专题02 空间向量基本定理（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02空间向量基本定理 题型归纳 题型一基底与共面判断 题型二四点共面定理 题型三共面条件与参数求值 题型四基向量表示与分解 题型五综合应用 题型专练 题型一：基底与共面判断 1.已知空间四边形ABCD,G是CD的中点，连接AG, 则AB+BD+BC)=() A.AG B.CG c.BC o.3Bc 2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1的中点，F为棱A1C1的中点，记AB=a,AC=b, AA1=c,则EF=() C 6 C A A.-a+号6+e 2 8a5+5 c.-a+6-1 2b-2C 0.+6+ 3.已知P、A、B、C为空间中的四点且PB,C三点不共线，且PA=aPB+BPC,则“C+B=1”是 118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “A、B、C三点共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a=2,-3,1,b=-4,m,n,且a/b,则m+n=() A.3 B.4 C.5 D.6 5.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF=2FD,则EF·AC为 () 5 .5 A.12 B.一12 1 1 C.4 D4 6.空间四边形0ABC中，OA=a,OB=6,OC=,点M在0A上，OM=30A,点N为BC的中点， 若向量MN用向量a,b,c表示，则MN= B 7.已知直线l的方向向量为m,平面c的法向量为n,则“m·n=0”是“1a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二：四点共面定理 1.空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则MG-AB+AD等于() A易D方 B.3MG c.3GM D.2MG 2.下列向量中与ā=(0,1,2)共线的是() A.（1,0,2 B.（1,2,3) 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.(0,2,4 D.(0,2,-1) 3.已知空间向量ā=1，-1，y与b=-2,x,4共线，则y+x=（) A.0 B.6 C.-4 D.4 4.如图，在三棱锥C-OAB中，G为AB的中点，AM=号AC,则MG=() M G A号o+号o丽+号0元 e.gon-oB-goc 6 c.oa+5oi-号o元 0.oA+0i-0立 5.如图，二面角a-1-B等于135°，A,B是棱l上两点，BD,AC分别在半平面a,B内，AC⊥l, BD⊥L,且AB=AC=2,BD=2,则CD=() A B A.2V3 B.2V2 c.V14 D.4 题型三：共面条件与参数求值 1.如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点N,P分别满足ON=2NM,AP=号AN, 则OP=() 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YP.N B A号oA+号on+号oc B.oA+2oB+20元 3 coi+号oB+4o元 0.oi+3o+o元 3 2.平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AM=入MC,AM=是AB+径AD+号AA,则实数入的值 3 3 3 为() A.1 B.2 C.2 D.3 3.如图，线段AB,BD都在平面a内，BD⊥AB,AC⊥平面a,AB=3,BD=4,则AB在平 面ACD内的投影向量为() D a A. B. AD c号ò 6AD D.2 4.已知MN是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点P在正方体体 表面上运动，正方体的棱长是V2,则PM·PN的取值范围为() A.1,3 B.1,2 c.0,2 D.0,1 5.如图，在直三棱柱ABC-A1BC1中，AC=AB=AA1=2,BC=2AE=2,则向量AE与A1C 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的夹角的余弦值是() A1下 C E B 2 A. 2 B.2 V3 C.2 D.0 6.在空间四边形0ABC中，OA-ā，OB=i,OC=c,者OP=号OA,B0=号B元，则P0 (用向量à，b,c表示). 7.在棱长为1的正四面体PABC中，AC=4AE,则PE·BC=() 1 3 A.8 B.8 c 3 D.4 题型四：基向量表示与分解 1.如图，在三棱锥A-BCD中，DA+AC-DC=() D C A.0 B.2CD c.2DC D.AD 2.在长方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别为AB,BB1的中点，则下列向量中与向量EF平行的 向量是( A.AB B.DC C.AC D.DC 3.己知向量a=x,3,yb=0,1,m,若a‖b:则() 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.X=1 B.ym=3 C.y=3m D.m=3y 4.如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，M,N 分别为BC,AD的中点，则MN|=() B D M A.2/2 B.2 c.2 D.1 5.已知向量a=-2,-4,1与b=2,m,-1的夹角为钝角，则m的值可以是() A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D1中，AB=ā，AD=b,AA1=c,点M为线段AC1的中 点，则A1M= (用含有a,b,c的式子表示). D A B M D 7.在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=3,PB=4,PC=5,G为△ABC的 重心，则PG=() A.5 B.5V3 0.52 3 8.在三棱柱ABC-AB1C1中，M,N分别为CC1,AB的中点，则下列向量中与MN相等的向量是( ) A.2筋-A沁-2AA, ®.是+Ac+2AA, 2 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.AB+号AC+号AA1 D.-A+号AC+号AA, 题型五：综合应用 1.如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，设AA1=a,AB=b,AC=c,M是BC1的中点，则AM可表 示为() C A 6 M A.AM=1a+16+1: B.AM=a+b+c 222 C.AM=a+ib+1c D.AM=号a+6+ 2.在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心.若AG与平面BCE交于点F,则 AF AG =() 1 A.2 B.3 3 c.4 D.5 3.如图，二面角Q-B的大小为行点A,B分别在半平面0，B内，AC11于点C,BD1l于点D, 若AC=5,BD=6,CD=5V2,则AB=() A.9V141 B.7 C.8 D.9 4.平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=60°，∠BAD=90°.则 AC1的长为() A.3V2 B.2V5 718 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.2V6 D.5 5.如图，在平行六面体ABCD-A1BCD1中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都 是60°，则对角线AC1的长为· D C B 8/8可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02空间向量基本定理 题型归纳 题型一基底与共面判断 题型二四点共面定理 题型三共面条件与参数求值 题型四基向量表示与分解 题型五综合应用 题型专练 题型一：基底与共面判断 1.A 2.A 3.C 4.B 5.A 6. 3 +5+ 7.B 题型二：四点共面定理 1.B 2.c 3.A 4.c 5.c 题型三：共面条件与参数求值 1.B 2.C 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.C 4.D 5.A 6.1 3020 7.A 题型四：基向量表示与分解 1.A 2.B 3.C 4.D 5.c a+16-1 6.2 2 7.D 8.A 题型五：综合应用 1.A 2.C 3.D 4.B 5.3V6 212可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02空间向量基本定理 题型归纳 题型一基底与共面判断 题型二四点共面定理 题型三共面条件与参数求值 题型四基向量表示与分解 题型五综合应用 题型专练 题型一：基底与共面判断 1.已知空间四边形ABCD,G是CD的中点，连接AG, 则AB+号BD+BC=() A.AG B.CG c.BC 【答案】A 【解析】在△BCD中，：G是CD的中点，∴BG=号BD+BC, ∴.AB+号BD+BC=AB+BG=AG 2.如图，在斜三棱柱ABC-ABC1中，E为棱BB1的中点，F为棱A1C1的中点，记AB=a,AC=b, AA,=c,则EF=() C C B 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-a+号+ 2 2 B.a-zb+ze c.a6-e ++ 1→ D.- 【答案】A 【解析】EF=EB1+B,A1+A1F 号Ba+BA+AC 2 =-a+6+28 2 2 3.已知P、A、B、C为空间中的四点且PB,C三点不共线，且PA=aPB+BPC,则“a+B=I”是 “A、B、C三点共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系 【解析】若a+B=1,则PA=aPB+1-aPC,故PA-PC=aPB-PC, 所以CA=aCB,而CA,CB共起点，故A,B,C三点共线， 若A,B,C三点共线，则存在实数入，使得CA=λCB, 故PA-PC=λPB-PC,故PA=λPB+1-PC, 因为P,B,C不共线，则PB,PC不共线，故入=a,1-入=B, 故a+B=1, 故“Q+阝=1”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C 4.已知a=2,-3,1,b=-4,m,n,且a∥b,则m+n=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由题意可设a=λb,入∈R,即(2，-3,1)=入(-4，m,n, 2/19 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=-4λ s、1 所以-3=入m,解得 2 1=λn m=6 n=-2 所以m+n=4. 5.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF=2FD,则EF·AC为 () A.12 1 C.4 。 【答案】A 【分析】设BC=a,BD=b,BA=c,将题设中的EF和AC分别用à，i,c线性表示，再根据向量数量 积的运算律计算即得 【解析】 B D 如图，设BC=i,BD=i,BA=c,依题副a创=6=d=1,a:i=6c=ca=号 连接BF,因EF=BF-BE=BC+CF-1BA=BC+2CD-1BA =a*号6---á+号6-， 又AC=BC-BA=a-c, 则EF·AC=（1a+2b-1-3 c)(a-c) 2 1C212-50.+2g2g a+ 一C a·C+二a·b- 3 26 3 -1+1_5×1.2x1215 3262323x212 故选：A 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,OC=元，点M在0A上，O应=3OA,点N为BC的中点， 5 若向量MN用向量a,b,c表示，则MN= B 【答案1-36 【解析】因为N为BC的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以ON=号(OB+OC)=(i+)】 则根据向量减法的三角形法则可知， 将-0N-0M-0丽*0-0-6+5+ 2 7.已知直线的方向向量为m,平面的法向量为i,则“i·i=0”是“la”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案 【解析】若i·n=0,则l‖a或lc&,故充分性不成立， 若l‖a,则m·n=0,故必要性成立， 所以“i·n=0”是“la”的必要不充分条件. 题型二：四点共面定理 1.空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则MG-AB+AD等于() A.oB B.3MG c.3GM D.2MG 【答案】B 【分析】先利用向量减法法则化简AD-AB,再结合三角形中位线对应的向量线性关系运算即可得到 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结果。 【解析】根据向量减法的三角形法则，可得AD-AB=BD, 因为M,G分别是BC,CD的中点， 所以MG为△BCD的中位线，由中位线性质得BD=2MG, 将上述结果代入原式计算： MG-AB+AD-MG+(AD-AB)-MG+BD-MG+2MG-3MG M 2.下列向量中与ā=(0,1,2)共线的是() A.(1,0,2 B.（1,2,3 c.(0,2,4 D.(0,2,-1) 【答案】c 【分析】根据b=入a(a≠0)可得a/1b,进行判断】 【解析】因为0,2,4=20,1,2=2à，所以c选项满足题意： 其他选项不存在入∈R,使入ā写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意 故选：C 3.已知空间向量a=1,-1,y与b=-2,x,4共线，则y+x=（） A.0 B.6 C.-4 D.4 【答案】A 【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解x,y的值，即可得y+X的值. 【解析】因为空间向量ā=1，-1，y与b=-2,x,4共线，显然x≠0， 所以名又学解得义=2，y-2,所以0y*X-0 故选A 4.如图，在三棱锥C-OAB中，G为AB的中点，A应=号AC,则MG=() 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A-on+oB+o元 3 3 ®.3o1+oi60成 c.6oA+5oi-o元 6 3 104+108-100 D.6 3 6 【答案】c 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解， 【解折】因为G为AB的中点，所以OG=OA+OB, 因为0M=01+A应=0A+号Ac=01+号o心-0A=}o心+子oA, 所以M6=o6-oM=号o1+2oi-号o心-号oA=-oA+2o8-号o元 5.如图，二面角-1-B等于13°，A,B是棱l上两点，BD,AC分别在半平面C,B内，AC⊥l, BD⊥L,且AB=AC=2,BD=2,则CD=() B B A.23 B.22 c.V14 D.4 【答案】C 【分析】依题意，可得DC=DB+BA+AC,再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【解析】由二面角的平面角的定义知BD,AC=135°， 所以BD·AC=BDAC cos(BD,AC=2×2×cos135=-2, 由AC⊥L,BD⊥L,得AC·BA=0,BD·BA=0, 又因为D元=DB+BA+A元，所以DC-DB+BA+AC 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =DB2+BA2+AC2+2DB·BA+2DB·AC+2BA·AC =V2}+22+22-2BD·A℃=10-2×-2=14， 所以DC=V14,即CD=V14 题型三：共面条件与参数求值 1.如图，在四面体O4BC中，M为枝C的中点，点心P分别满足O市=2N方，AP-号， 则OP=() B A号0A+号0B+号oc 3 8.号oi+号0i+号0元 0A+4oB+40元 c.3 10A+10B+10C 9 9 D. 3 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【解n】OP-0A+AD-OA+号AN =0A+号oN-0A=号0A+号oN oa+子x号07-30m+号oM 3 33 01+音*oB+oc-0A+号0i+号o元 故选：B 2.平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，A,M=入MC,A应=号AB+径AD+号AA,则实数入的值 3 为() A.1 B.2 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2 D.3 【答案】C 【分析】将AM,AC都用基底AB，AD,A有表示出米，得到A及-号A衣，即可得到 A M=2MC 【解析】M=A应-A瓦-号AB+号D+号A直-A克-号B+号A办-子不 号(AB+AD-AA)=号(A-AA,)=号A=号(AM+M), 所以A1M=2MC, 故选：C. O C B A M C 3.如图，线段AB,BD都在平面a内，BD⊥AB,AC⊥平面a,AB=3,BD=4,则AB在平 面ACD内的投影向量为() 8ò c号n 16AD 0. 【答案】C 【分析】过点B作BH⊥AD,先证明BH⊥平面ACD,得出AB在平面ACD内的投影向量为AH, 即是在AD上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【解析】由题可知AD=V9+16=5.如图，过点B作BH⊥AD,垂足为H, 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 因为AC⊥平面a,所以AC⊥BH,又ACnAD=A,所以BH⊥平面ACD, 故AB在平面ACD内的投影向量为AB·cos∠DAB· 需平是 4.已知MN是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点P在正方体体 表面上运动，正方体的棱长是V2,则PM·PN的取值范围为() A.1,3 B.1,2 c.0,2 D.0,1 【答案】D 【分析】将正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简P疗·PV为P0-之结合题意得PO的 取值范围，即可得答案。 【解析】由题意设正方体中心为O,即为正方体内切球球心，则O为MN的中点， 2 因为正方体的棱长是2，故MN=/2,则内切球半径为2 则PM·PN=Po+oMPo+oN=P0+oM:Po-OM 由于点P在正方体表面上运动，当P位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取 最小值， 故Pò1=号2+2+12=5 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则Pò-∈0,1，即PM-PN的取值范国为0,1l 5.如图，在直三棱柱ABC-A1BC1中，AC=AB=AA1=2,BC=2AE=2,则向量AE与A1C 的夹角的余弦值是() C E 1 2 A. 2 B. 3 C.2 D.0 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解。 【解析】在直三棱柱ABC-A1B,C1中，A1A⊥平面ABC,ABC平面ABC,ACc平面ABC, 则A1A⊥AB,A1A⊥AC,由AC=AB=2,BC=2,得AB+AC=BC2,则AB⊥AC, 庙BC=2AE=2,得B为BC的中点，则AE=AB+AC 由AC=AA,=2,得A,C=2,则AEAC-支AB+AG)-(AC-Ai)号A2-1, 8AE·AC_1 因此cos<AE,A1C>=AEA,C2' 所以向量A它与A1C的夹角的余弦值是2 6.在空间四边那0ABC中，0A-a.OB=6.0C=i,若OP=OA,B=号B元，则P0= (用向量à，b,c表示). 【等号+6+ 2 2 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得， 【解折】由B0=}8元，侧o0-08=号o元-0B.即o0=号oB+号0元， 10119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则P0-o0-or-o8+00}o1=a*6+ 2 7.在棱长为1的正四面体PABC中，AC=4AE,则PE·BC=() 1 3 A.8 B.8 c.4 3 D.4 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解， 【解析】因为P它=PA+1AC=PA+P℃-PA)=P元+3PA 所以PE·BC= C+3PAPc-PB= 4 4 故选：A 题型四：基向量表示与分解 1.如图，在三棱锥A-BCD中，DA+AC-DC=() B A.0 B.2CD c.2DC D.AD 【答案】A 【解析】DA+AC-DC=DC-DC=0 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BB1的中点，则下列向量中与向量EF平行的 向量是( A.AB B.DC c.AC D.DC 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量EF平行的向量. 【解析】由长方体ABCD-A,BCD1,可得AD‖BC‖B,C1,AD=BC=B,C1, 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以四边形ABC1D是平行四边形，所以AB,‖DC1,同理可得AB‖D,C, 又E,F分别为AB,BB的中点，所以AB‖EF,所以EF‖DC, 所以向量EF平行于DC1, 因为直线AB与直线EF相交，又A1B‖D,C,所以向量E下不平行于A1B,D,C, 又直线AC1与AB相交，所以向量EF不平行于AC. D C A 故选：B 3.已知向量a=x,3,ylb=0,1,m,若a‖b,则() A.X=1 B.ym=3 C.y=3m D.m=3y 【答案】C 【解析】因为a=x,3,y小b=0,1,m,且a‖b 根据向量平行的充要条件，存在实数入，使得a=入b, X=λ·0 x=0 所以3=λ·1 ,解得入=3 y=A.m y=3m 4.如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，M,N 分别为BC,AD的中点，则MN|=() D A.2V2 B.2 12119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2 D.1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得MN=弓AD-号AB-A亡，结合空间向量数量积的运算律 计算可得MN. 【解析1由题意得，AB=AC=AD=2,(AB,AC=90°，(AB,AD=60, AC,AD=60, 花=0，A范-AD-2×2×号2，AcD=2×2*号2 :MN=AN-A应=号AD-AB+AC-号AD-号AB-3AC, :MN=}AD-2AB-号ac 程AD+AB+号AC-2AD2AB-2号AD2AC+2AB号AC =V1+1+1-1-1+0=1. 故选：D 5.已知向量à=-2，-4,1与6=2，m,-1的夹角为钝角，则m的值可以是() A.-4 B.-2 c.2 D.4 【答案】c 【解析】由向量ā=-2，-4,1与b=2,m,-1的夹角为钝角， 则a:i<0,且a与b不反向， [-4-4m-1<0 即m≠4 解得m>- 4?且m≠4， 所以结合各选项，m的值可以是2 6.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，AB=a,AD=i,AA1=c,点M为线段AC1的中 点，则A1M=(用含有a,b,c的式子表示). 13119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 【答案1号a+号i-d 2 【分析】先求出向量AC1的表达式，再利用中点性质得到AM,最后通过向量减法求出A1M 【解析】AC1=AB+AD+AA1=a+b+c,因为M是AC1的中点， 所以AM=号AC,=ā+6+)，但AM=AA+A应，而AA=-元， 所似A及=-+2a+6+ea+号6- 2 故案为+- 2 7.在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=3,PB=4,PC=5,G为△ABC的 重心，则PG=() A.5 B.53 c D. V2 3 【答案】D 【分析】用基底PA,PB,PC表示PG,由PG=PG2求解 【解析】取BC中点D,则G为AD上靠近D的三等分点， 则PG=A+AG=A+号AD=A+号PD--号A+号xPB+PC 3 号A+号PB+号Pc, 3 所以PG-号PA+Pm+PC2+2Pm,PB+2HPC+2Pn-PC 号m2+PB2+rce+4+5- me-语-9 14119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O 8.在三棱柱ABC-A1B,C1中，M,N分别为CC1,AB的中点，则下列向量中与MN相等的向量是( ) A.丽-A花-号A ®.号恋+ac+号Ai c.AB+号AC+号AA D.-A店+号AC+号AA, 【答案】A 【解折1iN=MC+CB+BN=-号AA,+AHB-AC-号AB号AB-AC-专AA E B=-=-- D 题型五：综合应用 1.如图，在三棱柱ABC-A,B,C1中，设AA1=a,AB=b,AC=亡，M是BC1的中点，则AM可表 示为() C A M B AA++ B.AM=a+b+-c 15119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.AM-a+b+ 2 D.AM=ā+6+2 2 【答案】A 【解析】M是BC1的中点，则 Ai=AB+BM=AB+号BC=AB+号AC,-AD=号AB+AA+AC =2+6+2 2.在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心.若AG与平面BCE交于点F,则 AF=() AG 1 A.2 B.3 c.4 【答案】c 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果。 【解析】如图：连接DG交BC于H,则H为BC中点，连接AH,EH,AG, 因为AGC平面AHD,EHC平面AHD,设AGnEH=K,则K∈EH,K∈AG, 又EHC平面BCE,所以K∈平面BCE,故K为AG与平面BCE的交点， 又因为AG与平面BCE交于点F,所以F与K重合， 又E为AD的中点，G为平面BCD的重心， 因为点4人G三点共线，则A亦=mAG=mAD+DG=mAD+号D月 man+居x+心-m不市+×店-市+-AD 2 3m(AD+AB+AC) 又因为点B,R,H三点共线，则AF=xAi+yAE,x+y=1, AF=xAi+yA它=AB+AC+光AD, 16119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m_x 32 所以x+y=1 AF到_3 即不下=衣，8是 解得m=3 m y 32 故选：C D 3.如图，三面角Q-1B的大小为号，点A,B分别在半平面a,B内，AC上1千点C,BD11于点D, 若AC=5,BD=6,CD=5V2,则AB=() B A./141 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解 【解析】依题意，AB=AC+CD+DB=-CA+CD+DB:而 CA1cD,DB1CD,<CA,DB号 所以AB=(-CA+CD+DB=S+(52+62-2×5×6×=9. 4.平行六面体ABCD-A1BC1D中，所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=60°，∠BAD=90°.则 AC1的长为() A.3V2 B.2V5 c.2V6 D.5 【答案】B 17119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先将AC1用AB,AD,AA1表示，然后再结合数量积的运算律即可得解 【解析】AC=AB+BC+CC1=AB+AD+AA, 故AC=AB+AD+AA =AB2+AD+AA,+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA =V4+4+4+0+4+4=2只V5, 即AC1的长为2V5 B 故选：B 5.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都 是60°，则对角线AC1的长为· 【答案】3V6 【分析】利用空间向量基本定理，将对角线向量AC,表示为从顶点A出发的三条棱向量的和，通过计算 向量模的平方求解长度， 【解析】设AB=a:AD=b,AA1=c, 由愿意可知a=6c=3,且(a,b)=(b,c)=(a,c)=60 根据向量加法运算可得：AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+C, 则 AG-la+B+cF-+b+c+2a-B+2b-c+2a-c 18119 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3+32+32+2×3×3×c0s60°+2×3×3×c0s60°+2×3×3×c0s60° =9+9+9+9+9+9=54, 所以AC1=V54=36,即对角线AC1的长为3V/6. 19119