第03讲 平面向量的数量积（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积核心考点，涵盖定义、运算律、性质及坐标运算，按知识解构-题型破译-真题演练逻辑架构，通过考情分析、知识框架搭建、核心知识拆解、方法技巧归纳及分层训练，系统帮助学生突破运算、夹角、模长等难点。 资料采用题型靶向突破策略，如模长问题用平方转化法，几何应用结合建系坐标法，培养学生数学思维与几何直观。设置基础与创新分层练习，配合真题溯源与课本典例，助力教师精准把控复习节奏，提升学生用数学语言解决综合问题的应考能力。

第03讲 平面向量的数量积 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面向量的数量积 知识点2 数量积的运算律 知识点3 数量积的性质 知识点4 数量积的坐标运算 题型破译 题型1 平面向量数量积的运算 【方法技巧】平面向量数量积的运算 题型2 平面向量的夹角问题 【方法技巧】平面向量的夹角问题 题型3 平面向量的模长 【方法技巧】平面向量的模长 题型4 平面向量的垂直问题 【方法技巧】平面向量的垂直问题 题型5 平面向量的投影 【方法技巧】平面向量的投影 题型6 平面向量在几何中的应用 【方法技巧】平面向量在几何中的应用 题型7 向量数量积与解三角形综合 【方法技巧】向量数量积与解三角形综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量数量积的基础概念与坐标运算 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T7（5 分） 平面向量数量积的几何意义与投影问题 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T15（5 分） 平面向量数量积的综合应用 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 考情分析 平面向量的数量积是天津高考必考核心考点，以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，解答题中常作为核心小问出现，分值 6 分，整体难度中等，属于必拿分核心考点。高频考查方向为：①平面向量数量积的基础概念与坐标运算；②向量投影的几何意义与相关计算；③数量积与三角函数、解三角形结合的综合考查，极少单独考查单一知识点，是后续解析几何、立体几何向量法的核心基础，必须熟练掌握。 复习目标 1. 理解平面向量数量积的定义与几何意义，掌握数量积的坐标运算公式，能熟练进行向量数量积的求值、模长与夹角计算； 2. 掌握向量投影的概念与计算方法，能利用数量积的几何意义解决相关几何问题，熟练处理投影相关的最值问题； 3. 掌握数量积的核心运算性质，能利用数量积判定向量垂直、平行，熟练求解相关参数值与范围； 4. 能综合运用数量积知识，结合三角函数、解三角形等内容解决综合问题，筑牢向量模块的学习基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积. 必记结论 平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. 自主检测如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    【答案】 【详解】由是中点，故， 是中点，则， 是中点，则， 所以 整理得，即 由，得分满足， 由定比分点向量公式 ， ， 由已知，，得，故， 又，代入得 ， 所以， 由，得，当且仅当时取等号. 代入得最大值： . 知识点2 数量积的运算 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③. 必记结论 数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项. 自主检测点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【答案】/ 【详解】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为， 设，其中，则，，点积得： ， 因此的轨迹是正方形内的线段， ，将代入得： ， 这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为， 所以最大值在端点或处取得， 代入得，因此.    知识点3 数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤. 必记结论 根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． 自主检测已知单位向量，的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，为单位向量，故，， 两向量夹角为，可得， 由平面向量数量积的定义可得： . 知识点4 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) ． 必记结论 若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，数量积a⋅b=x1x2+y1y2。垂直直接套用x1x2+y1y2=0；模长平方∣a∣2=x12+y12，求最值优先平方展开。向量投影坐标可直接代入公式计算。几何题型建系赋值，把向量关系转化代数方程；已知夹角、参数范围，联立数量积不等式求解。区分共线x1y2−x2y1=0，勿与垂直公式混淆，减少计算失误。 自主检测已知，，且，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意得： ，解得. 题●型●破●译 题型1 平面向量数量积的运算 例1-1设向量满足，，，则的最大值为________. 【答案】 【详解】如图所示，设，作，则， 因为向量满足，， 可得，即. 又因为，可得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以当三点共线时，取得最大值，最大值为. 例1-2如图，正六边形的边长为1，下列说法正确的是（   ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【详解】 对A，，则在上的投影向量为，A正确； 对B，由图易得，直线平分，且为正三角形，根据平行四边形法则有 ，与共线且同方向，易知，均为含的直角三角形，故 ，故 ，B错误； 对C，正六边形边长为1，因此, 正六边形每个内角为，在顶点C处，，也就是向量与的夹角为, 而与是方向相反的向量，因此与的夹角为：, 代入公式：,C错误; 对D，，D错误. 方法技巧 平面向量数量积的运算 平面向量数量积有定义式与坐标式两种计算方法，定义式a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，注意夹角θ需要两向量共起点，范围是[0,π]。坐标运算直接横纵坐标相乘再求和，计算更加便捷。熟练掌握数量积的交换律，注意它不满足结合律，不能随意调换运算顺序。求解模长常用∣a∣2=a⋅a，把模转化数量积，是高频解题手段。天津高考小题常结合平面图形考查，要区分向量夹角和图形内角。做题灵活选择基底法或者建系坐标法，仔细处理符号，运算完成回代检验 【变式训练1-1】已知平面向量，，，且，． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设，， ，，又， 解得或， 或； （2）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即， 解得且， 即k的取值范围是． 【变式训练1-2】已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设，的夹角为，，的夹角为； 因为，，故，； 如图所示，，； 则有； 由 ， 由可知； 则 ； 因为，故，则； 可得； 故． 【变式训练1-3】在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】， 所以； ， ， , 与所成的夹角为， ， 令，则 当时，的最大值为. 题型2 平面向量的夹角问题 例2-1若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、分别是、方向的单位向量，它们的和沿角的角平分线方向， 由可得角的平分线与边垂直，所以， 又，可得，又，解得， 向量在向量上的投影向量为. 例2-2已知，，且与垂直，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因与垂直，则， 则，又，则. 方法技巧 平面向量的夹角问题 向量夹角定义要求两向量共起点，取值范围是[0,π]，图形里的内角不一定就是向量夹角，反向向量夹角为π，同向向量夹角为 0，这是主要易错点。可通过定义公式cosθ=a⋅b/∣a∣∣b∣​计算夹角，已知坐标时直接代入坐标运算。判断夹角为锐角或钝角，除cosθ正负外，还需要排除向量共线的情况。天津高考小题常结合平面图形命题，做题尽量画图，平移向量至共起点再判断角度。计算仔细处理模长与数量积符号，求出余弦值后结合范围取舍，做完回代验证，防止混淆图形内角和向量夹角。 【变式训练2-1】已知，，且向量与向量的夹角为． (1)求与的值； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，，且向量与向量的夹角为，所以． ． （2）， 所以， ，所以． 向量与向量的夹角的余弦值 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由，故， 解得，故； （2），由，故， 解得，故， 则. 【变式训练2-3】已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 题型3 平面向量的模长 例3-1在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为， 可得， 且，则，可得，即， 又因为，所以. （2）由余弦定理可得， 即，可得，解得， 当且仅当时，等号成立， 因为，即为线段的中点，则， 可得 ， 所以的最小值是. 例3-2在平面四边形中，、分别为、的中点．记，，用，表示______；若，，且满足，则______． 【答案】 / 【详解】如图所示，取的中点，连接,因是中点，则； 又是中点，则，故； 已知，，则， 即，代入，解得. 故， 代入，，： 得， 故.    例3-3已知向量，满足，且与的夹角为，则____________． 【答案】 【详解】由，且与的夹角为，得， 所以. 方法技巧 平面向量的模长 求向量模长最常用技巧是平方转化，借助∣a∣2=a⋅a，把模长运算转化为数量积运算，避开开方带来的麻烦。已知坐标可直接利用公式计算模长。处理∣a±b∣，平方展开后再代入条件求解。注意模长是非负实数，可以比较大小，但向量本身不能比较大小。天津高考小题常结合几何图形考查，区分向量方向只影响向量，不影响模长。做题要注意符号，平方展开不要遗漏交叉项，算完检验结果，保证模长大于等于零。 【变式训练3-1】已知非零向量，的夹角为，.若，则_________；若对于任意的，恒成立，则_________. 【答案】 【详解】由，可得，则； 由两边平方可得，即， ∴对于任意的恒成立， ∴， ∴，即. ∵，∴，∴. 【变式训练3-2】已知向量，，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】由向量的模长公式得， 因为，所以， 而，得到，解得，故C正确. 题型4 平面向量的垂直问题 例4-1已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，即， 因为，， 所以代入可得， 因此向量在向量上的投影向量为. 例4-2如图，在中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且.若，则______；若，则角的余弦值的最小值为______． 【答案】 【详解】因为分别为的中点，所以点为的重心， 则 ， 所以，故； 因，则， 又因，则， 设，代入可得， 由，当且仅当，即时，角的余弦值取得最小值为. 方法技巧 平面向量的垂直问题 两个非零向量垂直的充要条件是数量积为 0，坐标形式对应横纵坐标乘积之和等于 0，是天津高考高频考点。做题切记：数量积为 0，向量垂直，零向量和任意向量不垂直。常结合基底、坐标两种方法，几何图形优先建系，利用垂直条件列方程求参数。区分向量垂直与线段垂直，向量可平移。审题分清点坐标与向量坐标，运算注意符号颠倒。解答小题时，可直接套用坐标公式，做完回代验证，排除共线的错误情况。 【变式训练4-1】已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为向量，且与的夹角为， 所以； （2）因为向量，且， 所以， ； （3）因为与垂直， 所以， ， 解得. 【变式训练4-2·变载体】中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； . 【详解】由题意，可得， 又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 【变式训练4-3】中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 【答案】 / 【详解】由题意有： ， 又， ， 由， 所以， 即①， 由， 所以， 即②， 由①②有：， 所以. 题型5 平面向量的投影 例5-1向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为______.（用向量表示） 【答案】 【详解】因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 例5-2已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】向量在向量上的投影向量为. ， 已知，，， 代入得 . 将，代入投影向量公式： . 方法技巧 平面向量的投影 向量投影分为数量投影与向量投影，a在b上的数量投影公式为a⋅b/∣b∣​，结果是实数，正负由夹角决定，钝角投影为负值。天津高考小题常结合几何图形考查，注意投影有正负，不要直接等同于线段长度。已知坐标可直接代入公式计算。做题分清是谁在谁上面投影，顺序不能颠倒。区分投影数量和投影向量，看清题干提问。部分题目可画图直观判断投影大小符号，计算仔细核对数量积与模长，做完回代检验，防止顺序颠倒造成错解。 【变式训练5-1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量为. 向量在向量上的投影向量的模长为. 【变式训练5-2】已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为____________． 【答案】 【详解】由投影向量的公式可得在上的投影向量为， 因为向量，的夹角为，且，，则， 所以， 所以，即在上的投影向量为. 【变式训练5-3】已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 题型6 平面向量在几何中的应用 例6-1在平行四边形中，，，，，，记，，用，表示________；若是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由向量的加法得 . 如图：以点为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直的直线为轴， 则，因为，，所以. 因为，所以是的三等分点， ， 因为，所以是的中点，所以 因为是线段上的一个动点，设， 则， 所以， 由向量的数量积公式 ， 因为，所以，有最小值为. 因此，有最小值为. 例6-2在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，    由题意得各点坐标：，，，， 已知，且在线段上，故，即， ， 由得，因此， 则， 该式为开口向下的二次函数，对称轴为，代入得最大值： ， 即的最大值是，故D正确. 方法技巧 平面向量在几何中的应用 平面向量解决几何问题有基底法与坐标法两种思路。处理平行、垂直、三点共线，用好共线、垂直的向量条件。求解长度、夹角，转化为模长与数量积运算。遇到平面图形，优先建立坐标系，把几何条件翻译成向量坐标等式。证明三点共线，除向量共线外，务必确认存在公共点。天津高考小题常融合三角形、四边形命题，善于将边长关系转化向量表达式。做题画图辅助分析，灵活切换两种方法，看清向量起点终点，回代检验。 【变式训练6-1】已知边长为2的正方形，N为边上的中点，M为上一点．若以为底边作等腰三角形，则当点在边上运动时，的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形，设的中点为，    ∵是以为底边的等腰三角形，， 又为线段上一点，， ． 【变式训练6-2】在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【答案】 / 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 【变式训练6-3】已知向量，，且有． (1)求的坐标，和在方向上的投影向量； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若，当时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【详解】（1）已知向量，，且有，则，即，解得， 所以，， 因此， 并且在方向上的投影向量为. （2）设所求的单位向量，已知单位向量与向量垂直，由（1）得， 所以有，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或. （3）由（1）得，又因为，则，， 因此， 由于，令，则， 因此要求的最小值，转化为求在上的最小值， 其中表示轴上的动点到定点的距离，表示轴上的动点到定点的距离， 因此表示，    如图所示，点为关于轴的对称点，为线段与轴的交点， 因此，当点与重合时，即共线，此时取最小值， 直线的方程为，即，得到直线与轴的交点坐标为，即， 当点与重合时，满足， 因此，可以取最小值，最小值为， 即的最小值为. 题型7 向量数量积与解三角形综合 例7-1已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 故， ，则，解得． （2），解得， 由余弦定理， 则，解得， ， ． （3）由可知是中点，是中线， 则， 则，故， 由余弦定理， 两式相减得，解得， 故． 例7-2已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得，，， 所以，解得， 由可得，故. 方法技巧 向量数量积与解三角形综合 向量数量积与解三角形综合题，核心是把向量条件翻译成三角形边角关系。利用数量积定义a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，注意向量夹角未必是三角形内角，当两向量起点不一致时要转换成补角，这是典型易错点。将数量积展开之后，结合正、余弦定理转化边长、角度。可以建立坐标系，用坐标运算简化计算。天津高考常在小题综合考查，融合模长、参数求解。做题优先画图，分清向量夹角与三角形内角，灵活实现向量、边角互相转化。运算仔细核对符号，做完回代检验。 【变式训练7-1】在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 【变式训练7-2】已知向量，，设函数. (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在中，若，求的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期为. (2) (3) 【详解】（1） , ,所以的最小正周期为. （2）， 由，得， 则， 则 . （3）， 由，得， 所以，则， 则， 由，得，所以， 则， 所以的取值范围是. 【变式训练7-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以，又，则，所以， 又，所以； （2）因为，且，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； （3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，，由得， 因为，，，所以设，， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当或时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围是. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为，    若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    5．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 【答案】 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设， 由已知可得，， 所以. 又， 所以，解得（舍去负值）， 所以，. 故选：D. 2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，与的夹角为， 所以，即 故选：D 3．若向量，，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，，， 设与夹角的余弦值为， ，所以． 故选：． 4．设，是单位向量，若，则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】因为，是单位向量，且，所以，， 所以 故选：A. 5．若，是单位向量，且，则与的夹角是______. 【答案】 【详解】由已知可得，. 又，所以. 故答案为：. 6．在等边三角形中，与的夹角为______；点为的中点，则与的夹角为______． 【答案】 / / 【详解】在等边三角形中，所以与的夹角为，    因为点为的中点，所以，所以与的夹角为. 故答案为：； 7．若，是空间两个非零向量，则 （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______． 【答案】 / / 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）因为，，， 所以，因为，所以. （3）因为，所以， 因为，所以. 故答案为：；；. 8．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值． (1)； (2)； (3)与的夹角为． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以与的夹角为或，又，， 当与的夹角为时， 当与的夹角为时. （2）因为，所以与的夹角为， 所以. （3）因为与的夹角为， 所以. 9．已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点． 【答案】 证明：因为，，， 由可得， ， 所以， 则， ， 。 所以点O是三条高线的交点. 【详解】略 10．已知点，向量，过点以向量为方向向量的直线为，求点到直线的距离． 【答案】 【详解】因为点，向量，则， 所以，， 过点以向量为方向向量的直线， 所以点到直线的距离． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点:天津高考平面向量数量积多为选择填空题。重点考查数量积定义、夹角公式与模长计算，分清向量夹角范围[0,π]，夹角必须共起点是易错点。掌握数量积坐标运算公式，会求向量的投影；利用数量积判断向量垂直，垂直等价于数量积为 0。常结合三角形、四边形图形，将向量线性运算与数量积综合，求解模、夹角、参数。注意：数量积为零不代表向量一定有零向量。命题重视概念辨析，区分向量运算与实数运算，很多实数运算规律在向量中不成立 1．已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上的投影向量为，， 所以在上的投影向量为． 2．已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，，． 设向量与的夹角为，． 对两边同时平方可得：， 将，代入上式： ， 化简得，解得． 根据向量点积的定义，代入已知值：， 解得，结合，可得． 3．已知，，，则向量与夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设向量与的夹角为， 则. 因为，，代入可得： ，解得， 因为，故． 4．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】在上的投影向量为， 所以. 5．在中，，，，则______． 【答案】 【详解】在中，，，， 则． 6．已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 若，则， 所以，解得. 7．已知，，，则实数______． 【答案】/ 【详解】因为，，则， 又，则，解得. 8．已知向量， (1)求，，的坐标； (2)求，的值； (3)设与的夹角为，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，. （2），. （3）. 9．已知向量，满足，． (1)求向量，的数量积及的值； (2)求向量，夹角θ的余弦值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 因为，所以. （2）因为，， 所以. （3）因为，所以. 10．已知向量满足，． (1)求； (2)若与同向，求的坐标； (3)若，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，则． （2）与同向的单位向量为， 已知， ． （3），解得， ， ． 重难·创新演练 设题创新:创新题型多结合平面图形动点情境，把向量线性运算、基底分解与数量积融合命题。不会直接给出向量坐标，需要自主选基底或者建立坐标系，翻译几何条件转化代数表达式。常考查投影、模长最值、参数范围，部分考题结合三角形边角设置复杂情境。演练时要灵活切换基底法与坐标法，牢记夹角共起点的前提。注意数量积运算不满足结合律，不要套用实数运算套路。训练画图分析能力，区分向量夹角与图形内角，做完回代检验，减少符号、坐标运算失误。 1．关于平面向量，，，有下列五种说法： ①；②若，，则；③若，，则；④对任意向量，，，有；⑤若，，则． 其中结论正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】实数乘向量结果仍是向量，（零向量），不是实数 0，①错误； 若，，则或 ，②错误； 移项得，仅说明，不能推出，③错误； 与共线，与共线，二者方向不一定相同，④错误； 若，则，，无法推出，⑤错误. 2．已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】， 所以， 因为，则，即：. 解得：. 所以. 3．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为坐标原点，，， 所以直线的截距式方程为，即， 因为点在内部， 所以满足不等式组， 由，且，， 当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是； 当时，此时不存在满足题意的正整数， 综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为， 所以，， ， 所以 ， 当点为时，， 当点为时，， 当点为时，， 所以最小值为． 4．在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 梯形中，，，所以. 因为，所以. ， . 所以 . 5．在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 【答案】 【详解】空1：如图，    取的中点O，连接，因为，， 所以是等边三角形，所以， 又在中，， 所以； 空2：   取的中点，连接，交半圆于点N，则，， 又 ，等号成立时，三点共线， 故的最大值是. 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【答案】 / 【详解】在中，由， 得， 设，则， 得到， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 则，如图，作出符合题意的图形， 设，， 且得到， ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围为. 7．（2026·天津宝坻·三模）在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 【答案】 1 / 【详解】以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 所以， 所以， ，则， 所以当时，最小值为． 8．已知向量，． (1)求及； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由向量，，得； ， . （2）， ， 若，则， 解得. （3）由，， 得， ， 所以. 9．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，因为，可得，解得， 所以，所以. （2）解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以，则且， 所以. 10．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量的数量积 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面向量的数量积 知识点2 数量积的运算律 知识点3 数量积的性质 知识点4 数量积的坐标运算 题型破译 题型1 平面向量数量积的运算 【方法技巧】平面向量数量积的运算 题型2 平面向量的夹角问题 【方法技巧】平面向量的夹角问题 题型3 平面向量的模长 【方法技巧】平面向量的模长 题型4 平面向量的垂直问题 【方法技巧】平面向量的垂直问题 题型5 平面向量的投影 【方法技巧】平面向量的投影 题型6 平面向量在几何中的应用 【方法技巧】平面向量在几何中的应用 题型7 向量数量积与解三角形综合 【方法技巧】向量数量积与解三角形综合 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量数量积的基础概念与坐标运算 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T7（5 分） 平面向量数量积的几何意义与投影问题 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T15（5 分） 平面向量数量积的综合应用 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T15（5 分） 考情分析 平面向量的数量积是天津高考必考核心考点，以选择题、填空题为主，单题分值 5 分，解答题中常作为核心小问出现，分值 6 分，整体难度中等，属于必拿分核心考点。高频考查方向为：①平面向量数量积的基础概念与坐标运算；②向量投影的几何意义与相关计算；③数量积与三角函数、解三角形结合的综合考查，极少单独考查单一知识点，是后续解析几何、立体几何向量法的核心基础，必须熟练掌握。 复习目标 1. 理解平面向量数量积的定义与几何意义，掌握数量积的坐标运算公式，能熟练进行向量数量积的求值、模长与夹角计算； 2. 掌握向量投影的概念与计算方法，能利用数量积的几何意义解决相关几何问题，熟练处理投影相关的最值问题； 3. 掌握数量积的核心运算性质，能利用数量积判定向量垂直、平行，熟练求解相关参数值与范围； 4. 能综合运用数量积知识，结合三角函数、解三角形等内容解决综合问题，筑牢向量模块的学习基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量 叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影： 叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积. 必记结论 平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. 自主检测如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    知识点2 数量积的运算 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③. 必记结论 数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项. 自主检测点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 知识点3 数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时， ；当与反向时， ． 特别地，或． ④．⑤. 必记结论 根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． 自主检测已知单位向量，的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 知识点4 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) ． 必记结论 若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，数量积a⋅b=x1x2+y1y2。垂直直接套用x1x2+y1y2=0；模长平方∣a∣2=x12+y12，求最值优先平方展开。向量投影坐标可直接代入公式计算。几何题型建系赋值，把向量关系转化代数方程；已知夹角、参数范围，联立数量积不等式求解。区分共线x1y2−x2y1=0，勿与垂直公式混淆，减少计算失误。 自主检测已知，，且，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 题●型●破●译 题型1 平面向量数量积的运算 例1-1设向量满足，，，则的最大值为________. 例1-2如图，正六边形的边长为1，下列说法正确的是（   ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 方法技巧 平面向量数量积的运算 平面向量数量积有定义式与坐标式两种计算方法，定义式a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，注意夹角θ需要两向量共起点，范围是[0,π]。坐标运算直接横纵坐标相乘再求和，计算更加便捷。熟练掌握数量积的交换律，注意它不满足结合律，不能随意调换运算顺序。求解模长常用∣a∣2=a⋅a，把模转化数量积，是高频解题手段。天津高考小题常结合平面图形考查，要区分向量夹角和图形内角。做题灵活选择基底法或者建系坐标法，仔细处理符号，运算完成回代检验 【变式训练1-1】已知平面向量，，，且，． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【变式训练1-2】已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 题型2 平面向量的夹角问题 例2-1若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例2-2已知，，且与垂直，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 平面向量的夹角问题 向量夹角定义要求两向量共起点，取值范围是[0,π]，图形里的内角不一定就是向量夹角，反向向量夹角为π，同向向量夹角为 0，这是主要易错点。可通过定义公式cosθ=a⋅b/∣a∣∣b∣​计算夹角，已知坐标时直接代入坐标运算。判断夹角为锐角或钝角，除cosθ正负外，还需要排除向量共线的情况。天津高考小题常结合平面图形命题，做题尽量画图，平移向量至共起点再判断角度。计算仔细处理模长与数量积符号，求出余弦值后结合范围取舍，做完回代验证，防止混淆图形内角和向量夹角。 【变式训练2-1】已知，，且向量与向量的夹角为． (1)求与的值； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值． 【变式训练2-3】已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型3 平面向量的模长 例3-1在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的最小值． 例3-2在平面四边形中，、分别为、的中点．记，，用，表示______；若，，且满足，则______． 例3-3已知向量，满足，且与的夹角为，则____________． 方法技巧 平面向量的模长 求向量模长最常用技巧是平方转化，借助∣a∣2=a⋅a，把模长运算转化为数量积运算，避开开方带来的麻烦。已知坐标可直接利用公式计算模长。处理∣a±b∣，平方展开后再代入条件求解。注意模长是非负实数，可以比较大小，但向量本身不能比较大小。天津高考小题常结合几何图形考查，区分向量方向只影响向量，不影响模长。做题要注意符号，平方展开不要遗漏交叉项，算完检验结果，保证模长大于等于零。 【变式训练3-1】已知非零向量，的夹角为，.若，则_________；若对于任意的，恒成立，则_________. 【变式训练3-2】已知向量，，，则（    ） A． B． C．5 D． 题型4 平面向量的垂直问题 例4-1已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例4-2如图，在中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且.若，则______；若，则角的余弦值的最小值为______． 方法技巧 平面向量的垂直问题 两个非零向量垂直的充要条件是数量积为 0，坐标形式对应横纵坐标乘积之和等于 0，是天津高考高频考点。做题切记：数量积为 0，向量垂直，零向量和任意向量不垂直。常结合基底、坐标两种方法，几何图形优先建系，利用垂直条件列方程求参数。区分向量垂直与线段垂直，向量可平移。审题分清点坐标与向量坐标，运算注意符号颠倒。解答小题时，可直接套用坐标公式，做完回代验证，排除共线的错误情况。 【变式训练4-1】已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 【变式训练4-2·变载体】中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【变式训练4-3】中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 题型5 平面向量的投影 例5-1向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为______.（用向量表示） 例5-2已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为__________． 方法技巧 平面向量的投影 向量投影分为数量投影与向量投影，a在b上的数量投影公式为a⋅b/∣b∣​，结果是实数，正负由夹角决定，钝角投影为负值。天津高考小题常结合几何图形考查，注意投影有正负，不要直接等同于线段长度。已知坐标可直接代入公式计算。做题分清是谁在谁上面投影，顺序不能颠倒。区分投影数量和投影向量，看清题干提问。部分题目可画图直观判断投影大小符号，计算仔细核对数量积与模长，做完回代检验，防止顺序颠倒造成错解。 【变式训练5-1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为____________． 【变式训练5-3】已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 题型6 平面向量在几何中的应用 例6-1在平行四边形中，，，，，，记，，用，表示________；若是线段上的一个动点，则的最小值为________． 例6-2在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（     ） A． B． C． D． 方法技巧 平面向量在几何中的应用 平面向量解决几何问题有基底法与坐标法两种思路。处理平行、垂直、三点共线，用好共线、垂直的向量条件。求解长度、夹角，转化为模长与数量积运算。遇到平面图形，优先建立坐标系，把几何条件翻译成向量坐标等式。证明三点共线，除向量共线外，务必确认存在公共点。天津高考小题常融合三角形、四边形命题，善于将边长关系转化向量表达式。做题画图辅助分析，灵活切换两种方法，看清向量起点终点，回代检验。 【变式训练6-1】已知边长为2的正方形，N为边上的中点，M为上一点．若以为底边作等腰三角形，则当点在边上运动时，的取值范围是_____________． 【变式训练6-2】在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【变式训练6-3】已知向量，，且有． (1)求的坐标，和在方向上的投影向量； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若，当时，求的最小值． 题型7 向量数量积与解三角形综合 例7-1已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 例7-2已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 向量数量积与解三角形综合 向量数量积与解三角形综合题，核心是把向量条件翻译成三角形边角关系。利用数量积定义a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，注意向量夹角未必是三角形内角，当两向量起点不一致时要转换成补角，这是典型易错点。将数量积展开之后，结合正、余弦定理转化边长、角度。可以建立坐标系，用坐标运算简化计算。天津高考常在小题综合考查，融合模长、参数求解。做题优先画图，分清向量夹角与三角形内角，灵活实现向量、边角互相转化。运算仔细核对符号，做完回代检验。 【变式训练7-1】在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式训练7-2】已知向量，，设函数. (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在中，若，求的取值范围. 【变式训练7-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 5．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A．1 B． C． D． 3．若向量，，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 4．设，是单位向量，若，则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 5．若，是单位向量，且，则与的夹角是______. 6．在等边三角形中，与的夹角为______；点为的中点，则与的夹角为______． 7．若，是空间两个非零向量，则 （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______． 8．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值． (1)； (2)； (3)与的夹角为． 9．已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点． 10．已知点，向量，过点以向量为方向向量的直线为，求点到直线的距离． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点:天津高考平面向量数量积多为选择填空题。重点考查数量积定义、夹角公式与模长计算，分清向量夹角范围[0,π]，夹角必须共起点是易错点。掌握数量积坐标运算公式，会求向量的投影；利用数量积判断向量垂直，垂直等价于数量积为 0。常结合三角形、四边形图形，将向量线性运算与数量积综合，求解模、夹角、参数。注意：数量积为零不代表向量一定有零向量。命题重视概念辨析，区分向量运算与实数运算，很多实数运算规律在向量中不成立 1．已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则向量与夹角为（     ） A． B． C． D． 4．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．在中，，，，则______． 6．已知向量，若，则实数__________. 7．已知，，，则实数______． 8．已知向量， (1)求，，的坐标； (2)求，的值； (3)设与的夹角为，求的值． 9．已知向量，满足，． (1)求向量，的数量积及的值； (2)求向量，夹角θ的余弦值； (3)求的值． 10．已知向量满足，． (1)求； (2)若与同向，求的坐标； (3)若，求与的夹角的余弦值． 重难·创新演练 设题创新:创新题型多结合平面图形动点情境，把向量线性运算、基底分解与数量积融合命题。不会直接给出向量坐标，需要自主选基底或者建立坐标系，翻译几何条件转化代数表达式。常考查投影、模长最值、参数范围，部分考题结合三角形边角设置复杂情境。演练时要灵活切换基底法与坐标法，牢记夹角共起点的前提。注意数量积运算不满足结合律，不要套用实数运算套路。训练画图分析能力，区分向量夹角与图形内角，做完回代检验，减少符号、坐标运算失误。 1．关于平面向量，，，有下列五种说法： ①；②若，，则；③若，，则；④对任意向量，，，有；⑤若，，则． 其中结论正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 7．（2026·天津宝坻·三模）在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 8．已知向量，． (1)求及； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 9．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 10．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $