专题04 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

专题04 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 常考题型·精准突破 题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题（重） 题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题（重） 题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题（难） 题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题（难） 题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题（难） 题型6 解直角三角形应用与其他图形的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 2.如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形，当窗钩端点 B与点 O之间的距离是的位置时（如图2），窗户打开的角的度数为． (1)求点A到的距离的长； (2)求窗钩的长度 （精确到)（参考数据： ） 3．（2026·山西临汾·三模）项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） (1)求拉绳的长度； (2)求支撑杆伸长后的高度． ◆题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 4．三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，． (1)若关闭折伞后，点、、三点重合，点与点重合，求的长度； (2)在（1）的条件下，折伞完全撑开时，，则点到伞柄距离为多少． 5．图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 6．（2025·江苏镇江·二模）现代化的写字楼为了优化室内通风效果，特别设计了一种可调整角度的平开窗．窗户推开不同角度时，室内通风效果会有所不同．             把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)滑撑支架中的长度为__________，滑动轨道的长度是__________． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点A多远的位置？（参考数据，结果保留根号） ◆题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题 7．（2026·四川成都·模拟预测）如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 8．如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． (1)当时，求的长（结果保留整数）． (2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 9．如图为某游乐场摩天轮简化示意图．假日小明妈妈带着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮游玩，摩天轮直径为，小明乘坐A车厢，小刚乘坐B车厢，，妈妈站在摩天轮正下方P处（人身高不计），即于点P． (1)摩天轮转动后到达图（1）位置，妈妈仰望两人时发现，A、B两处车厢刚好在同一视线上，且此时仰角，求证：； (2)当摩天轮转动到图（2）位置时，妈妈看小明的视线刚好与相切于点A，平分． ①四边形是（   ） A．一般四边形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 ②求此时小刚所在的B处到地面的距离． ◆题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题 10．（2026九年级·吉林·专题练习）年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 11．（2026·河南商丘·模拟预测）图1和图2是一辆自卸式四轮车及其示意简图，货厢为矩形，对角线，交于点，车架大梁与地面平行，且点与地面的距离，卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点与对角线交点的水平距离叫作安全轴距，测得货厢的对角线为．假设该车在水平地面上进行卸货作业，． (1)求的长； (2)根据小贴士的资料，该四轮车是否会发生倾覆事故？说明理由．（参考数据：，，） 小贴士车辆使用说明特别警告，当安全轴距小于点与地面的距离时，会发生车辆倾覆事故． 12．（2026·江苏镇江·二模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． (1)求盲区线段的长； (2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， ◆题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题 13．（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 14．（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 15．（2026·安徽·模拟预测）综合与实践 【活动主题】 班级同学在老师带领下到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械零件． 【问题背景】 在如图所示的两块三角形铝板（和）上分别裁剪出矩形零件和正方形零件． 【工具准备】 卷尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】 测得，，，；，，． 【数据信息】 用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】 请你根据以上数据信息，解决下列问题： (1)求矩形的两条边长； (2)求正方形零件的面积． ◆题型6 解直角三角形应用与其他图形的综合问题 16．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 17．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 18．（2026·江苏苏州·二模）2026马年春晚的《武》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国机器人硬核实力．如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，点距地面的高度为．（参考数据：，，） (1)求的度数； (2)若点距地面的高度为，求小腿的长． 19．（2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，． (1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度． (2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）． （参考值：，，） 20．（25-26九年级下·上海·阶段检测）【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 2．如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图．若厘米，则门缝宽的长为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 3．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 4．图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 6．图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为 ．（结果保留根号） 7．我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为 ； 8．年莆田举办马拉松活动引入智能四足机器人机器狗作为赛事配速员，机器狗水平行走时侧面如图所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，当机器狗前脚直立时，侧面如图所示，此时，，三点刚好共线，不变，，则机器狗的身长 ． 三、解答题 9．如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点E，B，C在同一条直线上，，m，B是的一个三等分点（），四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若m，求雕塑的高（点E到的距离）．（结果精确到m，参考数据：，，） 10．如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 11．如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 12．如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． (1)求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； (2)求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 13．某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 14．小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．    (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． 15．如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为． (1)当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）； (2)根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？ （参考数据：，，） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 常考题型·精准突破 题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题（重） 题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题（重） 题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题（难） 题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题（难） 题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题（难） 题型6 解直角三角形应用与其他图形的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1. 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 2. 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）由锐角三角函数即可求出； （2）由锐角三角函数求出，然后利用，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 根据题意，可知，，． 在中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∴． 在中， 答：窗钩的长度约等于15cm． 3． 【答案】(1)拉绳的长度为米 (2)支撑杆伸长后的高度为米. 【分析】（1）根据三线合一，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 答：拉绳的长度为米； （2）解：由（1）和题意，可知，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 答：支撑杆伸长后的高度为米. ◆题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，有关闭折伞后，点A、E、H三点重合，得到，则，； （2）先求出得到，即可得到，求出，过F作于R，过G作于T，在上取一点Q使得，则，解直角三角形得到，设，则，利用勾股定理得到， 解得，即可得到，同理可得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）解：由题意得，当伞完全撑开时，三点共线， ∵ ， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合， ∴， 过F作于R，过G作于T，在上取一点Q使得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 5． 【答案】(1) 证明：∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形的应用； （1）根据正六边形的性质得出，，，进而可得，即可得证； （2）根据正六边形的性质得出是等边三角形，结合平行四边形的性质得出，，结合已知，进而解，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 6． 【答案】(1)8，69 (2)限位器应装在离A点的位置 【分析】本题考查了解直角三角形得应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，可得，从而得到结果； （2）作，在中，求出，从而得到长，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵四边形始终为平行四边形， ∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上， ， 故答案为：8，69； （2）过点作交于点， 依题意得， 四边形为平行四边形， ， ， 在中， ， ， 又， 根据勾股定理可得， ， 限位器的位置离A点． ◆题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题 7． 【答案】升降台能达到要求，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴总高度为 ∵， ∴升降台能达到要求． 【分析】过点作于点，由题意可得，，，求出，解直角三角形得出的长，即可得出结果． 【详解】略． 8． 【答案】(1)的长约为 (2)13 【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可． （2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可． 本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴． 故千斤顶升高了， 故答案为：13． 9． 【答案】(1) 证明：∵摩天轮直径为， ∴ 过点O作于点M， 在中， ∵，, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在中， ， ∴； (2)①B  ② 【分析】（1）过点O作于点M，在在中，，在中，，代入即可解题； （2）①根据平行四边形的定义证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可； ②延长交于点N，解直角三角形分别求出的长解题即可． 【详解】（1）略 （2）①解：∵是的切线， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形不会是菱形或矩形； 故选B； ②如图，延长交于点N， 在中， ， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴小刚所在的B处到地面的距离 ◆题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题 10． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 11． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】（1）根据矩形对角线相等且互相平分的性质，先得出，，再代入的长度即可求出的长； （2）过点作于点，即为题目中的安全轴距，在中利用三角函数求出长，再将其与比较大小，根据警示规则即可判断是否会发生倾覆事故． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点，即为题目中的安全轴距， ∴， 在中， ， ∴， ∵，， ∴，即安全轴距大于点与地面的距离， ∴该四轮车不会发生倾覆事故． 12． 【答案】(1)盲区中线段的长约为； (2)解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； （2）略． ◆题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题 13． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则， 在中， ， ， 解得， 14． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，， 可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为． 15． 【答案】(1)矩形的两条边长约为和； (2)正方形零件的面积为． 【分析】（1）过点作于点，在中，求出，在中，求出，，在中，求出，即得， （2）设正方形的边长为，可得，，，由，得，解得，即得正方形的面积， 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，在中，， ∵，， ∴， 在中，，， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：矩形的两条边长约为和； （2）解：设正方形的边长为， 即， 已知，，， 则在中，，， 在中，， 在中，， ∵，且， 即， 解得， ∴正方形的面积， 答：正方形零件的面积为． ◆题型6 解直角三角形应用与其他图形的综合问题 16． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 17． 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 (2)线段的长度约为 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【详解】（1）解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 18． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据，，得出，即点到地面的高度等于，根据，得出，在中，求出，结合，得出，则，即可求解． （2）根据，得出，延长交的延长线于，得出到地面高度，则，在中，解直角三角形求出．根据题意可得，结合求解即可． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴点到地面的高度等于， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，即， ∴， 延长交的延长线于， ∵，， ∴， ∴为水平线段，点和距地面高度相等，即到地面高度， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 根据题意可得， ∴． 19． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据三角函数求出的值，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可； （2）过点A作于点M，根据三角函数求出， ，进而求出，即可求出桌面的倾斜度． 【详解】（1）解：由题意可知：在中，， ． ，， ， ； （2）解：过点A作于点M． 在中，，， ， ， ， ． 20． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．B 3．D 4．B 二、填空题 5． 6． 7． 8．/ 三、解答题 9． 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为m 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）分别证明，，即可解答； （2）过点E作，交的延长线于点P，求出m，m，在中根据三角函数，求出，可求出雕塑的高，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点E作，交的延长线于点P． 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴m． ∵， ∴m， ∴m， ∴m 在中，m，，， ∴m． ∵m， ∴雕塑的高约为m． 10． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，正方形的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）连接，利用正方形的性质得出，得出，利用平行线的性质即可求出角的度数； （2）连接，过点B作，过点M作，H为垂足，利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，过点B作，过点M作，H为垂足. ∵， ∴.     ∵在中，， ， ∴， ， ∴在中，， ∴ 答:点M到地面的距离约为． 11． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 12． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用三角形函数求出相应的边的长度，再根据线段之间的关系求出结果． 过点作于点，在中，可知，从而求出的度数； 过点作于点，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，在求出，在中，求出，从而可知，在中，求出，从而可求． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 则， 在中，， ， 答：小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数约为； （2）解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 点与在同一条直线上， ， ， 由旋转可知， 在中，， ， 答：小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离约为． 13． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 14． 【答案】(1)该介质的折射率为 (2)的长为 【分析】（1）先求出，再根据介质的“折射率”定义计算即可； （2）根据（1）中折射率分别求出，，再求出，，根据即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 即该介质的折射率为； （2）解：∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ． 15． 【答案】(1) (2)至少调整到 【分析】（1）连接，延长交于点，延长交于点，利用，，求出的度数，利用三角函数求出，，最后用求出最后结果． （2）由（1）可知，所以，根据题意得出，利用已知可求出，再得出最后结果即可． 【详解】（1）如图，连接，延长交于点，延长交于点． 由菱形的轴对称性可知，，， 为与之间的距离，即两滑槽间的距离， ，， ， ． 同理， ， 两滑槽间的距离为． （2）如图，由（1）可知， ， 由题意可得，， 即， ， ， ， 至少调整到． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 常考题型·精准突破 题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题（重） 题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题（重） 题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题（难） 题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题（难） 题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题（难） 题型6 解直角三角形应用与其他图形的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 2.如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形，当窗钩端点 B与点 O之间的距离是的位置时（如图2），窗户打开的角的度数为． (1)求点A到的距离的长； (2)求窗钩的长度 （精确到)（参考数据： ） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）由锐角三角函数即可求出； （2）由锐角三角函数求出，然后利用，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 根据题意，可知，，． 在中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∴． 在中， 答：窗钩的长度约等于15cm． 3．（2026·山西临汾·三模）项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） (1)求拉绳的长度； (2)求支撑杆伸长后的高度． 【答案】(1)拉绳的长度为米 (2)支撑杆伸长后的高度为米. 【分析】（1）根据三线合一，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 答：拉绳的长度为米； （2）解：由（1）和题意，可知，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 答：支撑杆伸长后的高度为米. ◆题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 4．三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，． (1)若关闭折伞后，点、、三点重合，点与点重合，求的长度； (2)在（1）的条件下，折伞完全撑开时，，则点到伞柄距离为多少． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，有关闭折伞后，点A、E、H三点重合，得到，则，； （2）先求出得到，即可得到，求出，过F作于R，过G作于T，在上取一点Q使得，则，解直角三角形得到，设，则，利用勾股定理得到， 解得，即可得到，同理可得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）解：由题意得，当伞完全撑开时，三点共线， ∵ ， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合， ∴， 过F作于R，过G作于T，在上取一点Q使得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 5．图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) 证明：∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形的应用； （1）根据正六边形的性质得出，，，进而可得，即可得证； （2）根据正六边形的性质得出是等边三角形，结合平行四边形的性质得出，，结合已知，进而解，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 6．（2025·江苏镇江·二模）现代化的写字楼为了优化室内通风效果，特别设计了一种可调整角度的平开窗．窗户推开不同角度时，室内通风效果会有所不同．             把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)滑撑支架中的长度为__________，滑动轨道的长度是__________． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点A多远的位置？（参考数据，结果保留根号） 【答案】(1)8，69 (2)限位器应装在离A点的位置 【分析】本题考查了解直角三角形得应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，可得，从而得到结果； （2）作，在中，求出，从而得到长，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵四边形始终为平行四边形， ∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上， ， 故答案为：8，69； （2）过点作交于点， 依题意得， 四边形为平行四边形， ， ， 在中， ， ， 又， 根据勾股定理可得， ， 限位器的位置离A点． ◆题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题 7．（2026·四川成都·模拟预测）如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】升降台能达到要求，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴总高度为 ∵， ∴升降台能达到要求． 【分析】过点作于点，由题意可得，，，求出，解直角三角形得出的长，即可得出结果． 【详解】略． 8．如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． (1)当时，求的长（结果保留整数）． (2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为 (2)13 【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可． （2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可． 本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴． 故千斤顶升高了， 故答案为：13． 9．如图为某游乐场摩天轮简化示意图．假日小明妈妈带着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮游玩，摩天轮直径为，小明乘坐A车厢，小刚乘坐B车厢，，妈妈站在摩天轮正下方P处（人身高不计），即于点P． (1)摩天轮转动后到达图（1）位置，妈妈仰望两人时发现，A、B两处车厢刚好在同一视线上，且此时仰角，求证：； (2)当摩天轮转动到图（2）位置时，妈妈看小明的视线刚好与相切于点A，平分． ①四边形是（   ） A．一般四边形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 ②求此时小刚所在的B处到地面的距离． 【答案】(1) 证明：∵摩天轮直径为， ∴ 过点O作于点M， 在中， ∵，, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在中， ， ∴； (2)①B  ② 【分析】（1）过点O作于点M，在在中，，在中，，代入即可解题； （2）①根据平行四边形的定义证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可； ②延长交于点N，解直角三角形分别求出的长解题即可． 【详解】（1）略 （2）①解：∵是的切线， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形不会是菱形或矩形； 故选B； ②如图，延长交于点N， 在中， ， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴小刚所在的B处到地面的距离 ◆题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题 10．（2026九年级·吉林·专题练习）年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 11．（2026·河南商丘·模拟预测）图1和图2是一辆自卸式四轮车及其示意简图，货厢为矩形，对角线，交于点，车架大梁与地面平行，且点与地面的距离，卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点与对角线交点的水平距离叫作安全轴距，测得货厢的对角线为．假设该车在水平地面上进行卸货作业，． (1)求的长； (2)根据小贴士的资料，该四轮车是否会发生倾覆事故？说明理由．（参考数据：，，） 小贴士车辆使用说明特别警告，当安全轴距小于点与地面的距离时，会发生车辆倾覆事故． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】（1）根据矩形对角线相等且互相平分的性质，先得出，，再代入的长度即可求出的长； （2）过点作于点，即为题目中的安全轴距，在中利用三角函数求出长，再将其与比较大小，根据警示规则即可判断是否会发生倾覆事故． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点，即为题目中的安全轴距， ∴， 在中， ， ∴， ∵，， ∴，即安全轴距大于点与地面的距离， ∴该四轮车不会发生倾覆事故． 12．（2026·江苏镇江·二模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． (1)求盲区线段的长； (2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， 【答案】(1)盲区中线段的长约为； (2)解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； （2）略． ◆题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题 13．（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则， 在中， ， ， 解得， 14．（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，， 可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为． 15．（2026·安徽·模拟预测）综合与实践 【活动主题】 班级同学在老师带领下到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械零件． 【问题背景】 在如图所示的两块三角形铝板（和）上分别裁剪出矩形零件和正方形零件． 【工具准备】 卷尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】 测得，，，；，，． 【数据信息】 用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】 请你根据以上数据信息，解决下列问题： (1)求矩形的两条边长； (2)求正方形零件的面积． 【答案】(1)矩形的两条边长约为和； (2)正方形零件的面积为． 【分析】（1）过点作于点，在中，求出，在中，求出，，在中，求出，即得， （2）设正方形的边长为，可得，，，由，得，解得，即得正方形的面积， 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，在中，， ∵，， ∴， 在中，，， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：矩形的两条边长约为和； （2）解：设正方形的边长为， 即， 已知，，， 则在中，，， 在中，， 在中，， ∵，且， 即， 解得， ∴正方形的面积， 答：正方形零件的面积为． ◆题型6 解直角三角形应用与其他图形的综合问题 16．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 17．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 (2)线段的长度约为 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【详解】（1）解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 18．（2026·江苏苏州·二模）2026马年春晚的《武》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国机器人硬核实力．如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，点距地面的高度为．（参考数据：，，） (1)求的度数； (2)若点距地面的高度为，求小腿的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据，，得出，即点到地面的高度等于，根据，得出，在中，求出，结合，得出，则，即可求解． （2）根据，得出，延长交的延长线于，得出到地面高度，则，在中，解直角三角形求出．根据题意可得，结合求解即可． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴点到地面的高度等于， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，即， ∴， 延长交的延长线于， ∵，， ∴， ∴为水平线段，点和距地面高度相等，即到地面高度， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 根据题意可得， ∴． 19．（2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，． (1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度． (2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）． （参考值：，，） 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据三角函数求出的值，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可； （2）过点A作于点M，根据三角函数求出， ，进而求出，即可求出桌面的倾斜度． 【详解】（1）解：由题意可知：在中，， ． ，， ， ； （2）解：过点A作于点M． 在中，，， ， ， ， ． 20．（25-26九年级下·上海·阶段检测）【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图．若厘米，则门缝宽的长为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过作于，过作于，证明，结合，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 由题意可得：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴（厘米）； 故选：B 3．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 4．图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，连结，设与的交点为O，由题意可知四边形为菱形，故，在中，，可求出的值，进一步可求出答案． 【详解】解：连结，设与的交点为O，如图， ， 四边形为菱形， ， 在直角三角形中，， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 6．图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过作于，解直角三角形即可得到；过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 【详解】解：过作于． ． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 过作交的延长线于， ， ∴拉杆端点到水平滑杆的距离为． 故答案为：． 7．我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为 ； 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，函数关系式，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的中点定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：． 8．年莆田举办马拉松活动引入智能四足机器人机器狗作为赛事配速员，机器狗水平行走时侧面如图所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，当机器狗前脚直立时，侧面如图所示，此时，，三点刚好共线，不变，，则机器狗的身长 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段合理分割，整理到直角三角形中进行求解，是解决本题的关键．图中，作于点，于点，分别求得和的长度相加即为离地面的高度；图中，作于点，易得的度数，分别判断出和的长度，相减即为的长度，进而可得的长度，减去的长度，即为机器狗的身长． 【详解】解：图中，于点，作于点，则，，， 四边形，四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点E，B，C在同一条直线上，，m，B是的一个三等分点（），四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若m，求雕塑的高（点E到的距离）．（结果精确到m，参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为m 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）分别证明，，即可解答； （2）过点E作，交的延长线于点P，求出m，m，在中根据三角函数，求出，可求出雕塑的高，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点E作，交的延长线于点P． 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴m． ∵， ∴m， ∴m， ∴m 在中，m，，， ∴m． ∵m， ∴雕塑的高约为m． 10．如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，正方形的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）连接，利用正方形的性质得出，得出，利用平行线的性质即可求出角的度数； （2）连接，过点B作，过点M作，H为垂足，利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，过点B作，过点M作，H为垂足. ∵， ∴.     ∵在中，， ， ∴， ， ∴在中，， ∴ 答:点M到地面的距离约为． 11．如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 12．如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． (1)求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； (2)求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用三角形函数求出相应的边的长度，再根据线段之间的关系求出结果． 过点作于点，在中，可知，从而求出的度数； 过点作于点，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，在求出，在中，求出，从而可知，在中，求出，从而可求． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 则， 在中，， ， 答：小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数约为； （2）解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 点与在同一条直线上， ， ， 由旋转可知， 在中，， ， 答：小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离约为． 13．某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 14．小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．    (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． 【答案】(1)该介质的折射率为 (2)的长为 【分析】（1）先求出，再根据介质的“折射率”定义计算即可； （2）根据（1）中折射率分别求出，，再求出，，根据即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 即该介质的折射率为； （2）解：∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ． 15．如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为． (1)当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）； (2)根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)至少调整到 【分析】（1）连接，延长交于点，延长交于点，利用，，求出的度数，利用三角函数求出，，最后用求出最后结果． （2）由（1）可知，所以，根据题意得出，利用已知可求出，再得出最后结果即可． 【详解】（1）如图，连接，延长交于点，延长交于点． 由菱形的轴对称性可知，，， 为与之间的距离，即两滑槽间的距离， ，， ， ． 同理， ， 两滑槽间的距离为． （2）如图，由（1）可知， ， 由题意可得，， 即， ， ， ， 至少调整到． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $