学考专题04 函数的概念与性质：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题04 函数的概念与性质专题 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 函数的定义域与值域 考点二 函数的表示方法 考点三 分段函数 考点四 函数的单调性及最值 考点五 函数的奇偶性及其应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数 函数的定义域与值域 理解函数定义域的含义，会根据限制条件求函数定义域；理解值域的含义，会用配方法、换元法、分离常数法等求简单函数的值域 掌握 选择题 函数的表示方法 理解函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法；会用配凑法、换元法、待定系数法、方程组法求函数解析式 掌握 选择、填空 分段函数 理解分段函数的概念，知道分段函数是一个函数；会求分段函数的函数值，已知函数值会求对应的自变量，能画出简单分段函数的图象 掌握 选择、填空 函数的单调性及最值 理解函数单调性的定义，能用定义证明简单函数的单调性；理解函数最大、最小值的意义，能利用单调性求函数在区间上的最值 理解（会证明、会求） 选择、填空、解答 函数的奇偶性及其应用 理解函数奇偶性的定义，能先判断定义域是否关于原点对称，再判断函数的奇偶性；掌握奇偶函数图象特征，会利用奇偶性求值、化简、判断单调性、解简单不等式 理解（判断、应用） 选择、填空、解答 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数 3、函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 4、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域 5、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 6、函数的表示方法 解析式；列出表格 7、分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 8、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. （4）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （5）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 9、函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 10、函数的奇偶性 （1）函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． （2）常用结论： ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. ②若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. ④若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. ⑤运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. ⑥复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇. （3）常见奇函数模型 ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． ⑤幂函数 ⑥三角函数， （4）常见偶函数模型 ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 ⑤幂函数 ⑥三角函数， 考点一 函数的定义域与值域 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域满足，，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，，解得. 故选：D 例题2 （2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】由解析式列出不等式求解即可. 【详解】，由题意得，解得， 则函数的定义域为. 故选：D. 例题3 （2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 1．已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D 2．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 3．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 考点二 函数的表示方法 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）已知则实数的值是 A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】试题分析：由题可知，本题需用换元法求得的解析式，令，则，代入到方程，得到，由于，则有，故a=，又因为x>0，故a=2； 例题2 （2025高二上·河南·学业考试）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简函数为分段函数，结合一次函数的图像与性质，即可求解. 【详解】由函数，且， 结合一次函数的图像与性质，可得选项B符合题意. 故选：B. 例题3 （2025高二·山东·学业考试）已知函数，且，则的值等于（   ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用换元法求出，再代入即可求出的值. 【详解】由，令， ，． ． ．． 1．已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，求出，代入解出即可. 【详解】， 且， 令，解得， 则. 故选：A. 2．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】写出分段函数形式，结合单调性作出判断. 【详解】， 当时，单调递增，当时，单调递减， 故A选项满足要求，其他选项均不合要求. 故选：A 3．已知函数，分别由下表给出，则（   ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由表可知，则． 4．某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越大， 然后高度的增加量越来越小，最后高度一定，故C符合题意. 故选：C. 考点三 分段函数 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式，先求,再求即得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 例题2 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由函数，所以. 例题3 （2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 1．函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性即可求解函数值域. 【详解】当时，函数在上单调递增，单调递减，所以, 当时，函数单调递减，所以. 所以函数的值域为. 故选：. 2．已知函数则____. 【答案】2 【详解】因为，所以， 又，所以， 3．设函数，则________． 【答案】 【详解】，则 4．已知函数，则__________． 【答案】2． 【分析】先求出，从而（1），由此能求出结果． 【详解】函数， ， （1）． 故答案为：2． 考点四 函数的单调性与最值 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，在上单调递减，故A错误； 对于B，在上单调递减，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C正确； 对于D，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 例题2 （2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 1．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 2．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求解． 【详解】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 3．函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 4．已知函数是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)当x＞0时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，由求出，即可得出答案； （2）由基本不等式求解即可. 【详解】（1）设（）， 由，得， 由，得， 整理，得， 则，解得，， 所以. （2）由（1）知，， 因为x＞0，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 考点五 函数的奇偶性 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 例题2 （2026高二下·湖南·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________． 【答案】 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 例题3 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)因为函数的图象过点．所以，解得． 因此，．是偶函数，理由如下： 因为，都有，所以是偶函数． (2)或 【分析】（1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性； （2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集． 【详解】（1）略； （2）由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】选项A：令，则，所以不是奇函数； 选项B：令，则，所以不是奇函数； 选项C：令，则，且定义域为R，所以是奇函数； 选项D：令，则，所以不是奇函数； 故选：C 2．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可得，再代入求值即可． 【详解】． 故选：C． 3．（2025高二上·江苏·学业考试）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性比较大小即可逐项判断． 【详解】函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减， ，故A错误； ，又，即，故B正确； ，故C，D错误. 故选：B． 4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______. 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 练 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】的定义域满足，解得. 故选：D 2．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，是奇函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是非奇非偶函数，D不是. 3．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求得的解析式. 【详解】由于， 所以. 故选：C 4．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 【答案】B 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 5．已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值. 方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值. 【详解】方法一：当时，， 所以得最小值是6. 方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C 6．函数的大致图象是（   ） A．  B．C．D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性排除AB选项，利用赋值法可排除D，进而可得结论. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 7．已知函数，则____________． 【答案】 【分析】首先，通过换元，令，则，代入原式即可得解. 【详解】首先，令，则，， 函数的解析式为. 故答案为：. 8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，__________. 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用奇函数定义求解作答. 【详解】函数是定义在R上的奇函数，当时，，当时，， 所以当时， 故答案为： 9．已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据奇函数性质求解即可； （2）根据奇函数的对称性求解即可； （3）结合（1）（2）直接写出解析式即可. 【详解】（1）解：是上的奇函数，，即. （2）解：时，，， 为奇函数，， ，. 解：由（1）（2），得的表达式为10．已知全集， 10.已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明： 因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 11．我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图像，数形结合即可得解. 【详解】解：联立，解得， 联立，解得或， 联立，解得或， 作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为. 故选：C. 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 【答案】C 【分析】通过举例可判断A；取，求出值域可判断；依据，可得，利用基本不等式可判断C；使用等价转换得，然后利用基本不等式以及题干定义可知D. 【详解】对A，，所以函数不是增函数，故错误； 对B，当，，且，故错误； 对C，由，所以，， 由，所以，则， 当且仅当时，取等号，故正确； 对D，，满足恒成立，等价于，恒成立, 由，当且仅当，即处取等号， 所以，所以，故错误. 故选：C 13．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①② 【分析】①直接观察函数可得答案；②通过求出的最值即可；③将问题转化为与的交点个数即可. 【详解】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：令，变形得， 作出函数的图象如下图： 根据图象可得在上单调递增， 故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误. 故答案为：①②. 14．已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)当时， （i）根据定义证明函数在区间上单调递增； （ii）记函数，若，求实数的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可； （2）（i）任取，且，从而证明即可； （ii）根据题意研究该分段函数单调性，根据分类讨论求值即可. 【详解】（1）因为函数，所以， 解得，所以的值为 （2）当时，， （i）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增 （ii）由题意得，， 函数在和单调递增，在和单调递减， 作出函数图像如下图所示，      若， 显然， ①，即时， ，解得，符合题意； ②，即时， ，解得，不符合题意； ③，即时， ，即， 解得，均符合题意. 综上所述，或 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念与性质专题 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 函数的定义域与值域 考点二 函数的表示方法 考点三 分段函数 考点四 函数的单调性及最值 考点五 函数的奇偶性及其应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 函数 函数的定义域与值域 理解函数定义域的含义，会根据限制条件求函数定义域；理解值域的含义，会用配方法、换元法、分离常数法等求简单函数的值域 掌握 选择题 函数的表示方法 理解函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法；会用配凑法、换元法、待定系数法、方程组法求函数解析式 掌握 选择、填空 分段函数 理解分段函数的概念，知道分段函数是一个函数；会求分段函数的函数值，已知函数值会求对应的自变量，能画出简单分段函数的图象 掌握 选择、填空 函数的单调性及最值 理解函数单调性的定义，能用定义证明简单函数的单调性；理解函数最大、最小值的意义，能利用单调性求函数在区间上的最值 理解（会证明、会求） 选择、填空、解答 函数的奇偶性及其应用 理解函数奇偶性的定义，能先判断定义域是否关于原点对称，再判断函数的奇偶性；掌握奇偶函数图象特征，会利用奇偶性求值、化简、判断单调性、解简单不等式 理解（判断、应用） 选择、填空、解答 1、函数的概念 （1）一般地，给定 ，，按照某个对应法则，使得中 ，都有中 的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个 ．记作： ，．集合叫做函数的 ，记为，集合，叫做 ，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素： ． （2）如果两个函数的 ，并且 ，则这两个函数为同一个函数 3、函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 4、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为 ； （2）偶次方根的被开方数 ： （3）对数的真数 ，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数 ； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域 5、基本初等函数的值域 （1）的值域是 ． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是 （4）且的值域是 （5）且的值域是 ． 6、函数的表示方法 7、分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 8、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有 ，那么就说在区间上是 ． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是 ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是 ，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“ ”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. （4）证明函数单调性的步骤 ① ：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ② ：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③ ：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （5）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 9、函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 10、函数的奇偶性 （1）函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 ，那么函数就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 那么函数就叫做奇函数 关于 对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． （2）常用结论： ①函数具有奇偶性的必要条件是其 ②若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. ④若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. ⑤运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. ⑥复合函数的奇偶性原则： （3）常见奇函数模型 ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． ⑤幂函数 ⑥三角函数， （4）常见偶函数模型 ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 ⑤幂函数 ⑥三角函数， 考点一 函数的定义域与值域 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D． 例题3 （2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 3．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 考点二 函数的表示方法 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）已知则实数的值是 A． B．2 C． D．4 例题2 （2025高二上·河南·学业考试）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 例题3 （2025高二·山东·学业考试）已知函数，且，则的值等于（   ） A．1 B．3 C．5 D． 1．已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 3．已知函数，分别由下表给出，则（   ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 4．某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 考点三 分段函数 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 例题2 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例题3 （2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 1．函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数则____. 3．设函数，则________． 4．已知函数，则__________． 考点四 函数的单调性与最值 例题1 （2025高二·江苏·学业考试）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 1．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 2．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．函数的单调递减区间是______. 4．已知函数是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)当x＞0时，求函数的最小值. 考点五 函数的奇偶性 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 例题2 （2026高二下·湖南·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________． 例题3 （25-26高二下·北京·学业考试真题）已知函数（a为常数）的图象过点． (1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·江苏·学业考试）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______. 练 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 4．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 5．已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 6．函数的大致图象是（   ） A．  B．C．D．   7．已知函数，则____________． 8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，__________. 9．已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 10.已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 11．我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 13．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是________. 14．已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)当时， （i）根据定义证明函数在区间上单调递增； （ii）记函数，若，求实数的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $