1.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量知识，通过基础概念辨析、中档运算应用、提升综合探究的三层设计，构建从单一到综合的巩固路径，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|共面/基底概念|单选多选辨析（如共面判定）| |中档|向量运算与表示|填空计算（如共线参数求解）| |提升|综合应用与动态问题|解答证明与最值（如动态长度探究）|

1．如果存在三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则a，b，c(　　) A．两两相互垂直 B．可以作为空间向量的一组基底 C．共面 D．有两个向量互相平行 解析：选C.不妨设x≠0，因为xa＋yb＋zc＝0，则a＝－b－c，故向量a，b，c共面，即C正确；对于A，D，由条件不能判定三个向量之间的关系，故A，D错误；对于B，由基底的定义知，共面向量不能作为空间向量的一组基底，故B错误． 2．若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列也可作为空间向量的一组基底的是(　　) A．{a，2b，3c} B．{2a，a＋b，a－b} C．{a－c，a－b，b－c} D．{a＋c，a＋b，b－c} 解析：选A.对于A，因为{a，b，c}是空间向量的一组基底，所以向量a，b，c不共面， 因此a，2b，3c也不共面，因此{a，2b，3c}可以作为空间向量的一组基底，即A正确； 对于B，易知2a＝(a＋b)＋(a－b)，因此向量2a，a＋b，a－b共面，不能作为空间向量的一组基底，即B错误； 对于C，显然a－c＝(a－b)＋(b－c)，因此a－c，a－b，b－c共面，不能作为空间向量的一组基底，即C错误； 对于D，显然a＋c＝(a＋b)－(b－c)，因此a＋c，a＋b，b－c共面，不能作为空间向量的一组基底，即D错误． 3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A.因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线．故选A. 4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC1＝2x－3y＋4z，则x＋y＋z＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，不共面，根据空间向量基本定理，＝＋＋，又＝2x－3y＋4z，所以得 所以x＋y＋z＝.故选A. 5．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，AA1＝5，AB＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则BD1的长为(　　) A． B．7 C．6 D． 解析：选D.由题意知＝－＝＋－，且〈，〉＝〈，〉＝60°，〈，〉＝90°， 所以2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2· ＝52＋22＋22＋2×5×2×－2×5×2×＝33， 所以||＝，即BD1的长为.故选D. 6．(多选)下列命题中是假命题的是(　　) A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C．若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面 D．若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y 解析：选BD.对于A，若a，b不共线，则由平面向量基本定理得p与a，b共面，若a，b共线，则易知p与a，b共面，A是真命题；对于B，当a，b共线，p，a不共线时，p不能用a，b表示出来，B是假命题；对于C，若＝x＋y，则，，三个向量共面，又点M为，，三个向量的公共起点，所以P，M，A，B四点共面，C是真命题； 对于D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题． 7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为__________________________． 解析：因为＝－2， 所以－＝－2(－)， 所以b－a＝－2(－c)， 所以＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 8．若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________． 解析：由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]＝λe1＋2λ(k＋1)e2， 即解得 答案：－ 9．如图， 在多面体EFABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD，CF⊥底面ABCD，且AE＝CF，M是正方形ABCD的中心，若·＝，则AE＝__________． 解析： 因为底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD，AB，AD⊂底面ABCD， 所以·＝0，·＝0，·＝0，设AE＝a，以{，，}为基底， 因为＝＋＝(－)＋＝－－＋， ＝＋＝＋， 所以·＝(－－＋)·(＋) ＝－·－·－2－·＋·＋2 ＝－2＋2＝－＋a2＝，解得a＝2，故AE＝2. 答案：2 10．(13分)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)求证：A，E，C1，F四点共面；(6分) (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．(7分) 解：(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋， 所以，，共面且有公共点A， 所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋) ＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝. 11．(2026·东营期中)已知点M是正四面体PABC底面ABC内一点，满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，当||最小时，3x＋2y＋z的值为(　　) A．2 B． C．2 D．1 解析：选C.当||最小时，此时PM⊥平面ABC，故M为等边三角形ABC的中心， 记BC的中点为D，连接AD，PD(图略)，则＝，＝(＋)， 故＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋) ＝＋＋， 故x＝y＝z＝，因此3x＋2y＋z＝2. 12．(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列说法正确的是(　　) A.＝a－b＋c B．＝a＋b＋c C.的长为 D．cos 〈，〉＝ 解析：选BD.根据题意，对于A，＝＋＝＋(＋)＝b－a＋c，A错误； 对于B，＝＋＋CC1＝a＋b＋c，B正确；对于C，＝a＋b＋c，则||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6，则||＝，C错误； 对于D，·＝a·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c＝2，则cos 〈，〉＝＝，D正确．故选BD. 13．(2026·潍坊期中)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是__________． 解析：由题可设＝tBD1(0≤t≤1)，则＝＋＝＋tBD1＝＋t(＋＋DD1)＝(1－t)＋t＋tAA1． 所以·＝[(1－t)＋t＋tAA1]·＝(1－t)2＝1－t. 因为0≤t≤1，所以0≤1－t≤1. 所以·的取值范围是[0，1]. 答案：[0，1] 14．(13分)如图， 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点． (1)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值；(6分) (2)求·．(7分) 解：(1)连接AE(图略)，由向量的线性运算法则可得＝－＝－(＋) ＝－＋(－)＝＋ ＝－， 又因为＝x＋y＋z， 则x＝－，y＝0，z＝， 所以x＋y＋z＝0. (2)由题意可知，||＝2，|B1B|＝3， 又因为＝＋， 所以·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝×(9－8)＝. 15．(15分)如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝，＝λ，＝λ，0<λ<1，记＝a，＝b，＝c. (1)将用a，b，c表示出来；(5分) (2)当λ等于多少时，线段MN的长度取得最小值？求此时MN与AE夹角的余弦值．(10分) 解：(1)由题图知，＝＋＋＝λ－＋λ＝λ(－)－＋λ(＋)＝(λ－1)＋λ＝(λ－1)b＋λc. (2)由题意|a|＝4，|b|＝|c|＝3，a·b＝a·c＝0，c·b＝3×3×cos ＝，由(1)得2＝[(λ－1)b＋λc]2＝(λ－1)2b2＋2λ(λ－1)b·c＋λ2c2 ＝9(λ－1)2＋9λ(λ－1)＋9λ2＝9(3λ2－3λ＋1)， 所以当λ＝－＝时，2有最小值，即||有最小值，线段MN的长度取得最小值． 此时＝－b＋c，＝a＋c，2＝9(3λ2－3λ＋1)＝9[3×()2－3×＋1]＝， 故||＝＝，||＝＝＝＝5， 则·＝(－b＋c)·(a＋c)＝－a·b－c·b＋c·a＋c2＝－×＋×9＝，设MN与AE的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $