学考专题06 三角函数：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题06 三角函数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 任意角与弧度制 考点七 三角函数的单调性及应用 考点二 弧长与扇形面积的有关计算 考点八 三角函数的图象与性质综合 考点三 任意角的三角函数的定义 考点九 三角函数的图象变换 考点四 同角三角函数的基本关系 考点十 三角函数的实际应用 考点五 诱导公式及应用 考点十一 两角和与差的三角函数公式 考点六 三角函数的周期性 考点十二 二倍角公式 考点十三 辅助角公式与三角函数图像与性质综合 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 三角函数 任意角与弧度制 了解任意角的概念，区分正角、负角、零角；理解象限角、终边相同角的含义；掌握角度与弧度的换算，熟悉扇形弧长、面积公式 理解/掌握 选择、填空 三角函数的定义 借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义；会判断三角函数在各个象限的符号；熟记特殊角的三角函数值 掌握 选择、填空 同角三角函数基本关系 理解平方关系、商数关系；能利用两个关系式进行化简、求值、证明，注意角的范围对符号的影响 掌握 选择、填空 诱导公式 理解诱导公式的推导逻辑（单位圆对称性），熟记诱导公式，能实现任意角三角函数向锐角三角函数的转化 掌握 选择、填空 三角函数图像与性质 掌握正弦、余弦、正切函数图像；能分析定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称轴、对称中心 掌握 选择、填空、解答 三角函数的应用 能用三角函数模型刻画简单周期变化的实际问题，解决简单实际情境问题 掌握 选择、填空 三角恒等变换 两角和与差公式 理解两角和、差的正弦、余弦、正切公式推导，熟练运用公式进行求值、化简、变形 理解/掌握 选择、填空 二倍角公式 掌握正弦、余弦、正切二倍角公式，熟悉余弦二倍角的三种形式，会进行升幂、降幂变形 掌握 选择、填空 辅助角公式 会把同角的正弦、余弦线性组合化成单一三角函数形式，用于求最值、单调区间、值域 掌握 选择、填空 给角求值、给值求值、给值求角 分清三类题型，求值时优先确定角的范围，判断三角函数符号；求角时先求该角的三角函数值，再结合范围定角 掌握 选择、填空 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为 ． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是 （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式： 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、同角的三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 5、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】 ，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 6、正弦、余弦、正切函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 7、与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值-假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心-假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性-假设． ①对于， ②对于， 8、三角函数图像变换-y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ) 9、两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式 10、二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 S(α+β) S2α 余弦 C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 考点一 任意角与弧度制 例题1 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 例题2 （2023高三上·广西·学业考试）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 例题3 （2023高二·安徽·学业考试）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 1．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 2．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 4.考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 考点二 弧长与扇形面积的有关计算 例题1 （2023高二下·江苏·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（    ） A．30 B． C． D． 例题2 （2024高二下·浙江·学业考试）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 例题3 （2023高三·广东·学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 1．一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 3．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为______（cm2） 4．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算_________．    考点三 任意角的三角函数的定义 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （24-25高二上·山东·学业考试真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例题3 （24-25高二下·安徽·学业考试）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 1．若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 考点四 同角三角函数的基本关系 例题1 （2023高二下·江苏·学业考试）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．2 D． 例题2 （2024高二下·湖北·学业考试）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例题3 （2023高三·广东·学业考试）已知角的终边经过点，则（    ） A．3 B．2 C． D． 1．已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．5 4．已知，求下列各式的值： (1)； (2). 5.已知，求下列各式的值 (1)； (2) 考点五 诱导公式及应用 例题1 （2024高三上·江苏·学业考试）已知是第四象限角，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 例题2 （2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二上·云南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为________． 3．已知，则______. 4.已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 考点六 三角函数的周期性 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数的最小正周期是（    ） A．2 B．4 C． D． 例题2 （2023高三上·广西·学业考试）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 1．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 3．函数最小正周期是（ ） A．3 B． C． D． 考点七 三角函数的单调性及应用 例题1 （2023高二上·江苏·学业考试）已知函数，，则的单调递增区间是（ ） A． B． C．， D．， 例题2 （2024高二上·北京·学业考试）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数． (1)求的值； (2)求的单调递增区间． 考点八 三角函数的图象与性质综合 例题1 （2022高二上·江苏·学业考试）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．的图像关于直线对称 例题2 （2025高三上·湖南·学业考试）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 1．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的一条对称轴为 C．函数的一个对称中心为 D．函数在区间上为增函数 2．设函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 3．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式； (2)将函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求使成立的x的取值集合． 考点九 三角函数的图象变换 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二下·湖南·学业考试）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 1．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 2．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点十 三角函数的实际应用 例题1 （2023高二·安徽·学业考试）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2023高二下·辽宁·学业考试）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（    ） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（    ） A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 1．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（    ）（参考数据：） A．时时 B．时时 C．时时 D．时时 2．据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（    ）（参考数据：，） A．441量 B．159量 C．473量 D．127量 3．某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 4.已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 考点十一 两角和与差的三角函数公式 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）若，则（    ） A． B． C．3 D． 例题2 （2023高二下·安徽·学业考试）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2022高二下·贵州·学业考试）（    ） A．0 B． C． D．1 1．（    ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．的值是（    ） A． B． C． D． 4.（    ） A． B． C． D． 考点十二 二倍角公式 例题1 （2023高三上·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二下·湖南·学业考试）计算（    ） A． B． C． D． 例题3 （2025高二下·陕西·学业考试）已知锐角满足，则_________. 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·浙江·学业考试）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 4已知为锐角，，则________． 考点十三 三角恒等变换（辅助角公式）与三角函数图像与性质的综合应用 例题1 （2025高二下·湖南·学业考试）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 例题2 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知函数． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值． 例题3 （2024高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数. (1)求的图象的对称中心； (2)当时，求的最值. 1．设已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 2．已知函数. (1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)若，且，求的值. 3.已知函数． (1)求的图象的对称中心和对称轴； (2)写出的单调递增区间； (3)当时，求的最值． 练 1．若，则角可以为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·安徽·学业考试）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 8．已知，为锐角，且，，则（    ）． A． B． C． D．或 9．已知， 的值为_________. 10．已知函数． (1)求的最小正周期T； (2)求的最小值以及取得最小值时的集合． 11．已知函数，当时，函数的最大值是（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 12．已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为______； （2）取最大值时，的一个取值为______. 13．已知函数. (1)求函数的对称轴与对称轴中心; (2)讨论函数的单调区间. 14．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 任意角与弧度制 考点七 三角函数的单调性及应用 考点二 弧长与扇形面积的有关计算 考点八 三角函数的图象与性质综合 考点三 任意角的三角函数的定义 考点九 三角函数的图象变换 考点四 同角三角函数的基本关系 考点十 三角函数的实际应用 考点五 诱导公式及应用 考点十一 两角和与差的三角函数公式 考点六 三角函数的周期性 考点十二 二倍角公式 考点十三 辅助角公式与三角函数图像与性质综合 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 三角函数 任意角与弧度制 了解任意角的概念，区分正角、负角、零角；理解象限角、终边相同角的含义；掌握角度与弧度的换算，熟悉扇形弧长、面积公式 理解/掌握 选择、填空 三角函数的定义 借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义；会判断三角函数在各个象限的符号；熟记特殊角的三角函数值 掌握 选择、填空 同角三角函数基本关系 理解平方关系、商数关系；能利用两个关系式进行化简、求值、证明，注意角的范围对符号的影响 掌握 选择、填空 诱导公式 理解诱导公式的推导逻辑（单位圆对称性），熟记诱导公式，能实现任意角三角函数向锐角三角函数的转化 掌握 选择、填空 三角函数图像与性质 掌握正弦、余弦、正切函数图像；能分析定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称轴、对称中心 掌握 选择、填空、解答 三角函数的应用 能用三角函数模型刻画简单周期变化的实际问题，解决简单实际情境问题 掌握 选择、填空 三角恒等变换 两角和与差公式 理解两角和、差的正弦、余弦、正切公式推导，熟练运用公式进行求值、化简、变形 理解/掌握 选择、填空 二倍角公式 掌握正弦、余弦、正切二倍角公式，熟悉余弦二倍角的三种形式，会进行升幂、降幂变形 掌握 选择、填空 辅助角公式 会把同角的正弦、余弦线性组合化成单一三角函数形式，用于求最值、单调区间、值域 掌握 选择、填空 给角求值、给值求值、给值求角 分清三类题型，求值时优先确定角的范围，判断三角函数符号；求角时先求该角的三角函数值，再结合范围定角 掌握 选择、填空 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式： 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、同角的三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 5、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 6、正弦、余弦、正切函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 7、与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值-假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心-假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性-假设． ①对于， ②对于， 8、三角函数图像变换-y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ) 9、两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式 10、二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 考点一 任意角与弧度制 例题1 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 例题2 （2023高三上·广西·学业考试）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】根据弧度和角度的互换计算即可. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 例题3 （2023高二·安徽·学业考试）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 1．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与角的终边相同的角为，，即可得出正确答案. 【详解】与角的终边相同的角为， 当时，，B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数， 即其他三个选项均不合要求. 故选：B 2．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 3．若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】根据的范围求出的范围即可得答案. 【详解】因为在第三象限 所以， 所以， 所以在第二、四象限. 故选：C. 4.考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 考点二 弧长与扇形面积的有关计算 例题1 （2023高二下·江苏·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合扇形的弧长进行求解即可. 【详解】因为30°， 所以扇形的弧长为， 故选：C 例题2 （2024高二下·浙江·学业考试）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】由题意，扇形的弧长为. 故选：C. 例题3 （2023高三·广东·学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解． 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得 故选：C． 1．一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 2．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长和底面圆半径，表示出底面圆的周长和面积，计算圆锥的侧面积，由已知写出等式，得到母线长与半径的关系，用圆心角的公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为， 则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ； 又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ； 由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ， 故选：C. 3．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为______（cm2） 【答案】/ 【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解. 【详解】因为，， 所以该扇形的弧长为（cm）， 故该扇形的面积（cm2）． 故答案为：. 4．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算_________．    【答案】/ 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】如图，连接，    因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故答案为： 考点三 任意角的三角函数的定义 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】根据题意，， . 故选：A. 例题2 （24-25高二上·山东·学业考试真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且知． 由和联立， 解得． 例题3 （24-25高二下·安徽·学业考试）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 1．若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由任意角的三角函数定义直接可得. 【详解】因为角的终边过点，所以，，， 由三角函数定义，即. 故选：A 2．已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】由可得. 故选：B 3．已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】通过判断的符号来确定点所在象限. 【详解】由于的终边位于第二象限， 所以， 所以位于第二象限. 故选：B 4．已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【分析】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以.． 考点四 同角三角函数的基本关系 例题1 （2023高二下·江苏·学业考试）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用弦化切即可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 原式. 故选：A. 例题2 （2024高二下·湖北·学业考试）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案. 【详解】将分子分母同除以可得： . 故选：D. 例题3 （2023高三·广东·学业考试）已知角的终边经过点，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出角的正弦、余弦值可得答案. 【详解】角的终边经过点，则到原点的距离为， 所以，， 所以. 故选：B. 1．已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 2．已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出的值，再由求解即可. 【详解】解：因为，是第四象限角， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据商数关系将变形为，再将代入计算即可. 【详解】因为，所以可知， 所以将的分子分母同时除以得到 ， 将代入上式可得. 故选：B 4．已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据，分式同除可得. （2）根据先将转化为，再将分式同除可得. 【详解】（1） （2） 5.已知，求下列各式的值 (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)2 【分析】（1）将分式的分子分母同除转化为用来表示，然后代入的值计算即可； （2）原式，将分式的分子分母同除转化为用来表示，然后代入的值计算即可 【详解】（1）原式； （2）原式. 考点五 诱导公式及应用 例题1 （2024高三上·江苏·学业考试）已知是第四象限角，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】先确定正弦，再利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简求值，即得答案 【详解】因为是第四象限角，所以， 故． 故选：D 例题2 （2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B 例题3 （2024高二上·云南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由诱导公式计算可得. 故选：B 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：A 2．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简分子分母，再将分子分母同时除以，把式子转化成含的表达式，代入即可求值. 【详解】原式． 3．已知，则______. 【答案】 【分析】利用诱导公式将式子化简可得，再利用同角三角函数之间的基本关系代入计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，由诱导公式可得； 显然，将的分子分母同时除以可得 ，即. 故答案为： 4.已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 考点六 三角函数的周期性 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数的最小正周期是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数性质可得最小正周期. 【详解】因为，所以的最小正周期为. 故选：D. 例题2 （2023高三上·广西·学业考试）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期判断即可. 【详解】因为的最小正周期为, 所以的最小正周期也为. 故选：A. 例题3 （2024高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数的周期公式求出即可； 【详解】由周期公式可得最小正周期为， 故选：C. 1．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期.故选：B. 2．下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 3．函数最小正周期是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由的最小正周期为得，故选：B． 考点七 三角函数的单调性及应用 例题1 （2023高二上·江苏·学业考试）已知函数，，则的单调递增区间是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【详解】可化为， 故单调增区间：，，解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是.故选：D 例题2 （2024高二上·北京·学业考试）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 例题3 （2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于，这里，其图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.  故A错误. 对于函数，这里. 根据一次函数的单调性，在上单调递增， 故B正确. 是周期函数，它的周期是. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数， 故C错误. 也是周期函数，周期为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故D错误. 故选：B. 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质，列式求解. 【详解】令，， 解得：， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数解析式转化为，求得，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间是． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间，利用复合函数性质，可得所求区间为，，化简即可求解. 【详解】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间, 令，，解得，， 所以原函数的单调递减区间为，. 故选：． 4.已知函数． (1)求的值； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1)1 (2)单调增区间为， 【分析】（1）利用辅助角公式求出，代入即可求解； （2）结合正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】（1）． ． （2）． 令，，解得， 所以的单调增区间为，． 考点八 三角函数的图象与性质综合 例题1 （2022高二上·江苏·学业考试）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．的图像关于直线对称 【答案】C 【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可． 【详解】由 对A项的最小正周期为，故A错； 对B项的最大值为，故B错； 对C.项当时，有，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错． 故选：C 例题2 （2025高三上·湖南·学业考试）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】直接由三角函数性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，由于，不为奇函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，显然的最大值为1，故C正确； 对于D，当时，， 由复合函数单调性、正弦函数单调性可知在上单调递增，故D错误. 故选：C. 1．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的一条对称轴为 C．函数的一个对称中心为 D．函数在区间上为增函数 【答案】D 【分析】根据函数，利用其图象和性质逐项验证判断. 【详解】因为函数， 所以，故A正确； 令 ，解得 ，故B正确； ，故C正确； 当 时， ，在上不单调，故D错误； 故选：D 2．设函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论. 【详解】对于的最小正周期为，故A错误； 对于B，，所以直线不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，当时， 在上的最小值为，故C错误； 对于D，的图象关于点对称，故D正确． 故选：D. 3．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式； (2)将函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求使成立的x的取值集合． 【答案】(1)表格补充如下： 0 x 0 2 0 0 ； (2). 【分析】（1）根据已知数据求参数可得，进而补充表格数据； （2）由图象平移得，结合正弦型函数性质解不等式求解集即可. 【详解】（1）由表格知：且，即，故， 由，则， 所以，表格补充如下： 0 x 0 2 0 0 （2）由题设，即， 即取值集合为. 考点九 三角函数的图象变换 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数图象的平移变换求解. 【详解】将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为. 故选：C. 例题2 （2024高二下·湖南·学业考试）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】直接利用函数图象的平移法则“左加右减”即可得到选项． 【详解】解：由到，只是横坐标由变为， 要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度． 故选：A． 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果. 【详解】对于A，得满足题意； 对于B，得不满足题意； C，得不满足题意； D，得不满足题意. 故选：A. 1．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换计算即可. 【详解】易知向右平行移动个单位长度可得 . 故选：A 2．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将化简，后由图象平移知识结合诱导公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，将其向右平移个单位长度， 得. 故选：A 3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 考点十 三角函数的实际应用 例题1 （2023高二·安徽·学业考试）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据频率的公式即可求解. 【详解】频率为， 故选：C 例题2 （2023高二下·辽宁·学业考试）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（    ） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（    ） A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 【答案】B 【分析】根据周期求得，进而求得正确答案. 【详解】由表中数据知，，即，解得，所以， 当时，． 故选：B 1．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（    ）（参考数据：） A．时时 B．时时 C．时时 D．时时 【答案】C 【分析】由三角函数的性质求解 【详解】当时，，则在上单调递增.设花开､花谢的时间分别为. 由，得，解得时； 由，得，解得时. 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：C 2．据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（    ）（参考数据：，） A．441量 B．159量 C．473量 D．127量 【答案】A 【分析】根据时的车流量为500求出，再求时的车流量可得答案. 【详解】由题意可得，可得， 解得，所以， 当时， （量）. 故选：A. 3．某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【答案】A 【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论. 【详解】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴， 所以，，即，.又， 即，所以. 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①. 又当时，，所以，所以②. 由①②解得，， 所以，则当时，℃. 故选：A. 4.已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，）. 【分析】（1）把代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得. （2）利用正弦函数的性质求出的表达式即可得解. 【详解】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 考点十一 两角和与差的三角函数公式 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正切公式运算求解. 【详解】由，即，解得. 故选：C. 例题2 （2023高二下·安徽·学业考试）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的正切值，再求出角. 【详解】因为，， 所以. 因为，为锐角，所以， 所以. 故选：B 例题3 （2022高二下·贵州·学业考试）（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据和角正弦公式化简求值即可. 【详解】由和角正弦公式知. 故选：D 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由题. 故选：B. 3．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和角公式，计算即可. 【详解】． 故选：D 4.（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】. 故选：C 考点十二 二倍角公式 例题1 （2023高三上·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 例题2 （2024高二下·湖南·学业考试）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用二倍角的正弦公式，配凑系数计算即得. 【详解】由. 故选：B. 例题3 （2025高二下·陕西·学业考试）已知锐角满足，则_________. 【答案】 【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用余弦二倍角公式，代入已知的的值计算即可求解. 【详解】因为，所以 ， 因此. 2．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件两边平方，由二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解． 【详解】由得， ， 得，得， 故选：B 3．（2024高二下·浙江·学业考试）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】对两边平方，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，两边平方可得， 即，解得. 故选：D. 4已知为锐角，，则________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，并利用二倍角正切公式计算出的值，再利用两角和的正切公式求出的值. 【详解】为锐角，则，， 由二倍角正切公式得， 因此，，故答案为. 考点十三 三角恒等变换（辅助角公式）与三角函数图像与性质的综合应用 例题1 （2025高二下·湖南·学业考试）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 例题2 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知函数． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦和角公式得即可求. （2）利用正弦型函数的性质即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以． （2）因为，所以． 所以． 当，即时，取得最大值． 所以在区间上的最大值为． 例题3 （2024高二下·浙江杭州·学业考试）已知函数. (1)求的图象的对称中心； (2)当时，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）将函数化为，令，解出，即可得到答案； （2）当时，，由正弦函数的单调性可得，，单调递增，，单调递减，所以函数取得最大值为，最小值为. 【详解】（1）函数， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）当时，，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数取得最大值为， 函数取得最小值为. 1．设已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)最小值是； (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. （2）令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 2．已知函数. (1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据三角恒等变换，将原式化简整理，得到，再结合正弦函数的周期性和对称性，即可求出结果； （2）先根据题中条件，确定，再由同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期为； 由可得， 即的对称轴为； （2）因为，所以， 又，所以， 因此， 故. 3.已知函数． (1)求的图象的对称中心和对称轴； (2)写出的单调递增区间； (3)当时，求的最值． 【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为 (2) (3)最小值为，最大值为2 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用正弦函数的性质求对称中心及对称轴. （2）根据，再利用正弦函数的性质解决单调递增区间. （3）根据正弦函数性质即可求得最大最小值. 【详解】（1）由题意，得函数． 令， 解得， 所以函数的对称中心为． 令， 解得， 所以函数的对称轴方程为． （2）由， 得， 所以的单调递增区间为． （3）当时，， 所以， 当即时，函数取得最小值为； 当即时，函数取得最大值为2． 练 1．若，则角可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案. 【详解】由于， 故，则角可以为， 故选：C 2．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当时，； 当时，可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：D 4．已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的面积计算公式可得. 【详解】由扇形的面积公式，可得， 故选：A. 5．（2024高二下·安徽·学业考试）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的对称轴计算求出对称轴. 【详解】的对称轴方程为, 即， 当时，为对称轴. 故选：C. 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 7．为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数的平移变换即可求解. 【详解】为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点向左平移个单位长度, 故选：D 8．已知，为锐角，且，，则（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值以及的范围，再利用两角和的正切公式求得的值，可得的值． 【详解】∵，为锐角，且，， ∴，，， ∴，故. 9．已知， 的值为_________. 【答案】2 【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 10．已知函数． (1)求的最小正周期T； (2)求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合正弦函数的周期公式即可求得答案； （2）根据正弦函数的性质即可求得答案. 【详解】（1）由得， 所以； （2）由（1）知，此时，即， 故x的集合为. 11．已知函数，当时，函数的最大值是（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】利用二倍角公式得到，结合，求出最大值. 【详解】时， ， 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：A 12．已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为______； （2）取最大值时，的一个取值为______. 【答案】 1 （答案不唯一） 【分析】根据倍角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则，即. 当取最大值时，， 即，， 即，， 所以的一个取值为. 故答案为：1；（答案不唯一）. 13．已知函数. (1)求函数的对称轴与对称轴中心; (2)讨论函数的单调区间. 【答案】(1)对称轴为,,对称中心为, (2)单调递增区间是,;单调递减区间是, 【分析】本题考查三角函数的整体代换思想.将看成一个整体,与的图像特征进行比较即可. 【详解】（1）令,, 解得, 所以函数的对称轴为,. 令,,解得,. 所以函数的对称中心为, （2）当,时, 解得,,故函数的单调递增区间是,; 令,,解得,, 故函数的单调递减区间是, 14．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用基本不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）由，则最小正周期. （2）由，即， 设，，， 当时，即，整理得到， 由，当且仅当，即时等号成立， 故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立， 故. 综上所述：，即. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $