第05讲 二项分布与超几何分布、正态分布（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 二项分布与超几何分布、正态分布 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 二项分布 知识点2 超几何分布 知识点3 正态分布及其解题策略 题型破译 (含超链接） 题型1 二项分布 【方法技巧】模型识别套公式法 题型2 独立重复试验的概率问题 【方法技巧】分步独立分类法 题型3 超几何分布 【方法技巧】不放回抽样组合法 题型4 正态密度曲线 【方法技巧】图像特征识记法 题型5 根据正态曲线的对称性求参数 【方法技巧】对称等量代换法 题型6 3σ原则 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 二项分布 超几何分布 正态分布 T5(5分） 考情分析 二项分布与超几何分布、正态分布是天津高考概率统计高频考点，二项分布、超几何分布常出现在解答题，正态分布多以选择、填空题考查，单题分值 5 分，整体难度中等。高频考查方向为：①区分超几何分布与二项分布，套用对应公式计算概率；②二项分布的期望、方差求解；③正态分布曲线性质、3σ 原则、正态分布概率计算；④三类分布和古典概型、独立事件综合命题；是概率板块的重点模型，也是随机变量大题的常考载体，需要准确识别模型。 复习目标 1. 理解超几何分布的适用条件（不放回抽样），掌握其概率公式，会求超几何分布的分布列、期望； 2. 理解二项分布模型特征（n次独立重复、每次只有两种结果、概率不变），识别X∼B(n,p)，熟练使用E(X)=np，D(X)=np(1-p)； 3. 能够辨析二项分布与超几何分布的区别：放回→二项，不放回→超几何； 4. 了解正态分布X∼N(μ,σ2)，理解正态曲线对称性，会利用、和 3σ 原则计算概率； 5. 能够在实际问题中快速判定模型，结合分布列、数字特征解决实际问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 自主检测小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 【答案】 1.2 【详解】由题意，服从二项分布，即， 所以， 设事件“恰好命中1次”， 事件“至少命中1次”， 则， ， ， 所以. 知识点2 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 自主检测端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列； (2)设Y表示取到的粽子的种类数，求Y的分布列． 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 (2)的分布列为： 1 2 3 【详解】（1）依题意，的可能取值为0，1，2，从10个粽子中任取3个包含的基本事件的个数为. ； ； . 所以X的分布列为： 0 1 2 （2）依题意的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 所以Y的分布列为： 1 2 3 知识点3 正态分布及其解题策略 1．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 2．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 3．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 必记结论 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 3．若X服从正态分布，即X~N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面 积为1解题. 自主检测若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率______． 【答案】0.3或 【详解】随机变量服从正态分布，由对称性得，故. 题●型●破●译 题型1 二项分布 例1-1某篮球运动员投篮投中的概率为，设为投篮3次投中的次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 【答案】 【详解】由题意可知，每次投篮结果相互独立，且单次投中概率恒为，故3次投篮的命中次数服从二项分布， 即. 所以； . 例1-2在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲､乙､丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲､乙､丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望和方差. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望，方差 【详解】（1）设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. （2）由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为，. 方法技巧 模型识别套公式法 判定要点：n次独立重复试验、每次只有两种结果、每次成功概率p不变，X∼B(n,p)。 概率公式：P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k； 期望：E(X)=np，方差：D(X)=np(1−p)； 提醒：必须是有放回、独立重复，才能用二项分布。 【变式训练1-1】甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. (1)求甲､乙两条生产线的产量之比. (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ，数学期望为 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一产品是合格品”， 则，． 由，得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 . 【变式训练1-2】已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 【变式训练1-3·变考法】某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． (1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ (2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； (3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 【答案】(1)1个或4个 (2)X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 (3)①若有1个“哪”和4个“吒”，获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，获奖的概率为． 【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个， 一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B， 则由题意得，， 所以， 因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个． （2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为， 则，， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （3）①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”， 此时获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”， 此时获奖的概率为． 题型2 独立重复试验的概率问题 例2-1已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 【答案】 【详解】由题意可知，三次配送结果相互独立，每次准时送达的概率均为， 因此准时送达的次数， ； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“该骑手恰好准时送达两次”， 显然，故， ， ， 所以. 例2-2某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立.则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为___________；现DeepSeek从给定的问题中随机抽取9个作答.设DeepSeek答对的题数为，则的均值为___________. 【答案】 0.9 8.1 【详解】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知， 则， ． 已知DeepSeek答对的题数为X，则X服从二项分布， 则． 方法技巧 分步独立分类法 先确认每次试验相互独立，发生概率恒定； 分清题目要求：恰好k次、至少k次、至多k次； “至少 / 至多” 优先算对立事件简化计算； 多次独立重复就是二项分布的底层背景。 【变式训练2-1】天津海河游船公司的调度员，正在模拟游船班次准点情况．已知：第一班游船准点到达码头的概率为0.8；若前一班游船准点，则下一班游船准点的概率为0.5；若前一班游船晚点，则下一班游船准点的概率为0.1．若已知第二班游船准点到达码头，则第一班游船准点到达码头的概率为______________；若调度员做5组模拟训练，每组连续安排两班游船，两班都准点记为“一趟顺行”，每组训练结果相互独立，设这5组训练中“一趟顺行”的次数为X，则期望______________． 【答案】 /0.42 2 【详解】第一空：设事件表示第一班游船准点到达码头，事件表示第二班游船准点到达码头， 则，，，， 所以，， 所以，因此； 第二空：由题可知，一组模拟训练中“一趟顺行”，即两班游船都准点，其概率为， 由调度员做5组模拟训练，每组训练结果相互独立，则， 所以. 【变式训练2-2】某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： （1）直到第三次首次击中目标的概率是0.8；    （2）恰好击中目标三次的概率是； （3）目标被击中的概率是；    （4）恰好击中目标三次的概率是； 其中正确的结论的序号是______（写出所有正确结论的序号） 【答案】（3） 【详解】∵射击一次击中目标的概率是0.8， ∴由独立事件的性质可知，直到第三次首次击中目标的概率是，故（1）不正确； ∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，故射击次数服从二项分布， 故恰好击中目标3次的概率是，故（2）（4）错误； ∵一次都未击中目标的概率为， 所以目标被击中的概率是，故（3）正确； 【变式训练2-3】【新思维】在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 【详解】（1）设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. （2）由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 题型3 超几何分布 例3-1亮相2026年春节联欢晚会的机器人团体舞蹈表演场面震撼、配合默契，尽显人工智能科技魅力，深受观众喜爱．某机构随机抽取了50名观众进行问卷调查，其中男性22人，女性28人，结果显示不喜欢的观众有12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍． (1)在上述不喜欢的观众中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)现从28名女性观众中随机选出2人，求选出的2人中恰有1人不喜欢的概率． 【答案】(1) 期望 (2)所求概率为 【详解】（1）不喜欢的观众共12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍，即不喜欢的男性观众共8人，不喜欢的女性观众共4人. ∵ 从不喜欢的观众中按性别分层抽样抽取6人，抽样比为， ∴ 抽取的6人中，男性观众人数为，女性观众人数为. 由题意得的所有可能取值为1，2，3. ∵ ， ， ， ∴ 的分布如下表所示： 1 2 3 期望. （2）∵ 28名女性观众中，不喜欢的有4人，喜欢的有人， ∴ 从28名女性观众中随机选出2人，恰有1人不喜欢的概率. 例3-2为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． (1)求选取的3人中既有男生又有女生的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【详解】（1）由题可知，共有7人，从中随机选取3人有种取法， 全部选取男生有种，全部选取女生有种， 所以，选取的3人中既有男生又有女生的概率. （2）由题可知，X可能的取值有：0，1，2，3，服从超几何分布， 则，，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 例3-3一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求和； (2)若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和； (3)若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值； (4)结合（1）（2）两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 【答案】(1)， (2)的分布列为： 1 2 3 (3)的分布列为： 1 2 3 (4)区别：①抽样方式不同：二项分布对应有放回抽样，各次试验独立，单次试验成功概率恒定；超几何分布对应不放回抽样，各次试验不独立，单次成功概率随抽样变化；②参数不同：二项分布参数为试验次数、单次成功概率，记为；超几何分布参数为总体容量、总体中成功个体数、抽样数，记为；联系：①二者均为描述次试验中成功次数分布的离散型概率分布；②当总体容量远大于抽样数时，不放回抽样近似于有放回抽样，超几何分布近似于参数为的二项分布；③当时，二者数学期望相等，均为. 【详解】（1）有放回摸球时，每次摸到白球的概率，各次摸球相互独立，故服从二项分布， 根据二项分布的期望、方差公式，、， 代入得，； （2）不放回摸3个球时，服从超几何分布，可能取值为1，2，3， 根据超几何分布的概率公式（） 可得，，， 得到的分布列为： 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （3）袋中仅2个黄球，故的可能取值为1，2，3， 记为首次摸到白球的概率，即； 记为第一次摸到黄球、第二次摸到白球的概率，即； 记为前两次均摸到黄球、第三次摸到白球的概率，即， 得到的分布列为 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （4）略. 方法技巧 不放回抽样组合法 判定要点：不放回抽样，总体分两类：正品 / 次品、达标 / 不达标。 概率公式：P(X=k)= N总体容量，M其中一类数量，抽取n个； 期望：E(X)=； 核心特征：抽取后总体结构改变，各次试验不独立。 【变式训练3-1】某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【详解】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 【变式训练3-2】锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放入碗中. (1)求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； (2)求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率为. （2）由间接法可得碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率为. 题型4 正态密度曲线 例4-1关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 【答案】①②③ 【详解】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故答案为：①②③ 例4-2如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 【答案】 5 1 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 方法技巧 图像特征识记法 正态曲线X∼N(μ,σ2)： 关于直线x=μ对称； μ决定左右位置，σ决定胖瘦：σ越大，曲线越矮胖，数据越分散； 曲线在 x 轴上方，总面积为 1。 【变式训练4-1】正态分布：若随机变量的概率密度函数为（其中），则称随机变量服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量服从________正态分布． 【答案】 标准 【详解】略 题型5 根据正态曲线的对称性求参数 例5-1已知随机变量，，若，，则________． 【答案】/ 【详解】因为随机变量，所以， 即，解得：； 又因为，， 由正态曲线的对称性得：， 所以. 例5-2已知随机变量且，则_____________． 【答案】/ 【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称，因此. 由已知，可得. 因此. 方法技巧 对称等量代换法 利用对称性：P(X>μ+a)=P(X<μ−a)； 若P(X>m)=P(X<n)，则对称轴μ=； 经常结合P(X<μ)=0.5快速列式求μ。 【变式训练5-1】已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正态分布的密度曲线关于对称轴对称，本题中，即对称轴为. 已知，说明和关于对称轴对称， 因此满足，即，且由题设知. 用“1”的代换与基本不等式： 当且仅当，即时取等号. 因此最小值为. 【变式训练5-2】自动驾驶激光传感器采集测距数据，测量值与真实值的偏差满足：，经过大量测试，得到，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由知，故选D． 【变式训练5-3】已知随机变量，若，，则实数________． 【答案】 【详解】已知随机变量，其正态密度曲线关于直线对称， 且为连续型随机变量，所以，即， 根据对立事件概率公式可得：，因为， 所以，又因为， 所以，根据正态分布的对称性可得： ，化简可得：，解得. 题型6 3σ原则 例6-1某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 【答案】D 【详解】 . 例6-2红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差，用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布 ，若的值在内的概率约为，则的值约为_____. (参考数据: 若 ，则 ). 【答案】6 【详解】由题意，体温服从正态分布，可得， 因为的值在内的概率为，且， 则，所以，解得， 所以，解得. 【变式训练6-1】某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（     ） 附：若，则， ，． A．130 B．273 C．1631 D．1804 【答案】B 【详解】由，可知均值，方差，因此标准差， 目标质量210g恰好等于， 所以， 即单果质量在之间的概率约为0.9545. 根据正态分布的对称性，总概率为1， 可得超出区间的概率为， 因此右侧（质量>210g）的概率为： 【变式训练6-2】据统计，某脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，则． 因为， 所以，因此，果实横径在内的概率为． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【详解】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. （2）设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知： . 3．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 4．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】(1)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)（i）随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量X的数学期望． （ii） 【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （2）（i）随机变量X的所有可能取值为． ，， ，， 所以，随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量X的数学期望． （ii）设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则，且与互斥， 由（i）知，， 故． 所以，事件发生的概率为． 5．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为______． 【答案】 【详解】甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，互不影响，互相独立， 故2人都射中的概率为 故答案为： 2．已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？ 【答案】至少应该购买6张奖券 【详解】设购买张奖券，则中奖的概率为 ， 若， 即， 因为是单调递减函数， ，， 所以， 所以至少应该购买6张奖券. 3．假定一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出的10件产品中，求不合格品数X的概率分布． 【答案】答案见解析 【详解】从100件产品中随机抽取10件有种等可能结果， X的数量可能为, 抽中不合格品n件的概率为，从而得到不合格品数X的分布列为: X 0 1 2 3 4 5 P 4．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 【答案】(1)有放回摸球，X的分布列为：，，1，2，…，20； 不放回摸球，X的分布列为： ，，1，2，…，20． (2)有放回摸球：． 不放回摸球：． 【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示． k k 0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.06376 1 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.02667 2 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.00867 3 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.00217 4 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.00041 5 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.00006 6 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.00000 8 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.00000 9 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.00000 10 0.11714 0.11924 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得 有放回摸球：． 不放回摸球：． 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．    5．一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 【答案】 【详解】设抽取的10个零件中不合格品数为随机变量，则随机变量服从超几何分布， 且，，， 可得随机变量的分布列为，， 所以 则至少有1件不合格的概率为． 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求： (1)甲答对试题数的概率分布； (2)乙所得分数的概率分布． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 5 10 15 【详解】（1）由题意，甲能答对10道试题中的6题，且为甲答对随机抽出的3题的试题数， 则随机变量可能取的值为，，，． 所以，， ，， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 （2）由题意随机变量可能取的值为，，， 所以，，， 的分布列为： 5 10 15 7．若M件产品中包含m件次品，，，从中任意取出3件，用X表示取出的次品数，列出X的分布列． 【答案】分布列见解析 【详解】件产品中包含件次品，， 从中任意取出3件，设表示取出的次品数， 则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 8．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 【答案】(1)0.4207； (2)0.9544. 【详解】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207， （2） . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 9．假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间内的概率； (3)不高于180的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设该学生的身高为X，由题意可知 易知. （2）因为均值为170，标准差为10，而， 所以. （3）由概率的加法公式可知. 又由（2）以及正态曲线的对称性可知 ， 因此 10．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 【答案】(1) (2)检测员的判断是合理的，理由如下： 检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都大于的概率约为： ， 几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的. 【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为，由题意可知. 由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知， . （2）检测员的判断是合理的，理由略. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考二项分布与超几何分布、正态分布基础演练，核心考查二项分布、超几何分布、正态分布的基本概念与基础运算。重点包括二项分布模型识别与概率、期望方差计算；超几何分布不放回抽样的概率求解；正态曲线基本性质、对称性以及 3σ 原则的简单应用；区分二项分布与超几何分布。常结合产品抽检、抽样试验、测量数据等实际背景命题，题型选择、填空、解答题均有涉及。同时注重混淆放回与不放回模型、正态对称轴判断错误、3σ 区间记错、组合计算失误等易错点考查，题目难度中等，侧重基础模型识别与公式运用熟练度，是概率板块核心重点题型，要求审题细致、运算准确。 1．若随机变量，其分布密度函数为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：因为随机变量，其分布密度函数为，所以，，所以 故选：B 2．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 3．若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知事件包含了三个基本事件：, 所以事件的概率为： . 故选:B. 4．件产品，其中件是次品，任取件，若表示取到次品的个数，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题意得，随机变量的取值为，，， 则，，， 所以， 故选：. 5．袋中有个质地完全相同的球，其中4个为红球，其余为黄球．从中不放回地依次随机摸出2个球．已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为___________． 【答案】 【详解】由题意可得．即，解得，所以． 此时黄球有5个．两次摸到颜色不同的概率为． 6．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 【答案】 【详解】随机变量的可能取值为， ，、 ， ， . 5．某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则 _______．（结果用小数表示） 【答案】0.32 【详解】依题意，，所以. 8．某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【答案】800 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 9．已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【详解】因为变量，所以正态分布对称轴， 所以. 10．已知随机变量，且，则________． 【答案】/ 【详解】根据题意，可知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于对称， 且． 因为，所以， 所以． 重难·创新演练 设题创新：天津高考二项分布与超几何分布、正态分布重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合古典概型、独立重复试验、分布列、数字特征等内容，核心考查二项分布、超几何分布的模型辨析与综合计算，正态分布对称性的灵活转化、正态分布与统计、概率综合问题，难点在于复杂背景下快速甄别抽样模型、利用正态对称性转化概率、区分近似条件，跳出直接套公式的模式，侧重模型思想、数形结合与转化思想，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．随机变量，若，则（     ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【详解】因为，， 所以，， 所以． 2．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率．若生产状态正常，有如下命题： 甲： ； 乙：的取值在内的概率与在内的概率相等； 丙：； 丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则， (参考数据：若， 则，，； ) 其中假命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】由知，， 对于甲：由正态分布曲线可得：， 故甲为真命题； 对于乙：两个区间长度均为1个σ， 但，由正态分布性质知， 落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题； 对于丙：由知，丙正确； 对于丁：1只口罩的过滤率大于的概率 ，， 所以， ，故丁是真命题． 3．已知随机变量服从二项分布．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的方差公式，得，得， 所以. 4．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. 5．现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】题意中总共有8个盲盒，其中3个隐藏款、5个普通款，从中任选5个，选中的隐藏款个数服从超几何分布, 由可知，分子含义是从3个隐藏款里选2个，同时从5个普通款里选3个的组合数， 恰好对应“选购5个盲盒时，选中的隐藏款恰好为2个”的概率，也就是. 6．一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数． (1)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (2)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (3)比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析． 【答案】(1) 0 1 2 3 ， (2) 0 1 2 3 ， (3)，二者数学期望相同； ，有放回抽取的方差大于不放回抽取的方差．     下面结合分布列的数据分析说明方差不同的原因． ①两端概率：，，这意味着有放回抽取更容易出现“极端情况”（全黄球或全白球）． ②中间概率：，，说明不放回抽取的结果更集中在均值1.2附近． ③本质原因：不放回抽取，总体有限，各次抽取不独立．若前面抽到黄球，剩余再抽到黄球的概率降低，反之亦然．这就抑制了极端值的出现，使得数据分布相对更集中，方差更小． 【详解】（1）甲有放回抽取，每次抽到黄球的概率为，随机变量，    所以，，1，2，3， 逐一计算并列表如下： 0 1 2 3 所以，； （2）乙不放回抽取，随机变量服从超几何分布， ，，1，2，3，     逐一计算并列表如下： 0 1 2 3    因为服从超几何分布，所以， ， ； （3）略 7．某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为 【详解】（1）因为男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2， 所以随机抽取一名学生，该学生跳远达标的概率为； （2）由题意可知：， 则有， 因为， ，， ，， ， 所以的分布列如下： 的数学期望为. 8．为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常.假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求. 【答案】. 【详解】根据题意及正态分布的性质可知抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为， 所以零件的尺寸在之外的概率为， 所以， 所以. 9．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． (1)封闭集训期间，记名运动员中第天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； (2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 【答案】(1) ． (2)（，且） 【详解】（1）设“运动员第天进行有氧训练”的事件为，则， 所以名运动员第天进行有氧训练的人数，可知， 所以， 则，， ，， 所以的分布列为 所以． （2）因为运动员第天进行有氧训练的概率为，所以运动员第天进行无氧训练的概率为， 依题意可得，即（，且）． 则（，且），且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即（，且）. 检验：，，符合条件； ，，与（1）结果一致. 因此，（，且）. 10．随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】(1) (2)使用工具与数学成绩有关 【详解】（1）由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为．     所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． （2）零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得．     因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二项分布与超几何分布、正态分布 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 二项分布 知识点2 超几何分布 知识点3 正态分布及其解题策略 题型破译 (含超链接） 题型1 二项分布 【方法技巧】模型识别套公式法 题型2 独立重复试验的概率问题 【方法技巧】分步独立分类法 题型3 超几何分布 【方法技巧】不放回抽样组合法 题型4 正态密度曲线 【方法技巧】图像特征识记法 题型5 根据正态曲线的对称性求参数 【方法技巧】对称等量代换法 题型6 3σ原则 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 二项分布 超几何分布 正态分布 T5(5分） 考情分析 二项分布与超几何分布、正态分布是天津高考概率统计高频考点，二项分布、超几何分布常出现在解答题，正态分布多以选择、填空题考查，单题分值 5 分，整体难度中等。高频考查方向为：①区分超几何分布与二项分布，套用对应公式计算概率；②二项分布的期望、方差求解；③正态分布曲线性质、3σ 原则、正态分布概率计算；④三类分布和古典概型、独立事件综合命题；是概率板块的重点模型，也是随机变量大题的常考载体，需要准确识别模型。 复习目标 1. 理解超几何分布的适用条件（不放回抽样），掌握其概率公式，会求超几何分布的分布列、期望； 2. 理解二项分布模型特征（n次独立重复、每次只有两种结果、概率不变），识别X∼B(n,p)，熟练使用E(X)=np，D(X)=np(1-p)； 3. 能够辨析二项分布与超几何分布的区别：放回→二项，不放回→超几何； 4. 了解正态分布X∼N(μ,σ2)，理解正态曲线对称性，会利用、和 3σ 原则计算概率； 5. 能够在实际问题中快速判定模型，结合分布列、数字特征解决实际问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互 . 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从 ，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 自主检测小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 知识点2 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从 . 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 自主检测端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列； (2)设Y表示取到的粽子的种类数，求Y的分布列． 知识点3 正态分布及其解题策略 1．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 . (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从 正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 2．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为 . 3．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 必记结论 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 3．若X服从正态分布，即X~N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面 积为1解题. 自主检测若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率______． 题●型●破●译 题型1 二项分布 例1-1某篮球运动员投篮投中的概率为，设为投篮3次投中的次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 例1-2在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲､乙､丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲､乙､丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望和方差. 方法技巧 模型识别套公式法 判定要点：n次独立重复试验、每次只有两种结果、每次成功概率p不变，X∼B(n,p)。 概率公式：P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k； 期望：E(X)=np，方差：D(X)=np(1−p)； 提醒：必须是有放回、独立重复，才能用二项分布。 【变式训练1-1】甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. (1)求甲､乙两条生产线的产量之比. (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 【变式训练1-2】已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变考法】某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． (1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ (2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； (3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 题型2 独立重复试验的概率问题 例2-1已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 例2-2某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立.则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为___________；现DeepSeek从给定的问题中随机抽取9个作答.设DeepSeek答对的题数为，则的均值为___________. 方法技巧 分步独立分类法 先确认每次试验相互独立，发生概率恒定； 分清题目要求：恰好k次、至少k次、至多k次； “至少 / 至多” 优先算对立事件简化计算； 多次独立重复就是二项分布的底层背景。 【变式训练2-1】天津海河游船公司的调度员，正在模拟游船班次准点情况．已知：第一班游船准点到达码头的概率为0.8；若前一班游船准点，则下一班游船准点的概率为0.5；若前一班游船晚点，则下一班游船准点的概率为0.1．若已知第二班游船准点到达码头，则第一班游船准点到达码头的概率为______________；若调度员做5组模拟训练，每组连续安排两班游船，两班都准点记为“一趟顺行”，每组训练结果相互独立，设这5组训练中“一趟顺行”的次数为X，则期望______________． 【变式训练2-2】某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： （1）直到第三次首次击中目标的概率是0.8；    （2）恰好击中目标三次的概率是； （3）目标被击中的概率是；    （4）恰好击中目标三次的概率是； 其中正确的结论的序号是______（写出所有正确结论的序号） 【变式训练2-3】【新思维】在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 题型3 超几何分布 例3-1亮相2026年春节联欢晚会的机器人团体舞蹈表演场面震撼、配合默契，尽显人工智能科技魅力，深受观众喜爱．某机构随机抽取了50名观众进行问卷调查，其中男性22人，女性28人，结果显示不喜欢的观众有12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍． (1)在上述不喜欢的观众中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)现从28名女性观众中随机选出2人，求选出的2人中恰有1人不喜欢的概率． 例3-2为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． (1)求选取的3人中既有男生又有女生的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 例3-3一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求和； (2)若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和； (3)若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值； (4)结合（1）（2）两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 方法技巧 不放回抽样组合法 判定要点：不放回抽样，总体分两类：正品 / 次品、达标 / 不达标。 概率公式：P(X=k)= N总体容量，M其中一类数量，抽取n个； 期望：E(X)=； 核心特征：抽取后总体结构改变，各次试验不独立。 【变式训练3-1】某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【变式训练3-2】锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放入碗中. (1)求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； (2)求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率. 题型4 正态密度曲线 例4-1关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 例4-2如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 方法技巧 图像特征识记法 正态曲线X∼N(μ,σ2)： 关于直线x=μ对称； μ决定左右位置，σ决定胖瘦：σ越大，曲线越矮胖，数据越分散； 曲线在 x 轴上方，总面积为 1。 【变式训练4-1】正态分布：若随机变量的概率密度函数为（其中），则称随机变量服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量服从________正态分布． 题型5 根据正态曲线的对称性求参数 例5-1已知随机变量，，若，，则________． 例5-2已知随机变量且，则_____________． 方法技巧 对称等量代换法 利用对称性：P(X>μ+a)=P(X<μ−a)； 若P(X>m)=P(X<n)，则对称轴μ=； 经常结合P(X<μ)=0.5快速列式求μ。 【变式训练5-1】已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】自动驾驶激光传感器采集测距数据，测量值与真实值的偏差满足：，经过大量测试，得到，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-3】已知随机变量，若，，则实数________． 题型6 3σ原则 例6-1某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 例6-2红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差，用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布 ，若的值在内的概率约为，则的值约为_____. (参考数据: 若 ，则 ). 【变式训练6-1】某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（     ） 附：若，则， ，． A．130 B．273 C．1631 D．1804 【变式训练6-2】据统计，某脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在内的概率为（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 3．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 4．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 5．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为______． 2．已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？ 3．假定一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出的10件产品中，求不合格品数X的概率分布． 4．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 5．一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求： (1)甲答对试题数的概率分布； (2)乙所得分数的概率分布． 7．若M件产品中包含m件次品，，，从中任意取出3件，用X表示取出的次品数，列出X的分布列． 8．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 9．假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间内的概率； (3)不高于180的概率. 10．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考二项分布与超几何分布、正态分布基础演练，核心考查二项分布、超几何分布、正态分布的基本概念与基础运算。重点包括二项分布模型识别与概率、期望方差计算；超几何分布不放回抽样的概率求解；正态曲线基本性质、对称性以及 3σ 原则的简单应用；区分二项分布与超几何分布。常结合产品抽检、抽样试验、测量数据等实际背景命题，题型选择、填空、解答题均有涉及。同时注重混淆放回与不放回模型、正态对称轴判断错误、3σ 区间记错、组合计算失误等易错点考查，题目难度中等，侧重基础模型识别与公式运用熟练度，是概率板块核心重点题型，要求审题细致、运算准确。 1．若随机变量，其分布密度函数为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A． B． C． D． 3．若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（    ）． A． B． C． D． 4．件产品，其中件是次品，任取件，若表示取到次品的个数，则等于（    ） A． B． C． D．1 5．袋中有个质地完全相同的球，其中4个为红球，其余为黄球．从中不放回地依次随机摸出2个球．已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为___________． 6．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 5．某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则 _______．（结果用小数表示） 8．某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 9．已知随机变量，且，则__________． 10．已知随机变量，且，则________． 重难·创新演练 设题创新：天津高考二项分布与超几何分布、正态分布重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合古典概型、独立重复试验、分布列、数字特征等内容，核心考查二项分布、超几何分布的模型辨析与综合计算，正态分布对称性的灵活转化、正态分布与统计、概率综合问题，难点在于复杂背景下快速甄别抽样模型、利用正态对称性转化概率、区分近似条件，跳出直接套公式的模式，侧重模型思想、数形结合与转化思想，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．随机变量，若，则（     ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 2．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率．若生产状态正常，有如下命题： 甲： ； 乙：的取值在内的概率与在内的概率相等； 丙：； 丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则， (参考数据：若， 则，，； ) 其中假命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．已知随机变量服从二项分布．若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 5．现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（     ） A． B． C． D． 6．一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数． (1)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (2)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (3)比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析． 7．某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 8．为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常.假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求. 9．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． (1)封闭集训期间，记名运动员中第天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； (2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 10．随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $