专题01 空间角的6种向量求法（专项训练）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

专题01 空间角的6种向量求法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、异面直线夹角的向量求法 1 题型二、已知线线角求其他量 4 题型三、线面角的向量求法 5 题型四、已知线面角求其他量 8 题型五、面面角的向量求法 11 题型六、已知面面角求其他量 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、异面直线夹角的向量求法 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 4．（25-26高二上·上海杨浦·月考）在空间四边形中，； (1)若分别是的中点，求证：四点共面； (2)若分别是的中点，求：异面直线所成角的大小. 5．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 6．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 7．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点． (1)求直线和所成角的大小； (2)确定点的位置，使平面平面，并证明． 题型二、已知线线角求其他量 8．（24-25高二下·上海闵行·月考）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 10．（25-26高二上·上海·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ． 11．（22-23高三下·上海普陀·月考）已知正方体的棱长为1. (1)的平面截正方体为两个部分，求体积大的部分几何体的体积； (2)动点，在线段，上，且，为的中点，异面直线与所成的角为，求实数的值. 12．（22-23高二上·上海嘉定·月考）为正方体，动点P在对角线上，记． (1)求证：； (2)若异面直线AP与所成角为，求的值． 题型三、线面角的向量求法 13．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成的角的大小为 14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 15．（23-24高二下·上海宝山·月考）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 16．（24-25高二下·上海奉贤·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 18．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为，点分别在边上，且，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 题型四、已知线面角求其他量 20．（24-25高三上·上海·月考）如图，在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角为，为中点，    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求的值. 21．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足． (1)求证：平面PBC； (2)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是？若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由． 22．（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 23．（23-24高三下·上海·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 24．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 25．（24-25高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. (1)求直线到平面的距离； (2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 题型五、面面角的向量求法 26．（25-26高三上·上海·期末）如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 27．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点.已知，且为等边三角形. (1)求证：平面； (2)过点作平面，使得，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 28．（2025·上海长宁·一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 29．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知是正四棱柱，点是侧棱上的一点． (1)证明：直线直线． (2)若是中点，且直线与平面所成角的大小为，求二面角的大小． 30．（25-26高二上·上海·期末）如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 31．（25-26高二上·上海宝山·月考）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 题型六、已知面面角求其他量 32．（25-26高三上·上海·期中）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 33．（24-25高二下·上海·月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 34．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 35．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． (1)求证：平面； (2)试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； (3)记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 36．（24-25高二上·上海·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 一、单选题 1．（25-26高二上·上海普陀·月考）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且,则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D．无法确定 2．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 二、填空题 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 4．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .    5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为 ． 6．（25-26高二上·上海·期末）在空间中有两个定点，点满足，且.平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为 .    三、解答题 7．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦上的点． (1)求圆锥的底面半径和高； (2)若点是弦AB的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 8．（25-26高三上·上海杨浦·期中）《瀑布》（如图1）是荷兰版画家埃舍尔最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”，它由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现的，后称“埃舍尔多面体”（如图2）.“埃舍尔多面体”可以用所在平面两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设正方形（）的边长均为2，定义正方形的顶点为“框架点”，两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为和.将“极点”、分别与正方形的顶点连线，线段的中点和（）（如图3）为“中继点”.“埃舍尔多面体”的可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中继点”构成.为了便于理解，图4中构造了其中两个四棱锥与.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值； (3)求该“埃舍尔多面体”的表面积. 9．（25-26高二上·上海金山·期末）在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)求向量的斜坐标； (2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为. (1)直线l的方程为 . (i) 求椭圆的标准方程. (ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小. (2)折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 11．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中有两个定点、，已知动点在平面中且到、两点的斜率乘积为，点为定点. (1)求动点的轨迹方程. (2)如图，在空间中有一点在平面上方，满足平面，且. （i）探究直线与的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角的大小；若不是定值，说明理由. （ii）在平面上过点作直线.当点到直线距离最大时，求直线与平面夹角的正切值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间角的6种向量求法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、异面直线夹角的向量求法 1 题型二、已知线线角求其他量 7 题型三、线面角的向量求法 12 题型四、已知线面角求其他量 19 题型五、面面角的向量求法 28 题型六、已知面面角求其他量 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、异面直线夹角的向量求法 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）在菱形中，，则， 易知与为等边三角形，则， 在等边中，为的中点，则，， 在中，， 所以，. （2）由，，，， 则，， 所以，，， 设异面直线与的夹角为， . 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． （2）因为，所以． 因为，且， 所以． 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面，平面， 所以，又，且， 平面， 平面， 所以平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则 . 4．（25-26高二上·上海杨浦·月考）在空间四边形中，； (1)若分别是的中点，求证：四点共面； (2)若分别是的中点，求：异面直线所成角的大小. 【详解】（1）由于分别是的中点，故, 故四点共面 （2）, 由于，不妨设棱长为2， 由于， 故 ， ， 故， 因此异面直线所成角的余弦值为，故所成角的大小为 5．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 6．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【详解】（1），； （2）由四面体的各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为， 因此， ， ， ， ， 由于两条异面直线，所成角的范围为， 所以两条异面直线，所成角为. 7．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点． (1)求直线和所成角的大小； (2)确定点的位置，使平面平面，并证明． 【详解】（1）已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角为． （2）为的中点， ， ，令，则，， 当时，，为的中点， 此时，，； ，， ，，平面， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 题型二、已知线线角求其他量 8．（24-25高二下·上海闵行·月考）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、， 设，其中， 则，， 由已知可得，则， 因为，故的取值为、、、， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为， 故选：B． 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， ， 故， 解得， 故. 故答案为： 10．（25-26高二上·上海·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ． 【答案】 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于的方程，至少有一个解， 即，整理得，解得， 因为，所以，所以棱长的最大值为. 故答案为： 11．（22-23高三下·上海普陀·月考）已知正方体的棱长为1. (1)的平面截正方体为两个部分，求体积大的部分几何体的体积； (2)动点，在线段，上，且，为的中点，异面直线与所成的角为，求实数的值. 【详解】（1）因为正方体的棱长为1， 所以正方体的体积为，， 所以的平面截正方体为两个部分，体积大的部分几何体的体积为 ； （2）如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立如图坐标系， 则， 所以，， 所以，即， 解得． 12．（22-23高二上·上海嘉定·月考）为正方体，动点P在对角线上，记． (1)求证：； (2)若异面直线AP与所成角为，求的值． 【详解】（1） 证明：如图，连接，. 由已知可得，平面，平面，所以， 又是正方形，所以， 又平面，平面，， 所以平面， 又动点P在对角线上，所以平面，所以平面， 所以. （2） 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，如图建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， 则，. 由已知，可得，设点，则， 所以，所以，即，所以， . 又异面直线AP与所成角为，所以， 即， 整理可得，因为，所以，即点位于点处时，满足条件. 题型三、线面角的向量求法 13．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成的角的大小为 【答案】 【详解】， 直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 【答案】 【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 15．（23-24高二下·上海宝山·月考）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2），, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 16．（24-25高二下·上海奉贤·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）    取的中点，连接，因是的中点，则且， 在直角梯形中，，，，则且. 故且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 17．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）底面是等腰直角三角形，且， ， 在直三棱柱中，平面， 又 平面， ， ，平面， 平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，、，， 则，取， 设直线与平面所成角为 ， 则， 所以直线与平面所成角为的大小为 . 18．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为，点分别在边上，且，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）由正四棱柱的底面边长为，且， 所以，所以，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图：    所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，四边形为矩形， 所以， 又分别是的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为点为的中点，，所以， 在矩形中，由分别是的中点， 所以， 在直三棱柱中， 由平面，则平面， 且平面，， 又，所以平面， 即平面，连接，如图所示：    所以为三棱锥的高， 因为，点为的中点，， 所以，所以， 所以， 又， 所以三棱锥的体积为：， 根据等体积法得：. （3）由（2）知平面，， 所以两两互相垂直， 因此以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型四、已知线面角求其他量 20．（24-25高三上·上海·月考）如图，在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角为，为中点，    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求的值. 【详解】（1）因为，， 所以，因为平面，与平面所成角为， 所以为与平面所成角，即， 则，又平面， 所以， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系，    则由题， 所以，， 所以， 所以，即. （2）设平面的法向量为， 则，所以，所以由（1）得， 取，则，又直线与平面所成角为， 所以 ，解得. 21．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足． (1)求证：平面PBC； (2)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是？若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面， 则，，由，，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 设，则，而，于是， 又是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，又， ，因此，又平面， 所以平面. （2）存在． 设点的坐标为，，则，， 由，得，解得，即， 显然，设，， 又，于是， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，设与平面所成角为， 则， 整理得，而，解得， 所以存在满足条件的点，，此时． 22．（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又， 因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）因为四边形为直角梯形，，， 所以，过作，垂足为， 由，得，所以，， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，设直线与平面所成角为， 则，解得，即. 23．（23-24高三下·上海·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 【详解】（1）如图所示，连接BD， ∵E，F分别为PB、PD的中点， ∴在中，EF为其中位线，即BD， 又BD面AFE，EF面AFE， ∴直线面AEF； （2）分别以 为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得 设直线与平面所成的角为， 则，解得： 所以，即M位于PA中点. 24．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【详解】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2） 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 25．（24-25高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. (1)求直线到平面的距离； (2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 【详解】（1） 取的中点，连接， 又E为的中点，∴， 而平面，平面，∴平面， ∵G为中点，F为的中点，，∴， 而平面，平面，∴平面， 又∵平面， ∴平面平面，而平面， ∴平面， ∴直线到平面的距离等于点到平面的距离． ∵面，面，∴， 又，，面， ∴面，即面， ∴为点到平面的距离，而， ∴直线到平面的距离为． （2） 设 ()，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， ∴， ∴， ∴， 设平面的法向量， 则有，令，得，则， 由题意， 整理得，解得或(舍去)， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值是． （3）由（2）知，平面的一个法向量， 点，中点，则， 则中点到平面的距离为， 由，即， 故H在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故H在平面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的H，此时点H的轨迹是半径为的圆． 题型五、面面角的向量求法 26．（25-26高三上·上海·期末）如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 【详解】（1）因为，与无公共点，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取. 则， 由图知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.      27．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点.已知，且为等边三角形. (1)求证：平面； (2)过点作平面，使得，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形， 所以，又因为，， 所以，所以， 因为该菱形对角线与相交于点， 所以点是对角线与的中点，又因为是等边三角形， 所以， 因此平面， 所以平面； （2）因为菱形对角线与相交于点， 所以， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则易有， 所以 ， 由知为平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量， 则由可有， 令，可有， 所以， 所以，所求余弦值为. 28．（2025·上海长宁·一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 【详解】（1）因为，， 所以，因此， 因为平面ABCD，直线与平面所成的角的大小为， 所以， 四棱锥的体积为； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， ， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设 ， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取 因为直线平面， 所以，即， ， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 29．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知是正四棱柱，点是侧棱上的一点． (1)证明：直线直线． (2)若是中点，且直线与平面所成角的大小为，求二面角的大小． 【详解】（1）如图，连接，由题可得四边形为正方形， 则，又由题可得平面，因平面， 则.又因平面，， 则平面，结合平面，可得； （2）如图建立空间直角坐标系，设. 则， . 易得平面法向量为，由题可得与平面夹角满足： . 则， 设平面法向量为，则， 取，则，，从而. 又平面法向量为，由图可得二面角的平面角为锐角， 则，因，则. 30．（25-26高二上·上海·期末）如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：在三棱柱中，分别延长，，交于点，连接，如图所示，则即为平面与平面的交线. 因为为棱的中点，，所以是的中点， 又在正中，，所以，所以. 取中点，连接， 因为侧面是菱形，且，所以为正三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面，即平面. （2）取的中点，则易知，由（1）知平面，所以，，两两垂直， 分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，因为侧面为菱形，且， 所以，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 31．（25-26高二上·上海宝山·月考）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 【详解】（1）因为，所以工作台的表面积 （2）如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 平面， ，， 点在圆弧（包括端点）上移动， 则，， ， ， 即，当且仅当时等号成立， ， 点与的最短距离为. （3）若，由（2）知， 设，，则,,， 所以， 又，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 取平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， ，，， 则，由，则， 平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围为. 题型六、已知面面角求其他量 32．（25-26高三上·上海·期中）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 【详解】（1）为棱中点，为正三角形， . 又三棱柱是直三棱柱， 面，又面， ， 而，，平面， 面， 面， ∴面面； （2）方法一：由（1）得面，，面， ，， 是二面角的平面角，由图易知为锐角， 设，在中，，， 由余弦定理得， 则，所以； 方法二：以为原点，建立直角坐标系如图： 则，，，，， ，，， 设平面、平面的法向量分别为，， ，可以是， ，可以是， 二面角的余弦值为， ，解得或， 由于二面角为锐角，所以，故. 33．（24-25高二下·上海·月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 34．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得 ， ，， 由得， 所以，，由四棱锥是正四棱锥， 可得平面，平面，所以， 由，平面， 所以平面， 因为平面，即平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ， 由，得， 所以直线与平面所成角为； ②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，得 ， ， 由得， 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得，令得， 所以，因为平面， 所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成锐二面角的大小为，得， 由， 解得，即. 35．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． (1)求证：平面； (2)试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； (3)记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又，，， 所以， 所以，所以， 连接，所以，又使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为， 所以， 设三棱锥的高为，则，解得， 所以到平面的距离为，又点是棱上的动点，所以为棱的中点， 即当为棱的中点时截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； （3）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的一个法向量为， 显然二面角为锐二面角，所以， 设，则， 又， 设平面的法向量为，则，取， 又二面角为锐二面角，所以， 又，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以当，即为靠近点的三等分点时，满足. 36．（24-25高二上·上海·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）取的中点为，连接，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由两两垂直，则以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 取， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. （3）设，则，设，， 可得，解得，所以， 则，， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 由图易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 化简可得，解得或（舍去）， 所以存在，点的坐标为，点为线段靠近的三等分点. 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 【详解】（1）由条件可知，，，， 所以，所以， 又因为是直角三角形，所以， 取的中点，连结，则， 所以，，且， 所以，则，且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面； （2）以点为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，，令，则， 即平面的法向量为， 平面的法向量为， 因为二面角的正切值为，所以二面角的夹角的余弦值为， 则，，解得：， 所以； （3）如图，以为轴，将和展开，与在同一平面，点分成和，当四点共线时，为的周长的最小值， 设，，，则， 所以， ， ， 所以， 所以周长的最小值为. 一、单选题 1．（25-26高二上·上海普陀·月考）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且,则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【详解】四棱柱的底面为平行四边形， 因为，且 由，， ， 又由， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】A 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，      则，由为线段上除端点外的点， 设，则点， 对于①，， 由 ，得，则， 因此对任意的，总存在点，使得，①正确； 对于②，， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由，得，即平面与平面不垂直， 因此对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角，②正确. 故选：A 二、填空题 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .    【答案】 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 设分别为旋转过程中的点，连接，， 过作，垂足为，过作，垂足为， 如下图： 则，，即， 设，，旋转角， 易知，即，则， 化简可得，即，同理可得， 可得，， 即， 在正方体中，易知平面， 则在旋转过程中，平面的一个法向量， 所以， 令，则， 可得，所以. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期末）在空间中有两个定点，点满足，且.平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为 .    【答案】 【详解】取的中点，连接，易有平面， 故， , , 设， 由题意，则， ， 则， 则， 设与所成的角为， 则有， 故答案为：.    三、解答题 7．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦上的点． (1)求圆锥的底面半径和高； (2)若点是弦AB的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【详解】（1）由轴截面的面积为6得，即， 由圆锥体积为得，即， 联立，解得，， 所以圆锥的底面半径和高． （2）由题意知平面，平面，平面， 所以，，又， 所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 所以，，，， 因为点是的中点，点是的中点，所以，； 所以，， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角为． （3）存在点，使得平面与平面垂直． 由（2）可知，， 设平面的法向量， 所以，即，取，则，，， 因为点是底面圆的弦的上的点，当点与A重合时，平面与平面不垂直，所以设，， 则，所以点， 所以，又， 设平面的法向量， 所以，即， 取，则，，， 若平面与平面垂直，则，即，解得； 所以，又， 所以， 故存在点，使得平面与平面垂直，的长为． 8．（25-26高三上·上海杨浦·期中）《瀑布》（如图1）是荷兰版画家埃舍尔最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”，它由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现的，后称“埃舍尔多面体”（如图2）.“埃舍尔多面体”可以用所在平面两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设正方形（）的边长均为2，定义正方形的顶点为“框架点”，两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为和.将“极点”、分别与正方形的顶点连线，线段的中点和（）（如图3）为“中继点”.“埃舍尔多面体”的可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中继点”构成.为了便于理解，图4中构造了其中两个四棱锥与.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值； (3)求该“埃舍尔多面体”的表面积. 【详解】（1）解：以为原点，以，，为轴，轴和轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， 由于正方形边长为2，所以，， 设与所成角为，则. （2）因为，，，，， 由于，，，共面，且和， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得平面的一个法向量为， 由于，，，共面，且和， 同理可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， 则，所以. （3）解：每个小三角形的三条边长为1，，，面积为， 所以12个四棱锥，每个四棱锥有4个面， 所以共个小三角形，表面积之和为. 9．（25-26高二上·上海金山·期末）在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)求向量的斜坐标； (2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，所以． （2） ． 所以公式不成立． 因为，， 所以，代入上述公式得：． （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 10．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为. (1)直线l的方程为 . (i) 求椭圆的标准方程. (ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小. (2)折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 【详解】（1）（i）由椭圆定义可知，， 则的周长为， 解得， 即椭圆方程为； （ii）设，，，， 联立直线与椭圆， 得， 解得，， 即，， 如图所示，过点作轴于点，则， 折叠后， 过作平面，连接， 则轴，且直线在平面上的投影为， 且， 则， 分别设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，，， 且，，， 即，， 又，，， 则， 则， 由直线与平面夹角的平面角为， 则， 所以直线与平面夹角为； （2）设，， 则，，， 联立直线与椭圆， 得，， 则恒成立， 且，， 又， 则， 即， 即，不为定值， 所以不存在定值，对于任意，始终成立. 11．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中有两个定点、，已知动点在平面中且到、两点的斜率乘积为，点为定点. (1)求动点的轨迹方程. (2)如图，在空间中有一点在平面上方，满足平面，且. （i）探究直线与的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角的大小；若不是定值，说明理由. （ii）在平面上过点作直线.当点到直线距离最大时，求直线与平面夹角的正切值. 【详解】（1）设动点的坐标为，已知，，由题可得：； 即，整理得：； 故动点的轨迹方程为：. （2）如图，过点做与向量方向做轴，与向量方向做轴，过垂直于轴的直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为面，设，； 因为，所以，解得：. 设，则，； 设向量与的夹角为，则； 由，得，代入得：. 即直线与的夹角为定值，. 当时，点到直线的距离最大； 已知，，则； 设直线的方向向量为，因为，所以，所以设； 设平面的法向量为； 设直线与平面夹角为，则； ，所以. 即直线与平面夹角的正切值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $