专题02 三角函数的应用问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角函数的应用问题的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、仰角俯角问题 题型二、坡度坡比问题 题型三、方向角问题 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 *题型特征*：源于测量、航海、坡度等实际情境，涉及仰俯角、方位角、坡度坡角，需构造直角三角 形。 ·*解题方法*：画示意图标已知量与未知量；作高线分割非直角三角形；选择合适三角函数（知对边斜 边用sin,邻边斜边用cos,对边邻边用tan)列方程；坡度ana。 ·*易错提醒**：仰俯角与水平线关系判断错误；方位角方向混淆：坡度误用正弦；结果未按精确度要求 取近似值：多解情形遗漏。 ◆◆ 刁题型归纳一精讲典型题法，奔失解题根透 题型一、仰角俯角问题 典例1：(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角 、34° B65° 120m 为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为 ,这栋楼有多高（结果取整数）？ 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (参考数据sin34≈0.559，c0s34°≈0.829，tan34°≈0.675，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145) B 006666 口00000 00000g 666668 口口口00口 00门0可 C 题型模版 1.特征：视线与水平线的夹角为仰角（向上）或俯角（向下），求高度或距离。 2方法：画图构造直角三角形，将仰角俯角转化为内角，用三角函数(tan为主)列方程求高或水平距离。 变式1-1(2026江苏南京模拟预测)如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔. 小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰 角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°.己知∠ABE=∠CDE=90°， 点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD=9O° A B 27o 2二399553⊙ B 图① 图② (I)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是_，若将 这个角记为a,则铁塔CD的高度是_；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁 塔CD的高度，那么可以测量的线段是_·（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据： 3 $in39°≈3，cos39°≈4，tan39°≈4 ，m27 20,c0s27°≈9 5 4 tan53° 3) 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-2(2026四川广安中考真题)某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 D 实物图和测量示意图 C G (I)测角仪在G处测得建筑物顶D的仰角为a: 测量说明 (2)测角仪在F处测得建筑物顶D的仰角为B: (3)点G,F,E位于同一水平线上，测出AB的长，测角仪的高AG,BF. 测量数据 AG=BF=CE=1.6m,a=35°，B=50°，AB=9.8m sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 参考数据 sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19 请根据以上数据求此建筑物高DE的长.（结果保留整数） 变式13(2026江苏盐城三模)海春轩塔始建于唐贞观年间，为七层八角密檐砖塔，是江苏省现存最古老 的塔之一.某兴趣小组想测量塔高，方案与测量结果如下表： 测量海春轩塔的高度 测量工具 测角仪、无人机 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 A 步骤如下： ①先在塔底水平地面点C处测得塔尖A的仰角 31°D ∠ACB=45°： 45c ②后用无人机在点C的正上方83米的点D处，测得塔 尖A的仰角为31°. 已知A,B,C,D四点在同一个平面内，AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,求海春轩塔的高度AB. 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 题型二、坡度坡比问题 典例2(26-27九年级上·全国课后作业)如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯AB改建为 AD 其坡度由：改为v ,已知原滑梯1B的长为5m,点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会 加长多少米？（精确到0.01m) 题型模版 1.特征：坡面倾斜程度用坡比（垂直高度与水平宽度之比）表示，求坡角或高度。 2方法：将坡比转化为直角三角形中竖直边与水平边的比，用正切求坡角，结合勾股定理或三角函数求高。 变式2-1(2026江苏泰州二模)如图，小明从点A出发，沿着坡角为10°的坡道向上走了120m到达点B (AB=120m),再沿着坡度为3的坡道向上走了160m到达点C(BC=160m).求小明沿垂直方向升 高的高度（即CD的长），（结果精确到0.1m.参考数据：cos10°≈0.985，sinl0°≈0.174， tanl0°≈0.176V10≈3.162 B 10° D 变式2-2(25-26八年级下·浙江金华阶段检测)某幼儿园新建了一个滑梯，如图，AB为扶梯，BC为连廊， CD为滑梯，已知扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：3，AE=1.5m,BC=2m,一小女孩从扶梯 走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 4/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 变式2-3(25-26八年级下浙江杭州阶段检测)如图，大坝横截面是梯形，迎水坡AD的坡比是5：4，背水 坡BC的坡比是1：2，大坝高DE=40米，大坝顶宽CD=20米， D (1)求大坝横截面的面积： (2)求大坝横截面的周长. 题型三、方向角问题 典例3(26-27八年级上·重庆·阶段检测)如图是某景区的平面示意图，景点C位于景点A的正南方向 7km处，景点B位于景点A的南偏西60°方向，且与景点A的距离AB=4km, 北 60 →东 (I)求BC的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效 通信半径是6km,智能巡检机器人从景点A出发，沿道路A→C→B→A的方向匀速行驶一周进行巡检， 巡检过程中能与设置在景点B的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度.（结 果保留小数点后一位，参考数据： √2≈1.41V3≈1.73V5≈2.24V6≈2.45 题型模版 1特征：以正北或正南为基准，用偏东/偏西角度描述方向，求距离或位置。 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：画方向坐标系，将方向角转化为三角形内角，构造直角三角形，用正弦余弦定理或三角函数列方 程求解。 变式3-1(26-27九年级上·重庆阶段检测)为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫 健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》，甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻 炼.如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向1800m处点C,点B在点A的正北方向，点C在点 60° .15o V2≈1.41 B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向.（参考数据： V3≈1.73V6≈2.45 》东 南 459 D (1)求AB的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点A出发跑步前往点C,甲选择路线A→B→C,乙选择路线A→D→C,已知甲的 速度为每分钟l50m,乙的速度为每分钟200m,请通过计算说明甲和乙谁先到达点C. 变式3-2(26-27九年级上重庆阶段检测)如图，重庆动物园内设置了A、B、C、D四个打卡点，己知 点A是园区入口服务中心，点B是熊猫馆，虎山C在熊猫馆B的北偏西30°方向，同时在服务中心A的北 偏东60°方向.点D是大象馆，在虎山C的正东方向，且大象馆D位于熊猫馆B的东北方向，熊猫馆B与 大象馆D相距 0V6 米. (参考数据：V2141,5≈1,73V6≈2.45、 北 西东 30° 南 60° B (I)求虎山C与大象馆D之间的距离.（结果保留整数） 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆B出发前往入口服务中心A,乙同学从虎山C 出发前往熊猫馆B.两人同时出发，甲的步行速度是乙的2倍.出发后，当他们相距100米时，求此时甲 同学距离入口服务中心A还有多少米？ 变式3-3(25-26八年级下·重庆江津期末)如图，四边形ABCD是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正 东方向 0,5米处，D位于B的正北方向，D位于4的北偏东30方向，且位于C的西北方向，B位于C 的西南方向 北 个 西→东 南 1309 45 (1)求AD的长：（结果保留根号） (②)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力.若机器狗从B到D用时少说明 机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪条线路说明机器狗识别路径的能 力较强？请说明理由，（机器狗走两条线路的速度相同) 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 典例4 (2025·四川广元模拟预测)如图，信号塔CD坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的 45° =1:V3 高度，他在山脚下的点处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着坡度为 .100 的斜坡向上走了米到达点 B处，此时测得塔尖D的仰角为60°.（图中各点均在同一平面内） 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 45 (I)求点B到地面的距离： (②)求信号塔CD的高度（结果保留根号）： (3)若维护人员从点A处沿水平方向前行一段距离到点F处，测得塔尖D的仰角为30°，求AF的长度， 题型模版 1特征：同一实际问题中同时含坡面坡度与视线仰俯角，需分段构造直角三角形求解。 2方法：分别在各段构造直角三角形，用坡比求坡角、用仰俯角列三角函数式，通过公共边联立方程求解。 变式41(2025四川成都二模)青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家 湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园.如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明 在山坡A处测得无人机的仰角为45°，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为62°，已知山坡AB的坡比 i=1:2.4,A处到地面BC的距离为10米，水平地面BC长为30米. 45 62 B D C (I)求山坡AB的长； (2)求此时无人机离地面的高度PD的长（精确到0.1）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47， tan62°≈1.88) 变式42(2026四川宜宾模拟预测)如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天 轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮.图②是它的平面示意图，MW是摩天轮的 直径，兰兰从C点沿者坡度=l: 的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D,登上摩天轮吊舱后，在摩天 轮顶端M测得地面上点A的俯角为30°，测得地面上点B的俯角为45°，已知A、B两点的距离为74米， 8/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DNI AC MN⊥DN(4B,C在同一条直线上).（参考数据： √2≈1.4l,V3≈1.73 M C ⊙ A 图① 图② (1)求D点到地面的距离： (2)求摩天轮的高度MN(结果保留整数)· 变式43(2026山西吕梁·一模)项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动.同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁 石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈.该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测 角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 题 测量工 测角仪，卷尺 具 测量示 意图 F 图1 图2 方案说 1.如图2，AB为纪念碑，CE为斜坡：2.点B,C,D在一条直线上， 明 AB⊥BD,ED⊥BD,EF⊥AB,图中所有的点均在同一平面内 在点C处测得点A的仰角∠ACB=52.9°，在点E处测得点A的仰角∠AEF=45°，斜坡CE的坡 相关数 据 度为1：2，CD=4米 9/17 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请根据上述数据，求纪念碑AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：sin52.9°≈0.80,52.9°≈0.60， tan52.9°≈1.32) ◆◆ 同压轴挑战一女克离难压轴，突破思维上保 一、单选题 1,(26-27九年级上全国单元复习)如图，水坝的横截面为四边形ABCD,AD‖BC,高DE=5m,迎 水坡面1B的坡度 i=1:V3 则迎水坡面4B的长为() A D 10m A B.10v3m C 5m D.5V3m 2.(26-27九年级下·全国课后作业)如图，有一信号塔CD,小红站在点F处，测得信号塔顶D的仰角 为28°，小红向前走了40m,到达点E处，测得信号塔顶D的仰角为56°，则信号塔CD的高度为(). 信号塔 56 28 E A. 40sin28°m B40tan28°m C.40sin56°m D.40tan56°m 3.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东35的方 向上有一棵大树B,已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=1O0米，则A、B两点相距()米. 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45o359 A 100(cos35°+sin35) B.100(cos35°-sin35)） 100 100 (100 100 C.（sin35°cos35 D.（sin35°cos35 二、填空题 4.(26-27九年级上山东泰安·阶段检测)如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为60°， 楼底点D处的俯角为30°.若两座楼AB与CD相距60米，则大楼CD的高度为 米（结果保留根 号)， 口O口 X60° A■ 301 ◇ B←60米D 5. (26-27九年级上山东淄博阶段检测)如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上， 其中水面高度BM=7cm. 将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图 如图2所示，则斜坡的坡比为 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(M) B a B 图1 图2 6.(26-27九年级下·全国课后作业)某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相 垂直的公路.若甲勘测员在A处测得点0位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点0位于南偏西73.7°，测 得AC=840m,BC=500m,则点O到BC的距离约为 m(多考数指：血归7荟。心. 25, 24 tan73.7°≈ 7). →东 73.79 A 三、解答题 7.(26-27九年级下·全国·课后作业)舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞 技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）·在舞狮表演 中，梅花桩AB,CD,EF垂直于地面，且B,D,F在同一直线上（如图②所示）.如果在桩顶C处测 得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为lm,两桩的距离BF为2m 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C T B D 图① 图② (I)舞狮人从A跳跃至C,随后再跳跃至E,所成的角∠ACE= (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长（结果精确到0.01m,参考数据：an35°=0.7002，tan47°≈1.0724） 8.(2026河北廊坊·二模)【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1)的高度进行了实地测 量 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点A处竖直上升60米后飞行至点B处，然后沿水平方向向左 飞行至点C处，在点C处测得大剧院最高点D和点A的俯角分别为37°和45°，AE=71米。 【数据应用】点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，且点A和点E在同一水平线上，DE⊥AE.请根 据上述数据，解决下列问题.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） C B 37yV45 D 图1 图2 (1)线段BC的长为. 米； (2)计算大剧院的高度(DE)· 9.(26-27九年级下·全国·课后作业)某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔MW的高度 (如图①)，他们通过自制的测倾器（如图②）在A,B,C三个位置观测，测倾器上的示数如图③所示. 测量时，以题中图上距离为准，并精确到lmm 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度， 13/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8拃 M 激光源 B 铅锤 4拃 3拃 2拆 支杆 图① DE 图② 图③ ()【分析规划】选择两个观测位置：点 和点 (2)【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并测量观测点之间的图上距离. (③)【推理计算】计算发射塔的图上高度MN, (4)【换算高度】楼房实际宽度DE为l2m,请通过测量，换算发射塔的实际高度. 10.(26-27九年级上山东济宁·阶段检测)通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课 外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记.请仔 细阅读下列材料并完成相应的任务. 在△ABC(图1)中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、C,△ABC的面积为 SABC 过点A作AD⊥BC,垂足为D,则在RteABD中， sin B=AD AB· .AD=AB.sin B CDBC-in B-sin B 21 1 同理可得，Sc=2 esinA,Sc=① 2 即S△MBC= 2 bcsin 4=I acsin B-basin C 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半. 又abc≠0， 将等式2csin1=)acsin B= 1 1 sin A 2 basinC两边回除以，bc,得，。②p sin C 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b ·sinA sin B sinC 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等. (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记： (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 0v2. 75° 如图2，甲船以 2海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西5°方 向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲 60° 船的南偏西 方向的处，此时两船相距 10W2 海里 北 609 759 D 图1 图2 ①求：△ADC的面积， ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）· 11.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到 风景区C去爬山，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向 行驶一段距离到达风景区C,嘉淇发现风景区C在A地的北偏东15°方向上 平中 603370 60° 15 L了45 45g A P R 图1 图2 图3 (1)∠C的度数为 (2)A,C两地的距离为千米.（结果保留根号） 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)嘉淇一家到风景区C后，从山脚J点出发，沿坡度为：3的坡面几行至L点处时，他们的垂直高度上升 了25米，再从L点处沿坡角为45°的坡面L1,以20米/分的速度到达山顶1点时，用了30分钟，如图2所 示 ①L点到J点之间的水平距离为米： ②山顶'点处的垂直高度K是 米(V2≈1.414 结果保留整数) (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高.如图3， 嘉淇将无人机在塔、树上方的Q处悬停，测得塔顶O的俯角为37°，树顶S的俯角为60°，树高ST为12米， 无人机竖直高度PQ为60米，T,P,R在一条直线上，且P点到塔底R的距离比到树底T的距离多8米， 求塔高OR.(结果保留根号参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 12.(26-27九年级上·广西桂林·阶段检测)【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测 量，活动过程如下： 180° 1509 30° C 120° N60° 水平线 YG G 量角器 M M 图① 图② ()【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆 OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径 两端点A、B共线（如图②，此时目标P的仰角是图②中的∠ 一.目标P的仰角与图②中的∠- 相等，请写出这两个角相等的证明过程， (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角 ∠POQ=60° 观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为5米，求树高PH.(V3≈1.73， 结果精确到0.1米) 16/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图③ (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论， 决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点P的仰角a=45°， B=30° .002 测得E、F间的距离2米，点0、0到地面的距离 6、aF均 F均为5米，求PH的长（结果保 留根号) E H 图④ 00到 ④【拓辰探充】在(3)的条件下，分别测得点P的仰角“、B,再测得B、F间的距离m,点 OE OF 地面的距离、 均为”，则用含aBm”的式子表示PH为 17/17 专题02 三角函数的应用问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 题型二、坡度坡比问题 题型三、方向角问题 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：源于测量、航海、坡度等实际情境，涉及仰俯角、方位角、坡度坡角，需构造直角三角形。 - **解题方法**：画示意图标已知量与未知量；作高线分割非直角三角形；选择合适三角函数（知对边斜边用 sin，邻边斜边用 cos，对边邻边用 tan）列方程；坡度i=tan。 - **易错提醒**：仰俯角与水平线关系判断错误；方位角方向混淆；坡度误用正弦；结果未按精确度要求取近似值；多解情形遗漏。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 典例1 （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，） 【答案】这栋楼的高度约为 【分析】先解直角三角形求出，的长，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度约为． 题型模版 1.特征：视线与水平线的夹角为仰角（向上）或俯角（向下），求高度或距离。 2.方法：画图构造直角三角形，将仰角/俯角转化为内角，用三角函数（tan为主）列方程求高或水平距离。 变式1-1（2026·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 变式1-2（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出，，进而列方程求解即可． 【详解】解：已知，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 因此，此建筑的高约为． 变式1-3（2026·江苏盐城·三模）海春轩塔始建于唐贞观年间，为七层八角密檐砖塔，是江苏省现存最古老的塔之一．某兴趣小组想测量塔高，方案与测量结果如下表： 测量海春轩塔的高度 测量工具 测角仪、无人机 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    步骤如下： ①先在塔底水平地面点处测得塔尖的仰角； ②后用无人机在点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． 已知，，，四点在同一个平面内，于点，于点，求海春轩塔的高度． (结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】海春轩塔的高度约为米． 【分析】过点作，垂足为，则四边形是矩形，由题意可知，，，则；设米，则米，米，在中，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，则四边形是矩形， 米． 由题意可知，，， ， 设米，则米，米． 在中， ， 解得． 米， 答：海春轩塔的高度约为米． 题型二、坡度坡比问题 典例2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 【答案】改善后滑梯会加长． 【分析】根据坡度及勾股定理求出，进而计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴ 解得：（负值舍去）， 在中，， 解得：， ∴． 即改善后滑梯会加长． 题型模版 1.特征：坡面倾斜程度用坡比（垂直高度与水平宽度之比）表示，求坡角或高度。 2.方法：将坡比转化为直角三角形中竖直边与水平边的比，用正切求坡角，结合勾股定理或三角函数求高。 变式2-1（2026·江苏泰州·二模）如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点（），再沿着坡度为的坡道向上走了到达点（）．求小明沿垂直方向升高的高度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】小明沿垂直方向升高的高度为 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 在中，， ． 在中，， ． ∵， ∴，解得． ． 答：小明沿垂直方向升高的高度为． 变式2-2（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）某幼儿园新建了一个滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【答案】她经过的总路程为． 【分析】根据扶梯的坡比为求出，根据勾股定理求出，再根据滑梯的坡比为求出，根据勾股定理求出，根据题意计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴她经过的总路程为：． 变式2-3（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比是，背水坡的坡比是，大坝高米，大坝顶宽米． (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长． 【答案】(1)3040平方米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵迎水坡的坡比是， ∴， ∵米，∴米， 由题意可知：四边形DEFC为矩形， 米，米， ∵背水坡的坡比是， ∴米， ∴（米）， ∴大坝横截面的面积为：（平方米）； （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， 在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， 大坝横截面的周长 米． 题型三、方向角问题 典例3 （26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 题型模版 1.特征：以正北或正南为基准，用偏东/偏西角度描述方向，求距离或位置。 2.方法：画方向坐标系，将方向角转化为三角形内角，构造直角三角形，用正弦/余弦定理或三角函数列方程求解。 变式3-1（26-27九年级上·重庆·阶段检测）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 变式3-2（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 【答案】(1)米 (2)甲同学距离还有米 【分析】（1）作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． （2）确定甲乙位置，连结，作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图， 作， 根据题意大象馆位于熊猫馆的东北方向， ∴， ∴在中，，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设， ∴， 根据勾股定理， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴（米）． （2）解：如图 根据题意当甲乙之间距离是米时，甲在点，乙在点，， 连结，作， 设乙的路程为即，则甲的路程为，即， 在中，根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，，由（1）可知， ∴， 根据勾股定理， ∴， （舍去），（米）， （米）， 答：甲同学距离还有米． 变式3-3（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 典例4 （2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 题型模版 1.特征：同一实际问题中同时含坡面坡度与视线仰俯角，需分段构造直角三角形求解。 2.方法：分别在各段构造直角三角形，用坡比求坡角、用仰俯角列三角函数式，通过公共边联立方程求解。 变式4-1（2025·四川成都·二模）青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）． 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）作交于，四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：作交于， 则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 变式4-2（2026·四川宜宾·模拟预测）如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 变式4-3（2026·山西吕梁·一模）项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图    方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】纪念碑的高度约为米 【分析】根据坡度的定 义可得，设，根据，求得，则，即可求解． 【详解】解：斜坡的坡度为， ． 由题意,四边形为矩形， ． 设． ， ， ． ， ， 解得， ． 答：纪念碑的高度约为米． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作，先用三角函数求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点A作，垂足为F，如下图所示， 由题意可知， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 迎水坡面的坡度， ， 即， ， 在中，，，，由勾股定理得： ． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． 3．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 二、填空题 4．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形即可得的长． 【详解】解：由题意得：，，，，，米， ∴，，， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 5．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则斜坡的坡比为___________． 【答案】 【分析】过作平行于桌面，根据正方形和平行四边形的性质，得出，再根据图1上部的空白长方体体积和图2上部的空白三棱柱的体积相等，求出，求出，即可得解． 【详解】解：如图2，过作平行于桌面，则，， 图2中，正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，即， 棱长为，， 图1中，， 图1上部的空白长方体体积和图2上部的空白三棱柱的体积相等， ， 图2中，， ， 斜坡的坡比为． 6．（26-27九年级下·全国·课后作业）某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．若甲勘测员在处测得点位于北偏东45°，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，则点到的距离约为________m（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，构造矩形，设， 根据矩形性质得，则，在中，根据得到，在中，根据锐角三角函数得到，利用线段和差关系列方程，求出点到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． ，，， ∴， 四边形为矩形， ，． 设，则，． 在中，， ， ． 在中，， ∴． ， ， 解得， 即点到的距离约为． 三、解答题 7．（26-27九年级下·全国·课后作业）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 8．（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60 (2)51.75米 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 9．（26-27九年级下·全国·课后作业）某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图①），他们通过自制的测倾器（如图②）在，，三个位置观测，测倾器上的示数如图③所示．测量时，以题中图上距离为准，并精确到． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． (1)【分析规划】选择两个观测位置：点________和点_______． (2)【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并测量观测点之间的图上距离． (3)【推理计算】计算发射塔的图上高度． (4)【换算高度】楼房实际宽度为，请通过测量，换算发射塔的实际高度． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，，，测得图上（答案不唯一） (3)（答案不唯一） (4)发射塔的实际高度为（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意选择即可； （2）根据图3中的数据求解即可； （3）如图①，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解； （4）测得图上，设发射塔的实际高度为，由题意得，解得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图①，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，． ∵， ∴ 解得， ∴． ∵， ∴， ∴； （4）解：测得图上，设发射塔的实际高度为， 由题意，得， 解得， ∴发射塔的实际高度为． 10．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 【答案】(1)①；②． (2)①的面积为（平方海里）；②乙船航行的速度为海里/时． 【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②； （2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度． 【详解】（1）解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填； ②将等式的两边同时除以，得，故②处填． （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，． ①（平方海里）． ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴； ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴． 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）． 11．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1) (2)千米 (3)①米；②约米 (4)米 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 12．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】(1)，； 证明：， ， ； (2)米． (3)米； (4) 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据题意得出四边形是矩形，再根据锐角三角函数求解即可； （3）根据题意推出米，米，设米，在直角三角形中，利用锐角三角函数得出，进而解方程即可； （4）同（3）理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， （米）， （米）， 答：树高为米． （3）解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米， 米， 四边形是矩形， ，米， ， 米， 设米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， ，即米， 米， 答：的长为米； （4）解：由（3）可得，，， 设， 在和中，，， ， ， 解得：，即， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $