专题01 锐角三角函数与解直角三角形问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

专题01 锐角三角函数与解直角三角形问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 题型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 题型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型四、含特殊角的三角函数值的混合运算 题型五、解直角三角形的相关计算 题型六、解非直角三角形 题型七、锐角的三角函数中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：涉及直角三角形中边角互求、仰角俯角、坡度坡角及方位角，常结合实际问题与辅助线构造。 - **解题方法**：牢记 sin/cos/tan 定义及特殊角值；已知一边一角或两边解直角三角形；实际问题化归为直角三角形，必要时作高分割；坡度i=tan。 - **易错提醒**：混淆正弦余弦对应边；特殊角函数值记错；仰俯角与水平线关系判断错误；坡度是正切而非正弦；结果未按要求取近似值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 典例1（26-27九年级下·全国·课后作业）在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 【答案】 【分析】根据正方体性质可得，，再根据勾股定理和各三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在如图所示的正方体中，，， 设， ∴， ∴， ∴，，． 题型模版 1.特征：在直角三角形中，已知边长或角度，求锐角三角函数值，需分清对边、邻边、斜边。 2.方法：确定所求角的对边、邻边、斜边，按定义 sin=对/斜，cos=邻/斜，tan=对/邻 代入计算。 变式1-1（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由正方形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，推出，根据条件求出，再根据，即可． 【详解】解：如图①，连接交于点，连接， 由题意，得四边形是正方形， ，，，，， 由题意，得， ， ， ， ， 在中，， ， ． 变式1-2（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 变式1-3（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 题型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 典例2（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【分析】先由锐角正切的定义结合已知条件求出直角边的长度，再通过勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 题型模版 1.特征：已知锐角三角函数值和一边长，求直角三角形其他边长，需选对三角函数。 2.方法：根据已知角和边，选择合适三角函数（sin、cos、tan）列比例式，代入已知值解方程求边长。 变式2-1（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2-2（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，D为AB的中点．若，则AC的长为_______． 【答案】12 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故答案为： ． 变式2-3（2026·浙江丽水·模拟预测）在中，，，，点在上，以，为邻边作，连接交于点．若点在的中垂线上，则的长是______． 【答案】 【分析】过点A作于点H，由三线合一定理得到，解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得，解方程可推出，；由勾股定理得；证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； ∵点在的中垂线上， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 题型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 典例3（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 题型模版 1.特征：已知角或三角函数值含特殊角（30°、45°、60°），判断三角形形状。 2.方法：由三角函数值反推角度，结合三角形内角和求其余角，根据角或边关系判定形状（如等腰、直角）。 变式3-1在中，若，，都是锐角，则的形状是__________． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 变式3-2（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 变式3-3（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 题型四、含特殊角的三角函数值的混合运算 典例4（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型模版 1.特征：算式中含30°、45°、60°的三角函数值及加减乘除乘方，需代入特殊值计算。 2.方法：先代入特殊角三角函数值，再按实数运算顺序（先乘方、再乘除、后加减）计算，注意符号。 变式4-1（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 变式4-2（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4-3（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)已知是锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：∵已知是锐角，， ∴， ∴ 题型五、解直角三角形的相关计算 典例5（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）在中，，求b的长及的度数． 【答案】， 【分析】根据三角函数求出的正弦值，得出的度数，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 则， ， ． ． 题型模版 1.特征：已知直角三角形中除直角外的两个元素（至少一边），求其余边角。 2.方法：根据已知元素选择合适三角函数或勾股定理，列方程求解，注意内角和为180°及边角对应关系。 变式5-1（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，已知，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 变式5-2（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，求的长，的值． 【答案】； 【分析】先在中由求出，再利用勾股定理求出，最后根据余弦定义求出的值即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 变式5-3（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，已知，，求的长． 【答案】 【分析】设，在中根据正弦定义用含的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，在中，，根据正弦定义得 ， 则， 由勾股定理，得 ， 代入，，，得 ， 解得（负值已舍去）， 即． 题型六、解非直角三角形 典例6（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，则求的长． 【答案】 【分析】过作，根据三角函数定义求出，再在中，解直角三角形求出，最后求出结果即可． 【详解】解：过作于点D， 在中，，， ， 在中，， ，即， 根据勾股定理得：， 题型模版 1.特征：非直角三角形中已知边角，求未知边角，需作高线构造直角三角形转化为可解问题。 2.方法：作高线分割为两个直角三角形，设高为公共边，用三角函数或勾股定理列方程，联立求解。 变式6-1（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 变式6-2（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中利用三角函数求出，由即可求解； （2）分别在和中利用勾股定理求出、，再根据正弦定义求出即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ； （2）解：在中，， 在中，， ． 变式6-3（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：是上的高， ， ，． 在和中， ，， 又， ， ． (2)8 (3) 【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等． （2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算． （3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴可设，， ∵， ． ，又， ． ∵， ， ， ． （3）解：设，，， ∵， ∴， ． ， 则， ， ∴， ∴， 解得， ． 题型七、锐角的三角函数中的新定义问题 典例7（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型模版 1.特征：定义新的三角函数关系（如“余切”“正割”或新运算），按定义求值或化简。 2.方法：将新定义转化为直角三角形边比或已知三角函数式，代入角度或边长，用三角函数公式计算。 变式7-1（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 变式7-2阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 变式7-3（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄金三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄金三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄金三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄金三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 3．（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，求出，，．根据得，从而可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 在中，． ， ， ， ． 在中，， ， ． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 二、填空题 6．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【分析】结合为锐角的取值范围，利用特殊角的余弦值确定的度数，进而求解的值． 【详解】解：∵为锐角 ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴． 7．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正切、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握正切的定义是解题关键．过点作于点，先根据等边三角形的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再设每个小等边三角形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，然后根据正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设每个小等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 8．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 【答案】 【分析】设，则，，可得，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵在中，，分别为斜边上的高和中线， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．（2026·上海奉贤·三模）如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 【答案】或1 【分析】①当时，如图，过P作于E，过C作于F，则可得，证明，则，，由勾股定理可得，则可得，，根据正切的定义即可求出的正切值． ②当时，可证四边形是正方形，则，进而可得的正切值． 【详解】解：①当时，如图，过P作于E，过C作于F， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的正切值是或1． 10．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形性质求出，分点在上和上两种情况，再分别讨论和，利用三角函数计算长并验证点是否在边上． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在中， ， ， 当点在边上时，， ①若， 在Rt中，； ②若， 在Rt中，； 当点在边上时， ③若， 在Rt中，； ④若， 在Rt中，， 作于， 设， ， ， ， ， ， ， 前三种情况点均在边上，符合题意， ， 第四种情况点在延长线上，舍去， 综上所述，的长是或或． 三、解答题 11．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 12．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，求，的长． 【答案】， 【分析】解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出，利用含30度角直角三角形的性质求出，然后结合勾股定理即可求解． 【详解】解：， 在中，，， ， ． 在中，， ， ， ． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，根据下列条件解直角三角形： (1)已知，求的长； (2)已知，求的度数； (3)已知，求的长； (4)已知，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）已知两条直角边长，利用勾股定理求斜边的长； （2）已知的邻边与斜边长，通过余弦值结合特殊角三角函数求的度数； （3）已知斜边长与的度数，利用的余弦求邻边的长； （4）已知的邻边长与角度，利用的正切求对边的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵为锐角， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 15．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】(1)解：画图如下： 则点P即为所求． (2)解：画图如下： 则点Q即为所求． (3)解：画图如下： 则点M即为所求． 【分析】（1）根据题意，得，根据，只需作即可； （2）作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，解答即可； （3）根据三角形相似的判定和性质，得到，根据正切函数的定义，得到． 【详解】（1）解：根据题意，得，作，则， 画图略， 则点P即为所求． （2）解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略． 则点Q即为所求． （3）解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到， 则点M即为所求，画图略． 16．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 17．（26-27九年级下·全国·课后作业）在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ， 在中，，，， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ， ． ②如图，作交于点，使， ∴， 则， 设，则， ， 设点到，边上的距离为， ∴， ∵， ，即， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ． 18．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）新定义：三角形中的两个内角与，若满足，则称该三角形为“差余三角形”，是的差余角． (1)概念理解： ①若是“差余三角形”，是的差余角，，则_________； ②若是“差余三角形”，有个角为，则三边长的比为_________； (2)拓展探索： 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上位于第一象限内的点，若是“差余三角形”，且是的差余角，求的值． (3)灵活运用： 如图2，，点在射线上，且，点在射线上，若是“差余三角形”，直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理与新定义计算与； ②容易判断是顶角为的等腰三角形，利用等腰三角形的性质与解直角三角形求出三边比即可； （2）利用一次函数的解析式计算出与，容易证明，则，进而得到，因此； （3）分四类讨论，当是的差余角时，作于点，通过解直角三角形计算出与，进而计算出；当是的差余角时，同理求解即可；当是的差余角时，作交于点，先计算出与，容易证明，则，进而计算出；当是的差余角时，同理求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∴； ②∵， ∴，即为钝角， ∴，， ∵， ∴是顶角为的等腰三角形， 如图，在中，，，，作于点，设， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴； （2）解：将代入，得；将代入，得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵是的差余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解： ①当是的差余角时，如图，作于点， ∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， 同理，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，； ②当是的差余角时，如图，作于点， 在中，， 由勾股定理可得，， 同理①可知，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴； ③当是的差余角时，如图，作交于点， 在中，， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ④当是的差余角时，如图，作交于点， 由③可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01锐角三角函数与解直角三角形问题的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 题型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 题型三、 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型四、含特殊角的三角函数值的混合运算 题型五、解直角三角形的相关计算 题型六、解非直角三角形 题型七、锐角的三角函数中的新定义问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 *题型特征*：涉及直角三角形中边角互求、仰角俯角、坡度坡角及方位角，常结合实际问题与辅助线 构造。 ·*解题方法*：牢记si/cos/tan定义及特殊角值；已知一边一角或两边解直角三角形；实际问题化归为 直角三角形，必要时作高分割；坡度ianc。 ·*易错提醒*：混淆正弦余弦对应边；特殊角函数值记错；仰俯角与水平线关系判断错误；坡度是正切 而非正弦；结果未按要求取近似值。 ◆◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，奔尖解题振基 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 sin∠BD,B, cos∠BD,B, 典例1(26-27九年级下·全国课后作业)在如图所示的正方体中， 的值为 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠BD,B, 的值为 的值为 B D 题型模版 1特征：在直角三角形中，已知边长或角度，求锐角三角函数值，需分清对边、邻边、斜边。 2.方法：确定所求角的对边、邻边、斜边，按定义sin=对/斜，cos=邻/斜，tan=对/邻代入计算。 变式1-1(26-27九年级下全国课后作业)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A,B,C,D都在 这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P,则tan∠APD的值为 A D B 变式1-2(2026江苏盐城中考真题)如图，小明先将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再将△ABC纸片 沿CD方向平移到△EAD处，BC与AD重合，连接EC.若AB=2,BC=3,则sin∠ACE的值为 变式1-3(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)已知矩形ABCD中，若AB=4,BC=2,点E为CD 的中点，F为B上一点，连接EF、DF,EF=V5 则cos∠EDF= 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、已知正弦、余弦、正切值求边长 典例2(26-27九年级下全国课后作业)在Rt公4BC中，∠C=900,BC=15,an4=15 8,则AB的长为 题型模版 1特征：已知锐角三角函数值和一边长，求直角三角形其他边长，需选对三角函数。 2.方法：根据已知角和边，选择合适三角函数(sin、cos、tan)列比例式，代入已知值解方程求边长。 变式2-1(26-27九年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于 点F.AB=3,AD=6,BE=4,则DF=」 D B E 变式2-2(2025九年级全国专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点.若 CD=10,cosB=4 =5,则AC的长为 变冠23C2026新江丽水模拟预刻》在。4BC中，1份=A4C,m8 =4,BC=8,点D在AB上，以AC, AD为邻边作口ADEC,连接AE交BC于点F.若点F在AC的中垂线上，则CE的长是 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 典例3(25-26九年级上山东济南阶段检测)在△ABC中，若∠A,∠B都是锐角，且 sin 4=2 2, tanB=l,则△ABC的形状是 题型模版 1.特征：已知角或三角函数值含特殊角(30°、45°、60°)，判断三角形形状。 2方法：由三角函数值反推角度，结合三角形内角和求其余角，根据角或边关系判定形状（如等腰、直 角)。 3 变式31在BC中，若 -cos B =0 ∠A'∠B都是锐角，则。4BC的形状是 变式3-2(25-26九年级上山东枣庄阶段检测)在AMBC中，5anA-+(V5-2cosB=0,则AABC是 三角形，（填“锐角”“直角”或“钝角”） 都是锐角，则△ABC是三角形. 题型四、含特殊角的三角函数值的混合运算 典例4(26-27九年级上·黑龙江大庆阶段检测)计算： 2 2cos60°+4sin60°-V12 23tan45°+25-2-（π-5j°. 题型模版 1特征：算式中含30°、45°、60°的三角函数值及加减乘除乘方，需代入特殊值计算。 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：先代入特殊角三角函数值，再按实数运算顺序（先乘方、再乘除、后加减）计算，注意符号。 变式41(26-27九年级上·山东济宁阶段检测)计算： (1)cos60°-3tan30°+sin45°.cos45°， (2②sin60Pcos30°+sin230°-tan450 变式42(26-27九年级上山东泰安阶段检测)计算： (1)）tan60°+V2sin45°-2cos30° 、tan230°-2sin30tan45°+8cos260° (2 变式43(26-27九年级上山东泰安阶段检测)计算： (1)sin60-tan0ctan45 2-2+sin36°- 1 √4+tan45o (3)已知C是锐角， sina=② 2,求3cos2a+sin(a-l5)tan(a+15)-V3cos(a-l5)的值. 题型五、解直角三角形的相关计算 典例5(26-27九年级上湖南岳阳阶段检测)在R1△4BC中，∠C=90,c=36,a=33 求b的长及∠B 的度数. 题型模版 1特征：已知直角三角形中除直角外的两个元素（至少一边），求其余边角。 2.方法：根据己知元素选择合适三角函数或勾股定理，列方程求解，注意内角和为180°及边角对应关系。 变式5-1(26-27九年级上山东淄博阶段检测)在Rt△ABC中，己知∠C=90°，c=128,∠B=60°，解这个 直角三角形。 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 变式5-2(26-27九年级上·陕西西安阶段检测)如图，在Rt△4BC中，∠C=90°，BC=6,amM=4,求 AB的长，CosB的值. B 变式5-3(26-27九年级下全国单元复习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，己知 n4=V5 5,AC=4, 求BC的长. 题型六、解非直角三角形 4,tanC=1 奥圆6(26-27九年级上全国单元测试)如图，在AC中，smB=号， 2,AB=4:则求4C的 长 B 题型模版 1特征：非直角三角形中己知边角，求未知边角，需作高线构造直角三角形转化为可解问题。 2方法：作高线分割为两个直角三角形，设高为公共边，用三角函数或勾股定理列方程，联立求解。 变式61(26-27九年级上山东泰安·阶段检测)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD, 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=AD,∠B=45,AB=4: tanC=！ 4· B D (I)求BC的长； (2)求tan∠ADB 变式6-2(26-27九年级下全国单元复习)如图，在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，CD是AB边上的高线. 白知AC=6,AB=3N5,且o1≤5 3 B (I)求BD的长： (2)求sinB的值. 变式6-3(26-27九年级上江苏苏州·阶段检测)如图，在△ABC中，AD是BC上的高，anB=cos∠DAC, (I)求证：AC=BD: ②)若sin☑C=3,BC=12,求D的长， (3)若AB⊥AC,求CosC的值. 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七、锐角的三角函数中的新定义问题 典例7(2025·四川攀枝花中考真题)如图，己知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、 b、c. B a 6 (1)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1: (2)若sin4= 3,求cosA的值. 题型模版 1特征：定义新的三角函数关系（如“余切”“正割”或新运算），按定义求值或化简。 2方法：将新定义转化为直角三角形边比或已知三角函数式，代入角度或边长，用三角函数公式计算。 变式7-1(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了 锐角三角函数，根据其定义又得30、450等特殊角的三角函数值，如sin30° 2,sin45°= 2, cos300= 2，cos450=V2 ,聪明的小明同学思考：150：75的角也是比较特殊的角，它们可以通过30， 45°角的和差得到，那么15°，75°角的三角函数值是否可以用30°，45°角的三角函数值而得到呢？小明同 学探究发现，是可以的，如 sin75°=sin(30°+45）=sin30°eos45°+cos30°，sin45°=xy2+5xV2_V6+v2 22224 小明同学继续探索， 可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助 其完成 和角公式的探索：如图①，△ABC是锐角三角形. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B D 图① 备用图 图② ①若AB=4'AC=3,s∠BAC=5,求A4BC的面积： (②)设a,P都为锐角且∠BAC=α+B,请在△ABC中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式： sin(a+B)=sina-cosβ+cosa·sinβ (3)如图②，点D是AABC边BC上的一点，若∠B=45°，tan∠BMD=3 3,AD=210,CD=4V2,则 △ADC的面积为 变式7-2阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： sin30°=2 cos30 2,则sin230°+cos230°= ；① sin45°-V2 2, c0s45°=V2 2,则sin245°+cos245°= ；② 1 sin60°= 3 ,C0s60°= 2 2,则sin260°+c0s9260=—:③ … 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A,都有sin2A+cos2A= ④ B (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想. 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2少已知∠A为锐角，且n4-房。求cs4的值 变式7-3(2025广西南宁·三模)【定义】有一个内角是36°的等腰三角形是黄金三角形，图1和图2是黄金 三角形的两种分类。 【判定】(I)如图3，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且AB=BD,AD=CD,请写出图中存 在的黄金三角形并说明理由： 【性质】(2)在(1)的条件下，若BCl,求AB的长度： 【应用】(3)如图4，在RtAABC中，∠C=90°，∠B=36°，求cos36°. 369 B360 36° B AB-AC,∠A=36°AB=AC,∠B-36° 图1 图2 图3 图4 同压轴挑战一支克离难压轴，突威思维上保 一、单选题 1.(26-27九年级下全国课后作业)在△ABC中，∠C=90°，则下列等式不成立的是() BC A.sinA= AB B.sinB=AC AB C.cos4=4C D.cosB=BC AB 2.(23-24九年级上山东青岛阶段检测)在△ABC中，∠A,∠C都是锐角， sin 4-cos(90-C)- 2 则△ABC的形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 3.(26-27九年级上·湖南株洲阶段检测)如图，在菱形ABCD中，DE1AB, C0s4=3 ,AE=3,则BE 的长是() 10/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B A.5 B.2 c. D.2N5 4（2627九年级上全国单元测试)如图所示。在AABC中，∠C=150,AC=4,aB 8则BC的长 为() B C A.16-v5 B.16-2V5 C.16-3V5 D 16-4v3 5.(25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测)构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现. 在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D,使BD=AB,连接 D,得2D=15,令4C=,则4B=D=2,BC=5 ,所以 tanl5°=4C、1 2-√5 CD2+3(2+5)2-3) =2-V3 -5.类比这种方法，计算am2.5的值为（） 307 15T B D A.V2+1 B.V2-1 C.2 D. 二、填空题 os(a+10)= 6.(26-27九年级上山东淄博期中)已知为锐角，且 2,则a= 度 7.(23-24九年级上江西吉安·期末)如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是网格的格点，连接AB,则tan∠ABC的值为_ 8.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在△ABC中，CD,CE分别为斜边AB上的高和中线， a BC=a,AC=bb>a),若tan∠DCE=2,则方= B 9.(2026上海奉贤三模)如图，已知等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°，AC=BC=2.将边AC绕点 A顺时针旋转 (0<a≤90°) 得到AP,连接CP、PB,如果△PBC是以BP为腰的等腰三角形，那么 ∠BCP的正切值是 C B 10.(26-27九年级上：江西九江阶段检测)已知在口ABCD中，∠ABC=105°，对角线AC、BD交于点 O,∠DAC=30°，AC=6,点P从点B出发，沿着BC方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若 aOPC是直角三角形，则CP的长是 O B 三、解答题 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(26-27九年级上湖南岳阳阶段检测)计算： 2sin60°+(2-V5)°--tan60-(-1)22 2(26-27九年级下全国课后作业)如图，在。4BC中，D1BC,B=30°，SimC= 5,AC=10: 求AB,BC的长 D 13.(26-27九年级上全国课后作业)在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： BC=6v15,AC=6V5 (1)已知 5,求MB的长： (2)已知 C=20,AB=20N ,求B的度数 (3)已知AB=30,∠A=60°，求AC的长： (④已知AC=15,∠A=30°，求BC的长. 14.(26-27九年级上福建泉州阶段检测)如图，在Rt△4BC中，∠B=90°，D平分∠BAC,siC= 5， AC=5 (1)求BC的长： (2)求tan∠BAD的值. 15.(26-27九年级上·吉林长春阶段检测)如图①、图②、图③均是7×6的正方形网格，每个小正方形的 边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定 的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② 图③ ①在图O中的边4C上画点p,连接p,使am∠CBP- 3; (2)在图②中的边AC上画点，连接BQ,使tan∠ABQ=1, ③)在图@中的边4C上画点M,连接BM,使am∠ABM-} · 16.(26-27九年级上湖南岳阳阶段检测)如图，在口ABCD中，点E是AB的中点，AF⊥BC,且 AF=FC=3,BF=1. (I)求EF的长： (2)求tan∠ADE的值. 17.(26-27九年级下·全国课后作业)在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的 三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究， B 图① 图② (四【实践探究】在解决“如图O,若在Rt△ABC中，∠C=90°，4C=2,BC=1,求an2的值”这一 问题时，小华想胸蓝包含A的直分=角形，延长C4到点D:传DA=AB:连接BD:则2D=号A, 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即转化为求∠D的正切值.请按小华的思路求出an2的值. @【拓展延伸】如图2，若在RA4BC中，C909,C-3,an4 3,则： ①tan2A的值为_； ②tan3A的值为_ 18.(26-27九年级上江苏常州阶段检测)新定义：三角形中的两个内角α与P,若满足a-B=90°，则 称该三角形为“差余三角形”，B是α的差余角. 图1 图2 (1)概念理解： ①若△ABC是“差余三角形”，∠B是∠A的差余角，∠B=40°，则∠C= ②若△ABC是“差余三角形”，有个角为120°，则三边长的比为 (2)拓展探索： 2 如图1，直线1：y=专x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C为直线上位于第一象限内的点，若 BC AOAC是“差余三角形”，且∠A是∠4OC的差余角，求AB的值. (3)灵活运用： 如图2， sin∠Maw= 5,点B在射线AM上，且AB=2,点C在射线AN上，若△ABC是“差余三角 形”，直接写出AC的长. 15/15