第03讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 事件的相互独立性 知识点2 条件概率与全概率公式 题型破译 (含超链接） 题型1 相互独立事件的判断 【方法技巧】概率验证判定法 题型2 相互独立事件的概率 【方法技巧】独立相乘分步法 题型3 条件概率 【方法技巧】缩样本空间法 题型4 全概率公式 【方法技巧】完备拆分求和法 题型5 贝叶斯公式 【方法技巧】由果溯因逆推法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 条件概率 T13(5分） T13(5分） T13(5分） 全概率事件 T13(5分） 考情分析 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式是天津高考概率板块重点考点，多以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，也可融入解答题中，难度中等偏上。高频考查方向为：①判断事件是否相互独立，独立事件概率乘法公式的应用；②条件概率的理解与计算；③全概率公式的简单应用；④独立事件、互斥事件、对立事件的区分辨析，常结合产品检验、抽样、试验分步等背景命题，经常和古典概型综合考查，是后续离散型随机变量分布列的重要基础，必须熟练掌握。 复习目标 1. 1理解相互独立事件的定义，掌握独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)，能区分独立事件与互斥事件； 2. 理解条件概率的含义，掌握条件概率公式 P (BA)=P (B)P (A)，会用缩小样本空间的方法计算条件概率； 3. 理解全概率公式的意义，能够合理划分完备事件组，运用全概率公式分步计算复杂事件概率； 4. 能综合运用条件概率、独立事件公式解决多阶段试验问题；5. 厘清互斥、对立、相互独立三者之间的区别，规避概念混淆类错误。 5. 掌握古典概型的两个特征：基本事件有限性、等可能性，会判断是否为古典概型； 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 事件的相互独立性 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为 . (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互 . (3)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其 入手计算. 自主检测据气象预报，本周末甲、乙两地下雨的概率分别为和，假定这段时间内两地是否下雨相互独立，则这段时间内甲、乙两地恰有一地下雨的概率为______． 知识点2 条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称 . (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为 . (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 4．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 5．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(BA)=. (2)样本点法：P(BA)=. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解. 6．利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 必记结论 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 自主检测为深入贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的部署要求，引导广大青少年爱读书、读好书、善读书，厚植文化自信，学校大力开展“经典诵读”活动．某校高一、高二、高三学生人数之比为，三个年级参加“经典诵读”活动的学生分别占本年级人数的，，．现从该校学生中随机抽取1名学生，则该生参加“经典诵读”活动的概率为____． 题●型●破●译 题型1 相互独立事件的判断 例1-1（2026·天津武清·模拟预测）下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（     ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例1-2以下说法不正确的是（    ） A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C．的展开式中常数项为15 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 方法技巧 概率验证判定法 定义：若 P(AB)=P(A)P(B)，则 A、B 相互独立； 直观理解：A 发不发生，不改变 B 发生的概率； 易错区分：独立≠互斥；独立是概率互不影响，互斥是不能同时发生； 快速检验：算出P(A),P(B),P(AB)，代入式子验证即可。 【变式训练1-1】已知事件A、B满足，，则（    ） A． B． C．事件相互独立 D．事件互斥 【变式训练1-2】一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之差是0”，则下列结论正确的是（     ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【变式训练1-3·变考法】一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（     ） A．事件与事件不是互斥事件 B．事件M发生的概率为 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 题型2 相互独立事件的概率 例2-1（2026·天津武清·模拟预测）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球， （i）若随机抽取一个罐子，则从罐中抽到红球的概率为____________________； （ii）若从两个罐子中各摸出1个球后进行交换，交换2次后，白球还在A罐的概率是____________________． 例2-2某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过程检验（IPQC）、出货检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为_________． 方法技巧 独立相乘分步法 独立事件乘法公式：P(AB)=P(A)P(B)； 多个独立事件同时发生，概率连乘； 独立事件至少一个发生：优先用对立事件P(A∪B)=1−P(A)P(B)； 思路：分步试验、互不影响，适合多次独立重复试验背景。 【变式训练2-1】某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是______；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是______. 【变式训练2-2】甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答，至少答对2道题才算合格.则甲不合格的概率是________；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是__________. 【变式训练2-3】【新思维】（2026·天津宝坻·三模）2026年，是我国进入“十五五”规划的开局之年，发展新质生产力以科技创新为第一引擎．某科创通信工程研究小组，执行某通信试验，在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．通信试验方案为三次传输．三次传输是指同一个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______． 题型3 条件概率 例3-1（2026·天津滨海新区·三模）已知塘沽一中甲社团有4个男生和2个女生，乙社团有3个男生和2个女生，若从甲社团中任选2人，则这2人中有一个为男生的条件下，另一个为女生的概率_____________；若先从甲社团任选2人，加入乙社团，再从乙社团任选1人，则选出的这个人是男生的概率为_____________． 例3-2（2026·天津河西·模拟预测）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试.若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为__________，记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望__________. 例3-3（2026·天津河西·三模）某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 方法技巧 缩样本空间法 条件概率公式：P(B∣A)=​(P(A)>0)两种做法： 公式法：先算P(A)和P(AB)再相除； 缩小样本空间：在 A 发生的前提下，重新数符合 B 的基本事件；易错：P(B∣A)=P(A∣B)，不要颠倒顺序。 【变式训练3-1】（2026·天津·模拟预测）天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 【变式训练3-2】（2026·天津·二模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______；随机变量表示三人共命中的次数，则______． 题型4 全概率公式 例4-1（2026·天津西青·三模）小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______． 例4-2（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 方法技巧 完备拆分求和法 找到完备事件组A1,A2​,…,An（两两互斥，且并为全集） P(B)=·P(B|Ai) 解题思路：B 的发生分多条路径，先分情况、分别算每条路径概率再相加；适合：分阶段、分来源的概率问题。 【变式训练4-1】（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【变式训练4-2】（2026·天津·二模）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 【变式训练4-3】（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 题型5 贝叶斯公式 例5-1（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 例5-2（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 方法技巧 由果溯因逆推法 ​ 分母P(B)一般先用全概率公式算出； 用途：已知结果 B 发生，反推是由第Ai​这个原因造成的概率；口诀：全概率由因求果，贝叶斯由果溯因。 【变式训练5-1】某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比赛，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【变式训练5-2】随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 【变式训练5-3】已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 3．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 5．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ）． A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 3．若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（    ）． A． B． C． D． 4．甲、乙两人打靶，甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7．若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为（    ）． A．0.56 B．0.48 C．0.75 D．0.94 5．已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 6．抛掷一枚均匀的骰子，观察掷出的点数，若掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 7．袋中有3个黑球和2个白球，这5个球除颜色外完全相同.每次从中取出一球，取后放回.设事件A表示“第一次取出白球”，事件B表示“第二次取出白球”，则______，______. 8．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则______，______. 9．同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，设事件A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或6”，事件B表示“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”，则______. 10．考虑恰有两个小孩的家庭.若某家第一个是男孩，则这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率为______（假定生男生女为等可能）. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考事件的相互独立性、条件概率与全概率公式基础演练，核心考查相互独立事件、条件概率、全概率公式的基本概念与基础运算。重点包括相互独立事件的判定与乘法公式应用，条件概率的理解与计算，简单完备事件组下全概率公式的使用，区分独立事件与互斥事件。常结合产品检测、分步试验、抽样筛选等实际背景命题，题型以选择题、填空题为主。同时注重混淆独立与互斥、条件概率顺序颠倒、完备事件组划分不全、公式套用条件不清等易错点考查，题目难度中等，侧重基础概念理解与公式运用熟练度，是概率板块核心重点题型，要求审题细致、运算准确。 1．（2026·天津·二模）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 2．下列命题为真命题的有（    ） A．若随机变量的方差为，则． B．已知经验回归方程，则与具有正线性相关关系． C．对于随机事件与，若则事件与独立． D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关． 3．已知，则（    ）. A． B． C． D． 4．（2026·天津·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．若事件相互独立，则 B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联” D．样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 5．（2026·天津南开·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 6．猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则________；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率________. 7．抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为__________；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为__________. 8．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为_____；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为_____． 9．（2026·天津河西·二模）天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目.为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球.若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”.第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”.游客从获得的票箱中，随机抽取2张票.若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为_______；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为_______. 10．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 重难·创新演练 设题创新：天津高考事件的相互独立性、条件概率与全概率公式重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合古典概型、对立事件、分类讨论等内容，核心考查多阶段复杂试验的概率求解、利用全概率公式由因求果、贝叶斯公式由果溯因逆向计算、多个事件独立关系的综合辨析，难点在于合理划分完备事件组、识别隐藏的前提条件、理清条件概率中的样本空间，跳出直接套公式的模式，侧重逻辑推理与转化思想，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．已知甲箱中有1个红球和3个黑球， 乙箱中有2个红球和2个黑球 (所有球除颜色外完全相同)，某学生从甲箱中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 2 个球， 则从乙箱中取出的球都是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 4．某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（   ） A．1% B．1.45% C．2.45% D．5% 5．箱子中有2个红球，1个黄球，1个白球，采用有放回的方式连续抽取3次，在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲、乙两位同学去的景点不同”，则（     ） A． B． C． D． 7．某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面具”、“青铜立人像”、“青铜太阳形器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面具”图案的概率为________；学生甲、乙、丙三人中至少有一人得到“青铜太阳形器”图案的条件下，恰有一人得到“青铜太阳形器”图案的概率为________． 8．世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 9．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率是．若甲、乙同学都回答这个问题，则至少有1名同学回答正确的概率为__________． 10．甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 事件的相互独立性 知识点2 条件概率与全概率公式 题型破译 (含超链接） 题型1 相互独立事件的判断 【方法技巧】概率验证判定法 题型2 相互独立事件的概率 【方法技巧】独立相乘分步法 题型3 条件概率 【方法技巧】缩样本空间法 题型4 全概率公式 【方法技巧】完备拆分求和法 题型5 贝叶斯公式 【方法技巧】由果溯因逆推法 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 条件概率 T13(5分） T13(5分） T13(5分） 全概率事件 T13(5分） 考情分析 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式是天津高考概率板块重点考点，多以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，也可融入解答题中，难度中等偏上。高频考查方向为：①判断事件是否相互独立，独立事件概率乘法公式的应用；②条件概率的理解与计算；③全概率公式的简单应用；④独立事件、互斥事件、对立事件的区分辨析，常结合产品检验、抽样、试验分步等背景命题，经常和古典概型综合考查，是后续离散型随机变量分布列的重要基础，必须熟练掌握。 复习目标 1. 1理解相互独立事件的定义，掌握独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)，能区分独立事件与互斥事件； 2. 理解条件概率的含义，掌握条件概率公式 P (BA)=P (B)P (A)，会用缩小样本空间的方法计算条件概率； 3. 理解全概率公式的意义，能够合理划分完备事件组，运用全概率公式分步计算复杂事件概率； 4. 能综合运用条件概率、独立事件公式解决多阶段试验问题；5. 厘清互斥、对立、相互独立三者之间的区别，规避概念混淆类错误。 5. 掌握古典概型的两个特征：基本事件有限性、等可能性，会判断是否为古典概型； 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 事件的相互独立性 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 自主检测据气象预报，本周末甲、乙两地下雨的概率分别为和，假定这段时间内两地是否下雨相互独立，则这段时间内甲、乙两地恰有一地下雨的概率为______． 【答案】 【详解】甲、乙两地恰有一地下雨的概率为. 知识点2 条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 4．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 5．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(BA)=. (2)样本点法：P(BA)=. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解. 6．利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 必记结论 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 自主检测为深入贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的部署要求，引导广大青少年爱读书、读好书、善读书，厚植文化自信，学校大力开展“经典诵读”活动．某校高一、高二、高三学生人数之比为，三个年级参加“经典诵读”活动的学生分别占本年级人数的，，．现从该校学生中随机抽取1名学生，则该生参加“经典诵读”活动的概率为____． 【答案】/ 【详解】因为高一、高二、高三学生人数之比为，三个年级参加“经典诵读”活动的学生分别占本年级人数的，，， 由全概率公式知，从该校学生中随机抽取1名学生， 则该生参加“经典诵读”活动的概率为. 题●型●破●译 题型1 相互独立事件的判断 例1-1（2026·天津武清·模拟预测）下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（     ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4， 则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确； 对于命题②，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以命题②错误； 对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确； 对于命题④，将数据从小到大排序为， 因为，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误. 例1-2以下说法不正确的是（    ） A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C．的展开式中常数项为15 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】B 【详解】对于A：因为，所以第75百分位数为，故A正确； 对于B：相关系数r的绝对值接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，并不说明变量之间不存在其它相关关系，故B错误； 对于C：常数项为，故C正确； 对于D：由必然事件和不可能事件的定义，可得D正确． 故选：B． 方法技巧 概率验证判定法 定义：若 P(AB)=P(A)P(B)，则 A、B 相互独立； 直观理解：A 发不发生，不改变 B 发生的概率； 易错区分：独立≠互斥；独立是概率互不影响，互斥是不能同时发生； 快速检验：算出P(A),P(B),P(AB)，代入式子验证即可。 【变式训练1-1】已知事件A、B满足，，则（    ） A． B． C．事件相互独立 D．事件互斥 【答案】C 【详解】由题设， 所以，即相互独立，同一试验中不互斥， 而未知，无法确定、. 故选：C 【变式训练1-2】一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之差是0”，则下列结论正确的是（     ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】D 【详解】设样本空间为，则， 事件“两次向上的数字都为3” ，则， 事件“两次向上的数字之差是0” ，， 则事件，则， 可得，，， 故A错误，D正确； 因为，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 又因为，所以事件与事件不相互独立，故C错误. 【变式训练1-3·变考法】一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（     ） A．事件与事件不是互斥事件 B．事件M发生的概率为 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 【答案】B 【详解】对于A，由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A正确； 对于B，由题设知：，B错误； 对于C，因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确； 对于D，， 表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”， 故，所以，D正确. 题型2 相互独立事件的概率 例2-1（2026·天津武清·模拟预测）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球， （i）若随机抽取一个罐子，则从罐中抽到红球的概率为____________________； （ii）若从两个罐子中各摸出1个球后进行交换，交换2次后，白球还在A罐的概率是____________________． 【答案】 【详解】（i）设事件为随机抽取A罐，事件随机抽取B罐，事件为取到一个红球，则，，，， 所以 ； （ii）根据第一次交换后，白球在B罐还是在A罐，分两种情况讨论： 情况一：第一次交换后，白球在B罐 第一次交换时，从A罐中摸出白球的概率为，从B罐中摸出红球的概率为，此时白球在B罐中，概率为；第二次交换时，需从B罐中摸出白球（此时B罐中有1个白球，2个红球），概率为，从A罐中摸出红球（此时A罐中有3个红球），概率为，所以第二次交换白球回到A罐中的概率为；所以，在这种情况下，两次交换后，白球还在A罐中的概率为； 情况二：第一次交换后，白球在A罐 第一次交换时，从A罐中摸出红球的概率为，从B罐中摸出红球的概率为，此时白球在A罐中，概率为；第二次交换时，需从A罐中摸出红球（此时A罐中有1个白球，2个红球），概率为，从B罐中摸出红球（此时B罐中有3个红球），概率为，所以第二次交换白球还在A罐中的概率为；所以，在这种情况下，两次交换后，白球还在A罐中的概率为； 综上所述，根据概率加法原理，两次交换后，白球还在A罐中的概率为. 例2-2某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过程检验（IPQC）、出货检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为_________． 【答案】/0.9 【详解】设表示第i次通过进货检验，表示第i次通过生产过程检验（），C表示该产品能进入出货检验环节，由题意得 ． 故答案为：. 方法技巧 独立相乘分步法 独立事件乘法公式：P(AB)=P(A)P(B)； 多个独立事件同时发生，概率连乘； 独立事件至少一个发生：优先用对立事件P(A∪B)=1−P(A)P(B)； 思路：分步试验、互不影响，适合多次独立重复试验背景。 【变式训练2-1】某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是______；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是______. 【答案】 【详解】由题意，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是， 则乙战胜甲的概率是； 由甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分， 设甲得分不少于2分为事件，则事件表示乙胜或甲负且甲乙和， 可得, 所以甲得分不少于2分的概率是. 故答案为：；. 【变式训练2-2】甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答，至少答对2道题才算合格.则甲不合格的概率是________；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是__________. 【答案】 【详解】设A，B分别表示甲合格，乙合格， 则, 则甲不合格的概率是， 则甲、乙两人中恰有一人合格的概率为: ， 故答案为：； 【变式训练2-3】【新思维】（2026·天津宝坻·三模）2026年，是我国进入“十五五”规划的开局之年，发展新质生产力以科技创新为第一引擎．某科创通信工程研究小组，执行某通信试验，在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．通信试验方案为三次传输．三次传输是指同一个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______． 【答案】 / 【详解】发送0，则依次收到0，0，1的概率为， 发送1，则译码为1的概率为 题型3 条件概率 例3-1（2026·天津滨海新区·三模）已知塘沽一中甲社团有4个男生和2个女生，乙社团有3个男生和2个女生，若从甲社团中任选2人，则这2人中有一个为男生的条件下，另一个为女生的概率_____________；若先从甲社团任选2人，加入乙社团，再从乙社团任选1人，则选出的这个人是男生的概率为_____________． 【答案】 【详解】(1) 记事件为“从甲社团选出的2人中至少有1名男生”，事件为“从甲社团选出的2人为1男1女”，所求概率为. 甲社团共6人，从6人中任选2人的总选法有种. ∵ 2人全为女生的选法有种， ∴ . ∵ 2人为1男1女的选法有种， ∴ . 由条件概率公式得 . (2) 设从甲社团选出的2人中男生人数为，的可能取值为0,1,2. ∵ ，此时乙社团有男生3人，总人数人，从乙选到男生的概率为； ，此时乙社团有男生人，总人数7人，从乙选到男生的概率为； ，此时乙社团有男生人，总人数7人，从乙选到男生的概率为. 由全概率公式得，最终选到男生的概率 . 例3-2（2026·天津河西·模拟预测）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试.若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为__________，记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望__________. 【答案】 【详解】记事件为“第一次抽取到有效馆藏图书”，事件为“第二次抽取到有效馆藏图书”， 由古典概型得，两次均抽取到有效馆藏图书的概率， 根据条件概率公式，代入得. 随机变量表示抽取的2本图书中有效馆藏图书的数量，可能取值为， 服从参数为总体容量、总体中有效图书数、抽取样本量的超几何分布， 方法1：由超几何分布期望公式，代入得； 方法2：先计算分布列： ，，， 故. 例3-3（2026·天津河西·三模）某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 【答案】 【详解】抽调的3名志愿者恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为， 恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为， 至少有1名来自“前台引导”组的概率为， 所以在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为. 方法技巧 缩样本空间法 条件概率公式：P(B∣A)=​(P(A)>0)两种做法： 公式法：先算P(A)和P(AB)再相除； 缩小样本空间：在 A 发生的前提下，重新数符合 B 的基本事件；易错：P(B∣A)=P(A∣B)，不要颠倒顺序。 【变式训练3-1】（2026·天津·模拟预测）天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 【答案】 2 【详解】设事件：三人所选颜色互不相同；事件：三人所选单车中有粉色，， 每人从6种颜色中任选一种，总基本事件数：， 事件的对立事件：三人都不选粉色，每人有5种选择：， 则 ， 事件：所选单车包含粉色，且三人颜色互不相同， 需从余下5种颜色中选取2种，再对3种颜色进行全排列： ， 因此：，即三人所选颜色互不相同的概率为； 以上六种颜色中，暖色系共4种，冷色系共2种，从6种颜色中不放回选取3种， 该随机变量服从超几何分布，其中 ． 则． 【变式训练3-2】（2026·天津·二模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______；随机变量表示三人共命中的次数，则______． 【答案】 【详解】①设事件为“甲命中”，事件为“乙命中”，事件为“丙命中”，事件为“恰好有两人命中”， 则由题意得，且每个人射击相互独立， 因此他们未命中的概率分别为，，， 则甲乙命中，丙未命中的概率为； 甲丙命中，乙未命中的概率为； 乙丙命中，甲未命中的概率为； 因此，恰有两人命中的概率为， 甲命中且恰有两人命中的概率为， 由条件概率公式得. ②设为甲命中的次数，设为乙命中的次数，设为丙命中的次数， 则，因此， 由题意得，，， 因此. 题型4 全概率公式 例4-1（2026·天津西青·三模）小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______． 【答案】 / 【详解】设第一天选择室内健身为事件，第一天选择户外运动为事件，第二天选择室内健身为事件. 则由题意得：，，，， 由全概率公式得：， . 例4-2（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 方法技巧 完备拆分求和法 找到完备事件组A1,A2​,…,An（两两互斥，且并为全集） P(B)=·P(B|Ai) 解题思路：B 的发生分多条路径，先分情况、分别算每条路径概率再相加；适合：分阶段、分来源的概率问题。 【变式训练4-1】（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【详解】；. 【变式训练4-2】（2026·天津·二模）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 【答案】 【详解】甲第1次听写错误的概率为，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为， 故所求概率为. 第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为； 第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为. 由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为. 【变式训练4-3】（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【答案】 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 题型5 贝叶斯公式 例5-1（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【答案】 /0.5 【详解】解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件， 则， 在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件， ， 设两轮比赛中只有两次猜对为事件， 则， 则这两次都是乙猜对的概率为． 例5-2（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 方法技巧 由果溯因逆推法 ​ 分母P(B)一般先用全概率公式算出； 用途：已知结果 B 发生，反推是由第Ai​这个原因造成的概率；口诀：全概率由因求果，贝叶斯由果溯因。 【变式训练5-1】某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比赛，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【答案】 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，，则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为. 故答案为：；. 【变式训练5-2】随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 【答案】 【详解】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 【变式训练5-3】已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________. 【答案】 【详解】因为某地区烟民的肺癌发病率为，没有患肺癌的人其化验结果呈阴性， 则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为； 设事件表示某地区烟民患癌，则，， 设事件表示检验结果为阳性， 则，， 所以某烟民的检验结果为阳性的概率为： ， 所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为 . 故答案为：； 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 3．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 5．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 【答案】 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 故答案为：；. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】设事件为“第一次取红球”，事件为“第白次取红球”，则， ，故 ． 故选：B 2．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ）． A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 3．若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知事件包含了三个基本事件：, 所以事件的概率为： . 故选:B. 4．甲、乙两人打靶，甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7．若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为（    ）． A．0.56 B．0.48 C．0.75 D．0.94 【答案】A 【详解】根据题意，若两人同时射击一个目标，则两人都命中的概率为. 故选：A. 5．已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据条件概率定义，所以D正确. 故选：D. 6．抛掷一枚均匀的骰子，观察掷出的点数，若掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件：“抛出的点数不超过3”，事件；“抛出的点数是奇数”， 可得，则， 所以掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为. 故选：B. 7．袋中有3个黑球和2个白球，这5个球除颜色外完全相同.每次从中取出一球，取后放回.设事件A表示“第一次取出白球”，事件B表示“第二次取出白球”，则______，______. 【答案】 【详解】由题可得， 所以，. 故答案为：；. 8．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则______，______. 【答案】 【详解】设第一次掷骰子出现的点数为，第二次掷骰子出现的点数为，两次掷骰子的情况为，共有种可能， 则事件A中包含的基本事件为，共6个， 事件B中包含的基本事件为，共5个， 事件中包含的基本事件为，共1个， 则，，. 故答案为：；. 9．同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，设事件A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或6”，事件B表示“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”，则______. 【答案】 【详解】， 同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，基本事件有种， “蓝色骰子掷出的点数为3或6”且“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”的事件为： （红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝），共种， 所以， 所以. 故答案为： 10．考虑恰有两个小孩的家庭.若某家第一个是男孩，则这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率为______（假定生男生女为等可能）. 【答案】/ 【详解】依题意，家庭有两个小孩，基本事件有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共种情况. 若家庭第一个是男孩，则事件为（男，男）、（男，女）， 则第二个也是男孩的概率为. 故答案为： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考事件的相互独立性、条件概率与全概率公式基础演练，核心考查相互独立事件、条件概率、全概率公式的基本概念与基础运算。重点包括相互独立事件的判定与乘法公式应用，条件概率的理解与计算，简单完备事件组下全概率公式的使用，区分独立事件与互斥事件。常结合产品检测、分步试验、抽样筛选等实际背景命题，题型以选择题、填空题为主。同时注重混淆独立与互斥、条件概率顺序颠倒、完备事件组划分不全、公式套用条件不清等易错点考查，题目难度中等，侧重基础概念理解与公式运用熟练度，是概率板块核心重点题型，要求审题细致、运算准确。 1．（2026·天津·二模）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 【答案】C 【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强， 相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误 在B选项中，正态分布的对称轴为，由得： ，根据正态分布的对称性可知： ，所以， 所以，B错误， 在C选项中，根据条件概率公式可得： ，C正确， 在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为，D错误. 2．下列命题为真命题的有（    ） A．若随机变量的方差为，则． B．已知经验回归方程，则与具有正线性相关关系． C．对于随机事件与，若则事件与独立． D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关． 【答案】C 【详解】A：由，则，错； B：由的一次项系数为负，故与具有负线性相关关系，错； C：由，而，则， 所以，即事件与相互独立，对； D：由，故没有的把握认为与有关，错. 故选：C 3．已知，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以, 故选：C 4．（2026·天津·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．若事件相互独立，则 B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联” D．样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】C 【详解】对于A，若事件A，B相互独立，则，故A正确； 对于B.，残差的散点图分布的区域越窄，说明预测值与观测值的偏离越小，拟合效果越好，故B正确； 对于C，零假设：与相互独立，即与没有关联.因为， 依据的独立性检验，拒绝零假设，所以有的把握认为“与有关联”，故C错误； 对于D.，当的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确. 5．（2026·天津南开·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 【答案】B 【详解】对于A，因为，且，故， 则，A错误； 对于B，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度越高，拟合效果越好，B正确； 对于C，举例，抛两次硬币，设“第一次正面向上”，“第二次正面向上”，“两次向上结果相同”， 则，, 满足, 即，，三个事件两两独立，而，即C错误； 对于D，将原数据从小到大排序：2，3，3，4，7，8，10，18， 因为，因此第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，即，D错误. 6．猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则________；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率________. 【答案】 【详解】设事件：甲猜对灯谜；事件：乙猜对灯谜. 由题意，与相互独立，且，，，. 因为甲、乙都猜不对的概率为，所以. 甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为： . 故答案为：； 7．抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为__________；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为__________. 【答案】 / 【详解】由题意可知，两次都中奖的概率是； 因为第一次没有中奖，所以第二次抽奖时，盒中有2个红球，3个黄球， 则第二次中奖的概率为. 故答案为：； 8．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为_____；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为_____． 【答案】 【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”， 甲袋中有个红球，个球，所以 ； 乙袋中有个红球，个球，所以 . 因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生， 根据相互独立事件的概率乘法公式可得 . 设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”. 先求： 两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况. “甲红乙黄”的概率 ； “甲黄乙红”的概率 . 根据互斥事件概率加法公式， . “两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”， . 根据条件概率公式 ，可得 . 故答案为：； . 9．（2026·天津河西·二模）天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目.为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球.若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”.第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”.游客从获得的票箱中，随机抽取2张票.若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为_______；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为_______. 【答案】 /0.4 /0.48 【详解】某游客在第一步获得“A组票箱”，即抽出的2个球颜色相同， 抽到的2个球均为红色或白色，故概率为； 故游客在第一步获得“B组票箱”的概率为， 从“A组票箱”中恰好抽到1张“夜游票”的概率为， 从“B组票箱”中恰好抽到1张“夜游票”的概率为， 所以游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为. 10．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 重难·创新演练 设题创新：天津高考事件的相互独立性、条件概率与全概率公式重难点及创新演练，主打知识综合与思维拓展。常融合古典概型、对立事件、分类讨论等内容，核心考查多阶段复杂试验的概率求解、利用全概率公式由因求果、贝叶斯公式由果溯因逆向计算、多个事件独立关系的综合辨析，难点在于合理划分完备事件组、识别隐藏的前提条件、理清条件概率中的样本空间，跳出直接套公式的模式，侧重逻辑推理与转化思想，难度高于基础题，着重考查综合分析与知识迁移能力。 1．已知甲箱中有1个红球和3个黑球， 乙箱中有2个红球和2个黑球 (所有球除颜色外完全相同)，某学生从甲箱中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 2 个球， 则从乙箱中取出的球都是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为从甲箱取出红球放入乙箱，为从甲箱取出黑球放入乙箱， 为从乙箱中取出的球都是黑球，则，， 则，， 由全概率公式可得：. 2．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“乙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“甲从箱中取出2道代数题”， 事件为“甲从箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“甲从箱中取出2道几何题”， 则，，. 当发生时，箱中有5道代数题和1道几何题，； 当发生时，箱中有4道代数题和2道几何题，； 当发生时，箱中有3道代数题和3道几何题，. 由全概率公式可得 . 3．已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（     ） A．0.38 B．0.34 C．0.28 D．0.24 【答案】A 【详解】第二次命中的概率为, 所以第二次投篮不中的概率为． 4．某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（   ） A．1% B．1.45% C．2.45% D．5% 【答案】C 【详解】记事件为零件为废品，事件为甲机器生产的产品，事件为乙机器生产的产品． 则． 5．箱子中有2个红球，1个黄球，1个白球，采用有放回的方式连续抽取3次，在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球”的对立事件为“在三次都没取到白球的条件下，一次黄球都没取到”，即在2个红球，1个黄球中有放回的连续抽取3次，3次都是红球， 设“在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球”为事件A， 则. 6．甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲、乙两位同学去的景点不同”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲选择景点共4种方法，乙选择与甲不同的景点共3种方法，丙、丁无额外限制，各有4种选择， 因此. 事件表示“4位同学去的景点各不相同且甲、乙景点不同”，若4人去的景点各不相同，则甲、乙景点必然不同， 因此等价于事件，其基本事件数为4个景点的全排列：. 所以. 7．某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面具”、“青铜立人像”、“青铜太阳形器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面具”图案的概率为________；学生甲、乙、丙三人中至少有一人得到“青铜太阳形器”图案的条件下，恰有一人得到“青铜太阳形器”图案的概率为________． 【答案】 【详解】（1）3枚印章中"金面具"图案只有1枚，每枚被选到的概率相等，故甲得到"金面具"图案的概率为. 设"恰有一人得到青铜太阳形器图案"为事件，"至少有一人得到青铜太阳形器图案"为事件. 每人独立从3种图案中随机取1种，得到青铜太阳形器图案的概率为，未得到的概率为. 由二项分布，. . 由于，由条件概率公式，. 8．世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 【答案】 【详解】设事件A为甲能被录用，事件B为乙能被录用，事件C为丙能被录用； 则，，； 因为甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立， 故， 解得，故； ，解得； 故甲、乙、丙三人至少有两人能被录用包含事件甲乙录用丙不录用，甲丙录用乙不录用，乙丙录用甲不录用，甲乙丙都被录用四种情况， 即， 根据这四个事件两两互斥可得； 故． 9．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率是．若甲、乙同学都回答这个问题，则至少有1名同学回答正确的概率为__________． 【答案】 【详解】设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件， 由题意可知，事件与事件相互独立，且，． 记“甲、乙两名同学中至少有1名同学回答正确”为事件， 则事件的对立事件为“甲、乙两名同学都回答错误”， 即． 因为， ， 且事件与也相互独立， 所以． 故. 10．甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 【答案】 /0.5 【详解】分别记事件甲、乙、丙独立地破译密码为A,B,C . 由题意可知，，， 解得，，. 所以乙独立破译该密码的概率为； 甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $