第04讲 复数（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦复数模块，覆盖复数概念、四则运算、几何意义、模与共轭复数等核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑构建知识框架。通过考点梳理、题型方法指导、真题溯源训练及分层练习，帮助学生系统突破易错点，形成解题思维链。 资料以题型分类突破为特色，针对7类高频题型提炼方法技巧，如复数几何意义转化为平面距离问题培养数学思维。设置基础与重难分层练习，结合真题演练强化数学语言表达，助力学生高效掌握必拿分考点，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第04讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的几何意义 知识点3 复数的运算 知识点4 复数有关问题的解题策略 题型破译 题型1 复数的概念 【方法技巧】复数的概念 题型2 共轭复数 【方法技巧】共轭复数 题型3 复数的几何意义 【方法技巧】复数的几何意义 题型4 复数的四则运算 【方法技巧】复数的四则运算 题型5 复数的相等 【方法技巧】复数的相等 题型6 复数的模 【方法技巧】复数的模 题型7 复数范围内解方程的根 【方法技巧】复数范围内解方程的根 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的基本概念与代数运算 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T2（5 分） 复数的几何意义与模长计算 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T4（5 分） 复数的综合应用 天津卷 T15（5 分） 考情分析 复数是天津高考数学必考基础考点，每年均有考查，以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，偶尔在解答题中作为基础小问出现，整体难度极低，属于必拿分的送分题。高频考查方向为：①复数的基本概念（实部、虚部、共轭复数、虚数单位）与代数形式的四则运算；②复数的几何意义（复平面、复数的向量表示）与模长的计算、模的性质应用；③复数与方程、集合、三角函数结合的基础综合应用。本模块是高中数学的基础内容，是后续高等数学复数相关知识的入门铺垫，高考中极少单独考查复杂综合题，核心以基础概念与运算为主，必须熟练掌握，确保不丢分。 复习目标 1. 理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式、实部与虚部、共轭复数、虚数单位的核心性质，能准确辨析复数的相关概念； 2. 熟练掌握复数的代数形式的四则运算法则，能快速准确完成复数的加减乘除运算，掌握分母实数化的核心技巧； 3. 理解复数的几何意义，掌握复平面的概念，能将复数与平面向量、点的坐标对应，熟练掌握复数模长的计算方法与模的性质； 4. 能解决复数与方程、集合等内容结合的基础综合问题，筑牢复数模块的基础，确保高考中复数相关题目零失分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 必记结论 两复数相等充要条件为实虚部分别对应相等，可列方程组求参数。判断复数类型先分离实虚部，注意虚部不含i。复数不能比较大小，只有实数可比较。遇参数取值题，紧扣实部、虚部限制条件分类讨论，避开纯虚数遗漏b不等于0的常见失分点。 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 知识点2 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立 关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与 对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与 对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为 复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的 ，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.. 必记结论 ∣z−z0∣表示动点z到定点z0的距离，常用于圆轨迹问题。两复数差的模为两点间距，和差模可结合三角不等式求最值。几何题型优先转化平面解析几何，利用距离、圆、对称解题，避免代数复杂运算；区分实轴、虚轴，虚轴上点除原点均为纯虚数。 自主检测（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点3 复数的运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 必记结论 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 自主检测（2026·天津宝坻·三模）已知是虚数单位，复数______． 知识点4 复数有关问题的解题策略 1．复数的概念的有关问题的解题策略 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即. (3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则. 2．复数的运算的解题策略 (1)复数的 类似于多项式的乘法运算； (2)复数的 关键是分子分母同乘以分母的共轮复数. 3．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了 的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 4．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能 ，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能 ，其他仍适用. 必记结论 解题优先化简复数，统一写成z=a+bi标准形式，分清实部、虚部。判定纯虚数必须同时满足实部为 0、虚部不为 0，极易漏写限制条件。复数无大小关系，仅实数可比大小。涉及模长多用∣z∣2=z⋅z转化计算。几何类问题转化复平面距离轨迹求解。运算牢记i2=−1，除法需分母实数化，计算后及时检验参数取值范围，规避分母为零等隐藏陷阱。 自主检测设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于 A． B．1 C．2 D． 题●型●破●译 题型1 复数的概念 例1-1（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 例1-2给（2026·天津·一模）复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 方法技巧 复数的概念 判复数标准形式为z=a+bi，a是实部，b为虚部，虚部是实数，不含i，这是天津高考易错点。分清实数、虚数、纯虚数的判定条件，纯虚数要求实部a=0且虚部b=0，两个条件缺一不可。掌握复数相等条件：实部、虚部分别对应相等，用于列方程求参数。区分复数、共轭复数，复数不能比较大小，只有模长可以比较。概念选择题多用举反例排除错误选项，警惕纯虚数忽略虚部不为零的陷阱，审题看清实部虚部，做完回代验证结果。 【变式训练1-1】（2026·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______. 【变式训练1-2】复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 【变式训练1-3】已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 题型2 共轭复数 例2-1（2026·天津滨海新区·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数______． 例2-2（2026·天津南开·二模）已知复数，则的共轭复数为_____． 方法技巧 共轭复数 复数z=a+bi的共轭复数为z=a−bi，二者实部相等，虚部互为相反数，模长完全相等。天津高考常考查共轭复数的四则运算，牢记z⋅z=∣z∣2=a2+b2，该公式可简化复数计算。已知共轭复数相等，可推出虚部为零，复数为实数。做题区分共轭复数与相反数，审题看清符号变换。求解参数题型，利用共轭复数性质列等式。注意复数为实数的等价条件，计算完成回代检验，规避虚部符号颠倒，防止审题看错共轭符号造成失分。 【变式训练2-1】（2026·天津·二模）是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】（2026·天津南开·一模）是虚数单位，，则______. 【变式训练2-3】（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 题型3 复数的几何意义 例3-1i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3-2已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数______ 例3-3在复平面内， 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方法技巧 复数的几何意义 复数z=a+bi与复平面内点(a,b)一一对应，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，不要混淆坐标顺序。复数的模代表对应点到原点距离。两个复数差的模，代表复平面两点之间距离。天津高考小题常结合几何意义考查轨迹问题。做题分清复数、点、向量三者对应关系。共轭复数对应的点关于实轴对称。注意虚轴上原点属于实轴，原点不是纯虚数。审题看清点的坐标含义，结合图形辅助做题，规避坐标颠倒带来的运算失误。 【变式训练3-1】复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________. 【变式训练3-2】已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为______． 题型4 复数的四则运算 例4-1（2026·天津西青·三模）i是虚数单位，若复数满足，则______． 例4-2（2026·天津·三模）复数（其中为虚数单位），则的模为________． 方法技巧 复数的四则运算 复数加减运算，实部、虚部分别合并计算；乘法按照多项式展开，记住i2=−1及时化简。除法是高频考点，核心为分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数，切记不要漏乘分子。天津高考以选择题为主，常结合共轭复数、模长综合命题。运算重点留意符号变换，区分实部虚部。遇到复数方程，等式两边实部、虚部分别相等建立方程组求解参数。做题计算细心，做完回代检验，规避i的幂次运算颠倒、分母实数化漏乘分子的常见失分点。 【变式训练4-1】（2026·天津河西·三模）已知是虚数单位，则_________． 【变式训练4-2·变载体】（2026·天津和平·三模）i为虚数单位，复数满足，则__________． 【变式训练4-3】（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______． 题型5 复数的相等 例5-1（2026·天津河北·一模）已知（），则_____． 例5-2已知复数z满足，则__________． 方法技巧 复数的相等 两个复数相等的充要条件：实部与虚部分别对应相等，前提是复数均写成标准形式a+bi。利用该条件可以列出方程组求解参数，是天津高考高频考法。注意只有两个复数全为实数时，才可以直接比较大小。若等式一侧为实数，则该复数虚部必须等于 0。求解参数时，先整理化简等式，分离实部、虚部，再列方程。遇到纯虚数相关问题，还要额外补充虚部不为 0 的限制条件。算出结果后回代检验，避免遗漏约束条件产生错解。 【变式训练5-1】是虚数单位，复数满足，则________． 【变式训练5-2】已知，其中i是虚数单位，则__________． 【变式训练5-3】已知，且，则________． 题型6 复数的模 例6-1（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 例6-2（2026·天津·二模）是虚数单位，___________． 方法技巧 复数的模 复数z=a+bi的模，模是一个非负实数，可以比较大小。熟练运用模的性质：，z⋅z=∣z∣2，可简化复数运算。积与商的模等于模的积与商。复数差的模对应复平面上两点间距离，可用来分析轨迹。天津高考小题常结合模求参数，注意∣z∣2不等于z2，不可直接平方去掉模。计算仔细核对实部、虚部，求出参数务必回代检验，规避概念混淆造成错误。 【变式训练6-1】（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 【变式训练6-2】（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 【变式训练6-3】已知是虚数单位，则____________． 题型7 复数范围内解方程的根 例7-1已知是关于的方程的一个根，则______． 例7-2设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 方法技巧 复数范围内解方程的根 复数范围内一元二次方程一定有两个根，判别式小于 0 时，根为一对共轭虚根。求解时先整理成标准形式，可直接套用求根公式；也可设根为a+bi，代入方程，利用复数相等，实部虚部分别相等列方程组求解。牢记虚根成对定理，仅实系数方程适用。天津高考小题常结合参数考查，注意虚根不能用判别式正负判断根的虚实之外的大小。算出根后回代方程检验，不要误用实数方程的部分结论，避免漏解。 【变式训练7-1】已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【变式训练7-2】已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【变式训练7-3】复数是关于x的方程的根，则 （   ） A． B．0 C． D．2 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）化简__________． 2．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 3．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______． 4．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________． 5．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如果，那么复数为（    ） A． B． C． D． 4．对于复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 5．当时，复数在复平面内的对应点位于第______象限． 6．若复数，，则的虚部为___________． 7．若复数是纯虚数，，则___________． 8．计算： (1)； (2)； (3)的立方根； (4)的6次方根； (5)的6次方根． 9．求的值． 10．（22-23高一·全国·随堂练习）已知复数z满足，求． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考复数以选择题为主，难度较低。重点考查复数基本概念，分清实部、虚部，虚部是实数，不含i；掌握复数相等条件，实部虚部分别对应相等。熟练复数四则运算，尤其除法分母实数化，是计算核心；会求复数的模、共轭复数。能够辨析纯虚数条件，纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0，这是高频陷阱。掌握复数几何意义，复数与复平面内点一一对应。命题侧重细节，运算符号、分母实数化容易出错，审题区分共轭复数与相反数，规避概念疏漏造成失分 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．复数（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（2026·天津河西·二模）已知是虚数单位，化简的结果为_______. 6．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________ 7．（2026·天津和平·二模）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 8．已知复数 ，则 _______. 9．设i是虚数单位，计算：______． 10．（2026·天津东丽·一模）i是虚数单位，_________． 重难·创新演练 设题创新:创新考题常结合复数方程、模长融合考查，不再简单直接计算四则运算，设置含参数复数等式求解。部分题目结合复平面几何意义，联动轨迹、距离设置情境，把复数条件转化实数方程组。部分考题融合实数、虚数、纯虚数概念设置多重陷阱。演练时要牢记纯虚数双重约束，做除法务必完成分母实数化。区分复数本身、共轭复数、模长，不要混淆复平面点坐标。做题强化代数运算训练，遇到参数问题列出约束条件取舍结果，做完回代原式检验，规避漏掉虚部不为零的条件而错解。 1．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，若为实数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知是虚数单位，，复数为纯虚数，则的模等于（   ） A． B． C． D． 5．是虚数单位，表示复数的共轭复数．若，则 A． B．2 C． D． 6．已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 7．i是虚数单位，则_____． 8．i是虚数单位，复数，则的虚部为______ 9．i是虚数单位，若复数为纯虚数，则______． 10．复数满足，则__________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的几何意义 知识点3 复数的运算 知识点4 复数有关问题的解题策略 题型破译 题型1 复数的概念 【方法技巧】复数的概念 题型2 共轭复数 【方法技巧】共轭复数 题型3 复数的几何意义 【方法技巧】复数的几何意义 题型4 复数的四则运算 【方法技巧】复数的四则运算 题型5 复数的相等 【方法技巧】复数的相等 题型6 复数的模 【方法技巧】复数的模 题型7 复数范围内解方程的根 【方法技巧】复数范围内解方程的根 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的基本概念与代数运算 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T2（5 分） 复数的几何意义与模长计算 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T4（5 分） 复数的综合应用 天津卷 T15（5 分） 考情分析 复数是天津高考数学必考基础考点，每年均有考查，以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，偶尔在解答题中作为基础小问出现，整体难度极低，属于必拿分的送分题。高频考查方向为：①复数的基本概念（实部、虚部、共轭复数、虚数单位）与代数形式的四则运算；②复数的几何意义（复平面、复数的向量表示）与模长的计算、模的性质应用；③复数与方程、集合、三角函数结合的基础综合应用。本模块是高中数学的基础内容，是后续高等数学复数相关知识的入门铺垫，高考中极少单独考查复杂综合题，核心以基础概念与运算为主，必须熟练掌握，确保不丢分。 复习目标 1. 理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式、实部与虚部、共轭复数、虚数单位的核心性质，能准确辨析复数的相关概念； 2. 熟练掌握复数的代数形式的四则运算法则，能快速准确完成复数的加减乘除运算，掌握分母实数化的核心技巧； 3. 理解复数的几何意义，掌握复平面的概念，能将复数与平面向量、点的坐标对应，熟练掌握复数模长的计算方法与模的性质； 4. 能解决复数与方程、集合等内容结合的基础综合问题，筑牢复数模块的基础，确保高考中复数相关题目零失分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 必记结论 两复数相等充要条件为实虚部分别对应相等，可列方程组求参数。判断复数类型先分离实虚部，注意虚部不含i。复数不能比较大小，只有实数可比较。遇参数取值题，紧扣实部、虚部限制条件分类讨论，避开纯虚数遗漏b不等于0的常见失分点。 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 【答案】 【详解】； 又，因此； 则 因此； 故的虚部为. 知识点2 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.. 必记结论 ∣z−z0∣表示动点z到定点z0的距离，常用于圆轨迹问题。两复数差的模为两点间距，和差模可结合三角不等式求最值。几何题型优先转化平面解析几何，利用距离、圆、对称解题，避免代数复杂运算；区分实轴、虚轴，虚轴上点除原点均为纯虚数。 自主检测（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，则， 所以复数在复平面上的对应点为. 故选：D. 知识点3 复数的运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 必记结论 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 自主检测（2026·天津宝坻·三模）已知是虚数单位，复数______． 【答案】 【详解】 知识点4 复数有关问题的解题策略 1．复数的概念的有关问题的解题策略 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即. (3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则. 2．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数. 3．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 4．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 必记结论 解题优先化简复数，统一写成z=a+bi标准形式，分清实部、虚部。判定纯虚数必须同时满足实部为 0、虚部不为 0，极易漏写限制条件。复数无大小关系，仅实数可比大小。涉及模长多用∣z∣2=z⋅z转化计算。几何类问题转化复平面距离轨迹求解。运算牢记i2=−1，除法需分母实数化，计算后及时检验参数取值范围，规避分母为零等隐藏陷阱。 自主检测设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于 A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】试题分析：为实数，则，选B. 题●型●破●译 题型1 复数的概念 例1-1（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 【答案】 【详解】因为，故的虚部为. 例1-2给（2026·天津·一模）复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】 【详解】由，得， 得， 得，得复数的虚部为. 方法技巧 复数的概念 判复数标准形式为z=a+bi，a是实部，b为虚部，虚部是实数，不含i，这是天津高考易错点。分清实数、虚数、纯虚数的判定条件，纯虚数要求实部a=0且虚部b=0，两个条件缺一不可。掌握复数相等条件：实部、虚部分别对应相等，用于列方程求参数。区分复数、共轭复数，复数不能比较大小，只有模长可以比较。概念选择题多用举反例排除错误选项，警惕纯虚数忽略虚部不为零的陷阱，审题看清实部虚部，做完回代验证结果。 【变式训练1-1】（2026·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______. 【答案】2 【详解】由，得，分子分母同乘得：， 故复数的虚部为. 【变式训练1-2】复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 【答案】 【详解】由， 则，故复数的虚部为. 故答案为：. 【变式训练1-3】已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 【答案】 【详解】， . 故复数的虚部为. 故答案为：. 题型2 共轭复数 例2-1（2026·天津滨海新区·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数______． 【答案】 【分析】由复数的除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由，得. 故 例2-2（2026·天津南开·二模）已知复数，则的共轭复数为_____． 【答案】 【详解】由题意知， 所以的共轭复数为 方法技巧 共轭复数 复数z=a+bi的共轭复数为z=a−bi，二者实部相等，虚部互为相反数，模长完全相等。天津高考常考查共轭复数的四则运算，牢记z⋅z=∣z∣2=a2+b2，该公式可简化复数计算。已知共轭复数相等，可推出虚部为零，复数为实数。做题区分共轭复数与相反数，审题看清符号变换。求解参数题型，利用共轭复数性质列等式。注意复数为实数的等价条件，计算完成回代检验，规避虚部符号颠倒，防止审题看错共轭符号造成失分。 【变式训练2-1】（2026·天津·二模）是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________. 【答案】 【详解】因为，故. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】（2026·天津南开·一模）是虚数单位，，则______. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【变式训练2-3】（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【详解】，故复数的共轭复数为. 题型3 复数的几何意义 例3-1i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A 例3-2已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数______ 【答案】 【详解】由， 结合题意，则，解得. 故答案为：. 例3-3在复平面内， 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 所以该复数在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 方法技巧 复数的几何意义 复数z=a+bi与复平面内点(a,b)一一对应，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，不要混淆坐标顺序。复数的模代表对应点到原点距离。两个复数差的模，代表复平面两点之间距离。天津高考小题常结合几何意义考查轨迹问题。做题分清复数、点、向量三者对应关系。共轭复数对应的点关于实轴对称。注意虚轴上原点属于实轴，原点不是纯虚数。审题看清点的坐标含义，结合图形辅助做题，规避坐标颠倒带来的运算失误。 【变式训练3-1】复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________. 【答案】 【详解】由题意得：， 对应的点的坐标为. 故答案为： 【变式训练3-2】已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为______． 【答案】（5，） 【详解】解：，对应点的坐标为（5，）， 故答案为：（5，）． 题型4 复数的四则运算 例4-1（2026·天津西青·三模）i是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【详解】,得，所以. 例4-2（2026·天津·三模）复数（其中为虚数单位），则的模为________． 【答案】/ 【详解】， 所以． 方法技巧 复数的四则运算 复数加减运算，实部、虚部分别合并计算；乘法按照多项式展开，记住i2=−1及时化简。除法是高频考点，核心为分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数，切记不要漏乘分子。天津高考以选择题为主，常结合共轭复数、模长综合命题。运算重点留意符号变换，区分实部虚部。遇到复数方程，等式两边实部、虚部分别相等建立方程组求解参数。做题计算细心，做完回代检验，规避i的幂次运算颠倒、分母实数化漏乘分子的常见失分点。 【变式训练4-1】（2026·天津河西·三模）已知是虚数单位，则_________． 【答案】 【详解】. 【变式训练4-2·变载体】（2026·天津和平·三模）i为虚数单位，复数满足，则__________． 【答案】 【详解】由，等式两边同乘以，可得， 则. 【变式训练4-3】（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【详解】由， 则. 题型5 复数的相等 例5-1（2026·天津河北·一模）已知（），则_____． 【答案】2 【详解】因为，所以，则. 例5-2已知复数z满足，则__________． 【答案】 【详解】设，则， 由，得，则，解得， 所以. 故选： 方法技巧 复数的相等 两个复数相等的充要条件：实部与虚部分别对应相等，前提是复数均写成标准形式a+bi。利用该条件可以列出方程组求解参数，是天津高考高频考法。注意只有两个复数全为实数时，才可以直接比较大小。若等式一侧为实数，则该复数虚部必须等于 0。求解参数时，先整理化简等式，分离实部、虚部，再列方程。遇到纯虚数相关问题，还要额外补充虚部不为 0 的限制条件。算出结果后回代检验，避免遗漏约束条件产生错解。 【变式训练5-1】是虚数单位，复数满足，则________． 【答案】 【详解】设，则共轭复数， 由，则，解得， 所以. 故答案为：. 【变式训练5-2】已知，其中i是虚数单位，则__________． 【答案】3 【详解】由，可得：，由复数相等可知： 所以 故答案为：3 【变式训练5-3】已知，且，则________． 【答案】1 【详解】由题意可得：，所以. 故答案为：1. 题型6 复数的模 例6-1（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 【答案】 【详解】由题意，复数为实数， 则，解得， 所以. 例6-2（2026·天津·二模）是虚数单位，___________． 【答案】/ 【详解】由于， 所以. 方法技巧 复数的模 复数z=a+bi的模，模是一个非负实数，可以比较大小。熟练运用模的性质：，z⋅z=∣z∣2，可简化复数运算。积与商的模等于模的积与商。复数差的模对应复平面上两点间距离，可用来分析轨迹。天津高考小题常结合模求参数，注意∣z∣2不等于z2，不可直接平方去掉模。计算仔细核对实部、虚部，求出参数务必回代检验，规避概念混淆造成错误。 【变式训练6-1】（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 【变式训练6-2】（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 【答案】 【详解】，故. 【变式训练6-3】已知是虚数单位，则____________． 【答案】 【详解】因为 所以 故答案为： 题型7 复数范围内解方程的根 例7-1已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】38 【详解】将代入方程 得， 所以，所以. 故答案为：38 例7-2设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为， 由韦达定理可得，所以. 故选：C. 方法技巧 复数范围内解方程的根 复数范围内一元二次方程一定有两个根，判别式小于 0 时，根为一对共轭虚根。求解时先整理成标准形式，可直接套用求根公式；也可设根为a+bi，代入方程，利用复数相等，实部虚部分别相等列方程组求解。牢记虚根成对定理，仅实系数方程适用。天津高考小题常结合参数考查，注意虚根不能用判别式正负判断根的虚实之外的大小。算出根后回代方程检验，不要误用实数方程的部分结论，避免漏解。 【变式训练7-1】已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 【变式训练7-2】已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 【变式训练7-3】复数是关于x的方程的根，则 （   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】因为复数是关于x的方程的根， 所以，所以，即，所以 ，所以，所以. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【详解】. 2．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 3．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 4．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】/ 【详解】由题意可得. 故答案为：. 5．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______． 【答案】/ 【详解】． 故答案为：． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 因为，所以，则， 所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点）， 所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积. 故选：C 2．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为， 所以复数对应的点为，且在第二象限， 故选：B 3．如果，那么复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故. 故选：A. 4．对于复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【答案】C 【详解】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错； 对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错. 故选：C 5．当时，复数在复平面内的对应点位于第______象限． 【答案】四 【详解】由复数在复平面内对应的点， 因为，可得， 所以点位于第四象限. 故答案为：四. 6．若复数，，则的虚部为___________． 【答案】 【详解】∵， ∴虚部为. 故答案为：. 7．若复数是纯虚数，，则___________． 【答案】或. 【详解】由题意，， ， ∴，，或， ∴或； 故答案为：或. 8．计算： (1)； (2)； (3)的立方根； (4)的6次方根； (5)的6次方根． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或或或或或； (5)或或或或或 【详解】（1）， ； 所以. （2）由，可得， . （3）复数的三角表示为， 设的3次方根为， 则， 若，，可得，又，所以或或， 所以的立方根为或或. （4）设的6次方根为， 则； 若，解得, 又，所以的取值是， 可得或或 或或或； 即的6次方根为或或或或或. （5）设为的6次方根， 所以，即， 可得； 若，解得，又， 所以的取值是， 可得的6次方根为： 或或或或或. 9．求的值． 【答案】0 【详解】， 故答案是0. 10．（22-23高一·全国·随堂练习）已知复数z满足，求． 【答案】 【分析】设复数，，，结合条件得到，从而得到，再根据复数的运算法则即可求解. 【详解】设复数，，， 由，得， 即，解得：， 则， 所以 . 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考复数以选择题为主，难度较低。重点考查复数基本概念，分清实部、虚部，虚部是实数，不含i；掌握复数相等条件，实部虚部分别对应相等。熟练复数四则运算，尤其除法分母实数化，是计算核心；会求复数的模、共轭复数。能够辨析纯虚数条件，纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0，这是高频陷阱。掌握复数几何意义，复数与复平面内点一一对应。命题侧重细节，运算符号、分母实数化容易出错，审题区分共轭复数与相反数，规避概念疏漏造成失分 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 故选：B. 2．复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以由周期性可知. 故选：C. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 所以， ， 故选：A 4．已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意， 所以. 故选：C. 5．（2026·天津河西·二模）已知是虚数单位，化简的结果为_______. 【答案】 【详解】 6．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________ 【答案】 【详解】， 因为复数（，是虚数单位）是纯虚数， 所以且，解得显然满足， 所以. 7．（2026·天津和平·二模）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 【答案】 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 8．已知复数 ，则 _______. 【答案】 【详解】由题意得， 所以 9．设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【详解】， 所以. 10．（2026·天津东丽·一模）i是虚数单位，_________． 【答案】 【详解】. 重难·创新演练 设题创新:创新考题常结合复数方程、模长融合考查，不再简单直接计算四则运算，设置含参数复数等式求解。部分题目结合复平面几何意义，联动轨迹、距离设置情境，把复数条件转化实数方程组。部分考题融合实数、虚数、纯虚数概念设置多重陷阱。演练时要牢记纯虚数双重约束，做除法务必完成分母实数化。区分复数本身、共轭复数、模长，不要混淆复平面点坐标。做题强化代数运算训练，遇到参数问题列出约束条件取舍结果，做完回代原式检验，规避漏掉虚部不为零的条件而错解。 1．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 所以. 故选：C. 2．已知复数，若为实数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为复数， 所以 ， 又因为是实数， 所以， 解得， 故选：A. 3．设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】，=， 所以对应点位于第一象限. 故选：A 4．已知是虚数单位，，复数为纯虚数，则的模等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为纯虚数，所以，从而，选B. 5．是虚数单位，表示复数的共轭复数．若，则 A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A 6．已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 【答案】 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 7．i是虚数单位，则_____． 【答案】 【详解】, 故答案为： 8．i是虚数单位，复数，则的虚部为______ 【答案】 【详解】. 所以复数的虚部为. 故答案为：. 9．i是虚数单位，若复数为纯虚数，则______． 【答案】 【详解】, 所以，所以. 故答案为：. 10．复数满足，则__________． 【答案】/ 【详解】因为复数满足，所以， 故答案为：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $