学考专题02 等式与不等关系、基本不等式：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题02 等式与不等关系、基本不等式 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 作差法比大小 考点二 不等式的基本性质及应用 考点三 基本不等式求最值 考点四 基本不等式的恒成立与有解问题 考点五 基本不等式的实际应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 不等式 比较大小基本方法 掌握作差法、作商法。作差法：作差、变形、判断与 0 的大小、下结论；作商法适用于同号式子，将商与 1 比较，注意适用条件 理解、掌握 选择题 不等式的基本性质 理解对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性；重点注意乘负数不等号变向，不能随意相减相除 掌握 选择、填空 基本不等式 基本不等式 记住基本不等式内容，明确一正二定三相等；多次连用不等式时，保证每一步等号条件可以同时成立 理解（判断） 选择、填空 几个重要的不等式 熟记平方型不等式、均值不等式各类变形，掌握调和、几何、算术、平方平均数的大小关系以及等号条件 理解 选择 最值定理 前提为正数，理解和定积最大、积定和最小，会利用定理求最值 掌握 选择、填空 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 3、基本不等式 （1）如果，那么 ，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 4、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ① （沟通两和与两平方和的不等关系式） ② （沟通两积与两平方和的不等关系式） ③ （沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串： 即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 5、最值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 考点一 作差法比大小 例题1 （2023高二上·江苏·学业考试）设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 例题2 （2025高二下·湖南·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 例题3 （2026高二·山东·学业考试）设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 1．设，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．a，b大小不确定 3．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． ． 考点二 不等式的性质及应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2024高二下·浙江·学业考试）下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 例题3 （2025高二上·黑龙江·学业考试）若，则（    ） A． B． C． D． 1．若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点三 基本不等式求最值 例题1 （2025高三上·江苏·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 例题2 （2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 2．若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 4．正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 考点四 基本不等式的恒成立与有解问题 例题1 （2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例题2 （2023高三上·江西·学业考试）正实数满足，写出一个满足不等式恒成立的整数的值为______. 例题3 （24-25高二·山东·学业考试）已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 1．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 2．当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 3．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五 基本不等式的实际应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 例题2 （2023高三·江苏·学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备____________台． 1．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 2．用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 练 1．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知都是实数.若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 4．已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 6．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 7．若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．设，，则以下不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 9．某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是______元． 10．小明在一次考试中证明命题“若，，则”的过程如下： 证明：因为，所以． 又因为，所以， 所以． 上述证明过程中，用到的下列不等式性质的所有序号为________． ①如果，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果，那么． . 11．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知正数满足，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 14．为了响应国家节能减排的号召，2026年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完． (1)请写出2026年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） (2)当2026年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等关系、基本不等式 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 作差法比大小 考点二 不等式的基本性质及应用 考点三 基本不等式求最值 考点四 基本不等式的恒成立与有解问题 考点五 基本不等式的实际应用 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 不等式 比较大小基本方法 掌握作差法、作商法。作差法：作差、变形、判断与 0 的大小、下结论；作商法适用于同号式子，将商与 1 比较，注意适用条件 理解、掌握 选择题 不等式的基本性质 理解对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性；重点注意乘负数不等号变向，不能随意相减相除 掌握 选择、填空 基本不等式 基本不等式 记住基本不等式内容，明确一正二定三相等；多次连用不等式时，保证每一步等号条件可以同时成立 理解（判断） 选择、填空 几个重要的不等式 熟记平方型不等式、均值不等式各类变形，掌握调和、几何、算术、平方平均数的大小关系以及等号条件 理解 选择 最值定理 前提为正数，理解和定积最大、积定和最小，会利用定理求最值 掌握 选择、填空 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 3、基本不等式 （1）如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 4、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 5、最值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 考点一 作差法比大小 例题1 （2023高二上·江苏·学业考试）设，，，则，的大小关系是（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由，， 得， 所以. 例题2 （2025高二下·湖南·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】当时，，即，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 例题3 （2026高二·山东·学业考试）设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】依题意，， 则，而， 因此，所以. 1．设，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故选：A 2．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．a，b大小不确定 【答案】A 【分析】利用作差法计算比较大小，可得答案． 【详解】， 故选：A 3．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差比较可得答案. 【详解】因为， 所以，即. 故选：C ． 考点二 不等式的性质及应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】A选项：，则，故A正确； B选项：，则，所以，故B错误； C选项：当或时，，则，故C错误； D选项：当时，，故D错误. 故选：A． 例题2 （2024高二下·浙江·学业考试）下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【分析】利用作差法可求得A错误，B正确，D错误，取特殊值可证明C错误，可得结论. 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 例题3 （2025高二上·黑龙江·学业考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为，则当时，，A说法错误； 因为，所以，B说法错误； 因为，所以，C说法错误，D说法正确； 故选：D 1．若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式性质判断A，特殊值验证BCD即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B， 当，则；故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A 2．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例即可判断ABC，根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于AB，当时，，故AB错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D. 3．已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】对于A，若，取，则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，则由不等式的性质可知，故C正确. 对于D，若，取，此时无意义，故D错误. 故选：C. 考点三 基本不等式求最值 例题1 （2025高三上·江苏·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 例题2 （2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 例题3 （2025高二下·湖南·学业考试）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用均值不等式即可求解． 【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，也即， 再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值是4. 故选：C 1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据重要的不等式直接计算即可求解. 【详解】由题意知，， 得，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. 故选：C 2．若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 3．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误. 4．正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 由于， 由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立， 故选：C 考点四 基本不等式的恒成立与有解问题 例题1 （2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18，可得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 例题2 （2023高三上·江西·学业考试）正实数满足，写出一个满足不等式恒成立的整数的值为______. 【答案】1（中任一个均可以） 【分析】根据“1”的灵活应用可得的最小值为2，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】由题可知，， 当且仅当，即时，等号成立， 要使不等式恒成立，则，解得， 且，所以. 故答案为：1（中任一个均可以）. 例题3 （24-25高二·山东·学业考试）已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式可得的最小值，从而得到，求出答案 【详解】，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 1．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 2．当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 3．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 考点五 基本不等式的实际应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 【答案】D 【分析】设矩形的长为，宽为，根据面积得，结合基本不等式求得周长的最小值． 【详解】设矩形的长为，宽为，周长为，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：D. 例题2 （2023高三·江苏·学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案. 【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为， 圆柱侧面积为， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 例题3 （2024高二下·安徽·学业考试）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备____________台． 【答案】400 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 1．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 2．用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】设出铁丝围成的矩形长和宽，利用基本不等式求解即得. 【详解】设铁丝围成的矩形长和宽分别为，依题意，， 铁丝长度，当且仅当时取等号， 所以需要铁丝的长度至少为40. 故选：B 3．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 【答案】5； 【分析】设长方体蓄水池长为，宽为，高为，蓄水池总造价为，由题意可得，然后基本不等式求出的最小值即可． 【详解】设长方体蓄水池长为，宽为，高为， 每平方米池侧壁造价为，蓄水池总造价为， 则由题意可得， ， ， 当且仅当时，取最小值， 即时，取最小值. 故答案为：5． 练 1．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解. 【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．已知都是实数.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质依次判断即可． 【详解】对于A项，，由于，得，但的正负无法判断，故A项错误； 对于B项，当时，得，故B项错误； 对于C项，，由于，得，但的正负无法判断，故C项错误； 对于D项，由于，得，故D项正确， 故选：D 3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可； 【详解】由题意可得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：D. 4．已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 故选：C. 5．若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】， 故 6．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 7．若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由基本不等式，当且仅当时等号成立 【详解】，当且仅当时取等号. 故选：C 8．设，，则以下不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断A；特殊值验证判断B；作差法判断C；利用绝对值性质去绝对值判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当时取等号，所以恒成立，故A错误； 对于B，当时，，，此时，所以不恒成立，故B正确； 对于C，，因为， 所以，即，所以恒成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，，此时， 所以恒成立，故D错误， 故选：B. 9．某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是______元． 【答案】 【分析】设蓄水池池底的一边长为，则根据题意，由基本不等式求最小值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为： 10．小明在一次考试中证明命题“若，，则”的过程如下： 证明：因为，所以． 又因为，所以， 所以． 上述证明过程中，用到的下列不等式性质的所有序号为________． ①如果，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果，那么． 【答案】②③④ 【分析】直接根据不等式的性质判断可得. 【详解】因为，用不等式的乘法性质②； 由，用同向不等式相加性质③； 由，用正数不等式的乘方性质④． . 11．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 12．已知正数满足，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可得，由可配凑出符合基本不等式的形式，根据基本不等式取等条件可得结果. 【详解】由得：，； ，，，， （当且仅当，即，时取等号）， 取得最小值时，. 故选：A. 13．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 即，令，，则且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 14．为了响应国家节能减排的号召，2026年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完． (1)请写出2026年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） (2)当2026年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)2026年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元． 【分析】（1）根据给定条件，分段求出的表达式即可作答. （2）利用（1）的结论，结合二次函数、均值不等式分段求出最大值，再比较作答. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取“”，显然， 所以，当，即2026年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $