学考专题10 复数：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题10 复数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 复数基本概念与辨析 考点二 复数四则运算与化简求值 考点三 共轭复数与复数模长计算 考点四 复数的几何意义 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 复数 复数基本概念与辨析 理解复数的相关概念，分清实部、虚部，能够识别实数、虚数、纯虚数，掌握两个复数相等的条件 理解（判断） 选择 复数四则运算与化简求值 掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则，能够对复数代数式进行化简、计算求值 掌握 选择、填空 共轭复数与复数模长计算 理解共轭复数的定义，掌握共轭复数的性质；理解复数模的含义，会计算复数的模，掌握模的相关运算性质 理解（会求） 选择、填空 复数的几何意义 理解复数与复平面内点、平面向量的对应关系，能利用几何意义解释复数运算、模的几何含义 理解 选择、填空 1、复数的基本概念 （1）复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，i2=-1，a为实部，b为虚部． （2）复数的分类： （3）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) （4）共轭复数 （1）定义：当；两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． （2）相关运算：①为实数，且为纯虚数； ②，；③，，； 2、复数的基本运算 （1）复数的四则运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ （2）复数运算的几个重要结论 ①(1±i)2＝±2i. ②＝i；＝－i. ③i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 3、复数的几何意义 （1）几何意义 ①复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． ②实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． ③复数的几何表示：复数复平面内的点平面向量． （2）复数的模 ①定义：设复数在复平面内对应的向量为，则向量的模叫作复数的模，记作或． ②计算公式：． 考点一 复数基本概念与辨析 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 例题2 （2025高二·山东·学业考试）是虚数单位，，则复数的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以复数的实部是. 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 1．已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 2．已知复数，要让z为实数，则实数m为________. 【答案】2 【分析】由复数的定义求解. 【详解】为实数，则，． 故答案为：2. 3．已知是实数，且，则x+y=_______ 【答案】7 【分析】根据给定条件，利用复数相等求出即可得解. 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 考点二 复数四则运算与化简求值 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棣莫弗公式化简求解. 【详解】由棣莫弗公式，. 故选：D. 例题2 （2024高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 例题3 （2022高二下·河北·学业考试）复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 【答案】D 【分析】根据复数除法运算求得正确答案. 【详解】由于，所以. 故选：D 1．已知是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的加法运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2．若复数满足，其中为虚数单位，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘除法和共轭复数的定义即可求解. 【详解】． 故选：B 3．已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 4．欧拉恒等式（其中为虚数单位，为自然底数对数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 考点三 共轭复数与复数模长计算 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数的实部为，虚部为，对应点的坐标为，故该点位于第一象限. 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的模的运算得到的值，再由复数的除法运算求出. 【详解】，即， ， 故选：A 1．若复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求出，根据共轭复数的定义求解. 【详解】由得，所以， 故选：A. 2．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意求出复数，写出，即可确定点的位置. 【详解】因为，所以，所以，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A． 3．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 4．（2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）已知为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算法则求得，再由模长公式求解，或利用复数模的性质求解. 【详解】因为，所以． （方法二）：. 故选：D． 考点四 复数的几何意义 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数的实部为，虚部为，对应点的坐标为，故该点位于第一象限. 例题2 （2024高二·江苏·学业考试）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】由复数几何意义可得答案. 【详解】在复平面对应的点为，该点在四象限. 故选：D 例题3 （2024高二上·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 1．已知复数，则在复平面内表示的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由复数乘法运算以及共轭复数的概念，利用复数的几何意义可求出结果. 【详解】由可得，， 所以在复平面内表示的点坐标为位于第三象限， 故选：C 2．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3．在复平面内，复数z满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先通过分母实数化求出复数，利用 “一个复数的共轭复数的共轭等于它本身” 这一性质，简化运算，再写出该复数在复平面对应的点坐标，最后根据横、纵坐标的正负判断点所在象限即可. 【详解】∵， ∴， 由共轭复数性质得：， ∴的共轭复数为：， ∴在复平面对应的点：， ∴该点在第三象限. 4．复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，结合复数的乘方及周期性化简复数，再求其共轭复数，根据对应点的坐标判断所在象限即可. 【详解】设，则， ，， 故的幂次周期为3. 又，所以. 所以，其在复平面内对应的点坐标为， 横、纵坐标均为负，因此该点位于第三象限. 练 1．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义直接判断. 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A 2．i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则运算即可. 【详解】. 故选：A. 3．i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 故选：A 4．若复数满足，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的乘法求出复数即可判断作答. 【详解】依题意，，复数对应的点位于第三象限. 故选：C 5．设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 6．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义得解. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 7．复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设，根据条件找出的关系，然后计算 【详解】设，则， 由，根据复数的模长公式，， 即，. 故选：B 8．若实数满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数相等求出即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 9．已知复数，，则______． 【答案】/ 【分析】利用复数的加法法则即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 10．已知复数，（i为虚数单位），求： (1)的模； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），故.. （2） 11．棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】将转化成，化简出虚部和实部，即可求解. 【详解】根据棣莫弗公式可知， ,所以在复平面内所对应的点为 故选：D 12．已知是虚数单位，复数，则以下说法错误的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】D 【详解】． 选项A：复数标准形式为，虚部为，故虚部为，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：的共轭复数，C正确； 选项D：对应复平面内的点为，该点在第四象限，D错误． 13．已知复数. (1)若z为实数，求的值； (2)若z为纯虚数，求的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数表示实数列出方程求解即得； （2）根据复数表示纯虚数列出不等式组求解即得； （3）根据复数的几何意义列出不等式组求解即得. 【详解】（1）由z为实数，可得，解得或； （2）由z为纯虚数，可得，解得； （3）因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 14．已知复数，其中，为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 【答案】(1) (2)当时，，共轭复数；当时，，共轭复数. 【分析】（1）根据第二象限点的坐标特征，列出相应的不等式组，求解可得； （2）由直线上的点的横纵坐标互为相反数，即对应复数的虚部与实部互为相反数，列出相应的方程，求解可得的值，从而求得复数，由共轭复数的定义可求得其共轭复数. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为该点位于第二象限，所以， 由①得，解得； 由②得，解得或； 综上所述，实数的取值范围为； （2）直线上的点的横纵坐标互为相反数， 即对应复数的虚部与实部互为相反数，即， 化简得：，即， 解得或. 当时，，其共轭复数； 当时，，其共轭复数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 复数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 复数基本概念与辨析 考点二 复数四则运算与化简求值 考点三 共轭复数与复数模长计算 考点四 复数的几何意义 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 复数 复数基本概念与辨析 理解复数的相关概念，分清实部、虚部，能够识别实数、虚数、纯虚数，掌握两个复数相等的条件 理解（判断） 选择 复数四则运算与化简求值 掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则，能够对复数代数式进行化简、计算求值 掌握 选择、填空 共轭复数与复数模长计算 理解共轭复数的定义，掌握共轭复数的性质；理解复数模的含义，会计算复数的模，掌握模的相关运算性质 理解（会求） 选择、填空 复数的几何意义 理解复数与复平面内点、平面向量的对应关系，能利用几何意义解释复数运算、模的几何含义 理解 选择、填空 1、复数的基本概念 （1）复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，i2=-1， 为实部， 为虚部． （2）复数的分类： （3）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) （4）共轭复数 （1）定义：当；两个复数的 相等， 互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． （2）相关运算：①为实数，且为纯虚数； ②，；③，，； 2、复数的基本运算 （1）复数的四则运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ （2）复数运算的几个重要结论 ①(1±i)2＝±2i. ②＝i；＝－i. ③i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 3、复数的几何意义 （1）几何意义 ①复平面的概念：建立直角坐标系来表示 叫做复平面． ②实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴， 上的点都表示实数；除原点以外， 上的点都表示纯虚数． ③复数的几何表示：复数复平面内的点平面向量． （2）复数的模 ①定义：设复数在复平面内对应的向量为，则向量 叫作复数的模，记作或． ②计算公式： 考点一 复数基本概念与辨析 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（ ） A. B. C. D. 例题2 （2025高二·山东·学业考试）是虚数单位，，则复数的实部是（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 1．已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 2．已知复数，要让z为实数，则实数m为________. 3．已知是实数，且，则x+y=_______ 考点二 复数四则运算与化简求值 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2022高二下·河北·学业考试）复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 1．已知是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D． 2．若复数满足，其中为虚数单位，则为（　　） A． B． C． D． 3．已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 4．欧拉恒等式（其中为虚数单位，为自然底数对数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 考点三 共轭复数与复数模长计算 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 例题2 （25-26高二下·湖南·学业考试真题）复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 1．若复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）已知为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 考点四 复数的几何意义 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2 （2024高二·江苏·学业考试）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 例题3 （2024高二上·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．已知复数，则在复平面内表示的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，复数z满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 练 1．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 3．i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 4．若复数满足，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 8．若实数满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 9．已知复数，，则______． 10．已知复数，（i为虚数单位），求： (1)的模； (2)． 11．棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知是虚数单位，复数，则以下说法错误的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．在复平面内对应的点在第三象限 13．已知复数. (1)若z为实数，求的值； (2)若z为纯虚数，求的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 14．已知复数，其中，为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $