学考专题07 函数应用：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题07 函数应用 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 求函数的零点 考点二 求函数的零点个数 考点三 判断函数零点所在区间 考点四 零点存在性定理的应用 考点五 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 考点六 函数模型的应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数的应用 函数的零点 理解函数零点的定义，知道函数零点、方程的实数根、函数图像与 x 轴交点横坐标三者的等价关系，会转化这三者之间的问题 掌握 选择 零点存在性定理 理解零点存在性定理的内容，清楚定理使用的前提条件，知道定理正向成立、反向不一定成立，能利用定理判断零点是否存在 理解 选择 二分法求方程近似解 了解二分法的含义，熟悉二分法求近似解的完整步骤，会判断区间中点，能按照精确度要求逐步缩小零点所在区间 了解 选择 指数、对数、幂函数的增长差异 了解三种函数在正区间上都是递增的；分清指数爆炸、对数增长、幂函数平稳增长的特点，知道自变量足够大时三者增长速度的快慢顺序 了解 选择 常见函数模型 认识一次、反比例、二次、指数、对数、幂函数这几类常用的函数模型，能区分不同模型对应的变化特点 了解 选择 函数模型的实际应用 掌握函数应用题的解题步骤：审题、建模、求模、还原；能把简单实际问题转化为函数模型，利用函数性质解决实际问题 理解 选择 1、函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程 的实数x称为函数y＝f(x)的 ． (2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的 ，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的 ．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根． 2、零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立． 3、运用二分法求近似解 （1）二分法的概念 对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解 ，进而得到方程的近似解的方法叫做二分法． （2）区间的中点 一般地，我们把x＝称为区间的中点． （3）用二分法求方程近似解的步骤： 给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤如下： 首先确定区间，验证 ，给定精确度ε； 其次求区间的中点c； 最后计算； ①若 ，则c就是方程的解； ②若，则令(此时方程的解)； ③若，则令(此时方程的解)； （4）判断是否达到精确度ε：即若，则得到方程近似解(或)；否则重复(2)～(4) 4、函数模型的应用 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值变化而各有不同 要点诠释： （1）“指数爆炸”的含义是：当时，指数函数随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快 ，呈“爆炸”趋势；当时，指数函数随着x的增大而减小，且逐步趋向于0. （2）一般地，在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增大”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. （3）当x足够大时，，，的大小关系是： 5、 函数的实际应用 （1）几类常见的函数模型 ①一次函数模型：； ②反比例函数模型：； ③二次函数模型：； ④指数函数模型：； ⑤对数函数模型：； ⑥幂函数模型：. （2）用函数模型解应用题的四个步骤： ①审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ③求模——求解数学模型； ④还原——将数学结论还原为实际问题 考点一 求函数的零点 例题1 （2023高二下·新疆·学业考试）函数的零点是（    ） A． B． C．0 D．1 例题2 （2024高二下·安徽·学业考试）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2022高二·江苏·学业考试）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 1．函数的零点为（    ） A．2 B．1 C．0 D．4 2．函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二 求函数的零点个数 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2 （2020高二·北京·学业考试）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3 （2022高三上·浙江·学业考试）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．函数零点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 3．已知函数则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 考点三 判断零点所在区间 例题1 （2025高二上·江苏·学业考试）函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 例题2 （2022高二上·福建·学业考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2023高二·湖南衡阳·学业考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 考点四 零点存在性定理的应用 例题1 （2022高二·江苏·学业考试）已知函数的零点在区间内，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题3 （2025辽宁学业考试）已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 1．已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点在区间内，则整数（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（    ） x 1 2 3 4 5 6 7 123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点五 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 例题2 （2025高二·江苏·学业考试）已知函数若存在实数满足，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 例题3 （2024高二上·福建·学业考试）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 1．设函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，则的取值范围是______. 3．已知函数，若方程有4个根分别为，，，，且，则的取值范围是_________. 4.已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________；若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是_____________. 考点六 函数模型的应用 例题1 下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（ ） A. 幂函数 B. 指数函数 C. 三角函数 D. 对数函数 例题2 （2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 例题3 （2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 1．厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示 不超过12的部分 3元/ 超过12不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ 若小曾同学用水量为16，则应交水费（    ）（单位：元） A．48 B．60 C．72 D．80 2．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 3．加快县域范围内农业转移人口市民化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县 城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 4.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 练 1．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 9．函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 10．已知函数. (1)求的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数． 11．函数的零点个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 12．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是_______. 13．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______． 14．已知函数，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：函数存在唯一零点； (3)设，证明：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数应用 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 求函数的零点 考点二 求函数的零点个数 考点三 判断函数零点所在区间 考点四 零点存在性定理的应用 考点五 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 考点六 函数模型的应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数的应用 函数的零点 理解函数零点的定义，知道函数零点、方程的实数根、函数图像与 x 轴交点横坐标三者的等价关系，会转化这三者之间的问题 掌握 选择 零点存在性定理 理解零点存在性定理的内容，清楚定理使用的前提条件，知道定理正向成立、反向不一定成立，能利用定理判断零点是否存在 理解 选择 二分法求方程近似解 了解二分法的含义，熟悉二分法求近似解的完整步骤，会判断区间中点，能按照精确度要求逐步缩小零点所在区间 了解 选择 指数、对数、幂函数的增长差异 了解三种函数在正区间上都是递增的；分清指数爆炸、对数增长、幂函数平稳增长的特点，知道自变量足够大时三者增长速度的快慢顺序 了解 选择 常见函数模型 认识一次、反比例、二次、指数、对数、幂函数这几类常用的函数模型，能区分不同模型对应的变化特点 了解 选择 函数模型的实际应用 掌握函数应用题的解题步骤：审题、建模、求模、还原；能把简单实际问题转化为函数模型，利用函数性质解决实际问题 理解 选择 1、函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． (2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根． 2、零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立． 3、运用二分法求近似解 （1）二分法的概念 对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解 ，进而得到方程的近似解的方法叫做二分法． （2）区间的中点 一般地，我们把x＝称为区间的中点． （3）用二分法求方程近似解的步骤： 给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤如下： 首先确定区间，验证 ，给定精确度ε； 其次求区间的中点c； 最后计算； ①若 ，则c就是方程的解； ②若，则令(此时方程的解)； ③若，则令(此时方程的解)； （4）判断是否达到精确度ε：即若，则得到方程近似解(或)；否则重复(2)～(4) 4、函数模型的应用 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 要点诠释： （1）“指数爆炸”的含义是：当时，指数函数随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快 ，呈“爆炸”趋势；当时，指数函数随着x的增大而减小，且逐步趋向于0. （2）一般地，在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增大”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. （3）当x足够大时，，，的大小关系是： 5、 函数的实际应用 （1）几类常见的函数模型 ①一次函数模型：； ②反比例函数模型：； ③二次函数模型：； ④指数函数模型：； ⑤对数函数模型：； ⑥幂函数模型：. （2）用函数模型解应用题的四个步骤： ①审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ③求模——求解数学模型； ④还原——将数学结论还原为实际问题 考点一 求函数的零点 例题1 （2023高二下·新疆·学业考试）函数的零点是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由零点的定义求解即可. 【详解】令，得， 故函数的零点是0. 故选：C 例题2 （2024高二下·安徽·学业考试）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 例题3 （2022高二·江苏·学业考试）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】令，求解方程即得. 【详解】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 1．函数的零点为（    ） A．2 B．1 C．0 D．4 【答案】D 【分析】直接令求解. 【详解】令， 即 ， 所以 ， 解得， 故选：D 2．函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点. 【详解】令，则， 即函数的零点为0， 故选：B 3．函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分和两种情况，直接解方程即可. 【详解】当时，由解得； 当时，令，显然无实数解. 综上，函数的零点为0. 故选：A 考点二 求函数的零点个数 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断零点个数. 【详解】根据，所以其定义域为， 因为函数与函数在上都是增函数， 所以在上也是增函数； 又，， ，根据零点存在性定理在区间上存在唯一零点， 所以函数的零点个数为1个. 故选：A 例题2 （2020高二·北京·学业考试）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接令即可得出结果. 【详解】令，解得，即函数的零点的个数为1， 故选：B. 例题3 （2022高三上·浙江·学业考试）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数； 【详解】令． ①当时，，则函数在上单调递增， 由于，由零点存在定理可知，存在，使得； ②当时，，由，解得． 作出函数，直线的图象如下图所示：    由图象可知，直线与函数的图象有两个交点； 直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5． 故选：D． 1．函数零点的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案. 【详解】在上单调递减， ， ，所以零点所在的区间是,所以该函数只有一个零点. 故选：B 2．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据二次函数与二次方程间的关系，利用判别式即可判断函数的零点个数. 【详解】函数的零点个数等价于根的个数， 因为，即有2个根， 所以函数有2个零点. 故选：C 3．已知函数则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】通过换元，，则可以转化为与的交点的个数，画出图像既可以解决. 【详解】设，则， 令，即， 转化为与的交点，画出图像如图所示：    由图像可知，，所以函数有一个解， 有三个解，故的零点个数是4个. 故选： 4．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 考点三 判断零点所在区间 例题1 （2025高二上·江苏·学业考试）函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据零点存在定理即可判断. 【详解】，且， ，． 在区间内存在零点．故选B． 例题2 （2022高二上·福建·学业考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点存在定理即可判断. 【详解】解：因为为上的增函数，又，， 所以函数的零点所在的区间是， 故选：B. 例题3 （2023高二·湖南衡阳·学业考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项. 【详解】函数为增函数， ，，，， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合的单调性以及零点存在性定理求得正确选项. 【详解】在上递增， ， ， ，所以的唯一零点在区间. 故选：C 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的单调性，然后分别计算出的取值正负，结合零点存在性定理确定出零点所在区间. 【详解】因为，显然为上的增函数， 又因为， 所以有唯一零点且在区间内， 故选：B. 3．函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的单调性，计算得到答案. 【详解】当时，，在上单调递增， ，则函数的零点所在的大致区间为. 故选：B 4．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若且连续，则满足零点存在性定理的两个条件， 所以在区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 考点四 零点存在性定理的应用 例题1 （2022高二·江苏·学业考试）已知函数的零点在区间内，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为，， 所以函数在区间内有零点，所以. 故选：C. 例题2 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 例题3 （2025辽宁学业考试）已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】D 【分析】在上单调递增，结合零点存在性定理计算可判断结论. 【详解】因为在上单调递增，所以至多一个零点， 又， 又为的根，所以，故A错误； 又， 又为的根，所以，故B错误； 由，又为的根，可得，故C错误，D正确. 故选：D. 1．已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果. 【详解】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又，. 故选：B 2．已知函数的零点在区间内，则整数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【详解】易知函数为增函数，且， 观察可知，，则的零点在区间内， 故. 故选：B 3．已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（    ） x 1 2 3 4 5 6 7 123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得. 【详解】由数表可知，. 则，，， 又函数的图象是连续不断的， 由零点存在性定理可知，函数分别在上至少各一个零点， 因此在区间上的零点至少有3个． 故选：B. 考点五 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，由图可得，，再利用均值不等式即可求解. 【详解】函数的图象如图， 因为，， 由图可知，， ，即， 解得，且， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 例题2 （2025高二·江苏·学业考试）已知函数若存在实数满足，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】根据解析式,画出函数图像.去绝对值并结合对数的运算性质求得,根据正弦函数的对称性求得,即可得解. 【详解】函数,画出函数图像如下图所示: 由函数图像可知,若,则 因为,与关于对称 则 去绝对值化简可得 即,由对数运算可得 所以， 则． 故选：C ． 例题3 （2024高二上·福建·学业考试）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为且， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数的取值范围为. 1．设函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，利用转化思想，把问题转化为两个函数图象之间的交点问题，最后利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】画出的图象如下图． 方程有三个不同的实数解，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点， 当时，函数， 该二次函数图象开口向上，最低点为，且， 所以由数形结合思想可知：． 2．已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，则的取值范围是______. 【答案】（10，12） 【分析】作出函数的图像，设，可得，，且，则，得出答案. 【详解】作出函数的图像，设，如图. 方程有四个不等的实根，则 所以为在上与的两个交点的横坐标. 由，即， 所以，即，所以 为在上与的两个交点的横坐标. 所以 当时的两个实数根为 ，则 则，且 所以 故答案为： 3．已知函数，若方程有4个根分别为，，，，且，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】画出的图象，根据题中条件，得到的图象与直线有四个不同的交点，由图象求出的范围，根据题中得出，即可得出结果. 【详解】画出的图象如下： 因为方程有4个根，则函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图象可得，； 又由题意可得，与是方程的两根，与是方程的两根， 则，则， 则. 故答案为：. 4.已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________；若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】作出函数的图象，利用曲线与直线有3个公共点得解；作出 的图象及直线，并求出m的范围，结合方程探求的关系即可计算作答. 【详解】作出函数的图象及直线，如图， 观察图象知，曲线与直线有3个公共点时，， 而曲线与直线交点的横坐标即为方程的解， 所以方程恰有3个不等实根，实数的取值范围是. 作出的图象及直线，如图， 方程恰有4个不相等的实数根，即函数的图象及直线有4个公共点，则， 不妨令，则是方程的二根，有，而，则有，即， 是方程，即的二根，则，于是得. 所以的取值范围是. 故答案为：； 考点六 函数模型的应用 例题1 下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（ ） A. 幂函数 B. 指数函数 C. 三角函数 D. 对数函数 【答案】C 【分析】根据因变量的数据的规律判断即可. 【详解】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 例题2 （2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 例题3 （2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项. 【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 故选：B 1．厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示 不超过12的部分 3元/ 超过12不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ 若小曾同学用水量为16，则应交水费（    ）（单位：元） A．48 B．60 C．72 D．80 【答案】B 【分析】根据给定的数表，分段计算即可作答. 【详解】因为小曾同学用水量为16，则不超过12的部分的水费为（元）， 显然没有超过18，则超过12不超过18的部分的水费为（元）， 所以应交水费为（元）. 故选：B 2．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解， 【详解】当时，，代入解析式得，得， 令，解得，即，， 故选；C 3．加快县域范围内农业转移人口市民化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】由题意可得该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数，即可得解. 【详解】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增， 则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数. 故选：B. 4.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 练 1．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零点定义计算即可. 【详解】令，解得，则其零点为2. 故选：C. 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数单调性和零点存在性定理即可. 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 3．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案. 【详解】因为均为增函数， 所以函数在上单调递增， 且，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：D. 4．已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 5．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求分段函数的零点，令每段等于0解方程，取符合每段范围的的值即可． 【详解】当时，令，得（舍去）或（舍去）； 当时，令，得； 所以零点有1个. 故选：B. 6．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 7．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 8．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 9．函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 10．已知函数. (1)求的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）设即可求出的对称轴方程； （2）根据图象变换求出，换元画出图象即可求解. 【详解】（1），设， 的对称轴方程为； （2）由题意得：，， 令，，求出在的零点个数即可， 令，解得，， 求在与和的交点个数， 由图像易知有11个交点， 即在上的零点个数有11个. 11．函数的零点个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【分析】可知为偶函数，令，结合图象分析与的交点个数，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得，    由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 故选：D. 12．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据图象，以及函数关系，得到，，代入后转化为二次函数求取值范围. 【详解】如图，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则 ，，， 即，则， ， ， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】画出函数与的图象，进而确定正确答案． 【详解】画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 14．已知函数，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：函数存在唯一零点； (3)设，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，解不等式即得； （2）根据函数的单调性及零点存在定理证明； （3）由题可得，然后根据函数的单调性，利用作差法结合二次函数的性质证明. 【详解】（1）因为， 由，可得， 所以，即，又， 所以； （2）证明：因为函数，其中， 所以在上单调递增，且， ， 所以由零点存在定理，得在内有唯一零点，即函数存在唯一零点； （3）证明：若，则， 所以，又，， 所以 ， 令， 又，所以的图象开口向上， 对称轴， 所以在上单调递增， 所以 ， 即， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $