学考专题11 立体几何初步：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题11 立体几何初步 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 斜二测画法 考点二 空间几何体的表面积与体积 考点三 空间中直线与平面的位置关系 考点四 空间中平面与平面的位置关系 考点五 异面直线的夹角 考点六 直线与平面的夹角 考点七 平面与平面的夹角及二面角 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 立体几何 斜二测画法 了解斜二测画法的规则，会用斜二测画法画出简单平面图形的直观图，能进行原图与直观图的面积换算 了解/理解 选择、填空 空间几何体的表面积与体积 理解柱、锥、台、球的结构特征，熟记表面积、体积公式，能够计算简单几何体以及组合体的表面积和体积 掌握 选择、填空 空间中直线与平面的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，掌握线面平行、垂直的判定定理与性质定理，能进行线面平行、垂直的证明 理解（证明） 选择、解答 空间中平面与平面的位置关系 理解面面平行、面面垂直的定义，掌握面面平行、垂直的判定定理与性质定理，能完成面面平行、垂直的推理论证 理解（证明） 选择、解答 异面直线的夹角 理解异面直线夹角的定义与范围，掌握平移法找异面直线夹角，会求解异面直线所成角 理解（会求） 选择、填空、解答 直线与平面的夹角 理解线面角的定义与范围，掌握找线面角的方法，能够求解直线与平面所成角 理解（会求） 选择、填空、解答 平面与平面的夹角及二面角 理解二面角、面面夹角的定义与范围，会找二面角的平面角，能求解二面角的大小 理解（会求） 选择、填空、解答 1、空间几何体及其表面积与体积 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 （3）直观图 直观图 斜二测画法： ①在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面； ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段； ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半 （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l （5）柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【常用结论】直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝S原图形 2、直线、平面平行的判定与性质 （1）线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ⇒a∥b （2）面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 3、直线、平面垂直的判定与性质 （1）直线与平面垂直 ①直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． ②判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b （2）平面与平面垂直 ①平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 4、空间角度的计算 （1）异面直线所成角的求解 ①平移法.在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；也可在两条异面直线外空间选择“特殊点”，分别作两条两异面直线的平行线（单移或双移）。平移线段到三角形中计算。 ②补形法.把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，从而发现两条异面直线间的关系. （2）直线与平面所成角的求解 ①作垂线：如图1，要求直线PA与平面所成的角，只需过P作的垂线，找到垂足O，求. ②算距离：如图2，若不方便过P作平面的垂线，也可用等体积法或其它方法求出点P到平面的距离d，再按来求线面角. （3）二面角的求解（通常通过平面角求解） ①定义法.直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，在相应的平面图形中计算. ②三垂线法.作平面角。若与棱垂直的射线好找，则直接作，否则如图3，可先过内的点P作的垂线，找到垂足A，再过P作l的垂线PO，垂足为O，则由三垂线定理知，所以即为二面角的平面角，这种找二面角的方法叫做三垂线法，其中PO和OA的作法可交换. ③垂面法.已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线，所成的角即为平面角，二面角的平面角所在的平面与棱垂直. ④射影法.利用面积射影公式：，其中为平面角的大小. 【特别提醒】 空间的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，求空间角首先要把它转化为平面角（即降维策略的应用），然后用代数的方法、三角的方法求解，或者直接用向量的方法求解，异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是. 考点一 斜二测画法 例题1 （2023·河南·学业考试）已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案. 【详解】直观图的面积，设原图面积， 则由，得. 故选：C. 例题2 （2025上海）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是___________________ 【答案】 【分析】先由直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积. 【详解】还原该坐标系和直观图可得： 由斜二测画法的规定可知： ，， 则. 故答案为：. 例题3 （2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直观图的面积，再利用原图形面积是直观图面积的求解即得. 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 1．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用面积公式得到的面积，把斜二测画出的三角形还原原图象，求得的面积，计算判断即可. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：A.    2．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，则这个平面图形的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在直观图中，∵∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC ∴AD=1，BC=1+， ∴原来的平面图形上底长为1，下底为1+，高为2， ∴平面图形的面积为×2=2+． 故选：B． 考点二 空间几何体的表面积与体积 例题1 （2024江苏）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式计算. 【详解】根据题意，圆柱的体积为. 故选：D. 例题2 （2025江苏）在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 例题3 （2025江苏）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，推导出，求出的长，再利用梯形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，故，，， 因为，，，所以， 所以， 因为，由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，故四边形的面积为. 故选：B.    1．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设该圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以该半圆的弧长为． 则这个圆锥的底面半径为. 2．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】设圆锥的高为，则，解得． 3．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为______. 【答案】 【分析】由圆柱的底面积公式、侧面积公式、体积公式可解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 由题意可知，解得. 所以该圆柱的体积为. 故答案为：. 4．（2026高二下·湖南·学业考试真题）将一个棱长为的正方体铁块切削成一个球体零件，则可能制成的最大零件的体积为________． 【答案】 【分析】根据正方体的内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：该球为正方体的内切球，所以该球的半径为， 所以可能制成的最大零件的体积为. 考点三 空间中直线与平面的位置关系 例题1 （2024江苏）已知直线平面，则（ ） A. 与内所有直线都平行 B. 内不存在直线与垂直 C. 过的平面与必平行 D. 内有无数条直线与垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面平行定义可得答案. 【详解】对于A，直线平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 例题2 （2025江苏）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质和判定进行判断即可. 【详解】因为平面，，所以平面，所以“”是“平面”的充分条件； 由于平面，平面，所以， 所以综上，“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 例题3 （2024江苏）如图，已知正方体.求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1） 由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； （2） 由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则上平面 【解析】 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 1．如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据空间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 2．在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（   ） A．或 B．或与相交 C．或与相交 D．或或与相交 【答案】D 【分析】根据题意，根据异面直线的定义和直线与平面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线是异面直线，且直线平行于平面， 根据直线与平面的位置关系，可得直线与平面可能平行，相交或在平面内. 3．已知表示平面，表示直线，则的一个充分条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于ABC，直线也可能在平面内，不能推出，ABC错误； 对于D，，， 根据面面平行的性质可得，是充分条件，D正确． 4.如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】对于AB选项，若平面、平面成立，则必有、成立，根据题目条件判断这两垂直条件是否成立即可；对于C，由即可得到；对于D，取AC中点H，连接GH，可知面GHF，再和平面EFG比对即可判断． 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． ． 考点四 空间中平面与平面的位置关系 例题1 （2025高二上·河北·学业考试）已知是3个不同的平面，且，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由空间中平面与平面关系依次判断即可. 【详解】对于AB，若且，则或， 例如：正方体中三个面共顶点时三个面两两互相垂直；上下底面与侧面垂直，而上下底面互相平行，故AB错误； 对于CD，设，在平面内作直线， 因为，根据面面垂直的性质，所以. 过作一个平面与平面相交于直线， 由，得，所以. 又，所以，故C正确，D错误. 故选：C 例题2 （2025高三上·天津·学业考试）已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中点线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，，则可能，故A错误； 选项B：因，如图过作平面，交平面于b， 根据线面平行的性质定理，可得，因为，所以， 又因，所以，故B正确； 选项C：若，，则可能或或与相交，故C错误； 选项D：若，，，则与可能相交，故D错误. 故选：B 例题3 （2026高二·山东·学业考试）如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 【答案】A 【分析】利用面面垂直的判定定理求证A选项，设平面平面，求证，得出为二面角的平面角，即可判定平面与平面不垂直. 【详解】平面平面，， 又，平面.，平面. 平面，∴平面平面. 由，，平面，得平面. 平面，平面平面. 设平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面与平面不垂直. 1．已知和表示两个不重合的平面，和表示两条不重合的直线，则平面平面的一个充分条件是（    ） A．，且 B．，且， C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】分别考虑各选项中平面与相交时，是否符合所给的条件，即可得到答案. 【详解】A、B、C选项中平面和平面均有可能相交；D中由，可得，又，所以. 故选:D. 2．对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 3．如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) 因为M，N分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 因为，所以， 因为底面，底面，所以， ,平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由三角形中位线得线线平行，再说明线面平行即可； （2）根据线面垂直的判定定理，证得线面垂直，由面面垂直的判定定理说明面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 考点五 异面直线的夹角 例题1 （2022高二下·甘肃·学业考试）正方体中，直线与直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小. 【详解】在正方体中，如图，连接， 由于平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面，平面，故， 所以直线与直线所成的角是， 故选：D 例题2 （2023高二下·安徽·学业考试）如图，在正方体中，直线与所成的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，证明，则即为直线与所成的角或其补角，根据正三角形即可求解. 【详解】连接，，在正方体中， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是， 故选：. 例题3 （2023高二·山西·学业考试）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．    (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点，连接，    ∵分别为的中点，∴，， 由，且， ∴，且 ， ∴四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， ∴平面； (2)与所成角的余弦值为. 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面； （2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以为直线与所成角， 中，， 直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，    则，，，， ，所以为等腰三角形，则， 中，， 所以， 中，， 所以 所以与所成角的余弦值为. 1．在正方体中，异面直线与所成角的大小为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 为等边三角形可以其大小． 【详解】如图，连接， 因为，所以异面直线与所成的角为或其补角. 因为为等边三角形，所以.故选C. 2．在正方体中，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质即可求解. 【详解】在正方体中，, 故直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角, 由于，故直线与直线所成的角为, 故选：A 3．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的棱长为，连接，证明可得或其补角即为直线与直线所成角，在中求即可求解. 【详解】设正方体的棱长为，连接， 因为且，所以四边形是平行四边形， 可得， 所以或其补角即为直线与直线所成角， 在中，，所以， 所以直线与直线所成角大小为， 故选：C. 考点六 直线与平面的夹角 例题1 （2024江苏）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可. 【详解】 在正方体中，设， 又因为平面， 所以直线与平面所成角为，所以正切值. 故选：D. 例题2 （2023高二·湖南·学业考试）如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为____________．    【答案】 【分析】根据线面角的知识求得正确答案. 【详解】连接，由于平面， 所以是直线与平面所成角， 设正方体的边长为，则， 所以， 所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为. 故答案为：    例题3 （2025高三上·广东·学业考试）在图中，是一个正方体．与相交于是的中点．若与平面之间的夹角是，则（　　）    A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，则与平面之间的夹角，利用边长关系即可求解. 【详解】取的中点，连接，，    因为在正方体中，是的中点，所以， 所以由正方体结构性质得平面，又平面， 所以，则与平面之间的夹角， 不妨假设正方体的边长为，则，， 所以. 故选：D 1．如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角的定义，确定直线与平面ABCD的夹角，解三角形求其大小. 【详解】因为多面体为正方体， 所以平面，平面 所以，所以， 由平面可得为直线与平面ABCD的夹角， 设, 在中，,，， 所以， 故选：D. 2．正方体中，对角线与底面所成的角的正切等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的性质，可得AC是在底面ABCD的射影，为对角线与底面ABCD所成角，在中求解． 【详解】如图设正方体棱长为1，连接AC． 根据正方体的性质，可得AC是在底面ABCD的射影， 为对角线AC1与底面ABCD所成角． 在中，，故选D． 3．如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法求线面角，连接体对角线，可得平面，与平面交于点，则为所求线面角，在中求解即可得解. 【详解】 不妨设正方体的边长为2， 在正方体中连接体对角线， 可得平面，设与平面交于点， 利用等体积法可得， 解得， 连接，则为所求线面角， 所以， 所以. 故选：B 4.如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 【答案】(1) 证明：平面，平面，∴，同理， 是圆直径，在圆周上，因此， 又，平面，∴平面； (2)． 【分析】（1）由已知线面垂直得，由圆性质得，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直； （2）由（1）得是与平面所成的角，然后求出，再利用直角三角形得结论． 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，∴是与平面所成的角， 又平面，∴， 由已知，，所以， ∴与平面所成的角是． 考点七 平面与平面的夹角及二面角 例题1 （2025高三上·江苏·学业考试）在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二面角的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 例题2 （2024黑龙江）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【分析】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【详解】如图，    设，取的中点为，连接， 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 例题3 （2025高二·安徽·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) 因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 1．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出正四棱锥，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，则为侧面与底面所成的角，从而在直角三角形POH中即可求解. 【详解】解：如图所示，正四棱锥，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH， 因为，，所以为侧面与底面所成的角， 又，，， 因为为高，所以平面，所以， 所以在直角三角形POH中， 所以侧面与底面所成角的余弦值为 故选: B. 2．已知正四棱锥的侧棱长为底面边长的倍，则侧面与底面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四棱锥 的底面边长为1，结合图形求出相关线段的长，作出并证明侧面与底面的夹角，借助于直角三角形即可求得答案. 【详解】设正四棱锥 的底面边长为1，则侧棱长为， 设O为底面正方形的中心，设M为的中点，连接， 则平面，而，, 则 又O为底面正方形的中心，M为的中点，则， 又，则，故为侧面与底面的夹角， 因, 在中，， 即侧面与底面夹角的余弦值为 故选：A 3.已知正四面体，则二面角的余弦值为______． 【答案】 【分析】取中点，连接，则，，由二面角的概念可知即为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为正四面体，所以， 所以，， 又因为平面平面，所以结合图象可知即为二面角的平面角， 设正四面体的棱长为，则，， 在中由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值为， 故答案为： 练 1．已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据直线与平面所成角的定义可得. 【详解】因为直线l和平面α相交但不垂直时，直线与直线在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成角.如图： 所以角的范围为； 当直线l与平面垂直时，所成角为. 所以直线l和平面α相交时，直线与平面所成角的范围为. 故选：B. 2．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 3．已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的性质求得圆锥的高和底面半径，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，又母线长为，而母线与底面所成的角是， 则，， 所以体积为， 故选：A． 4．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理、性质定理和面面平行的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，两条不同的直线a，b和两个不重合的平面， 对于A中，若且，可得或，所以不正确； 对于B中，由，可得，又由，可能，所以不正确； 对于C中，由且，根据面面平行的性质，可得所以正确； 对于D中，由且，可得或，所以不正确. 故选：C. 5．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由正方体知平面， 故∠为与平面所成角， 在直角三角形中求解即可. 【详解】连接，如图所示： 则设正方体棱长为1 ∵平面， ∴∠为与平面所成角， 在中，， ， ∴. 故选：D. 6．已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得. 【详解】如图，在长方体中， 选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面， 显然有，但不满足，所以A错误； 选项B：记为直线，则满足，但不满足，所以B错误； 选项C：记为直线，为直线，则满足，但不满足，所以C错误； 选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确． 7．已知四棱锥底面为正方形，平面，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】推导出，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，故为锐角，A错； 对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合， 矛盾，假设不成立，C错； 对于D选项，若平面，则与平面无公共点， 这与平面矛盾，假设不成立，D错. 故选：B. 8．祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D 9．在三棱锥中，底面，，E ， F分别是BC，PC的中点． (1)证明：平面； (2)证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答. （2）由已知结合线面垂直的性质、判定证得平面，再由线面垂直的性质结合（1）中信息推理作答. 【详解】（1）在中，因为E，F分别是BC，PC的中点，则， 因为平面，平面，所以平面． （2）因为底面，平面，则， 又平面，因此平面， 而平面，于是，由（1）知， 所以. 10．如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 证明：，， ，是直角三角形， 又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 11．在空间中，有一平面，平面内有一直线，平面外有一点，下列说法正确的是（    ） A．过点且与平面垂直的直线不止一条 B．过点且与直线垂直的直线有且仅有一条 C．过点的直线与直线的夹角的余弦值有可能为 D．过点的直线与平面的夹角的余弦值不可能为 【答案】D 【分析】根据线线垂直、线面垂直的定义可判定A、B，利用线线夹角与线面夹角的定义可判定C、D. 【详解】过点且与平面垂直的直线有且只有一条，故A错误； 过点且与直线垂直的直线有无数条，故B错误； 两条直线的夹角范围在，所以其余弦值不能是负数，故C错误； 直线与平面的夹角范围在，所以其余弦值不能是负数，故D正确. 故选：D 12．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出图象，设底面边长为，求出侧棱长和高，从而求出斜高，再求出二面角的余弦值. 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面， 即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角， 设底面边长为，则， 因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，所以， 则，即，所以， 所以， 所以， 所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为. 故选：C． 13．瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A．556π B．900π C．732π D．588π 【答案】D 【分析】根据圆台、圆柱及球的体积计算公式可得. 【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9， 所以该瓷器的体积为, 故选：D 14．如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 立体几何初步 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 斜二测画法 考点二 空间几何体的表面积与体积 考点三 空间中直线与平面的位置关系 考点四 空间中平面与平面的位置关系 考点五 异面直线的夹角 考点六 直线与平面的夹角 考点七 平面与平面的夹角及二面角 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 立体几何 斜二测画法 了解斜二测画法的规则，会用斜二测画法画出简单平面图形的直观图，能进行原图与直观图的面积换算 了解/理解 选择、填空 空间几何体的表面积与体积 理解柱、锥、台、球的结构特征，熟记表面积、体积公式，能够计算简单几何体以及组合体的表面积和体积 掌握 选择、填空 空间中直线与平面的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，掌握线面平行、垂直的判定定理与性质定理，能进行线面平行、垂直的证明 理解（证明） 选择、解答 空间中平面与平面的位置关系 理解面面平行、面面垂直的定义，掌握面面平行、垂直的判定定理与性质定理，能完成面面平行、垂直的推理论证 理解（证明） 选择、解答 异面直线的夹角 理解异面直线夹角的定义与范围，掌握平移法找异面直线夹角，会求解异面直线所成角 理解（会求） 选择、填空、解答 直线与平面的夹角 理解线面角的定义与范围，掌握找线面角的方法，能够求解直线与平面所成角 理解（会求） 选择、填空、解答 平面与平面的夹角及二面角 理解二面角、面面夹角的定义与范围，会找二面角的平面角，能求解二面角的大小 理解（会求） 选择、填空、解答 1、空间几何体及其表面积与体积 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 （3）直观图 直观图 斜二测画法： ①在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面； ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段； ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的 （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 （5）柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ 台体(棱台和圆台) S表面积＝ V＝ 球 S＝ V＝ 【常用结论】直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝S原图形 2、直线、平面平行的判定与性质 （1）线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 （2）面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3、直线、平面垂直的判定与性质 （1）直线与平面垂直 ①直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． ②判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）平面与平面垂直 ①平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 4、空间角度的计算 （1）异面直线所成角的求解 ①平移法.在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；也可在两条异面直线外空间选择“特殊点”，分别作两条两异面直线的平行线（单移或双移）。平移线段到三角形中计算。 ②补形法.把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，从而发现两条异面直线间的关系. （2）直线与平面所成角的求解 ①作垂线：如图1，要求直线PA与平面所成的角，只需过P作的垂线，找到垂足O，求. ②算距离：如图2，若不方便过P作平面的垂线，也可用等体积法或其它方法求出点P到平面的距离d，再按来求线面角. （3）二面角的求解（通常通过平面角求解） ①定义法.直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，在相应的平面图形中计算. ②三垂线法.作平面角。若与棱垂直的射线好找，则直接作，否则如图3，可先过内的点P作的垂线，找到垂足A，再过P作l的垂线PO，垂足为O，则由三垂线定理知，所以即为二面角的平面角，这种找二面角的方法叫做三垂线法，其中PO和OA的作法可交换. ③垂面法.已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线，所成的角即为平面角，二面角的平面角所在的平面与棱垂直. ④射影法.利用面积射影公式：，其中为平面角的大小. 【特别提醒】 空间的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，求空间角首先要把它转化为平面角（即降维策略的应用），然后用代数的方法、三角的方法求解，或者直接用向量的方法求解，异面直线所成角的范围是 直线与平面所成角的范围是 二面角的范围是 考点一 斜二测画法 例题1 （2023·河南·学业考试）已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025上海）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是___________________ 例题3 （2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 1．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 2．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，则这个平面图形的面积为 A． B． C． D． 考点二 空间几何体的表面积与体积 例题1 （2024江苏）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 例题2 （2025江苏）在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 例题3 （2025江苏）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D.    1．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（   ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为______. 4．（2026高二下·湖南·学业考试真题）将一个棱长为的正方体铁块切削成一个球体零件，则可能制成的最大零件的体积为________． 考点三 空间中直线与平面的位置关系 例题1 （2024江苏）已知直线平面，则（ ） A. 与内所有直线都平行 B. 内不存在直线与垂直 C. 过的平面与必平行 D. 内有无数条直线与垂直 例题2 （2025江苏）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 例题3 （2024江苏）如图，已知正方体.求证： （1）平面； （2）平面. 1．如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 2．在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（   ） A．或 B．或与相交 C．或与相交 D．或或与相交 3．已知表示平面，表示直线，则的一个充分条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 4.如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 考点四 空间中平面与平面的位置关系 例题1 （2025高二上·河北·学业考试）已知是3个不同的平面，且，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例题2 （2025高三上·天津·学业考试）已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 例题3 （2026高二·山东·学业考试）如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 1．已知和表示两个不重合的平面，和表示两条不重合的直线，则平面平面的一个充分条件是（    ） A．，且 B．，且， C．，且 D．，且 2．对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 考点五 异面直线的夹角 例题1 （2022高二下·甘肃·学业考试）正方体中，直线与直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2023高二下·安徽·学业考试）如图，在正方体中，直线与所成的角是（　　） A． B． C． D． 例题3 （2023高二·山西·学业考试）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．    (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值． 1．在正方体中，异面直线与所成角的大小为 A． B． C． D． 2．在正方体中，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 3．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ） A． B． C． D． 考点六 直线与平面的夹角 例题1 （2024江苏）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 例题2 （2023高二·湖南·学业考试）如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为____________．    例题3 （2025高三上·广东·学业考试）在图中，是一个正方体．与相交于是的中点．若与平面之间的夹角是，则（　　）    A． B． C． D．2 1．如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．正方体中，对角线与底面所成的角的正切等于（ ） A．1 B． C． D． 3．如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 4.如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 考点七 平面与平面的夹角及二面角 例题1 （2025高三上·江苏·学业考试）在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 例题2 （2024黑龙江）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 例题3 （2025高二·安徽·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 1．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱锥的侧棱长为底面边长的倍，则侧面与底面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3.已知正四面体，则二面角的余弦值为______． 练 1．已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A． B． C． D． 2．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 4．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥底面为正方形，平面，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 8．祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 9．在三棱锥中，底面，，E ， F分别是BC，PC的中点． (1)证明：平面； (2)证明． 10．如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．在空间中，有一平面，平面内有一直线，平面外有一点，下列说法正确的是（    ） A．过点且与平面垂直的直线不止一条 B．过点且与直线垂直的直线有且仅有一条 C．过点的直线与直线的夹角的余弦值有可能为 D．过点的直线与平面的夹角的余弦值不可能为 12．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 13．瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A．556π B．900π C．732π D．588π 14．如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $