，由此可得结果. 【小问1详解】 ，令，解得：，； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，若，；若，； 在，上单调递增；在上单调递减； 当时，若，；若，； 在，上单调递增；在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知：若有三个零点，则； 则的两个极值为，； 有三个零点，， 或； 设，则, 当时，；当时，； 设， 当时，；当时，； 有三个零点时，的取值范围恰好是， ，解得：， ， 有三个零点，有两个异于的不等实根， ，则，满足题意； 综上所述：，即. 19. 在人教B版必修一中，我们学习过均值不等式：对，，都有，当且仅当时等号成立．相似地，我们可以将该不等式拓展到维形式，该不等式被称为不等式． （1）证明：对于大于0的实数，，…，，有恒成立； （2）证明：，； （3）证明：． （注：①；②；③为不超过的最大整数．） 【答案】（1）设，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 故，即，记作， 记，在中取，得， 求和：， 左边：， ， 右边：， 即，移项得：， 所以：，等号当且仅当对一切成立，即. （2）设（），则，，， 由(1)中已证的：，得， 而， 由，故， 即， 于是，即， 代回，得，得证. （3）设为正整数.对， （因）， ， 又， 从到2n，项数， 故， ， 而恒成立， 可得 即. 【解析】 【分析】（1）令，由导数先证得；再记，对每个应用并求和，即证得元均值不等式； （2）令，将原不等式化为关于的不等式，利用(1)中已证的引理：放缩对数项，再对余下二次式配方验证其恒为正即可； （3）拆项（因）估计第一段和，第二段和每项、至多项，合并后用配方证下界. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省多校调研2026年高三10月份联合考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，向量，若向量与向量共线，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 集合，集合，则的元素个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2026 C. D. 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. 复数，，则下列哪组中的两个变量成线性关系（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知函数，，则与的公切线条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上存在最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角、、对应的边为、、，若，，为与的等差中项，为的外接圆半径，为的内切圆半径，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 11. 已知数列满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当或或时，数列为常数列 B. 当且仅当或时，数列单调递增 C. 存在，使得数列在第2项时恰好变为常数列 D. 存在，使得数列在第3项时恰好变为常数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则的值为______． 13. 已知函数满足：对于，都有，，则的值为________． 14. 已知实数，满足，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在边长为3的等边中，点为边上靠近点的三等分点，点为中点，，连接．设，． （1）用，表示与； （2）求与； （3）求的值． 16. 设等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，设的前项和为，求； （3）设数列满足，设的前项和为，求． 17. 在中，内角、、所对应边分别为、、，满足，且恒为的最大边． （1）若，则求的值； （2）求的取值范围． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，且的取值范围恰好为，求的值． 19. 在人教B版必修一中，我们学习过均值不等式：对，，都有，当且仅当时等号成立．相似地，我们可以将该不等式拓展到维形式，该不等式被称为不等式． （1）证明：对于大于0的实数，，…，，有恒成立； （2）证明：，； （3）证明：． （注：①；②；③为不超过的最大整数．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $