第04讲 三角函数的图象与性质（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质核心考点，涵盖定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及图像变换，按知识解构-题型破译-真题溯源逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识框架，突破高频难点。 讲义突出数学思维与直观想象素养培养，如通过“五点法”作图深化图像认知，结合复合函数单调性分析强化逻辑推理，设置分层练习与真题溯源模块，确保复习针对性与实战性，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第04讲 三角函数的图象与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图与性质 知识点2 与的图像与性质 知识点3 三角函数平移与伸缩 题型破译 题型1 函数的奇偶性 【方法技巧】函数的奇偶性 题型2 函数的周期性 【方法技巧】函数的周期性 题型3 函数的单调性 【方法技巧】函数的单调性 题型4 函数的对称性（对称轴、对称中心） 【方法技巧】函数的对称性（对称轴、对称中心） 题型5 函数的定义域、值域（最值） 【方法技巧】函数的定义域、值域（最值） 题型6 三角函数性质的综合 【方法技巧】三角函数性质的综合 题型7 三角函数图像变换 【方法技巧】三角函数图像变换 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数的定义域、值域与最值 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 三角函数的单调性、奇偶性与周期性 天津卷 T8（5分） 天津卷 T13（5 分） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T8（5 分） 天津卷 T13（5 分） 三角函数的图像变换与解析式求解 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 考情分析 三角函数的图像与性质是天津高考数学必考核心考点，是三角函数模块的核心内容，每年均有考查，以选择、填空题和解答题为主，单题分值5-6分，整体难度中等，属于必拿分核心考点。高频考查方向为：①三角函数的定义域、值域与最值，常结合三角恒等变换进行综合考查；②三角函数的单调性、奇偶性、周期性，是选择、填空题的高频核心考点；③三角函数的图像变换与解析式求解，是三角函数解答题第一问的核心考查内容。本模块承接三角恒等变换，是后续解三角形、三角函数综合应用的必备基础，几乎所有三角函数相关题目都会涉及本模块内容，是高考数学的核心得分点。 复习目标 1. 理解三角函数的定义域、值域的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域与值域规律，能结合三角恒等变换熟练求解三角函数在闭区间上的最值； 2. 掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性的核心性质，能熟练求解三角函数的单调区间、最小正周期，准确判断函数的奇偶性，掌握性质的综合应用技巧； 3. 掌握三角函数的图像变换规律（平移、伸缩变换），能根据图像特征、五点法求解三角函数的解析式，能利用图像解决三角函数相关问题，提升三角函数综合应用能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图与性质 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 必记结论 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 自主检测已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 知识点2 与的图像与性质 与的图像与性质 （1）___________：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， 必记结论 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为. （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 自主检测已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合； (3)若，，求的值. 知识点3 三角函数平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先______变换，后______变换，再_____变换，三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. . 必记结论 在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少 自主检测（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 函数的奇偶性 例1-1（2026·天津红桥·二模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 例1-2（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 方法技巧 函数的奇偶性 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数. 【变式训练1-1】（2026·天津红桥·二模）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【变式训练1-2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型2 函数的周期性 例2-1设，则“”是“曲线最小正周期为”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 方法技巧 函数的周期性 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，. （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均. 【变式训练2-1·变考法】（2026·天津河北·二模）已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【变式训练2-2】已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-3】（2026·天津·阶段检测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　） A． B． C． D． 题型3 函数的单调性 例3-1下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 例3-2已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 例3-3（2026·天津·阶段检测）下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 方法技巧 函数的单调性 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式. 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间. 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间. 【变式训练3-1】（2026·天津·阶段检测）关于函数有下列命题： ①最小正周期为； ②定义域为； ③图像的所有的对称中心为； ④增区间为． 正确命题的序号为___________（把正确的序号都填上） 【变式训练3-2】（2026·天津西青·三模）数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 题型4 函数的对称性（对称轴、对称中心） 例4-1已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 例4-2已知函数，已知是的一个极值点，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（   ） A． B．不是奇函数 C．的对称中心是 D．在上的最小值为 方法技巧 函数的对称性（对称轴、对称中心） 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为. （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 【变式训练4-1】（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【变式训练4-2】（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-3】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 题型5 函数的定义域、值域（最值） 例5-1已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5-2（2026·天津·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 方法技巧 函数的定义域、值域（最值） 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1），设，化为一次函数在上的最值求解. （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型. （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解. （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围. （6）导数法 （7）权方和不等式 【变式训练5-1】（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【变式训练5-3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6 三角函数性质的综合 例6-1（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例6-2（25-26高三下·天津·开学考试）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论： ①在区间上单调递减； ②在区间上有两个极值点； ③直线与的图象相切； ④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 三角函数性质的综合 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性. 因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则 【变式训练6-1】如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-2】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练6-3】已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 题型7 三角函数图像变换 例7-1（2026·天津和平·三模）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（     ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 例7-2（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 三角函数图像变换 由函数的图像变换为函数的图像. 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换. 的图像的图像 的图像 的图像． 【变式训练7-1】（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个对称中心 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到 D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到 【变式训练7-2】（2026·天津·阶段检测）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值． 【变式训练7-3】（2026·天津东丽·一模）函数在处取得最值，则下列命题正确的是（    ） A．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B．点为图象的一个对称中心 C． D．在区间上单调递减 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 6．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 7．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2012·天津·高考真题）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是 A． B．1 C． D．2 10．（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求函数的单调递增区间． 2．函数，当时，（　　） A．在区间上单调递增，在区间上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间上单调递减 C．在区间上单调递增，在区间、上单调递减 D．在区间、上单调递增，在区间上单调递减 3．下列命题中正确的是（　　） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递减 4．，的图象与直线的交点的个数为（　　）． A．0 B．1 C．2 D．3 5．当时，函数（　　） A．在区间上单调递增，在区间上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减 6．函数，，则y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 8．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 9．函数的周期是多少？它的图象与函数的图象有什么关系？ 10．已知，分别求适合下列各条件的x的集合： (1)； (2)． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基天津高考每年必考，选择填空 + 解答题双线考查，分值约 10–12 分。，重点考图像平移伸缩变换；单调性、奇偶、周期、对称轴与对称中心综合判断；给定区间求值域最值，常结合三角恒等变换化简。侧重数形结合，易错点集中在相位平移方向、含绝对值函数周期、定义域限制值域，含参范围讨论是中档区分点。 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递减.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 3．函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 6．下列命题：①，；②，，判断正确的是（   ） A．①假，②真 B．①真，②假 C．①②都假 D．①②都真 7．某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 8．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 10．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:贴创新体现在三方面：一是弱化直观图像，只用文字给出对称、零点、单调区间等条件，考查 “脑中有图” 的直观想象；二是多性质交叉联动，将周期、对称、零点、单调融合求范围，临界验证要求更高；三是跨模块联动，偶尔结合导数判断单调性、结合实际振动建模；设问阶梯化，改变单一求值模式，增加结论探究，突出多思少算，强化逻辑推理素养。 1．将函数（，）的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则（     ） A． B． C． D．0 2．关于函数有下列命题（    ） ①其解析式可写为 ②直线是图象的一条对称轴； ③的图象可由的图象向右平移个单位得到； ④存在，使恒成立． 其中真命题为（    ） A．②③ B．①② C．②④ D．③④ 3．已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 4．已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是（   ） A． B．2 C． D．4 5．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，的部分图象如图所示，，两点之间的距离为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．给出下列四个命题： ①存在，使函数是奇函数； ②要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形． 其中，真命题的序号是_______．（写出所有真命题的序号） 8．有下列四个命题：①函数的最小值是；②函数的最小正周期是π；③已知函数，则是奇函数；④函数的定义域是，其中正确命题的序号为________． 9．已知向量，，函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)若，求． 10．设为实数，已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)若，，，均为锐角，求． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 三角函数的图象与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图与性质 知识点2 与的图像与性质 知识点3 三角函数平移与伸缩 题型破译 题型1 函数的奇偶性 【方法技巧】函数的奇偶性 题型2 函数的周期性 【方法技巧】函数的周期性 题型3 函数的单调性 【方法技巧】函数的单调性 题型4 函数的对称性（对称轴、对称中心） 【方法技巧】函数的对称性（对称轴、对称中心） 题型5 函数的定义域、值域（最值） 【方法技巧】函数的定义域、值域（最值） 题型6 三角函数性质的综合 【方法技巧】三角函数性质的综合 题型7 三角函数图像变换 【方法技巧】三角函数图像变换 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数的定义域、值域与最值 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 天津卷 T17（2）（6分） 三角函数的单调性、奇偶性与周期性 天津卷 T8（5分） 天津卷 T13（5 分） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T8（5 分） 天津卷 T13（5 分） 三角函数的图像变换与解析式求解 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 天津卷 T17（1）（6分） 考情分析 三角函数的图像与性质是天津高考数学必考核心考点，是三角函数模块的核心内容，每年均有考查，以选择、填空题和解答题为主，单题分值5-6分，整体难度中等，属于必拿分核心考点。高频考查方向为：①三角函数的定义域、值域与最值，常结合三角恒等变换进行综合考查；②三角函数的单调性、奇偶性、周期性，是选择、填空题的高频核心考点；③三角函数的图像变换与解析式求解，是三角函数解答题第一问的核心考查内容。本模块承接三角恒等变换，是后续解三角形、三角函数综合应用的必备基础，几乎所有三角函数相关题目都会涉及本模块内容，是高考数学的核心得分点。 复习目标 1. 理解三角函数的定义域、值域的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域与值域规律，能结合三角恒等变换熟练求解三角函数在闭区间上的最值； 2. 掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性的核心性质，能熟练求解三角函数的单调区间、最小正周期，准确判断函数的奇偶性，掌握性质的综合应用技巧； 3. 掌握三角函数的图像变换规律（平移、伸缩变换），能根据图像特征、五点法求解三角函数的解析式，能利用图像解决三角函数相关问题，提升三角函数综合应用能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图与性质 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 必记结论 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 自主检测已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 知识点2 与的图像与性质 与的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， 必记结论 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为. （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 自主检测已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合； (3)若，，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）化简，由单调性求解； （2）由三角不等式进行求解； （3）由二倍角公式进行求解． 【详解】（1）, 由，得， 而，则取，得， 故函数在上的单调递增区间为． （2）由，得，得， 得， 得， 故使成立的的取值集合． （3）若，，得， 得，， 则． 知识点3 三角函数平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. . 必记结论 在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少 自主检测（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 题●型●破●译 题型1 函数的奇偶性 例1-1（2026·天津红桥·二模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案． 【详解】对于A，令，因为为偶函数， 又因为，所以不存在零点，故A不合题意； 对于B，令， 因为为奇函数，故B不合题意； 对于C，令，为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，令，为偶函数， 当时，，故D符合题意． 例1-2（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参数，最后求解最小值. 【详解】因为，其中， 又因为函数的图象向左平移个单位为偶函数， 即为偶函数， 所以，解得， 所以， 所以， 当，即，所以. 所以． 方法技巧 函数的奇偶性 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数. 【变式训练1-1】（2026·天津红桥·二模）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【答案】C 【分析】先由最高点与最低点横坐标求出周期，得；再由最高点位置求，结合轴截距求出振幅，确定函数；最后据此逐一验证选项：A周期为错误，B最大值为错误，C的区间符合单调递增区间正确，D化简后不是偶函数错误． 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 由时，函数取最大值，得， 化简得，结合，得， 由函数在轴上的截距为，即，解得， 所以，最大值为，B错误； 对于C，由， 得， 当时，递增区间为，C正确； 对于D，， 该函数不是偶函数，D错误． 【变式训练1-2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 【变式训练1-3】已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且当时，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数的定义域为， 且其图像关于原点对称，即函数为奇函数， 且当时，且， 对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且当时，且，所以A符合题意； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数为最小周期为的周期函数，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为， 且满足，所以函数为奇函数， 当时，且，所以D不符合题意. 题型2 函数的周期性 例2-1设，则“”是“曲线最小正周期为”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，曲线最小正周期是， 因为，若曲线最小正周期是，则，解得：， 综上，“”是“曲线最小正周期为”的充要条件. 例2-2已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，最大值为，最小值为； (2)单调递增区间为，； (3)在区间上的最大值为，最小值为。 【详解】（1）因为， 所以. ，. （2）令， 解得单调递增区间为，. （3）因为，所以，则, 所以，. 方法技巧 函数的周期性 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，. （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均. 【变式训练2-1·变考法】（2026·天津河北·二模）已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图象确定，，，得到的解析式，根据函数图象平移的“左加右减”原则，得到的解析式，再分别利用正弦型函数的单调性、周期、对称中心、对称轴的性质，对每个选项分析验证. 【详解】由图像可知，函数最大值为，且，故， 最高点横坐标为，右侧零点横坐标为，因此，得周期. 由，，得. 将代入，得： ，解得，结合，得. 所以. 将向右平移个单位，得：. 选项A：当时，，在上单调递增， 故在上单调递增，正确. 选项B：的最小正周期，错误. 选项C：，故不是对称中心，错误. 选项D：，不是最值，正弦函数对称轴处函数取最值， 故不是对称轴，错误. 【变式训练2-2】已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据所给条件，结合余弦函数的周期、对称轴、中心、单调性求出可判断①②，再由函数解析式及余弦型函数的性质，判断③④. 【详解】因为为的一条对称轴，是的一个对称中心， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故①正确； 所以，因为是的一条对称轴， 所以，所以，又，所以， 所以， 所以，是偶函数，故②正确； 当时，，所以有且只有当时，即时，函数在区间上只有一个零点，故③正确； 当时，，所以由余弦函数的单调性知，当时，，故④正确. 故选：D. 【变式训练2-3】（2026·天津·阶段检测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数性质，判断三角函数最小正周期以及在给定区间上的单调性，求出结果即可. 【详解】对于，最小正周期为，当时，， 由在区间上不单调，可知在上不单调，所以A错误； 对于，最小正周期为，当时，在上单调递减，且， 所以，时，在上单调递增，所以B错误； 对于，最小正周期为，当时，在上单调递减，所以C正确； 对于，最小正周期为，所以D错误； 故选：C. 题型3 函数的单调性 例3-1下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦周期公式及图像变换排除，再通过对应区间内的单调性排除、. 【详解】对于A，，根据图象性质区间上单调递增，错误； 对于B，，错误； 对于C，，图像在单调递增，错误； 对于D，的图象是由的图象轴下方的图象上翻，周期减半， 故周期为，又在区间上，所以在区间上单调递减. 故选：D. 例3-2已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 例3-3（2026·天津·阶段检测）下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 【答案】②③④⑤ 【详解】对于①：的定义域为， 在每个区间单调递增，在整个定义域内不是增函数，故①错误； 对于②：，为奇函数，故②正确； 对于③：当时，，， 所以是函数的一条对称轴方程，故③正确； 对于④：假设是周期函数，设最小正周期为， 则，即， 取，得，则， 取，得，则， 联立方程无解，故不存在非零实数T，满足， 即函数不是周期函数，故④正确； 对于⑤：令，解得， 所以函数的图象的对称中心为， 令得一个对称中心为，故⑤正确. 故答案为：②③④⑤ 方法技巧 函数的单调性 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式. 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间. 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间. 【变式训练3-1】（2026·天津·阶段检测）关于函数有下列命题： ①最小正周期为； ②定义域为； ③图像的所有的对称中心为； ④增区间为． 正确命题的序号为___________（把正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】根据正切函数的性质，逐一判断各命题的正误，求出结果即可. 【详解】对于函数，最小正周期为，所以①正确； 由正切函数定义域得，解得， 则函数定义域为；所以②错误； 由正切函数对称中心得，解得， 所以图像的所有的对称中心为，所以③正确； 由正切函数单调增区间可得，解得， 所以函数增区间为．所以④正确； 故答案为：①③④. 【变式训练3-2】（2026·天津西青·三模）数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，求出解析式，然后逐项分析函数性质即可. 【详解】由图象可知，最大值为，因此，周期，因此， 代入最大值点，有，解得， 结合，则， 因此，函数表达式为， 对于①，由图象可知，故①正确； 对于②，当时，有，在上不单调， 因此在区间上不单调，故②错误； 对于③，解方程，解得，在区间内满足条件的， 对应零点，共个，故③正确； 对于④，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到， 是偶函数，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个. 题型4 函数的对称性（对称轴、对称中心） 例4-1已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求解. （2）由（1）求出，再利用正弦函数单调性列出不等式求解. （3）分别求出在给定区间上函数的最大值和的最小值，再利用恒成立不等式列式求出的范围. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，因此， 由函数的图象关于直线对称，得，而， 所以. （2）由（1）得，由，得， 由，得；由，得， 所以当时，的单调递增区间是. （3）将的图象向左平移个单位长度，得函数， 当时，，，因此； 由，恒成立，得， 函数，由，得， 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为. 例4-2已知函数，已知是的一个极值点，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（   ） A． B．不是奇函数 C．的对称中心是 D．在上的最小值为 【答案】D 【分析】先由极值点与单调性确定的值，再逐一分析函数奇偶性、对称中心与区间最值. 【详解】由是的极值点，可得，整理得， 当时，， 由在上单调递增，可得， 解得， 结合，得，故A正确； 当时，，， 因此，不是奇函数，故B正确； 令，解得， 因此，的对称中心为，故C正确； 当时，，则， 可得，其最小值为，故D错误. 方法技巧 函数的对称性（对称轴、对称中心） 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为. （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 【变式训练4-1】（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由，所以是函数的一条对称轴，故D正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故B错误. 【变式训练4-2】（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 【变式训练4-3】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦函数、正切函数的性质求出图象的对称中心，结合已知建立方程求解. 【详解】由，得函数图象的对称中心为 由，函数图象的对称中心为， 依题意，对整数，点与重合，则， 因此，，而，所以，，D正确. 题型5 函数的定义域、值域（最值） 例5-1已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为基底，设出，与的夹角，将表示为与夹角有关的三角函数，再结合，确定夹角的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围． 【详解】因为，，是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设，的夹角为，，的夹角为； 因为，，故，； 如图所示，，； 则有； 由 ， 由可知； 则 ； 因为，故，则； 可得； 故． 例5-2（2026·天津·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断①③；利用代入检验法可判断②；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断④. 【详解】由图象可知，，，故①正确； 从而， 由，， 因为，所以， 从而，故③正确； 因为，所以不是的对称轴，故②错误； 当时，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以，故，即， 从而，即在上的值域为，故④错误. 方法技巧 函数的定义域、值域（最值） 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1），设，化为一次函数在上的最值求解. （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型. （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解. （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围. （6）导数法 （7）权方和不等式 【变式训练5-1】（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 【变式训练5-2】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 【变式训练5-3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两个恒成立条件，确定的最小值点和最大值点，据此求出参数、，结合单调区间要求验证参数后，求目标区间内的最小值. 【详解】由题意知，对任意的，恒成立，说明是的最小值， 即，是的零点； 对任意的，恒成立，说明是的最大值，即是的最值点. 两点横坐标差为，零点对应的点到相邻最值点的距离为，则. 对，周期，得. 由得，故 ， 结合，得，. 验证单调性：，当时，则， 由于在单调递增，且，满足在该区间单调递增. 则当时，，在的最小值为， 因此. 题型6 三角函数性质的综合 例6-1（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 例6-2（25-26高三下·天津·开学考试）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论： ①在区间上单调递减； ②在区间上有两个极值点； ③直线与的图象相切； ④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由余弦函数对称性性质得，进而求出参数，即求得函数解析式，接着由和在上不单调即可判断①；由结合极值点定义即可求解判断②；利用导数工具结合三角函数性质求切点，根据解的情况即可判断③；由在上，两函数图象有6个交点，两两关于点对称可判断④. 【详解】由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得，得， 由恒成立，得当时，函数取得最值， 则，则，又， 所以，所以函数， 若，则， 因为在上不单调，所以在区间上不单调，①错误； 令， 故若，则在区间上有两个极值点为，②正确； ，设直线与的图象相切于点， 则或， 所以或， 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则， 所以直线与的图象相切，切点为； 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则整数无解，不成立； 综上直线与的图象相切于点，③正确. 函数的图象关于点对称， 对于函数，由，得， 则函数的图象关于点对称， 由，得， 在上，两函数图象有6个交点，两两关于点对称，设这6个交点的横坐标分别为，则，④正确． 方法技巧 三角函数性质的综合 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性. 因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则 【变式训练6-1】如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【变式训练6-2】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据伸缩变换规则可得，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果. 【详解】由题可知， 当时，， 若在上只有一个极大值点， 则由的图像可得， 解得， 因为，所以的最大值为3. 故选：B. 【变式训练6-3】已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用二倍角公式，辅助角公式化简成正弦型函数，令函数，函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同，用五点法作图解题即可； （2）将在图像留下来，直接看图求出来即可； （3）将在图像留下来，转化为交点问题即可. 【详解】（1） ， 令，最小正周期为.可以运用五点法画出的图像. 五点分别为： 由图像，结合函数周期性，可知道的单调递增区间为： 函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同， 故的单调递增区间为： （2）先求出在区间上的最大值与最小值，由图知. ， 函数可以看作向下平移个单位，则 （3）若函数在内有且只有一个零点, 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于与在内有且只有一个交点. 且，图像如下 则或者，解得或. 题型7 三角函数图像变换 例7-1（2026·天津和平·三模）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（     ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 【答案】A 【详解】对于A，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故A正确； 对于B，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故C错误； 对于D，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故D错误. 例7-2（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 方法技巧 三角函数图像变换 由函数的图像变换为函数的图像. 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换. 的图像的图像 的图像 的图像． 【变式训练7-1】（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个对称中心 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到 D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到 【答案】C 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用三角函数的图象变换可判断CD选项. 【详解】由图象可知，可得，又因为，所以， 所以， 结合图象可知函数的一条对称轴为直线， 且为函数的一个最大值点，即， 所以，则，解得， 设函数的最小正周期为，则，故， 所以，即，解得， 又因为，即，故，， 所以， 对于A选项，， 所以不是函数的一个对称中心，A错； 对于B选项，当时，， 所以函数在区间上单调递减，B错； 对于C选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得到函数的图象，C对； 对于D选项，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数，D错. 【变式训练7-2】（2026·天津·阶段检测）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值． 【答案】(1)； (2)函数的最大值为，最小值为； (3). 【分析】（1）先由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数周期性的性质计算可得； （2）先由的范围确定的范围，再由正弦函数的性质计算可得； （3）先由题意得到的表达式，再根据恰有个解确定的范围即可得到答案. 【详解】（1）由，由辅助角公式得， 又因为的最小正周期为，即， 因此的值为. （2）由（1）得，当时，时，则的范围为， 因此的范围为，即函数的最大值为，最小值为. （3）由（1）得，则将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，则， 令，则，即， 又因为在区间上恰有个解，则应该满足， 因此的最小值为. 【变式训练7-3】（2026·天津东丽·一模）函数在处取得最值，则下列命题正确的是（    ） A．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B．点为图象的一个对称中心 C． D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据已知条件，得出是正弦函数对称轴，即可求出，再结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由函数在处取得最值，则图象关于直线对称，得，而，则，，所以. 对于A，将的图象向右平移个单位长度后得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误； 对于B，，所以点不是图象的对称中心，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，正弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，D正确. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 7．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以周期，故①正确； ，故②不正确； 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象， 故③正确. 故选：B. 8．（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可． 【详解】因为为奇函数，∴； 又 ，，又 ∴， 故选C． 9．（2012·天津·高考真题）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是 A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】试题分析：函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为，因为它的图象经过点，所以，即，又因为，所以的最小值是，故选D. 10．（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求函数的单调递增区间． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式、余弦函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】解： ， 由， 可解得：， 所以，函数的单调递增区间为，. 2．函数，当时，（　　） A．在区间上单调递增，在区间上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间上单调递减 C．在区间上单调递增，在区间、上单调递减 D．在区间、上单调递增，在区间上单调递减 【答案】D 【分析】利用余弦函数的单调性直接判断得解. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，D正确； 对于A，由，得在上单调递减，A错误； 对于B，函数在上不单调，B错误； 对于C，函数在上单调递减，C错误. 故选：D 3．下列命题中正确的是（　　） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递减 【答案】B 【分析】利用余弦函数的单调区间直接判断得解. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 显然函数在上不单调，A错误； 由，得函数在上单调递减，B正确； 由，得在、上单调递增，CD错误. 故选：B 4．，的图象与直线的交点的个数为（　　）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】探讨函数在上的单调性及对应的函数值，作出图象即可得解. 【详解】函数在上单调递减，函数值从1递减到，在上单调递增，函数值从递增到1， 函数在上的图象，如图，    观察图象知，，的图象与直线的交点的个数为2. 故选：C 5．当时，函数（　　） A．在区间上单调递增，在区间上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据函数，的单调性依次判断选项即可. 【详解】函数，， ，为减函数，，为增函数， ，为减函数， 故选：B 6．函数，，则y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的单调性求值域即可. 【详解】由的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 又，，， 故. 故选：B 7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据相位变换，即可得出答案. 【详解】将函数的图象上的每个点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，即可得出. 故选：D. 8．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对函数图象的影响可得. 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 9．函数的周期是多少？它的图象与函数的图象有什么关系？ 【答案】周期为，函数的图象，可以看作是将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到的 【分析】根据周期公式可得函数的周期，根据伸缩变换的方法可得两者之间的关系. 【详解】解：函数的周期为， 函数的图象，可以看作是将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到的. 10．已知，分别求适合下列各条件的x的集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，结合图象分析求解； （2）由题意可得，分和两种情况，结合正切函数图象求解. 【详解】（1）因为，即， 可知的图象在的图象的下方， 在同一坐标系中作出的图象，    由图象可得，所以不等式的解集为. （2）因为，显然或， 当时，，不合题意； 当时，，可得， 结合正切函数图象可得或；    综上所述：不等式的解集为. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基天津高考每年必考，选择填空 + 解答题双线考查，分值约 10–12 分。，重点考图像平移伸缩变换；单调性、奇偶、周期、对称轴与对称中心综合判断；给定区间求值域最值，常结合三角恒等变换化简。侧重数形结合，易错点集中在相位平移方向、含绝对值函数周期、定义域限制值域，含参范围讨论是中档区分点。 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 2．已知函数在区间上单调递减.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为，， 即，， 又因为在区间上是减函数， 则，， 两式相减得， 且，所以. 3．函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数图象可知，，， 所以，即，所以， 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，此时不存在； 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，， 函数. 4．已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象最高点确定，利用周期求出，最后代入最低点坐标求出. 【详解】由 ，，，的图象可知， . 因函数图象过最高点，且随后经过点， 所以函数的最小正周期满足，解得，因为，所以 . 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 5．已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 【答案】A 【详解】令，其中，所以，当时，，的图像关于直线对称，故A正确； 因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，其中，所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，同理也不是函数图像的对称中心.故CD错误. 6．下列命题：①，；②，，判断正确的是（   ） A．①假，②真 B．①真，②假 C．①②都假 D．①②都真 【答案】B 【详解】对于①，根据正弦函数的值域，对任意实数，的取值范围是， 即，①为真命题； 对于②，根据三角恒等式，对任意实数，都有， 所以不存在实数使得，②为假命题． 7．某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 【答案】A 【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 8．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是函数的图象的一个对称中心，得， 解得，而，则，因此当时，取得最小值. 9．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 10．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. 代入，C选项是函数的一条对称轴； D选项为函数的一个对称中心，并非对称轴， 故排除D. 重难·创新演练 设题创新:贴创新体现在三方面：一是弱化直观图像，只用文字给出对称、零点、单调区间等条件，考查 “脑中有图” 的直观想象；二是多性质交叉联动，将周期、对称、零点、单调融合求范围，临界验证要求更高；三是跨模块联动，偶尔结合导数判断单调性、结合实际振动建模；设问阶梯化，改变单一求值模式，增加结论探究，突出多思少算，强化逻辑推理素养。 1．将函数（，）的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】通过三角函数图象的对称性可将阴影部分的面积用矩形的面积表示，列方程可求得θ，根据周期性可求得ω，根据特殊点可求得，进而求解. 【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即， 因为将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象， 所以，故. 又图中阴影部分的面积为，，得. 又由图象可知函数的最小正周期满足，则， 所以. 因为，所以，即. 因为，所以，所以， 故. 2．关于函数有下列命题（    ） ①其解析式可写为 ②直线是图象的一条对称轴； ③的图象可由的图象向右平移个单位得到； ④存在，使恒成立． 其中真命题为（    ） A．②③ B．①② C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据特殊值代入可判断①错误；利用代值检验法可知②正确；由平移法则可知③错误；根据函数的周期可知④正确． 【详解】对①，若，令，显然等式不成立，①错误； 对②，因为，所以直线是图象的一条对称轴，②正确； 对③，因为函数的图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为，③错误； 对④，函数的最小正周期为，所以当时，等式成立，④正确． 3．已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 4．已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用偶函数一次项系数为0得到的约束条件，将函数与轴交点纵坐标表示为关于的三角函数式，结合三角函数有界性求最大值. 【详解】由是偶函数，可得，即，可设， 由，可得函数图象与轴交点的纵坐标为， 因为， 且由得，所以， 所以，即函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是. 5．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 所以单调递减区间为，解得，. 6．已知函数，的部分图象如图所示，，两点之间的距离为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合图象得出周期进而得出，再应用点代入结合单调性得出，最后结合特殊值求解. 【详解】因为A，B两点之间的距离为10，所以周期，则， 又，，所以，则.又，且结合图象及周期可知，应在上升图象上， 所以由，可得，， 解得，. 又，所以， 所以. 7．给出下列四个命题： ①存在，使函数是奇函数； ②要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形． 其中，真命题的序号是_______．（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【分析】利用三角函数的性质对四个命题，分别进行判断，即可得出结论. 【详解】命题①：当时，，是奇函数，因此①是真命题； 命题②：将向右平移个单位，得到的是，不是目标函数，因此②是假命题； 命题③：化简：当时，；当时，， 所以的最小正周期与函数的最小正周期相同，为，③是真命题； 命题④：是中心对称图形（对称中心为），但不是轴对称图形，不存在对称轴，因此④是假命题. 综上，真命题的序号是①③. 8．有下列四个命题：①函数的最小值是；②函数的最小正周期是π；③已知函数，则是奇函数；④函数的定义域是，其中正确命题的序号为________． 【答案】②④ 【分析】①通过正余弦平方间的关系化简成求解二次函数最小值问题.②通过两角和与差的正弦公式化简求最小正周期.③表示出后通过奇函数的性质求证.④，通过正切函数定义域性质求解. 【详解】①，因为，所以时，，错误. ②，最小正周期，正确. ③因为，所以，定义域为R， 由，即为偶函数，错误. ④因为，根据正切函数的定义域性质可知，，解得，正确. 9．已知向量，，函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)若，求． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，，所以 ，则的最小正周期． （2）由，可得，则， 从而在上的值域为． （3）由，可得， 则. 10．设为实数，已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)若，，，均为锐角，求． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的性质求解即可； （2）由，可得，由同角的平方关系可得，进而求得，由两角的正切公式可得，结合的范围，即可得答案. 【详解】（1） ， 因为，所以的最小值为， 故函数的最小值为． 又因为的最小值为， 所以 解得． （2）因为， 所以，从而． 又因为α为锐角， 所以， 故， ． 又α，β均为锐角，所以， 从而． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $