学考专题12 统计与概率：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题12 统计与概率 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 分层抽样的计算 考点二 平均数，众数，中位数及百分位数 考点三 标准差与方差的应用 考点四 频率分布直方图的应用 考点五 事件关系的判断 考点六 概率的计算 考点七 古典概型的计算 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 统计 分层抽样的计算 理解分层抽样的特点，掌握抽样比例，能够根据总体、各层数量计算抽取样本数量，也可由样本抽取数量反求总体容量 理解（会求） 选择、填空 平均数，众数，中位数及百分位数 理解平均数、众数、中位数、百分位数的定义，掌握计算方法，能根据原始数据、统计图表求解对应统计量 掌握 选择、填空 标准差与方差 理解方差、标准差的统计意义，掌握计算方法，会利用方差、标准差比较多组数据的波动稳定性，掌握数据线性变换后方差、均值的变化规律 理解 选择、填空 频率、频率分布直方图 读懂频率分布直方图，掌握频率、频数、样本容量之间的换算，能够借助直方图估算平均数、中位数、百分位数 理解（会求） 选择、填空 概率 事件关系的判断 理解包含、互斥、对立、独立事件的定义，能够辨析不同事件之间的逻辑关系，区分互斥事件与对立事件 理解（判断） 选择、填空 概率的计算 理解概率的基本性质，掌握互斥事件的概率加法公式，会利用对立事件间接求解概率，会求相互独立事件的概率 掌握 选择、填空 古典概型的计算 识别古典概型，能列举试验的基本事件，统计基本事件总数与目标事件包含的基本事件数，计算古典概型概率 掌握 选择、填空 1、抽样方法 （1）简单随机抽样： 定义：从总体N个个体中，逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），且每个个体被抽到的概率相等（均为n/N）； 常用方法：抽签法（适用于总体容量较小）、随机数表法（适用于总体容量较大）； 核心特征：等概率性、不放回性； 适用场景：总体个体差异较小，总体容量不大。 （2）分层抽样： 定义：将总体按某种特征分成若干层（互不交叉），再从每一层中按比例抽取个体组成样本； 抽样比：每层抽取的个体数/该层个体总数=样本容量n/总体容量N； 核心特征：按比例抽样，兼顾层内一致性与层间差异性； 适用场景：总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄、成绩分层）。 （3）系统抽样： 定义：将总体中的个体编号，按固定间隔k（k=N/n，取整数）抽取个体，先随机确定起始编号，再依次抽取编号为l、l+k、l+2k…的个体； 核心步骤：编号→分段→确定起始号→按间隔抽样； 核心特征：等距性、不放回性； 适用场景：总体容量较大，个体分布均匀 2、统计图表与数据整理 （1）常见统计图表： 频率分布表：按数据分组，记录各组的频数（出现次数）和频率（频数 / 总数）； 频率分布直方图： 横轴：数据分组区间，纵轴：频率 / 组距； 核心性质：每个矩形的面积 = 该组频率，所有矩形面积之和 = 1； 茎叶图：将数据的十位（或百位）作为 “茎”，个位作为 “叶”，直观展示数据分布（保留原始数据）； 条形图/折线图：条形图展示各组频数 / 频率，折线图反映数据变化趋势； 扇形图：展示各部分占总体的比例（圆心角 = 该部分比例 ×360°）。 （2）数据整理核心概念： 频数：某组数据出现的次数； 频率：频数 / 总体个数（频率∈[0,1]）； 组距：数据分组中每组的区间长度（如 [10,20) 的组距为 10）； 累积频率：从第一组到当前组的频率之和 3、数据的数字特征 （1）集中趋势特征： ①平均数（均值）： 公式：若数据为x₁,x₂,…,xₙ，则平均数x=(x1+x2+ … +xn)/n； 加权平均数：若数据分组后，各组组中值为a1,a2,…,ak，频率为f1,f2,…,fk，则加权平均数=a1f1+a2f2+ …+akfk； ②中位数：将数据从小到大排列后，中间位置的数（n为奇数时取第(n+1)/2个，n为偶数时取第n/2和n/2+1个的平均数）； ③众数：数据中出现次数最多的数（可能不止一个）。 （2）离散程度特征： ①极差：最大值-最小值（反映数据波动范围）； ②方差： 性质：方差越大，数据波动越大；方差≥0，当且仅当所有数据相等时方差为 0； ③标准差： （3）百分位数 ①把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数. ②一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ③四分位数 常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等 4、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间 5、随机事件、必然事件，不可能事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生. （2）在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. （3）不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件. 6、互斥事件、对立事件与相互独立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）相互独立事件 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 其次如果与相互独立,则与，与，与也相互独立 （4）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件 7、古典概型 （1）一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. （2）一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数 8、概率与频率的区别与联系 （1）一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率. （2） 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 考点一 分层抽样的计算 例题1 （2025高三上·江苏·学业考试）某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 200 例题2 （2023高三上·广西·学业考试）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 例题3 （2024高二上·云南·学业考试）某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 1．一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A．5 B．10 C．15 D．20 3．已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有__________人. 考点二 平均数，众数，中位数及百分位数 例题1 （2024高三上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（ ） A. 8.6 B. 8.7 C. 8.8 D. 8.9 例题2 （2024高二下·安徽·学业考试）从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（  ） A．21 B．24 C．25 D．27 1．数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．一组数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的第80百分位数是（   ） A．35.0 B．37.5 C．40.0 D．41.5 3．已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 4.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 考点三 标准差与方差的应用 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 例题2 （24-25高二上·山东·学业考试真题）甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________． 例题3 （2025高二下·北京·学业考试）甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 1．下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 2．已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．5 3．两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差______乙的样本方差，可以估计______运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 4.若一组数据的方差是5，则数据的方差是__________． 考点四 频率分布直方图的应用 例题1 （2024高二·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（ ） A. 11 B. 22 C. 34 D. 44 例题2 （2026高二·山东·学业考试）某学校随机抽取200名学生，调查其每日体育锻炼的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中体育锻炼时间的范围是，分组区间是，，，．根据此频率分布直方图，这200名学生中，每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为（   ） A．40 B．90 C．110 D．160 例题3 （2023高二·安徽·学业考试）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（    ） A． B． C． D． 1．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有（    ）    A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆 2．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ） A．20 B．30 C．60 D．88 3．某公司为了解职工每周参加体育锻炼的时间，随机抽取了名职工进行调查，并将调查结果分为组：，，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，则这名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于小时的人数为 A． B． C． D． 4．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标准为：为体重过低；为体重正常；为超重；为肥胖．某公司有3000名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了100名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，进而得到二者的频率分布条形图如下： (1)分别计算该公司男员工、女员工的人数； (2)求图中的值，并估计该公司肥胖员工的人数； (3)请根据图中的数据，比较男、女员工在肥胖状况上的差异，分析该公司员工胖瘦程度的整体情况，并提出控制体重的建议． 考点五 事件关系的判断 例题1 （2024高二·浙江·学业考试）记， 分别为事件， 的对立事件，如果事件， 互斥，那么（   ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定互斥 例题2 （2025高二·河北·学业考试）记、分别为事件、的对立事件，如果事件、互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与互斥 D．与互斥 例题3 （2023高二·福建·学业考试）如果事件A，B互斥，那么（    ） A．A∪B是必然事件 B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件 C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件 D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件 1．如果是互斥事件，那么（    ） A．事件与必不互斥 B．是必然事件 C．A与可能互斥 D．是必然事件 2．如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与不可能互斥 3．如果事件A、B是互斥事件，记它们的对立事件分别为、，那么（    ） A．与一定互斥 B．与一定不互斥 C．是必然事件 D．A∪B是必然事件 考点六 概率的计算 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.6 例题2 （2024高二·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.72 C. 0.85 D. 0.98 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 1．某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 2．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 考点七 古典概型的计算 例题1 （2024·江苏·学业考试）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 例题2 （2025·江苏·学业考试）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 例题3 （24-25高二上·山东·学业考试真题）将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 1．某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 2．一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 3．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 练 1．某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（    ） A．总体 B．个体 C．样本量 D．样本 2．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（    ） A．10人 B．12人 C．13人 D．15人 4．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（    ） A．91.5 B．93 C．93.5 D．94 5．某企业有三个分厂生产同一种电子产品，第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取200件做使用寿命的测试，则第三分厂应抽取的件数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．100 6．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 7．高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（    ） A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99 8．若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 9．某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“铜神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 10.今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 11．某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水稻产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 12．已知实数，则使和最小的实数分别为的（   ） A．平均数；平均数 B．平均数；中位数 C．中位数；平均数 D．标准差；平均数 13．一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则_________. 14．近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计与概率 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 分层抽样的计算 考点二 平均数，众数，中位数及百分位数 考点三 标准差与方差的应用 考点四 频率分布直方图的应用 考点五 事件关系的判断 考点六 概率的计算 考点七 古典概型的计算 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 统计 分层抽样的计算 理解分层抽样的特点，掌握抽样比例，能够根据总体、各层数量计算抽取样本数量，也可由样本抽取数量反求总体容量 理解（会求） 选择、填空 平均数，众数，中位数及百分位数 理解平均数、众数、中位数、百分位数的定义，掌握计算方法，能根据原始数据、统计图表求解对应统计量 掌握 选择、填空 标准差与方差 理解方差、标准差的统计意义，掌握计算方法，会利用方差、标准差比较多组数据的波动稳定性，掌握数据线性变换后方差、均值的变化规律 理解 选择、填空 频率、频率分布直方图 读懂频率分布直方图，掌握频率、频数、样本容量之间的换算，能够借助直方图估算平均数、中位数、百分位数 理解（会求） 选择、填空 概率 事件关系的判断 理解包含、互斥、对立、独立事件的定义，能够辨析不同事件之间的逻辑关系，区分互斥事件与对立事件 理解（判断） 选择、填空 概率的计算 理解概率的基本性质，掌握互斥事件的概率加法公式，会利用对立事件间接求解概率，会求相互独立事件的概率 掌握 选择、填空 古典概型的计算 识别古典概型，能列举试验的基本事件，统计基本事件总数与目标事件包含的基本事件数，计算古典概型概率 掌握 选择、填空 1、抽样方法 （1）简单随机抽样： 定义：从总体N个个体中，逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），且每个个体被抽到的概率相等（均为n/N）； 常用方法：抽签法（适用于总体容量较小）、随机数表法（适用于总体容量较大）； 核心特征：等概率性、不放回性； 适用场景：总体个体差异较小，总体容量不大。 （2）分层抽样： 定义：将总体按某种特征分成若干层（互不交叉），再从每一层中按比例抽取个体组成样本； 抽样比：每层抽取的个体数/该层个体总数=样本容量n/总体容量N； 核心特征：按比例抽样，兼顾层内一致性与层间差异性； 适用场景：总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄、成绩分层）。 （3）系统抽样： 定义：将总体中的个体编号，按固定间隔k（k=N/n，取整数）抽取个体，先随机确定起始编号，再依次抽取编号为l、l+k、l+2k…的个体； 核心步骤：编号→分段→确定起始号→按间隔抽样； 核心特征：等距性、不放回性； 适用场景：总体容量较大，个体分布均匀 2、统计图表与数据整理 （1）常见统计图表： 频率分布表：按数据分组，记录各组的频数（出现次数）和频率（频数 / 总数）； 频率分布直方图： 横轴：数据分组区间，纵轴：频率 / 组距； 核心性质：每个矩形的面积 = 该组频率，所有矩形面积之和 = 1； 茎叶图：将数据的十位（或百位）作为 “茎”，个位作为 “叶”，直观展示数据分布（保留原始数据）； 条形图/折线图：条形图展示各组频数 / 频率，折线图反映数据变化趋势； 扇形图：展示各部分占总体的比例（圆心角 = 该部分比例 ×360°）。 （2）数据整理核心概念： 频数：某组数据出现的次数； 频率：频数 / 总体个数（频率∈[0,1]）； 组距：数据分组中每组的区间长度（如 [10,20) 的组距为 10）； 累积频率：从第一组到当前组的频率之和 3、数据的数字特征 （1）集中趋势特征： ①平均数（均值）： 公式：若数据为x₁,x₂,…,xₙ，则平均数x=(x1+x2+ … +xn)/n； 加权平均数：若数据分组后，各组组中值为a1,a2,…,ak，频率为f1,f2,…,fk，则加权平均数=a1f1+a2f2+ …+akfk； ②中位数：将数据从小到大排列后，中间位置的数（n为奇数时取第(n+1)/2个，n为偶数时取第n/2和n/2+1个的平均数）； ③众数：数据中出现次数最多的数（可能不止一个）。 （2）离散程度特征： ①极差：最大值-最小值（反映数据波动范围）； ②方差： 性质：方差越大，数据波动越大；方差≥0，当且仅当所有数据相等时方差为 0； ③标准差： （3）百分位数 ①把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数. ②一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ③四分位数 常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等 4、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间 5、随机事件、必然事件，不可能事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生. （2）在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. （3）不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件. 6、互斥事件、对立事件与相互独立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）相互独立事件 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 其次如果与相互独立,则与，与，与也相互独立 （4）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件 7、古典概型 （1）一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. （2）一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数 8、概率与频率的区别与联系 （1）一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率. （2） 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 考点一 分层抽样的计算 例题1 （2025高三上·江苏·学业考试）某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 200 【答案】B 【分析】根据分层抽样的方法计算样本容量即可． 【详解】A，B产品产量之比为，型号的产品有40件 B型号的产品有60件， ． 故选：B． 例题2 （2023高三上·广西·学业考试）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求出抽样的比例，在计算女运动员的人数即可. 【详解】总人数有, 抽样比例为, 所以女运动员应抽取人. 故选：B. 例题3 （2024高二上·云南·学业考试）某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可； 【详解】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人， 所以分层抽样的比例为， 所以， 故选：B. 1．一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用分层抽样的定义求解. 【详解】由题意可知 抽取男运动员的人数为. 故选：B. 2．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】利用分层抽样的定义和方法求解即可. 【详解】设应抽取的女生人数为，则，解得． 故选B 3．已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有__________人. 【答案】 【分析】根据分层比可求男生人数. 【详解】男生的分层比为，故人中男生的人数为， 故答案为：. 考点二 平均数，众数，中位数及百分位数 例题1 （2024高三上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（ ） A. 8.6 B. 8.7 C. 8.8 D. 8.9 【答案】B 【分析】根据平均数的概念运算得解. 【详解】该同学周一至周五的平均日睡眠时间为. 故选：B. 例题2 （2024高二下·安徽·学业考试）从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（  ） A．21 B．24 C．25 D．27 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念求值即可. 【详解】因为， 所以该组数据的第41百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24. 故选：B 1．数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平均数的定义进行求解即可. 【详解】数据1，3，6，2，2，4，6，8的平均值是， 故选：B 2．一组数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的第80百分位数是（   ） A．35.0 B．37.5 C．40.0 D．41.5 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】题干数据已经是从小到大排列， 共有10个数据，， 所以第80百分位数是第8和第9个数据的平均数， 即， 故选：B. 3．已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均数的定义计算即可. 【详解】由题意数据的平均数为. 故选：A. 4.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【分析】计算，代入数据可得下四分位数，从而可求均值. 【详解】，故下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， 解之得， 所以该名考生面试的平均得分为. 故选：B. 考点三 标准差与方差的应用 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】因为数据的方差为3， 则数据的方差为. 故选：A. 例题2 （24-25高二上·山东·学业考试真题）甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________． 【答案】甲 【详解】由方差的意义知成绩的方差越小，成绩越稳定，因为，故甲更稳定． 例题3 （2025高二下·北京·学业考试）甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 【答案】 7 ＜ 【分析】利用给定数据求出平均数；再利用方差公式求出方差并比较大小. 【详解】甲运动员命中环数的平均数， 乙运动员命中环数的平均数， ， ，因此. 故答案为：7；< 1．下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 【答案】D 【详解】A：均值为，则方差为， B：均值为，则方差为， C：均值为，则方差为， D：均值为，则方差为， 所以方差最大的一组是D. 2．已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意可求得五个数据，利用方差公式可求得结果. 【详解】因为5个互不相等的整数为满足平均数为2026，则总和为； 因为这5个数为互不相等的整数，且极差为4， 那么这5个整数只能是连续的5个整数： 所以 解得，所以这5个互不相等的整数为： 方差为： 3．两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差______乙的样本方差，可以估计______运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 【答案】 小于 甲 【分析】分别计算甲乙运动员射击成绩的平均数及方差即可得出结论. 【详解】甲成绩的平均数， 方差， 乙成绩的平均数， 方差， 由以上数据可知，甲的方差小于乙的方差，甲运动员的成绩更稳定. 故答案为：小于；甲 4.若一组数据的方差是5，则数据的方差是__________． 【答案】45 【分析】利用方差的性质求解即可. 【详解】若数据的方差为， 则数据的方差为， 所以当数据的方差是5时， 可得数据的方差是， 故答案为：. 考点四 频率分布直方图的应用 例题1 （2024高二·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（ ） A. 11 B. 22 C. 34 D. 44 【答案】B 【分析】由频率分布直方图的意义可求得结论. 【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得， 解得， 所以用电量落在区间内的户数为. 故选：B. 例题2 （2026高二·山东·学业考试）某学校随机抽取200名学生，调查其每日体育锻炼的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中体育锻炼时间的范围是，分组区间是，，，．根据此频率分布直方图，这200名学生中，每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为（   ） A．40 B．90 C．110 D．160 【答案】B 【详解】每天锻炼不少于1小时的频率为， 所以每日体育锻炼时间不少于1小时的人数为． 例题3 （2023高二·安徽·学业考试）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】数据在的概率为， 数据在的概率为， 故样本数据的第25百分位数所在的区间为， 故选：B 1．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有（    ）    A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆 【答案】B 【分析】根据直方图可得时速在的汽车的频率，再计算频数即可. 【详解】由表可得，时速在的汽车的频率为，故时速在的汽车大约有辆. 故选：B 2．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ） A．20 B．30 C．60 D．88 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求高度不低于的频率和频数即可． 【详解】由频率分布直方图知，高度不低于的频率为， 所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为． 故选：C． 3．某公司为了解职工每周参加体育锻炼的时间，随机抽取了名职工进行调查，并将调查结果分为组：，，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，则这名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于小时的人数为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用后三个小矩形的面积和求得这名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于小时的频率，再乘以300即可. 【详解】由频率分布直方图可知，这名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于小时的人数为，故选C． 4．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标准为：为体重过低；为体重正常；为超重；为肥胖．某公司有3000名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了100名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，进而得到二者的频率分布条形图如下： (1)分别计算该公司男员工、女员工的人数； (2)求图中的值，并估计该公司肥胖员工的人数； (3)请根据图中的数据，比较男、女员工在肥胖状况上的差异，分析该公司员工胖瘦程度的整体情况，并提出控制体重的建议． 【答案】(1)男员工人，女员工人 (2)，估计该公司肥胖员工的人数为人 (3)大部分员工体重正常； 建议：对于体重超重、肥胖的员工，加强体育锻炼，科学合理膳食； 对体重过低的女员工：合理增加营养，均衡膳食； 公司层面：开展健康讲座，提供健身设施，倡导健康作息. 【分析】（1）由分层抽样的方法求解即可； （2）由样本中男员工的频率之和为1，即可求出的值；再分别计算该公司中男员工、女员工肥胖的人数，即可得到总人数； （3）根据图中数据对各类员工进行分析，并根据分析提出科学的建议. 【详解】（1）由题意可得男员工的人数为：； 女员工的人数为：； （2）由题意可知， 解得； 所以该公司肥胖员工的人数为； （3）由（2）可知男员工的肥胖率为，高于女员工的肥胖率； 女员工的体重过低率为，远高于男员工的； 女员工体重超重率为，略高于男员工的； 大部分员工体重正常； 考点五 事件关系的判断 例题1 （2024高二·浙江·学业考试）记， 分别为事件， 的对立事件，如果事件， 互斥，那么（   ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定互斥 【答案】B 【详解】由题意事件， 互斥，则，∴为必然事件，故选B． 例题2 （2025高二·河北·学业考试）记、分别为事件、的对立事件，如果事件、互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与互斥 D．与互斥 【答案】A 【分析】由已知可得图，结合图依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由题意可得图如下图所示： ，，即是必然事件，A正确； ，不是必然事件，B错误； ，与不是互斥事件，C错误； ，与不是互斥事件，D错误. 故选：A. 例题3 （2023高二·福建·学业考试）如果事件A，B互斥，那么（    ） A．A∪B是必然事件 B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件 C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件 D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的含义判断. 【详解】A. 因为事件A，B互斥，若对立，则A∪B是必然事件，若不对立，则A∪B不是必然事件，故错误； B. A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确； C. 若事件A，B互斥，不对立，则 A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误； D. 若事件A，B互斥，且对立，则A的对立事件与B的对立事件是对立事件，故错误； 故选：B 1．如果是互斥事件，那么（    ） A．事件与必不互斥 B．是必然事件 C．A与可能互斥 D．是必然事件 【答案】B 【分析】利用韦恩图帮助逐一判断. 【详解】对于A：如果事件不仅互斥还对立，则事件与一定互斥，A错误； 对于B：如图：，是必然事件，B正确； 对于C：如图：A与不可能互斥，C错误； 对于D：如图：不一定是必然事件，当互斥不对立时，不是必然事件，D错误；    故选：B. 2．如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与不可能互斥 【答案】B 【分析】用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】如图所示，集合表示事件，集合表示事件， 对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确， 对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误， 故选：B. 3．如果事件A、B是互斥事件，记它们的对立事件分别为、，那么（    ） A．与一定互斥 B．与一定不互斥 C．是必然事件 D．A∪B是必然事件 【答案】C 【分析】由题意，根据互斥事件的定义以及事件关系的运算，结合举反例的方法，可得答案. 【详解】对于A，举反例：在掷色子的实验中，，，而，，由，故A错误； 对于B，举反例：在掷色子的实验中，{点数为奇数}，{点数为偶数}，而{点数为偶数}，{点数为奇数}，由，故B错误； 对于C，A、B互斥即A∩B为不可能事件，则为必然事件，即为必然事件，故C选项正确； 对于D，举反例：在掷色子的实验中，，，由，故D错误； 故选：C. 考点六 概率的计算 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.6 【答案】A 【分析】利用对立事件求‘至少一个发生’的概率：“先计算两地都不降雨的概率，再用1减去该概率得到至少有一个地方降雨的概率”即可. 【详解】“设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B， 则，， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：A． 例题2 （2024高二·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.72 C. 0.85 D. 0.98 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 1．某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲答对概率，乙答对概率． 至少一人答对的概率为． 2．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，由条件根据对立事件概率公式求，再利用独立事件概率乘法公式求，由此可得结论. 【详解】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，则， 所以，，. 由题知为相互独立事件，所以3人都不回老家过节的概率， 所以至少有1人回老家过节的概率. 3．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 考点七 古典概型的计算 例题1 （2024·江苏·学业考试）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 例题2 （2025·江苏·学业考试）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出总的可能情况，然后根据条件求概率即可. 【详解】从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果可能是6，10，15，它们是等可能的， 结果能被5整除的有10和15两个，所以结果能被5整除的概率为. 故选：D. 例题3 （24-25高二上·山东·学业考试真题）将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】掷两次六面体骰子，分别用表示两枚骰子的出现的点数， 则样本空间，共个样本点， 设“两次出现的点数之和是8”， 则，共个样本点， 所以． 1．某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 【答案】 / 【详解】该试验属于古典概型，所有等可能的基本事件总数为4，对应4名不同的成员. 记“女生被选中”为事件，事件包含的基本事件数为2，对应2名女生. 根据古典概型概率公式 2．一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从A，B，C，D四个选项中选一个选项有四种不同的选法， 又只有一个选项正确，所以选正确的选法只有一种， 所以答对这道题的概率是. 故选：A. 3．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型即可. 【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 练 1．某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（    ） A．总体 B．个体 C．样本量 D．样本 【答案】D 【分析】根据样本、样本容量、个体、总体的定义判断． 【详解】根据定义，被抽取的名大学生是样本． 故选：D. 2．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率和为即可得到. 【详解】因为两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是， 所以获胜的概率. 故选：B 3．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（    ） A．10人 B．12人 C．13人 D．15人 【答案】D 【分析】由分层抽样知识求解． 【详解】由分层抽样知，应抽取该单位女职工人数为：， 故选：D 4．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（    ） A．91.5 B．93 C．93.5 D．94 【答案】C 【分析】按照中位数的定义计算. 【详解】把数据按从小到大的顺序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位数是． 故选：C. 5．某企业有三个分厂生产同一种电子产品，第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取200件做使用寿命的测试，则第三分厂应抽取的件数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】B 【分析】根据题意，结合分层抽样的概念及计算方法，即可求解. 【详解】由第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%， 则抽取200件中，则第三分厂应抽取的件数为件. 故选：B. 6．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 【答案】B 【分析】方法一、根据事件间的逻辑关系可解；方法二、根据题意，利用韦恩图进行求解. 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 7．高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（    ） A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99 【答案】A 【分析】首先将数据从小到大排列好，利用求百分位的规则求解即可. 【详解】首先将数据从小到大排列好， ， 由，所以第25百分位数为第四个数； 由，所以第50百分位数为第七个数. 故选：A. 8．若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】由均值的定义求解． 【详解】由题意， 所以 ， 故选：C． 9．某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“铜神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式可得空1的答案；根据独立事件同时发生的概率公式可得空2的答案. 【详解】因为学生甲得到“金面罩”“铜神兽”“铜太阳神器”图案的概率相等，所以学生甲得到“金面罩”图案的概率为：. 因为学生乙和学生丙得到“铜神兽”图案的概率均为，且相互独立，所以学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为：. 故答案为：； 10.今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】（1）将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． （2）设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 11．某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水稻产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 【答案】C 【分析】根据产量、中位数、方差、极差概念逐项分析即可得解. 【详解】对A，只有第二和第三年甲产量比乙产量小，故A错误； 对B，甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为890，故B错误； 对C，甲水稻年产量的均值为， 甲水稻产量的方差为， 乙水稻年产量的均值为， 乙水稻产量的方差为， 所以甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小，故C正确； 对D，甲水稻产量的极差为70，乙水稻产量的极差为，故D错误. 故选：C 12．已知实数，则使和最小的实数分别为的（   ） A．平均数；平均数 B．平均数；中位数 C．中位数；平均数 D．标准差；平均数 【答案】C 【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可． 【详解】解：， 表示个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 是偶数， 取，，，的中位数时，有最小值， 为关于的一元二次函数， 当时，有最小值， 实数为，，，的平均数时，有最小值． 故选：C． 13．一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则_________. 【答案】 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】记摸出两个小球的标号对应的有序数组为， 样本空间， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14．近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】(1)；平均数；中位数 (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. （2）、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. （3）由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $