第04讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 知识点2 离散型随机变量的数字特征 题型破译 (含超链接） 题型1 离散型随机变量分布列 【方法技巧】取值定概校验法 题型2 离散型随机变量分布列的均值 【方法技巧】加权求和公式法 题型3 离散型随机变量分布列的方差 【方法技巧】偏差平方加权法 题型4 均值与方差中的决策问题 【方法技巧】期望优先、方差辅助法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 离散型随机变量分布列 离散型随机变量分布列的均值 离散型随机变量分布列的方差 考情分析 离散型随机变量及其分布列、数字特征是天津高考概率统计核心考点，常在解答题中出现，也可在选择、填空题考查，分值较高，难度中等。高频考查方向为：①求离散型随机变量的分布列，利用分布列性质检验；②两点分布、二项分布的识别与概率计算；③离散型随机变量的期望、方差的求解；④期望、方差的性质应用；常结合古典概型、独立事件、抽样问题综合命题，是概率板块大题的必考内容，综合性较强，需要熟练掌握概率基础公式。 复习目标 1. 理解离散型随机变量的概念，会写出随机变量所有可能取值，能求出对应取值的概率，写出分布列，掌握分布列的性质（概率和为1）； 2. 理解两点分布、二项分布的模型特征，能够识别二项分布X∼B(n,p)并套用公式； 3. 掌握离散型随机变量期望公式E(X)=∑xiP(X=xi)、方差公式D(X)=∑[xi−E(X)]2P(X=xi)； 4. 熟记期望与方差的性质：E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)； 5. 会综合古典概型、独立事件概率计算分布列，利用期望方差解决实际决策问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为 . ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称 . (2)分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 自主检测（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1 p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的 或 ，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的 程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越 ，方差或标准差越大，随机变量的取值越 . 3．均值与方差的性质 (1)均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). (2)方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=a2D(X). 4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 必记结论 1．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 自主检测（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 离散型随机变量分布列 例1-1（2026·天津河西·模拟预测）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试.若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为__________，记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望__________. 例1-2（2026·天津和平·三模）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 方法技巧 取值定概校验法 1. 先写出随机变量全部可能取值； 2. 结合古典概型、独立事件等计算每个取值对应的概率； 3. 校验：所有概率之和等于 1，且每个概率0≤P≤1； 4. 规范列表写出分布列。 【变式训练1-1】为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______. 【变式训练1-2】（26-27高三上·天津·阶段检测）某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 【变式训练1-3·变考法】近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性， (1)为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了下列数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 70 30 不频繁使用 50 50 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)按照分层抽样的方式从该校抽取对高满意度的6人，低满意度的4人．若从选定的10人中随机抽取2人做进一步调查，求所选2人中对高满意度的人数的分布列和期望． 参考公式：，其中．． 题型2 离散型随机变量分布列的均值 例2-1（2026·天津·二模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______；随机变量表示三人共命中的次数，则______． 例2-2（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 方法技巧 加权求和公式法 公式：E(X)=i=1∑nxiP(X=xi)； 性质：E(aX+b)=aE(X)+b； 若识别为二项分布X∼B(n,p)，可直接用E(X)=np快速计算。 【变式训练2-1】（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【变式训练2-2】（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【变式训练2-3】【新思维】一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为______；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为______． 题型3 离散型随机变量分布列的方差 例3-1某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)求该学生在路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及方差． 例3-2甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 例3-3已知某随机变量X的分布列如下（）： X 1 2 3 P a 则随机变量X的数学期望________，方差________． 方法技巧 偏差平方加权法 基础公式：D(X)=i=1∑n[xi−E(X)]2P(X=xi)； 简化公式：D(X)=E(X2)−[E(X)]2； 性质：D(aX+b)=a2D(X)；二项分布方差D(X)=np(1−p)； 方差反映波动大小，方差越大，波动越大。 【变式训练3-1】已知随机变量的分布列如图： -1 0 1 设，则的方差__________． 【变式训练3-2】若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 题型4 均值与方差中的决策问题 例4-1我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 例4-2某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 方法技巧 期望优先、方差辅助法 第一步：分别计算不同方案的期望；优先选期望更大（收益类）或更小（损耗类）的方案； 第二步：期望相近时，比较方差，选方差更小、更稳定的方案； 答题规范：先算D、E，再结合实际意义写决策理由。 【变式训练4-1】甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【变式训练4-2】一个小盒装有除颜色外，形状、大小完全相同的6个白球，2个蓝球. 方案一：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则放回小盒并再往小盒里加入4个蓝球； 方案二：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则用白球替换该蓝球重新放回小盒中. (1)分别计算在两种方案下，抽两次球，第二次取到的球是蓝球的概率； (2)在方案一的前提下，连续抽取3次，用表示取到蓝球的次数，求随机变量的分布列和期望； (3)在方案二的前提下，求在第（）次抽球时，抽到的球恰好是第二个蓝球的概率（结果用表示）. 【变式训练4-3】某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 3．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 4．（2017·天津·高考真题）从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值． （）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率． 5．（2016·天津·高考真题）邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率； (2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则的值为（    ）． A．2 B．2.4 C．3.6 D．不确定 2．已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ 10 20 30 P 0.6 a 则D(3ξ－3)等于(　　) A．42 B．135 C．402 D．405 3．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为(　　) A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 4．件产品，其中件是次品，任取件，若表示取到次品的个数，则等于（    ） A． B． C． D．1 5．①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．若随机变量ξ的分布列如下表，则的值为______. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 7．已知某离散型随机变量的均值，的分布列如下表： 0 1 2 3 P a b 则 ______， ______． 8．袋中有大小相同的4个红球和3个白球，从袋中任意取出1个球（不放回），直到取出的球是白球为止.设取球的次数为X，则随机变量X的所有可能取值为______. 3．一批产品共100件，其中有5件次品，现在从中任取10件检查，求取到次品件数X的分布列（精确到0.001）. 10．（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考离散型随机变量及其分布列、数字特征基础演练，核心考查离散型随机变量分布列、均值、方差的基本概念与基础运算。重点包括确定随机变量取值，结合古典概型、独立事件计算对应概率并书写分布列，利用分布列性质检验；两点分布、二项分布模型识别；均值、方差公式直接计算以及均值方差性质的简单运用。常结合取球、抽样、试验、产品抽检等实际背景命题，题型以解答题为主，也会出现选择、填空题。同时注重概率计算出错、分布列概率和不为 1、混淆方差简化公式、记错均值方差线性性质、二项分布判断失误等易错点考查，题目难度中等，侧重基础概念理解与公式运算熟练度，是概率板块必考重点题型，要求审题细致、运算准确。 1．设离散型随机变量的分布列如下表所示，则与的值分别是（    ） -1 0 1 2 0.3 0.3 A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 3．一箱零件共有6个，其中有2个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是__________． 4．离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则 ______. 5．一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____. 6．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时，______，______. 7．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样调查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数分布列如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 8．某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 10．袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3球， （i）其中有白球的概率； （ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 重难·创新演练 设题创新：天津高考离散型随机变量及其分布列、数字特征重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合古典概型、独立事件、条件概率、全概率公式等内容，核心考查复杂背景下随机变量分布列的求解、多参数情形下均值方差计算、利用均值方差进行方案比较与决策，难点在于准确梳理试验过程、分类不重不漏、区分不同概率模型、结合实际含义解读期望和方差，跳出固定模板直接套公式，侧重分类讨论、建模与数据分析思想，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 3．某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制.抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（    ） A． B． C． D． 5．一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸1个球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 6．某商场有4种不同的礼品，每次有放回地随机抽取一种，共抽取3次，记为抽取的3件礼品的种类数量，则（    ） A． B． C． D． 7．我们将标有数字和（k为正整数）的一组球称为连号球．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球．规定：取出的球中存在任意一组完整的连号球，则停止取球．记随机变量X为停止时取出的球的个数，则其数学期望______． 8．从这个数中随机抽取一个数记为，再从这个数中随机抽取一个数记为，已知的数学期望，则的值为______． 9．某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%． (1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率； (2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望． 10．甲同学进行投篮练习，假设每次投篮命中的概率为，且，每次投篮的结果相互独立． (1)当时，若甲连续投篮两次，求至少命中一次的概率． (2)规定每轮练习只要连续不断地命中三次就停止练习，且每轮练习最多连续投篮6次． ①在一轮练习中，甲恰好投篮了5次练习停止的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮练习中投篮次数为，求的最大值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 知识点2 离散型随机变量的数字特征 题型破译 (含超链接） 题型1 离散型随机变量分布列 【方法技巧】取值定概校验法 题型2 离散型随机变量分布列的均值 【方法技巧】加权求和公式法 题型3 离散型随机变量分布列的方差 【方法技巧】偏差平方加权法 题型4 均值与方差中的决策问题 【方法技巧】期望优先、方差辅助法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 离散型随机变量分布列 离散型随机变量分布列的均值 离散型随机变量分布列的方差 考情分析 离散型随机变量及其分布列、数字特征是天津高考概率统计核心考点，常在解答题中出现，也可在选择、填空题考查，分值较高，难度中等。高频考查方向为：①求离散型随机变量的分布列，利用分布列性质检验；②两点分布、二项分布的识别与概率计算；③离散型随机变量的期望、方差的求解；④期望、方差的性质应用；常结合古典概型、独立事件、抽样问题综合命题，是概率板块大题的必考内容，综合性较强，需要熟练掌握概率基础公式。 复习目标 1. 理解离散型随机变量的概念，会写出随机变量所有可能取值，能求出对应取值的概率，写出分布列，掌握分布列的性质（概率和为1）； 2. 理解两点分布、二项分布的模型特征，能够识别二项分布X∼B(n,p)并套用公式； 3. 掌握离散型随机变量期望公式E(X)=∑xiP(X=xi)、方差公式D(X)=∑[xi−E(X)]2P(X=xi)； 4. 熟记期望与方差的性质：E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)； 5. 会综合古典概型、独立事件概率计算分布列，利用期望方差解决实际决策问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 自主检测（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即， 利用分布列性质：离散型随机变量所有取值的概率之和为1， 因此， 即. 知识点2 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1 p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 3．均值与方差的性质 (1)均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). (2)方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=a2D(X). 4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 必记结论 1．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 自主检测（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，解得， 因为，所以， 所以， 得到，故. 题●型●破●译 题型1 离散型随机变量分布列 例1-1（2026·天津河西·模拟预测）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试.若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为__________，记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望__________. 【答案】 【详解】记事件为“第一次抽取到有效馆藏图书”，事件为“第二次抽取到有效馆藏图书”， 由古典概型得，两次均抽取到有效馆藏图书的概率， 根据条件概率公式，代入得. 随机变量表示抽取的2本图书中有效馆藏图书的数量，可能取值为， 服从参数为总体容量、总体中有效图书数、抽取样本量的超几何分布， 方法1：由超几何分布期望公式，代入得； 方法2：先计算分布列： ，，， 故. 例1-2（2026·天津和平·三模）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【答案】 /0.5 【详解】①设事件为“第二次取出的球为黄球”，设事件为“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的球为黄球”与“第一次取出的球不是黄球”，两种情况，故， 事件为“第二次取出的是黄球且第三次取出的是红球”，可分为“第一次取出的是黄球”或“第一次取出的是白球”或“第一次取出的是红球”， 所以，所以， 所以第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为. ②的可能取值为，，， ， , ， 所以的分布列为： 所以. 方法技巧 取值定概校验法 1. 先写出随机变量全部可能取值； 2. 结合古典概型、独立事件等计算每个取值对应的概率； 3. 校验：所有概率之和等于 1，且每个概率0≤P≤1； 4. 规范列表写出分布列。 【变式训练1-1】为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______. 【答案】 【详解】由题意，的可能取值为， 则，， ，， 所以； 党员甲能通过初试的概率为. 故答案为：； 【变式训练1-2】（26-27高三上·天津·阶段检测）某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 (2) (3) 【详解】（1）抽到小明能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为. 从10篇中抽3篇，小明能背诵出篇，则概率为. 所以，， ，， 因此分布列为： 0 1 2 3 （2）小明能及格的概率. （3）设事件：小明至少1篇会背诵，事件：小明能及格， 由条件概率公式. 事件至少会1篇且可以及格，故，， 因此. 【变式训练1-3·变考法】近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性， (1)为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了下列数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 70 30 不频繁使用 50 50 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)按照分层抽样的方式从该校抽取对高满意度的6人，低满意度的4人．若从选定的10人中随机抽取2人做进一步调查，求所选2人中对高满意度的人数的分布列和期望． 参考公式：，其中．． 【答案】(1)能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)的分布列为： 0 1 2 【详解】（1）由题意得， 所以，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2. 可得，，， 的分布列为： 0 1 2 可得数学期望为. 题型2 离散型随机变量分布列的均值 例2-1（2026·天津·二模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______；随机变量表示三人共命中的次数，则______． 【答案】 【详解】①设事件为“甲命中”，事件为“乙命中”，事件为“丙命中”，事件为“恰好有两人命中”， 则由题意得，且每个人射击相互独立， 因此他们未命中的概率分别为，，， 则甲乙命中，丙未命中的概率为； 甲丙命中，乙未命中的概率为； 乙丙命中，甲未命中的概率为； 因此，恰有两人命中的概率为， 甲命中且恰有两人命中的概率为， 由条件概率公式得. ②设为甲命中的次数，设为乙命中的次数，设为丙命中的次数， 则，因此， 由题意得，，， 因此. 例2-2（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【答案】 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 方法技巧 加权求和公式法 公式：E(X)=i=1∑nxiP(X=xi)； 性质：E(aX+b)=aE(X)+b； 若识别为二项分布X∼B(n,p)，可直接用E(X)=np快速计算。 【变式训练2-1】（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【答案】 / 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 【变式训练2-2】（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 【变式训练2-3】【新思维】一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为______；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为______． 【答案】 【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”， 则，， 所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为. 随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”， ， , . 故答案为：. 题型3 离散型随机变量分布列的方差 例3-1某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)求该学生在路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及方差． 【答案】(1) (2) 0 2 4 6 8 【详解】（1）记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则 所以学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率为； （2）记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 因为服从二项分布， 所以，． 例3-2甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列： 1 2 3 0.7 0.21 0.09 ，. 【详解】（1）设表示事件“甲同学在第天预约成功” 表示事件“甲同学到第3天才预约成功” 则 可得. （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3． 且， ， ， 则的分布列为 1 2 3 0.7 0.21 0.09 . . 例3-3已知某随机变量X的分布列如下（）： X 1 2 3 P a 则随机变量X的数学期望________，方差________． 【答案】 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得： ， ； ． 方法技巧 偏差平方加权法 基础公式：D(X)=i=1∑n[xi−E(X)]2P(X=xi)； 简化公式：D(X)=E(X2)−[E(X)]2； 性质：D(aX+b)=a2D(X)；二项分布方差D(X)=np(1−p)； 方差反映波动大小，方差越大，波动越大。 【变式训练3-1】已知随机变量的分布列如图： -1 0 1 设，则的方差__________． 【答案】 【详解】由题意可得， 因此， ， 因为，所以. 【变式训练3-2】若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因随机变量服从两点分布，且，所以； 所以； 所以. 题型4 均值与方差中的决策问题 例4-1我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】(1) (2)甲公司正确完成面试的题数为， 的分布列为 1 2 3 ，， 乙公司正确完成面试的题数为， 的分布列为 0 1 2 3 ，， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 例4-2某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】(1) 的分布列为： ， 的分布列为： ； (2)甲面试通过的可能性大 【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； （2）由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 方法技巧 期望优先、方差辅助法 第一步：分别计算不同方案的期望；优先选期望更大（收益类）或更小（损耗类）的方案； 第二步：期望相近时，比较方差，选方差更小、更稳定的方案； 答题规范：先算D、E，再结合实际意义写决策理由。 【变式训练4-1】甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 【变式训练4-2】一个小盒装有除颜色外，形状、大小完全相同的6个白球，2个蓝球. 方案一：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则放回小盒并再往小盒里加入4个蓝球； 方案二：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则用白球替换该蓝球重新放回小盒中. (1)分别计算在两种方案下，抽两次球，第二次取到的球是蓝球的概率； (2)在方案一的前提下，连续抽取3次，用表示取到蓝球的次数，求随机变量的分布列和期望； (3)在方案二的前提下，求在第（）次抽球时，抽到的球恰好是第二个蓝球的概率（结果用表示）. 【答案】(1)方案一，方案二 (2) 0 1 2 3 (3) 【详解】（1）记在方案一下，第二次取到蓝球的概率为，则分为取到“白蓝”和“蓝蓝”两种情况， 则； 记在方案二下，第二次取到蓝球的概率为，同样分为取到“白蓝”和“蓝蓝”两种情况， 则. （2）由题意得的所有取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则. （3）设第次是第一次取到蓝球，第次是第二次取到蓝球的概率为， 则， 则第次恰好抽到第二个蓝球的概率为中从到取值累加求和， 即 . 【变式训练4-3】某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)； (2)的分布列为： 1 2 3 数学期望为，方差为； (3)甲公司竞标成功的可能性更大. 【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥， 则有， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. （2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为， ， 则的分布列为： 1 2 3 期望，方差. （3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望， 方差， 显然， 所以甲公司竞标成功的可能性更大. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【详解】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. （2）设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知： . 3．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】(1)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)（i）随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量X的数学期望． （ii） 【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （2）（i）随机变量X的所有可能取值为． ，， ，， 所以，随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量X的数学期望． （ii）设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则，且与互斥， 由（i）知，， 故． 所以，事件发生的概率为． 4．（2017·天津·高考真题）从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值． （）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率． 【答案】(1) 0 1 2 3 . （2）. 【详解】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和. 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望. （Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 5．（2016·天津·高考真题）邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率； (2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知得. 所以事件发生的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2 计算， ， ； 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 随机变量的数学期望为. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则的值为（    ）． A．2 B．2.4 C．3.6 D．不确定 【答案】C 【详解】依题意，解得 所以 故选：C 2．已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ 10 20 30 P 0.6 a 则D(3ξ－3)等于(　　) A．42 B．135 C．402 D．405 【答案】D 【详解】由题得. ∴ ， . ∴. 故选:D. 3．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为(　　) A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】C 【详解】随机变量的值为，由于每个随机变量出现的机会相等，所以每个随机变量对应的概率都是， ，即随机变量ξ的均值为， 故选：C 4．件产品，其中件是次品，任取件，若表示取到次品的个数，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题意得，随机变量的取值为，，， 则，，， 所以， 故选：. 5．①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举， ②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举， ③一天之内的温度是连续型变量， ④一次射击中的得分是可一一列举， 由离散随机变量的定义知：①②④. 故选：B 6．若随机变量ξ的分布列如下表，则的值为______. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 【答案】 【详解】首先，所以， 因此. 故答案为：. 7．已知某离散型随机变量的均值，的分布列如下表： 0 1 2 3 P a b 则 ______， ______． 【答案】 【详解】依题意，解得. 故答案为：， 8．袋中有大小相同的4个红球和3个白球，从袋中任意取出1个球（不放回），直到取出的球是白球为止.设取球的次数为X，则随机变量X的所有可能取值为______. 【答案】1，2，3,4,5 【详解】袋中有大小相同的红球4个，白球3个，从袋中任意取出1个球（不放回）， 直到取出的球是白球为止．设取到白球的次数为， 则随机变量的所有可能取值为1，2，3,4,5． 故答案为：1，2，3,4,5 3．一批产品共100件，其中有5件次品，现在从中任取10件检查，求取到次品件数X的分布列（精确到0.001）. 【答案】答案见解析 【详解】由题意可知： ， ， ， ， ， ， 次品件数X的分布列为： 10．（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 【答案】（1）不正确；（2），． 【详解】（1）因为，因此分布列中计算结果错误； （2）由解得（舍去）， 所以，． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考离散型随机变量及其分布列、数字特征基础演练，核心考查离散型随机变量分布列、均值、方差的基本概念与基础运算。重点包括确定随机变量取值，结合古典概型、独立事件计算对应概率并书写分布列，利用分布列性质检验；两点分布、二项分布模型识别；均值、方差公式直接计算以及均值方差性质的简单运用。常结合取球、抽样、试验、产品抽检等实际背景命题，题型以解答题为主，也会出现选择、填空题。同时注重概率计算出错、分布列概率和不为 1、混淆方差简化公式、记错均值方差线性性质、二项分布判断失误等易错点考查，题目难度中等，侧重基础概念理解与公式运算熟练度，是概率板块必考重点题型，要求审题细致、运算准确。 1．设离散型随机变量的分布列如下表所示，则与的值分别是（    ） -1 0 1 2 0.3 0.3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】+. 的取值为，则对应的的取值为 所以的分布列为 1 3 5 P 0.3 0.4 0.3 所以. 2．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得， ， 所以. 3．一箱零件共有6个，其中有2个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是__________． 【答案】 【详解】由题意得一箱零件共有6个，其中有2个型，则不是型的有4个， 设抽取的这两个零件中型个数为，则的可能取值是， 可得，， ，所以. 4．离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则 ______. 【答案】1.6/ 【详解】由题意知：. 所以， 所以. 故答案为： 5．一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____. 【答案】 【详解】由题意， 则. 故答案为：. 6．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时，______，______. 【答案】 6 2 【详解】由题意可得，即， ， 当且仅当即时取等号， 所以，. 故答案为：6；2. 7．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样调查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数分布列如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 【答案】甲厂材料抗拉强度稳定性好，理由见解析 【详解】， 故 ， ， ， 显然，，甲厂材料抗拉强度稳定性好 8．某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1) (2)的分布列为： X 0 1 2 P (3) 【详解】（1）设事件为“乙在第一局中获得胜利”，设事件为“甲先发球”，事件为“乙先发球”，则， 由全概率公式可知： ； （2）依题意的可能取值为，，， 时，比赛的结果为：乙连胜两局，∴； 时，比赛的结果为：“乙胜甲胜乙胜”，“甲胜乙胜乙胜”， ∴； 时，比赛的结果为：“甲胜甲胜”，“甲胜乙胜甲胜”，“乙胜甲胜甲胜”， ∴； 所以的分布列为： X 0 1 2 P 则； （3）由（2）可得， 即随机变量的方差. 9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 10．袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3球， （i）其中有白球的概率； （ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列. 【答案】(1)（i）； （ii）X的分布列如下： 1 2 3 期望为2，方差为 (2)的分布列为 0 1 2 【详解】（1）（i）从袋中任取3球，共有种情况， 其中全为黑球的情况为种情况，故有白球的情况为种， 故有白球的概率为； （ii）X的可能取值为1，2，3， ，即任取3球，有1个黑球，2个白球，故， ，即任取3球，有2个黑球，1个白球，故， ，即任取3球，有3个黑球，0个白球，故， 所以X的分布列如下： 1 2 3 期望为， 方差为. （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的概率为， 取到黑球的个数的可能取值为0，1，2， 则，， ， 故的分布列为 0 1 2 重难·创新演练 设题创新：天津高考离散型随机变量及其分布列、数字特征重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合古典概型、独立事件、条件概率、全概率公式等内容，核心考查复杂背景下随机变量分布列的求解、多参数情形下均值方差计算、利用均值方差进行方案比较与决策，难点在于准确梳理试验过程、分类不重不漏、区分不同概率模型、结合实际含义解读期望和方差，跳出固定模板直接套公式，侧重分类讨论、建模与数据分析思想，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【详解】方法1：由分布列得， 则， 则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则， 则当在内增大时，先减小后增大. 2．已知随机变量的分布列如下表所示，记的数学期望和方差分别为，，则当在上增大时，有（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 【答案】D 【详解】由题意 . ∴ . . 当 增大时， 单调递减且大于等于0，故 单调递减. ∴ 随 增大而减小. . ，令 ，当 增大时， 单调递减. 代入得. 对于函数，该二次函数开口向下，对称轴为 ，故在 上单调递增. ∵ 随 增大而减小，由复合函数的单调性得 随 增大而减小. 综上， 增大时， 减小， 减小，故选D. 3．某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制.抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 试验一为有放回抽取，每次抽到“恭喜中奖”的概率 ，各次抽取相互独立， ∴ ， ∴ ，. 的所有可能取值为0,1,2,3,4， ∵ 试验二为不放回抽取，属于超几何分布， ∴ ， ， ， ， . ∴ ， 则 ，故A、B选项错误. ， 又 ， ∴ . ∵ ， ∴ ，故C选项正确，D选项错误. 4．某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲答对的题数为随机变量， 由题意可知服从的二项分布，即， 所以， 因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分， 所以甲最后的得分， 所以， . 5．一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸1个球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 6．某商场有4种不同的礼品，每次有放回地随机抽取一种，共抽取3次，记为抽取的3件礼品的种类数量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，每次抽取均有种可能，共抽取次，故总基本事件数为：. 随机变量的所有可能取值为, 当时,表示次抽取的礼品种类完全相同，共有种情况，则：. 当时,表示次抽取的礼品种类均不相同，共有种情况，则：, 当时,利用对立事件概率公式，可得, 所以，即. 7．我们将标有数字和（k为正整数）的一组球称为连号球．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球．规定：取出的球中存在任意一组完整的连号球，则停止取球．记随机变量X为停止时取出的球的个数，则其数学期望______． 【答案】/ 【详解】当，；当时，；当时，； 由题，则当标有数字或者或者的球均已被取出，则停止取球， 所以的可能取值是， ；；； 所以的分布列为 所以. 8．从这个数中随机抽取一个数记为，再从这个数中随机抽取一个数记为，已知的数学期望，则的值为______． 【答案】 【详解】由题可得的可能取值为，． 的可能取值为，其中，, 先列举， , 则， 则 注意到， 则．由题，故． 9．某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%． (1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率； (2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 期望为 【详解】（1）设事件为“患有疾病”，事件为“不患有疾病”，事件为“检测结果为阴性”. 由题意，，，系统对患者诊断阳性概率为，所以患者检测阴性的概率，非患者检测阴性概率. 根据全概率公式得： 所以任选一人检测，检测结果为阴性的概率为； （2）每一名非疾病患者检测结果为阴性的概率为，3人的检测相互独立，则. 的所有可能取值为：. ， ， ， . 所以的分布列为： ，，， 所以. 10．甲同学进行投篮练习，假设每次投篮命中的概率为，且，每次投篮的结果相互独立． (1)当时，若甲连续投篮两次，求至少命中一次的概率． (2)规定每轮练习只要连续不断地命中三次就停止练习，且每轮练习最多连续投篮6次． ①在一轮练习中，甲恰好投篮了5次练习停止的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮练习中投篮次数为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①；② 【详解】（1）设事件表示第次命中，其中．且，， 设事件：“至少命中一次”，． （2）①设事件：“恰好投篮了次练习停止”，则． 故 ，所以． ②由题意知， ， ， ， ． 则． 令，， 当时，，即在上单调递减，故， 因此，的最大值为． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $