学考专题08 平面向量及其应用：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题08 平面向量及其应用 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 平面向量的基本概念 考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量共线定理及应用 考点四 平面向量基本定理及应用 考点五 平面向量的坐标运算 考点六 平面向量的数量积 考点七 平面向量的夹角 考点八 平面向量的模长 考点九 投影向量 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 平面向量 平面向量的基本概念 理解向量、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量的含义，区分向量与数量 了解/理解 选择 平面向量的线性运算 掌握向量加法、减法、数乘运算的法则与几何意义，能够进行向量的线性化简 掌握 选择、填空 平面向量共线定理 理解向量共线定理，会利用定理判定向量共线、三点共线，求解参数 理解 选择、填空 平面向量基本定理 理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任意向量，能进行向量分解 理解（会求） 选择、填空 平面向量的坐标运算 掌握向量加减、数乘的坐标运算规则，会根据坐标判定向量平行 理解（会求） 选择、填空 平面向量的数量积 理解数量积的定义与几何意义，掌握数量积的运算公式与运算性质 了解 选择 平面向量的夹角 理解向量夹角的定义与范围，会利用数量积公式求解两个向量的夹角 理解（判断） 选择 平面向量的模长 理解向量模的含义，会利用数量积、坐标公式计算向量的模长 理解 选择 投影向量 理解投影向量的概念，掌握投影向量的计算公式，能结合图形理解投影的几何意义 掌握 选择、填空 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． （2）零向量：长度为0的向量，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． （4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 3、向量共线定理的应用 （1）向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. （2）三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点 4、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量 5、平面向量的坐标运算 （1）向量的线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 6、平面向量的数量积 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． ②范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. ③共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． （2）平面向量的数量积 ①定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. ②几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． ③向量投影：设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量 （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）平面向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律) 7、平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 考点一 平面向量的基本概念 例题1 （2025高三上·新疆·学业考试）如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】在平行四边形中且，且， 所以，. 故选：D 例题2 （2025高二上·山东·学业考试真题）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】是模相等，不一定向量相等；若，则． 因此“”是“”的必要不充分条件． 例题3 （2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 1．下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【分析】根据零向量的定义和性质即可判断. 【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D. 2．下列五个命题： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量，则与的方向必不相同； ③，则； ④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线； ⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量． 其中正确的是（） A．①⑤ B．③ C．⑤ D．②④ 【答案】C 【详解】①错误：温度只有大小，没有方向，属于标量（数量），不是向量； ②错误：向量，可能是模长不同但方向相同； ③错误：向量具有方向，不能比较大小，向量的模（长度）可以比较大小，但向量本身不能写成. ④错误：单位向量只规定模长为1，方向可以是任意的.两个单位向量方向不一定相同或相反，因此不一定共线. ⑤正确：北偏西50°的方向，反向即为南偏东50°（从正南向东50°）. 而东偏南40°与正东夹角40°，与正南夹角50°，即南偏东50°. 因此，这两个向量方向相反，一定是平行向量（共线向量）. 3．有下列说法： ①若向量与向量不平行，则与方向一定不相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若，则，的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行； ⑤若，，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误； 对于③，由，只能说明，的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误． 对于⑤，当时，，不一定平行，错误． 考点二 平面向量的线性运算 例题1 （2025高二上·江苏·学业考试）在平行四边形中，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【详解】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 例题2 （2024高二上·江苏·学业考试）在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图及向量加减法可得答案. 【详解】由图可得，. 故选：A 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 1．如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 2．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：B. 3．如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；根据向量加法的三角形法则即可判断B，根据向量减法的三角形法则即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，因为在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 考点三 平面向量共线定理及应用 例题1 （2026高二下·湖南·学业考试）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】由于与共线，向量与向量不共线， 所以，所以. 故选：B. 例题2 （2025高二下·湖北·学业考试）已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（    ） A．-4 B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，化简即得解. 【详解】解：设，所以，所以 故选：C 例题3 （2025·山东·学业考试真题）已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为_________. 【答案】 【分析】利用共线且方向相同的向量性质，设正实数比例系数使得，结合平面向量基本定理列方程求解，舍去反向解即可. 【详解】因为向量与方向相同，故存在正实数，使得， 因为，，所以 ， 由于不共线，所以 且 ，将代入第二个方程，整理得，解得或， 当时，，此时与方向相反，不符合题意，舍去； 当时，，满足与方向相同， 故的值为. 1．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 2．设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于向量，共线，则存在实数，使得， 由于，是两个不共线的向量，故且，故 3．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 考点四 平面向量基本定理及应用 例题1 （2022高二·江苏·学业考试）在中，设，，，，则（    ） A． B． C．     D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则求解. 【详解】由题意 . 故选：D.    例题2 （2023高二下·辽宁·学业考试）如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 例题3 （2024高二·福建·学业考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解. 【详解】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同， 则，故A正确； 对B：由图可知，，，所以， 故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：D. 1．在中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案. 【详解】由，可得， ，整理可得， . 故选：A 2．在中，已知，，，，则(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的表示方法，把逐步转化成用、向量表示即可． 【详解】 故选:D. 3．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示； (2)求证：B，E，F三点共线． 【答案】(1)，，，， (2)证明：因为，， 所以， 所以， 又因有公共点， 所以B，E，F三点共线． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解； （2）利用平面向量共线定理证明，即可得证. 【详解】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， 则， 故， ， ， ； （2）略 考点五 平面向量的坐标运算 例题1 （2025高二下·山东·学业考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算得到答案. 【详解】设线段中点为，则， 故线段中点为. 故选：B. 例题2 （2025高三上·四川·学业考试）已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【分析】由向量线性关系的坐标运算求参数值. 【详解】由，即，可得. 故选：D 例题3 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法法则计算． 【详解】 故选：A. 2．已知，，且与共线，则的值为（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，且与共线， 所以，解得，故A正确. 故选：A 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 4.已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 考点六 平面向量的数量积 例题1 （2023高三上·江苏·学业考试）在平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算、基本定理和数量积运算求解. 【详解】解：因为， 所以， ， ， 故选：A 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果. 【详解】已知向量与的夹角为，，， 则，故B正确. 例题3 （2023高二·湖北·学业考试）已知两个单位向量与的夹角是，则________． 【答案】/ 【分析】根据数量积的定义计算可得. 【详解】因为两个单位向量与的夹角是， 所以. 故答案为： 1．已知，，向量与向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】利用数量积公式得. 2．在平行四边形中，，，，点为的中点，则 A． B． C．0 D．-2 【答案】B 【分析】根据向量的运算将条件变形为，从而根据条件即可得解. 【详解】= =， 故选B. 3．在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 考点七 平面向量的夹角 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 例题2 （2025高二下·北京·学业考试）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，再由夹角公式，取可求解. 【详解】因为，，则， 又，所以，解得，即， 所以. 故选：D. 2．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求得的值，进而可求得，利用向量的夹角公式可求得 【详解】因为，所以，所以，则，， 所以，所以，， 故. 故选：C. 3．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合数量积的运算律，可求得，代入求出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，即. 又，， 所以有，解得， 所以， 所以，， 所以，，， 所以，. 故选：B. 考点八 平面向量的模长 例题1 （2022高二下·河北·学业考试）已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 即，则， 所以. 故选：D 例题2 （2025高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，则向量的模（长度）为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】由模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D 例题3 （2024高二下·湖北·学业考试）已知，且，则______. 【答案】 【分析】根据，结合条件求模长. 【详解】. 故答案为：. 1．已知平面向量，的夹角为，满足，，则的值为______. 【答案】 【分析】根据条件即可求出，，从而根据即可求出答案． 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以，， ． 故答案为：． 2．已知向量，满足，，若， 则＝_____________． 【答案】5 【分析】直接计算即可得到答案. 【详解】∵；∴，且，； ∴；∴． 故答案为：5． 3．已知平面向量满足，则________. 【答案】 【详解】分析：先根据，，求出，再求出，问题得以解决. 详解：平面向量满足|，， 考点九 投影向量 例题1 （2022江苏）若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】由投影向量定义可知，在上的投影向量为. 故选：C 例题2 （2024高二下·安徽·学业考试）已知向量与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算即可. 【详解】向量与上的投影向量为 . 故选：B. 例题3 （2023高二·湖北·学业考试）已知，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D 1．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 2．已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知 . 在 方向上的投影: . 方向的单位向量: . 则在方向上的投影向量为. 3．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，利用向量的投影定义求解可得答案. 【分析】因为向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为 . 所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 练 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 2．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 4．已知向量，若，则（    ） A．9 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量平行坐标运算即可求参. 【详解】因为, 所以. 故选：B. 5．已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且， 则，解得. 故选：A. 6．已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解. 【详解】 ， ，, 在上的投影向量为. 故选：A. 7．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 8．设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线列方程，求出k. 【详解】由与共线，即， 所以有=， 所以，消去 可得，则． 故选：C． 9．已知向量，．若，则实数x的值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 10．已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合已知条件求解； （2）由题意可得化简后可求得的值. 【详解】（1）因为向量与的夹角为60°， 所以 （2）因为向量与相互垂直， 所以，则， 所以， 则 11．在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 12．已知平面向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再根据利用向量数量积的坐标运算得到的关系式，求出，，的坐标，通过向量共线的坐标条件即可判断. 【详解】由，，得，， 因为，所以，则. 因为，，， 因为，， 所以，与不平行， 由已知不一定为，与不一定垂直， 故选：B. 13．已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】令，，由，得到求解. 【详解】解：由题意，令，， 则，所以， 由，得， 所以.， 故答案为： 14．已知向量，，. （1）当时，求下列的坐标； （2）若函数，问：为何值时，取得最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，函数有最大值为. 【分析】试题分析：（1）由值求出向量坐标，再由向量的坐标运算得出的坐标；也可先求的坐标,再将值代入求解；（2）先由向量的坐标运算,找出的具体表达式,利用三角恒等变形化简函数表达式,再由的性质可得出函数在为何值时,函数取最大值. 【详解】（1）由题知：当时，， ∴. ， ∴ 当，即时， 函数有最大值为4. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面向量及其应用 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 平面向量的基本概念 考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量共线定理及应用 考点四 平面向量基本定理及应用 考点五 平面向量的坐标运算 考点六 平面向量的数量积 考点七 平面向量的夹角 考点八 平面向量的模长 考点九 投影向量 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 平面向量 平面向量的基本概念 理解向量、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量的含义，区分向量与数量 了解/理解 选择 平面向量的线性运算 掌握向量加法、减法、数乘运算的法则与几何意义，能够进行向量的线性化简 掌握 选择、填空 平面向量共线定理 理解向量共线定理，会利用定理判定向量共线、三点共线，求解参数 理解 选择、填空 平面向量基本定理 理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任意向量，能进行向量分解 理解（会求） 选择、填空 平面向量的坐标运算 掌握向量加减、数乘的坐标运算规则，会根据坐标判定向量平行 理解（会求） 选择、填空 平面向量的数量积 理解数量积的定义与几何意义，掌握数量积的运算公式与运算性质 了解 选择 平面向量的夹角 理解向量夹角的定义与范围，会利用数量积公式求解两个向量的夹角 理解（判断） 选择 平面向量的模长 理解向量模的含义，会利用数量积、坐标公式计算向量的模长 理解 选择 投影向量 理解投影向量的概念，掌握投影向量的计算公式，能结合图形理解投影的几何意义 掌握 选择、填空 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． （4）平行向量：方向 的非零向量，又叫共线向量，规定：与 向量平行． （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 3、向量共线定理的应用 （1）向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在 的实数，使. （2）三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中 ，为平面内一点 4、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若 ，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个 向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被 的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于 与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量 5、平面向量的坐标运算 （1）向量的线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 6、平面向量的数量积 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． ②范围：设θ是向量与的夹角，则 ③共线与垂直：若θ＝0°，则与 ；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与 ． （2）平面向量的数量积 ①定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. ②几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影 的乘积． ③向量投影：设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量 （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）平面向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律) 7、平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 考点一 平面向量的基本概念 例题1 （2025高三上·新疆·学业考试）如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． 例题2 （2025高二上·山东·学业考试真题）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3 （2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 1．下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 2．下列五个命题： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量，则与的方向必不相同； ③，则； ④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线； ⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量． 其中正确的是（） A．①⑤ B．③ C．⑤ D．②④ 3．有下列说法： ①若向量与向量不平行，则与方向一定不相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若，则，的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行； ⑤若，，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 平面向量的线性运算 例题1 （2025高二上·江苏·学业考试）在平行四边形中，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 例题2 （2024高二上·江苏·学业考试）在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 1．如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 考点三 平面向量共线定理及应用 例题1 （2026高二下·湖南·学业考试）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 例题2 （2025高二下·湖北·学业考试）已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（    ） A．-4 B． C． D．4 例题3 （2025·山东·学业考试真题）已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为_________. 1．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 2．设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 考点四 平面向量基本定理及应用 例题1 （2022高二·江苏·学业考试）在中，设，，，，则（    ） A． B． C．     D． 例题2 （2023高二下·辽宁·学业考试）如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二·福建·学业考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 1．在中，，设，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，，则(  ) A． B． C． D． 3．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示； (2)求证：B，E，F三点共线． 考点五 平面向量的坐标运算 例题1 （2025高二下·山东·学业考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025高三上·四川·学业考试）已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 例题3 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且与共线，则的值为（    ） A． B．6 C． D．8 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 考点六 平面向量的数量积 例题1 （2023高三上·江苏·学业考试）在平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，，则（    ） A． B． C． D．0 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2023高二·湖北·学业考试）已知两个单位向量与的夹角是，则________． 1．已知，，向量与向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 2．在平行四边形中，，，，点为的中点，则 A． B． C．0 D．-2 3．在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 考点七 平面向量的夹角 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025高二下·北京·学业考试）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点八 平面向量的模长 例题1 （2022高二下·河北·学业考试）已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 例题2 （2025高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，则向量的模（长度）为（    ） A． B．0 C． D．1 例题3 （2024高二下·湖北·学业考试）已知，且，则______. 1．已知平面向量，的夹角为，满足，，则的值为______. 2．已知向量，满足，，若， 则＝_____________． 3．已知平面向量满足，则________. 考点九 投影向量 例题1 （2022江苏）若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二下·安徽·学业考试）已知向量与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例题3 （2023高二·湖北·学业考试）已知，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 1．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 练 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（    ） A．9 B． C．1 D． 5．已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 8．设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，．若，则实数x的值为________． 10．已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 11．在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 12．已知平面向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 13．已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______. 14．已知向量，，. （1）当时，求下列的坐标； （2）若函数，问：为何值时，取得最大值？最大值是多少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $