第03讲 等比数列（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦等比数列高考核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和公式及性质，按“知识解构-题型破译-真题训练”逻辑架构，通过命题透视、思维建模、知识精讲、分层练习等环节，帮助学生系统掌握等比数列基本运算、判定证明等六大题型，突破高考高频难点。 讲义特色在于对标天津高考考情，融入核心素养培养，如通过等比数列判定证明题型训练推理能力，结合函数性质解决范围最值问题培养抽象能力。设置基础与创新分层练习，配合真题溯源与方法技巧总结，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第03讲 等比数列 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等比数列的有关概念 知识点2 等比数列的有关公式 知识点3 等比数列的性质 题型破译 题型1 等比数列的基本运算 【方法技巧】等比数列的基本运算 题型2 等比数列的判定与证明 【方法技巧】等比数列的判定与证明 题型3 等比数列项的性质应用 【方法技巧】等比数列项的性质应用 题型4 等比数列前n项和的性质 【方法技巧】等比数列前n项和的性质 题型5 奇偶项求和问题的讨论 【方法技巧】奇偶项求和问题的讨论 题型6 等比数列的范围与最值问题 【方法技巧】等比数列的范围与最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列定义、通项公式与基础概念 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T4（5 分） 等比数列前 n 项和公式与核心性质 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 等比数列综合应用与数列大题 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（6 分） 考情分析 等比数列是天津高考数学必考核心考点，与等差数列并列构成数列模块两大核心，每年固定考查，选择填空单题分值 5 分，解答题第 18 题设置 6 分核心小问，整体难度中等偏上，属于必拿分核心考点。高频考查方向为：①等比数列的定义、通项公式、等比中项的基础概念与基础计算；②等比数列前 n 项和公式、下标和、连续片段和、奇偶项和等核心性质的应用；③等比数列与等差数列、不等式、函数结合的综合考查，是数列大题的核心载体，也是高考数学的核心得分点，必须熟练掌握核心知识点与解题方法。 复习目标 1. 理解等比数列的核心定义，熟记通项公式、前 n 项和公式，做到知三求二，熟练掌握等比中项的性质，清晰区分等比数列与等差数列的核心差异； 2. 熟练运用等比数列常用性质，包括下标和、连续等长片段和、奇偶项和性质，能利用性质快速简化选择、填空题运算，提升解题效率； 3. 掌握等比数列前 n 项和的函数特征，能结合不等式、函数性质求解最值、参数范围，熟练掌握错位相减法求和的核心步骤； 4. 能综合运用等比数列知识，结合等差数列、不等式等内容解决数列综合题，规范掌握证明等比数列、综合求值、求和类题型的解题步骤，稳定拿下数列解答题核心分值。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列的有关概念 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．　 必记结论 从第二项起，每一项与前一项的比值为固定非零常数的数列为等比数列，该常数为公比。等比数列所有项与公比均不能为零。通项公式为第 n 项等于首项乘以公比的 n 减 1 次方，可推广为任意两项的换算公式。 若三个数成等比数列，则中间项的平方等于前后两项的乘积，此为等比中项性质。核心常用性质：若两项序号之和相等，则对应两项的乘积相等。 等比数列分为递增、递减、常数列、摆动数列四类。解题需时刻牢记各项不为零，公比不为零，区分好等比数列与等差数列的定义及性质差异。 自主检测“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解：若，，成等比数列，则， 此时，则，，成等比数列，即充分性成立， 反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立， 即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件， 故选：A. 知识点2 等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 变形： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 必记结论 ①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 自主检测（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 知识点3 等比数列的性质 （1）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列；当或时，为递减数列． （4）等比数列变式． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取：为等比数列，公比为． ②等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 必记结论 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 自主检测（2026·天津北辰·一模）已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列为等比数列，，且， 可得，所以，所以， 所以， 又，则. 题●型●破●译 题型1 等比数列的基本运算 例1-1（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3) ，， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时， ， 综上，原不等式成立. 【详解】（1）设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. （2），，，         ①     ② ①-②得：         ③     ④ ③-④得： ，. （3）略 例1-2（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 【答案】(1) ， (2) (3)由已知得， ，2，3，…， ，，不妨设， 首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减： 假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在 使得或者，所以 此时 则将调换到之前 因此时，取最大值必有，，…， 此时 所以取最大值时， 并且， 此时 当时， 当时， 因为 所以． 综上． 【详解】（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列 所以设公差为d，公比为q，因为，，． 所以，得或， 又因为数列是递增等比数列且 ，所以， 所以 ，． （2）因为 所以 设 所以 所以 （3）略 方法技巧 等比数列的基本运算 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论： 当时，；当时，． 【变式训练1-1】（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 【变式训练1-2】（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，可得，则等比数列公比， 且首项，所以. 【变式训练1-3】已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【详解】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 题型2 等比数列的判定与证明 例2-1（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. (2) (3)因为 ， 所以 ，即命题得证. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）略 例2-2已知数列 的首项 (1)证明：数列 为等比数列； (2)证明：对任意的 (3)证明: 【答案】(1) ，又 所以是以为首项，以为公比的等比数列． (2)由（1）知，即 . (3)由（2）知，对任意，有， 取， 则. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 方法技巧 等比数列的判定与证明 等比数列的判定方法 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项 公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项 公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和 公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 【变式训练2-1】已知数列的前n项和为，且，． (1)证明：数列是等比数列． (2)设，求数列的前n项和． (3)设，证明：． 【答案】(1) 当时，，得． 当时，，结合题设式可得， 即，当时也成立，， 则数列是首项为2、公比为2的等比数列． (2) (3) 由（1）知，， ， 欲证，即证， 即证，即证，该式显然成立， 即恒成立． 当n为奇数， ， 当n为偶数时， ． 综上，． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，则，， 设记为①， 记为②， ①－②得，， 设，则． （3）略 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 由于，则，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 故选：D 【变式训练2-3】已知等差数列的前n项和为，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 【答案】(1)证明：由，得，而， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)证明：由（1）知，，设等差数列的公差为，则，得， 于是，， ，， ， 所以. (3)证明：当n为奇数时，， ； 当n为偶数时，，， 设，则， 两式相减得， 因此，即， 所以. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型3 等比数列项的性质应用 例3-1已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，， 所以. 故选：C 例3-2已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【答案】(1)，. (2) (3)证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）略 例3-3设等比数列中，每项均是正数，，则（    ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 方法技巧 等比数列项的性质应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【变式训练3-1】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】是等比数列         是等差数列         本题正确选项： 【变式训练3-2】已知数列的前n项和满足，为常数，， (1)求的通项公式； (2)设，若数列为等比数列，求a的值； (3)在满足条件（2）的情形下，，若数列的前n项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）∵时，， 且. 数列是以为首项,为公比的等比数列,. （2）由得,,,,因为数列为等比数列, 所以,,解得. （3）由（2）知,, 所以 , 所以,解得或. 题型4 等比数列前n项和的性质 例4-1已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 例4-2已知为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A．96 B．144 C．324 D．768 【答案】C 【详解】因为为等比数列的前n项和， 所以成等比数列，设其公比为， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 方法技巧 等比数列前n项和的性质 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 【变式训练4-1】已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 【变式训练4-2·变载体】已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 【变式训练4-3】（2026·天津和平·二模）等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【详解】由题意，成等比数列，则， 故可得. 题型5 奇偶项求和问题的讨论 例5-1已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 例5-2已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 方法技巧 奇偶项求和问题的讨论 等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． 【变式训练5-1】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 【变式训练5-2】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【答案】2 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【变式训练5-3】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 题型6 等比数列的范围与最值问题 例6-1若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】令，因为，所以，且随的增大而递减， 当时，；当时，；当时，； 则. 数列通项可化为. 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当，即时，，为最小项，即. 所以当，即时，，为最大项，即. 故. 例6-2已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 方法技巧 等比数列的范围与最值问题 等比数列各项和公比都不能为 0。当公比大于 1，首项大于 0 时，数列递增；首项小于 0 时，数列递减。公比大于 0 小于 1，首项大于 0，数列递减；首项小于 0，数列递增。公比小于 0，数列为摆动数列，没有单调性，不存在最大、最小项。 求等比数列的最值，优先看首项与公比符号。正项等比数列可以利用单调性求最值；摆动数列只能求局部最值。前 n 项和的最值要区分 q 等于 1 和 q 不等于 1 两种情况。q 不等于 1 时，前 n 项和是指数型函数。解题注意 n 是正整数，不要直接套用连续函数求最值，遇到摆动数列要注意判断是否存在最值，防止出错。 【变式训练6-1】已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】因为为等比数列，由等比数列的性质可得， 由，两式联立可得或， 若，，则，，可得，则， 且，当时，，递增；当时，，递减， 令，即，解得，即时，，时，， 因此的最大值为，对应； 若，，同理可得， 即， 数列是严格递增的正项等比数列，所有项均大于1， 因此前项积随增大持续递增，不存在最大值，故没有满足条件的. 【变式训练6-2】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．是数列中的最大值 C．若，则n的最大值为4047 D． 【答案】C 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，，故A正确； 对于B：根据题意可知，所以是数列中的最大项，故B正确， 对于C：由， 可知，故C错误； 对于D，数列各项均为正值，则，必有， 由B的分析可知， 故，故D正确. 【变式训练6-3】等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 64 【详解】设等比数列公比为q，则，即，即； 因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，， 当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 5．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明如下： 由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)，前项和为. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 2．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设各项均为正数的等比数列为，且公比为， 因为其每一项都等于它后面的相邻两项之和， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 故选：C 3．如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（    ） A．8h B．9h C．10h D．11h 【答案】C 【分析】依题意可知传递过程类似看成一个等比数列，利用等比数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】根据题意，可设个小时后知道喜讯的总人数为， 则传递过程可看成一个等比数列，首项为1，公比为2， 则，化简可得， 由，可得，即， 解得； 故选：C 4．已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______． 【答案】2 【详解】因为是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列 所以，即，化简得，又因为 所以 故答案为：2 5．设x为实数，若三个数3，x，12成等比数列，则x的值为______． 【答案】 【详解】由题意，． 故答案为：． 6．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 【答案】 5 【详解】若a，b，c三个数成等差数列. 所以. 若a，b，c三个数成等比数列. 所以 故答案为：5，. 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3 【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果． 详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故答案为3. 8．一架摄像机售价为1万元.若采取分期付款，则需在1年内将款全部还清，商家提供下表所示的几种付款方案： 方案类别 分几次付清 付款方法 每期所付款额 1 3次 购买后第4个月末第1次付款， 再过4个月第2次付款， 购买后第12个月末第3次付款 2 6次 购买后第2个月末第1次付款， 再过2个月第2次付款…… 购买后第12个月末第6次付款 3 12次 购买后第1个月末第1次付款， 再过1个月第2次付款…… 购买后第12个月末第12次付款 注：（1）每种方案中每次所付款额相同； （2）规定月利率为，每月利息按复利计算． 按各种方案付款每次需付款额分别是多少？（精确到0.01元） 【答案】方案1，每次需付款元；方案2，每次需付款元；方案3，每次需付款元. 【详解】依题意，在1年内将款全部还清，总共需要还款元， 方案1，设每次还款元， 则， 故元， 故每次需付款元. 方案2，设每次还款元， 则一共还款元， 所以，解得， 故每次需付款元. 方案3，设每次还款元， 则一共还款元， 所以，解得 故每次需付款元. 9．小王想用分期付款的方式购买一套价值90万元的商品房.首付40万元，贷款期限为20年，银行住房贷款的年利率为，按复利计息，如果小王按年还款，每年还款的数额相同，那么每年需要还款多少元？小王为购买此房共要付房款多少元？（精确到0.01元） 【答案】每年需要还款元，小王为购买此房要付款元 【详解】依题意，得（万元），万元元，万元元 而元， 所以小王为购买此房要付款元， 假设小王每年需要还款元，则小王20年后一共还款 ， 所以，解得， 所以小王每年需要还款元. 10．求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）和的等比中项为. （2）和的等比中项为 （3）和的等比中项为 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点:天津高考等比数列重点考查通项、前 n 项和公式以及等比中项性质。侧重基本量运算，利用首项、公比建立方程求解；注重下标性质简化计算。大题常要求证明等比数列，求和时务必对公比q=1分类讨论，这是高频失分点。会结合等比数列研究项的符号、取值，考题立足教材，重点考查公式变形、分类意识，检验学生基础运算与严谨审题的能力 1．在等比数列中，，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．80 【答案】B 【详解】等比数列中，，即，解得， 所以. 2．已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．51 B． C．-13 D．85 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，解得， 所以. 故选：A 3．若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（   ） A．3 B．-3 C．或3 D．或4 【答案】C 【详解】由题意可得，，，则， 故的值为或3. 故选：C 4．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， A，当时，，不成等比数列，A错误； B，对于任意公比，，成等比数列，B正确. C，当时，，不成等比数列，C错误； D，当时，，不成等比数列，D错误. 故选：B 5．已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【详解】由题可知，，得，解得或（舍去）. 设等比数列的公比为，则由，可得， 整理得，得或（舍去）， 则. 故选：D. 6．已知等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 7．设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 【答案】 【详解】因为等比数列的前项和为，设该等比数列的首项为，公比为， 当公比时，，此时，不合题意，所以. 当时，. 因为，所以. 解得，所以该数列的公比为. 故答案为：. 8．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则______． 【答案】36 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，又，所以. 又，所以，即. 联立解得，. 所以等差数列的通项公式为. 所以，，. 因此. 故答案为：36. 9．求下列数列的通项公式及前项和． (1)若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． (2)若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)； (2),. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以. 所以，． 所以数列的通项公式为，前项和． （2）设等比数列的公比为， 因为，所以. 所以，. 所以数列的通项公式为，前项和为. 10．等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题知，令等差数列的公差为， 由，解得， 所以数列的通项公式， 前项和. （2）令等比数列的公比为， 则，解得， 因为，所以， 所以数列的通项公式. 重难·创新演练 设题创新:创新多将等比关系隐藏在递推等式中，需要变形构造识别等比模型。常设置子数列、分段数列，考查项数下标辨析；结合不等式考查范围、最值。部分题目以新定义包装等比数列，剥离条件才能看清本质。易错点为公比正负、q=1遗漏。训练要跳出直接套公式的思维，强化递推变形、分类讨论，警惕陷阱，提升模型识别与逻辑推导的应试能力。 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列公比为，首项为， 若，则，不合题意； 则， 则. 2．（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 3．已知是等比数列，是数列的前n项和，，则的值为（       ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【详解】设数列的公比为. 由题可得，即，即. 因为，所以，所以， 所以，所以. 所以. 故选：C. 4．集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】第一次操作去掉的区间长度为， 第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为， 第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为， ， 第次操作去掉个长度为的区间，长度和为， 于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为， 由题意可知，，即，解得，又为整数， 所以需要操作的次数n的最小值为4. 故选：B 5．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为等差数列的公差为，又因为，，成等比数列， 则，即得，所以，即， 则. 故选：C. 6．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为__________；设，若为数列的前项和，则__________. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为且， 所以， 解得 ，所以 ， 由，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为：；. 7．已知递增等比数列，则__________． 【答案】 【详解】由题设且，则， 若数列的公比为且数列单调递增，则，故. 故答案为： 8．一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，至少在第______次着地后，它经过的总路程能达到. 【答案】6 【详解】由题意得，. 所以. 所以，所以，即. 故答案为：6. 9．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 10．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1) 设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【详解】（1）略 （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等比数列 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等比数列的有关概念 知识点2 等比数列的有关公式 知识点3 等比数列的性质 题型破译 题型1 等比数列的基本运算 【方法技巧】等比数列的基本运算 题型2 等比数列的判定与证明 【方法技巧】等比数列的判定与证明 题型3 等比数列项的性质应用 【方法技巧】等比数列项的性质应用 题型4 等比数列前n项和的性质 【方法技巧】等比数列前n项和的性质 题型5 奇偶项求和问题的讨论 【方法技巧】奇偶项求和问题的讨论 题型6 等比数列的范围与最值问题 【方法技巧】等比数列的范围与最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列定义、通项公式与基础概念 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T4（5 分） 等比数列前 n 项和公式与核心性质 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 等比数列综合应用与数列大题 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（6 分） 考情分析 等比数列是天津高考数学必考核心考点，与等差数列并列构成数列模块两大核心，每年固定考查，选择填空单题分值 5 分，解答题第 18 题设置 6 分核心小问，整体难度中等偏上，属于必拿分核心考点。高频考查方向为：①等比数列的定义、通项公式、等比中项的基础概念与基础计算；②等比数列前 n 项和公式、下标和、连续片段和、奇偶项和等核心性质的应用；③等比数列与等差数列、不等式、函数结合的综合考查，是数列大题的核心载体，也是高考数学的核心得分点，必须熟练掌握核心知识点与解题方法。 复习目标 1. 理解等比数列的核心定义，熟记通项公式、前 n 项和公式，做到知三求二，熟练掌握等比中项的性质，清晰区分等比数列与等差数列的核心差异； 2. 熟练运用等比数列常用性质，包括下标和、连续等长片段和、奇偶项和性质，能利用性质快速简化选择、填空题运算，提升解题效率； 3. 掌握等比数列前 n 项和的函数特征，能结合不等式、函数性质求解最值、参数范围，熟练掌握错位相减法求和的核心步骤； 4. 能综合运用等比数列知识，结合等差数列、不等式等内容解决数列综合题，规范掌握证明等比数列、综合求值、求和类题型的解题步骤，稳定拿下数列解答题核心分值。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列的有关概念 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 （不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的 ． 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．　 必记结论 从第二项起，每一项与前一项的比值为固定非零常数的数列为等比数列，该常数为公比。等比数列所有项与公比均不能为零。通项公式为第 n 项等于首项乘以公比的 n 减 1 次方，可推广为任意两项的换算公式。 若三个数成等比数列，则中间项的平方等于前后两项的乘积，此为等比中项性质。核心常用性质：若两项序号之和相等，则对应两项的乘积相等。 等比数列分为递增、递减、常数列、摆动数列四类。解题需时刻牢记各项不为零，公比不为零，区分好等比数列与等差数列的定义及性质差异。 自主检测“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点2 等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式 ． 变形： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 必记结论 ①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 自主检测（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 知识点3 等比数列的性质 （1）等比中项的推广：若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为 数列；当或时，为 数列． （4）等比数列变式． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取：为等比数列，公比为． ②等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 必记结论 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 自主检测（2026·天津北辰·一模）已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 等比数列的基本运算 例1-1（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 例1-2（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 方法技巧 等比数列的基本运算 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论： 当时，；当时，． 【变式训练1-1】（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 【变式训练1-3】已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 题型2 等比数列的判定与证明 例2-1（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 例2-2已知数列 的首项 (1)证明：数列 为等比数列； (2)证明：对任意的 (3)证明: 方法技巧 等比数列的判定与证明 等比数列的判定方法 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项 公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项 公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和 公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 【变式训练2-1】已知数列的前n项和为，且，． (1)证明：数列是等比数列． (2)设，求数列的前n项和． (3)设，证明：． 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知等差数列的前n项和为，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 题型3 等比数列项的性质应用 例3-1已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 例3-2已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 例3-3设等比数列中，每项均是正数，，则（    ） A．20 B． C． D． 方法技巧 等比数列项的性质应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【变式训练3-1】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 A．1 B． C． D． 【变式训练3-2】已知数列的前n项和满足，为常数，， (1)求的通项公式； (2)设，若数列为等比数列，求a的值； (3)在满足条件（2）的情形下，，若数列的前n项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围． 题型4 等比数列前n项和的性质 例4-1已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 例4-2已知为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A．96 B．144 C．324 D．768 方法技巧 等比数列前n项和的性质 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 【变式训练4-1】已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【变式训练4-3】（2026·天津和平·二模）等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 题型5 奇偶项求和问题的讨论 例5-1已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 例5-2已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 方法技巧 奇偶项求和问题的讨论 等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． 【变式训练5-1】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【变式训练5-2】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【变式训练5-3】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 题型6 等比数列的范围与最值问题 例6-1若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例6-2已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 方法技巧 等比数列的范围与最值问题 等比数列各项和公比都不能为 0。当公比大于 1，首项大于 0 时，数列递增；首项小于 0 时，数列递减。公比大于 0 小于 1，首项大于 0，数列递减；首项小于 0，数列递增。公比小于 0，数列为摆动数列，没有单调性，不存在最大、最小项。 求等比数列的最值，优先看首项与公比符号。正项等比数列可以利用单调性求最值；摆动数列只能求局部最值。前 n 项和的最值要区分 q 等于 1 和 q 不等于 1 两种情况。q 不等于 1 时，前 n 项和是指数型函数。解题注意 n 是正整数，不要直接套用连续函数求最值，遇到摆动数列要注意判断是否存在最值，防止出错。 【变式训练6-1】已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练6-2】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．是数列中的最大值 C．若，则n的最大值为4047 D． 【变式训练6-3】等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 5．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 2．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（   ）． A． B． C． D． 3．如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇，所需时间为（    ） A．8h B．9h C．10h D．11h 4．已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______． 5．设x为实数，若三个数3，x，12成等比数列，则x的值为______． 6．已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 8．一架摄像机售价为1万元.若采取分期付款，则需在1年内将款全部还清，商家提供下表所示的几种付款方案： 方案类别 分几次付清 付款方法 每期所付款额 1 3次 购买后第4个月末第1次付款， 再过4个月第2次付款， 购买后第12个月末第3次付款 2 6次 购买后第2个月末第1次付款， 再过2个月第2次付款…… 购买后第12个月末第6次付款 3 12次 购买后第1个月末第1次付款， 再过1个月第2次付款…… 购买后第12个月末第12次付款 注：（1）每种方案中每次所付款额相同； （2）规定月利率为，每月利息按复利计算． 按各种方案付款每次需付款额分别是多少？（精确到0.01元） 9．小王想用分期付款的方式购买一套价值90万元的商品房.首付40万元，贷款期限为20年，银行住房贷款的年利率为，按复利计息，如果小王按年还款，每年还款的数额相同，那么每年需要还款多少元？小王为购买此房共要付房款多少元？（精确到0.01元） 10．求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点:天津高考等比数列重点考查通项、前 n 项和公式以及等比中项性质。侧重基本量运算，利用首项、公比建立方程求解；注重下标性质简化计算。大题常要求证明等比数列，求和时务必对公比q=1分类讨论，这是高频失分点。会结合等比数列研究项的符号、取值，考题立足教材，重点考查公式变形、分类意识，检验学生基础运算与严谨审题的能力 1．在等比数列中，，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．80 2．已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．51 B． C．-13 D．85 3．若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（   ） A．3 B．-3 C．或3 D．或4 4．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 5．已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A．2 B． C．4 D．8 6．已知等比数列的前项和为，若，则__________． 7．设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 8．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，， 成等比数列，若，则______． 9．求下列数列的通项公式及前项和． (1)若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． (2)若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 10．等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式． 重难·创新演练 设题创新:创新多将等比关系隐藏在递推等式中，需要变形构造识别等比模型。常设置子数列、分段数列，考查项数下标辨析；结合不等式考查范围、最值。部分题目以新定义包装等比数列，剥离条件才能看清本质。易错点为公比正负、q=1遗漏。训练要跳出直接套公式的思维，强化递推变形、分类讨论，警惕陷阱，提升模型识别与逻辑推导的应试能力。 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 3．已知是等比数列，是数列的前n项和，，则的值为（       ） A．3 B．18 C．54 D．152 4．集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（   ） A． B． C． D．4 6．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为__________；设，若为数列的前项和，则__________. 7．已知递增等比数列，则__________． 8．一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，至少在第______次着地后，它经过的总路程能达到. 9．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 10．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $