专题02 圆锥曲线定点、定值、定直线问题（8大题型）（专项训练）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线定点、定值、定直线问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆中的定点 1 题型二、椭圆中的定值 12 题型三、椭圆中的定直线 23 题型四、双曲线中的定点 30 题型五、双曲线中的定值 38 题型六、双曲线中的定直线 46 题型七、抛物线中的定点 51 题型八、抛物线中的定值 58 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆中的定点 1．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，直线与椭圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 【详解】（1）设， 由，得，即，化简得； 所以， 所以； （2）显然过点向椭圆引的切线的斜率均存在，设，， 由，得， 所以，化简得； ，， 所以，即，； 所以，即，又点在直线上，所以； 同理，又点在直线上，所以； 所以直线的方程为，即； （3）设， ①当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，与椭圆联立得；    设，则直线的方程为， 代入直线，得； 又，所以为的中点，所以， 所以的斜率， 所以直线为，即； ②当直线经过时，直线的斜率为，直线的方程为；    由，得，即， 所以或，所以或； 如图，取，所以，所以； 又为的中点，所以，所以； 所以的斜率，所以直线为，即； ③当直线的斜率存在，设直线的方程为，即，    由，得， ，解得或； ，， ， 由，得，， 又，所以，所以； 又为的中点，所以，所以； 所以的斜率， 所以直线为； 由①②知，当直线的斜率不存在时其方程为； 当直线的斜率为时其方程为； 由，得交点坐标为，所以若直线过定点则定点为； 现只要证明点满足即可， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证，上式显然成立， 综上，直线过定点. 2．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． (1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； (2)若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线的斜率分别为，且 求面积的取值范围． 【详解】（1）椭圆方程为， ， ，则， 焦点坐标为， 椭圆的长半轴为， 椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离． （2） 直线l与椭圆交于两点且不过原点，设直线的方程为， 联立椭圆方程得， 设点， ， ，， ， 即，整理得， 即， 若，则直线方程为，过点，与与不重合矛盾，舍去； 若，则直线方程为，过定点． （3） 直线l与椭圆交于两点且不过原点，设直线的方程为， 联立椭圆方程得， ， 设点， ， ，是上的点， ，， ， ， ， ， ， ，化简得，解得， ， ， ， ， ， 直线不过原点， ， ， 令，则， 当，即时在坐标轴上，不合题设， 当时，，当或2时，， 面积的取值范围是． 3．（24-25高二上·上海·月考）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点(不过点). (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积. (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点. 【详解】（1）在椭圆中，左、右顶点分别为， 设点，则 . （2）设，由已知可得，， 由得，化简得， 代入可得， 联立解得， 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 4．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点. (1)若的周长是，求椭圆的方程. (2)在（1）的条件下，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标. (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设，可得， 又，可得，故； （2）设，，，过点的直线， 联立，可得， 所以，， 由题意得，即， 所以， 整理得， 由为任意实数得，可得，，即， 当直线的斜率不存在时，为椭圆的短轴，满足条件， 综上，； （3）由题设，易知点、分别为、的重心， 设，设点 , ， 根据重心性质及面积公式得， ， 而，则， ，故. 设直线，联立椭圆方程得， 消元得，则， 所以，，令， 由在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 所以，得对任意恒成立， 所以，，故. 5．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. （2）设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. （3）由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. (3)若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 【详解】（1）由条件可知，，，得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，， ， ，，， 当时，即，此时在区间单调递减，所以的最大值为当时，此时， 当时，即，此时在区间的最大值为当， 综上可知，时，的最大值为，时，的最大值为当； （3）设，（且），，， 将与联立，得， 则，， 因为，， 所以，所以为定值， 因为 ， 当时，，为定值， ， 所以，. 题型二、椭圆中的定值 7．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)若，求； (2)若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 【详解】（1）当时，椭圆， 因为，所以直线为，即， 代入椭圆方程，得，即， 当时，所以, 因为与关于轴对称，所以，所以. （2）若，则椭圆，焦点为,则， 因为是等腰三角形. 当时，点在椭圆的短轴上顶点，故； 当时，设，则 ① 因为在椭圆上，所以  ② 由①、②得到，解得，（舍去） ，所以. 所以； 当时，根据椭圆的对称性得到； 综上得，点的坐标为，， （3）证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程 得到 设由韦达定理 ，所以，代入，得到，所以 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即 点到直线的距离为 ， 所以的面积为 因为点在椭圆上，所以 ，所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 8．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    9．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上， 所以，又因为又，故，则， 则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去整理得， 由题意可得，化简得， 则由根与系数关系得， 所以 ， 又因为，所以， 综上所述:. （3）点的纵坐标为定值，证明如下： 由题意得，：， 将两直线方程联立，消去得， 由（2）可得， 从而得， 故点的纵坐标为定值. 10．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 11．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； （2）设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； （3）由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值.    12．（24-25高二下·上海松江·月考）已知直线l：与椭圆Γ：相交于A，B两点，其中点A在第一象限，M是椭圆上的动点， (1)当时，求的大小； (2)若点M，A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程； (3)设直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点时，求证：为定值． 【详解】（1）由椭圆与联立方程组可得：， 即交点A，B两点坐标分别为所以； （2） 设，则，则， 又因为在椭圆上， 所以，利用基本不等式可得 则，当且仅当时，取等号，即， 则，所以； （3） 设， 则,令， 可分别求出交点坐标：， 则，又因为， 代入得：， 故为定值. 13．（24-25高二下·上海虹口·期末）在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． (1)若的离心率为，且，求的方程； (2)若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； (3)设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 【详解】（1）由题意得，所以的方程为. （2） 由题意得关于原点对称，设，， 因为在椭圆上，所以， 所以，即， 所以，即直线的斜率之积是定值. （3）①当直线的斜率不存在时， 设其方程为，则它的一个法向量为． 设的坐标分别为， 所以， 所以 所以. 因为，所以，故直线与椭圆相切． ②若直线的斜率存在，设其方程为，则它的一个法向量为． 设，则， 所以， 所以. 由得， ， 因为， 所以， 所以直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切． 综上，当时，直线与椭圆相切. 题型三、椭圆中的定直线 14．已知椭圆，点为椭圆外一点． （1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【详解】（1）设，， 则， 所以， 因为，所以，所以， 所以； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆无公共点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设，即， 联立，得， 由得， 设、，则，， 设，由，得（考虑线段在轴的射影）， 所以， 于是，整理得， 又，代入上式，得，所以点总在定直线上． 15．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程； (3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 【详解】（1）抛物线的焦点，因为在椭圆上，所以， 又因为离心率，所以，椭圆的方程为； （2）设，，因为，所以， 在点的切线的方程，即， 设，，，由，得， 由，得， 且，，因此，将其代入， 得，所以，所以直线的方程为， 由，解得点的纵坐标为，所以点在定直线上； （3）直线的方程为，令，得，所以， 又，，，所以， ， ，设， 则， 当，即时，取到最大值， 此时，满足，所以点的坐标为． 16．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)求线段长的最小值； (3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上. 【详解】（1）解：双曲线的焦距为， 所以，椭圆的焦点分别为、， 由椭圆定义可得，，， 因此，椭圆的标准方程为. （2）解：设点，则且，易知点、， ， 设直线的方程为，直线的方程为，其中， 设点、，则，可得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故线段长的最小值为. （3）解：易知点，当直线与轴重合时，、为椭圆长轴的顶点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， ，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程可得， 解得， 因此，点在直线上. 17．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点. （1）若是直线l的一个法向量，求直线l的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上. 【详解】（1）直线l的一个法向量为，则直线l的斜率为 又直线l过点，所以直线l的方程为：，即 （2）根据题意直线l的斜率不为0，则其方程为： 设 所以,可得 所以，即 ， ，即 设，则 所以，即，解得 或 即或 经检验，或都满足 所以直线l的方程为：或 即直线l的方程为：或 （3）设 根据题意，Q点在之间，不妨设点在点的左侧. 当直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点轴上方时， 由 则,即 所以，则 同理当A，B两点轴下方时，也有成立. 所以当直线l的斜率不为0时，有， 由（2）有 当直线l的斜率为0时，即A，B两点为椭圆的左右顶点，即 所以满足的点为 综上所述: 满足条件的点Q在直线上.即点Q在一条定直线上. 18．如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点. （1）求椭圆M的方程； （2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上. 【详解】（1）因为圆：，令，则或，所以圆与轴正半轴的交点为； 令，则，即圆与轴的两个交点为， 因为椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点，所以， 即椭圆的方程为：； （2）由（1）可设， 则点到圆的圆心的距离为： ， 当且仅当时，等号成立； 又点为圆上的动点，由圆的性质可得： （其中为圆的半径）； （3）设，，直线的方程为， 由消去得， 整理得：， 所以，所以， 所以中点的坐标为：； 因为直线交圆于点，，且， 因此也是的中点； 根据圆的性质可得：， 所以，即，整理得， 所以，因此点在定直线上. 题型四、双曲线中的定点 19．（23-24高二下·上海·月考）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点. (1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离； (2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由; 【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，， 则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为， 当直线平行于的斜率大于的渐近线时，则直线的方程为，即， 又渐近线为， 所以直线与的距离. （2）不存在，理由如下： 当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此， 又，所以， 设的右支上的点，则， 由得， 又，联立消去得， 因为，但是，，所以此方程无正根， 因此，在的右支上不存在点，满足. 20．（24-25高二下·上海松江·月考）已知双曲线，设其左、右顶点分别为，中心为. (1)求双曲线的焦点； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点满足直线与在轴上的截距之比为，判断直线是否过定点，并说明理由. 【详解】（1）由双曲线，易知，则， 所以双曲线的焦点为. （2）由题意设直线l的方程为，且， 联立直线l和双曲线方程得，消并整理得， 所以，且， 则， 因为，则，即， ，则， ，解得， 弦长 . （3）由题意得，则设直线的方程为，则直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程得，整理得， ，则， 联立直线与双曲线的方程得，整理得， ，则， . 若直线过定点，由对称性得定点在x轴上，设定点为， 则，即，化简得， ，解得， 直线MN过定点. 【点睛】 21．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的方程； (2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； (3)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 所以双曲线C的方程为. （2） 由（1）可得，，所以直线方程为， 设， 联立，消去并整理可得， ， ， 所以. （3） 当直线的斜率存在时，设其方程为，且设， 联立可得，消去并整理可得， ， ， 又，所以， 所以，整理可得， 又代入到上式可得， 整理可得， 代入韦达定理可得， 化简并整理可得，即， 解得或， 当时，直线的方程为，此时过点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为，此时过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 由解得， 所以， ，解得， 此时定点在直线上， 综上，直线恒过定点. 22．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； (3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点（异于），点（常数）是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值． 【详解】（1）由题意可得，，，则， 又，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，，点为中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即.经检验，满足题意 （3）由动直线恒过点，可得，即直线， 设，，联立直线与双曲线， ，消去整理得， 因为直线与双曲线Γ的交于M、N两点， 所以，， 则，， 由，得，即， 即，整理得， 即，当时，上式成立，当时，得， 所以当时，恒有成立. 23．（22-23高二下·上海宝山·月考）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围； (3)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由. 【详解】（1）设双曲线的方程为，则，再由得， 故的方程为. （2）将代入得 由直线与双曲线交于不同的两点得： ，且① ，，则， ， 又，得，， 即，解得：②，故的取值范围为. （3）当时，点坐标为，即， 此时，点到的距离，显然不合题意； 当时，线段的中垂线方程为， 令，得，由①知，且， 由（2）知： 点到的距离，且， 即，，满足范围， 故. 24．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线，设其左､右顶点分别为A，B，中心为O. (1)求双曲线的焦距和虚轴长； (2)斜率为的直线交双曲线于C，D两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点M，N满足直线AM与BN在y轴上的截距之比为1∶3，判断直线MN是否过定点，并说明理由. 【详解】（1） ， 故， 所以焦距为，虚轴长为. （2）设直线， 则，消元得， 成立， 由韦达定理可得，由于，故， 即，化简可得， 所以，解得， 由弦长公式可得. （3）设，故由截距之比可设， 由，消元得， 所以，故， 由，消元得， 所以，故 故，， 若直线MN过定点，根据对称性在x轴设定点为， 则，化简可得， 故，解得， 即直线MN过定点. 题型五、双曲线中的定值 25．（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）由题可知直线l的斜率存在，    设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 26．（24-25高二下·上海金山·月考）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，∴. （2）证明：由题意知，， 设直线的方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. （3）由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为.    27．（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【详解】（1）依题意，将，代入中， 解得，则； （2）    依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3）    如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 28．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 29．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由双曲线C：的图像经过点得：，解得：， 所以双曲线C的标准方程为：； （2） 由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 题型六、双曲线中的定直线 30．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 31．（24-25高二下·上海·月考）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题意：. 所以双曲线的方程为：. （2）因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由或. 所以或. （3）如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则， 则. 故点在定直线上. 32．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    题型七、抛物线中的定点 33．（23-24高二上·江苏南京·期末）设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证： (1)直线 经过点 ; (2)的外接圆过定点. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为， 设，点，则， 得直线的方程为，且，化简得①. 同理可得，切线的方程为②. 又因为切线过点，所以有；同理可得. 所以直线的方程为，故直线经过点. （2）设点，由（1）可知曲线在点处的切线方程为. 联立方程组，得且，，解得， 即，同理解得， 由（1），设过点P的切线方程为， ，消去y，得，，得， 记关于的一元二次方程的两根为，其中分别为切线PA、PB的斜率， 则，所以，故线段即为的外接圆的直径. 设直线AB方程为，由，消去可得， 则， 因为， 所以 将代入上式，可得， 所以的外接圆过定点. 34．（25-26高二上·上海·期中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. （3）证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 35．（25-26高三上·上海·月考）已知点（其中），、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为d． (1)若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标； (2)若，、、都在抛物线上，点的横坐标为3，求证：线段的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标； (3)若、、都在椭圆上，且，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，，所以. 又因为点在直线上，可设. 如图：    所以， 所以或. 当时，，此时；当时，，此时. 所以点坐标为或. （2）如图：    因为抛物线的焦点为，且点的横坐标为3，所以. 因为，在抛物线上，可设，. 所以，. 因为、、成等差数列，所以， 所以. 设轴上点，满足， 则. 当时， ； 当时，也可以成立. 所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点. （3）设为椭圆上一点，则问题可转化为的最大值与最小值的差不小于6.    因为， 所以. 设，. 当即时，函数在上单调递减， 所以，所以； ，所以. 若，由恒成立，故满足题意； 若，由. 当即时，函数在上递减，在上递增， 且，，因为，所以，所以； ，所以. 由， 所以，且. 因为，所以不等式在上无解. 综上可知：. 即实数的取值范围为. 36．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 37．（25-26高二上·上海·期末）如图，设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线，直线与轴交于点，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点.    (1)用表示点到点的距离； (2)设，若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (3)设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在曲线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）依题意可得：曲线的焦点为，准线为， 且，由抛物线的定义可知； （2）此时设，其中，则， ∴. 由得. 再结合，解得（负值已舍去），所以； （3）设，其中①，则. 在矩形中，，故， 所以直线的解析式为，令，可得，即. 由对角线互相平分可得，此时， 即点坐标为. 当点在曲线上时，代入曲线的解析式得， 即②. 联立① ②两式消去得，解得或（舍去）， 所以（负值已舍去），故存在点满足题意. 38．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 题型八、抛物线中的定值 39．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 40．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 【详解】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：， 由， 故点坐标为：或. （2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，， 则， 由抛物线的定义得：，， 所以：， 即为定值1. 41．（22-23高二上·上海青浦·期末）已知抛物线过点，过点的直线与抛物线交于 两个不同的点（均与点A不重合）. (1)求抛物线的方程及焦点坐标； (2)设直线的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值. 【详解】（1）由题意抛物线过点，所以,即， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为. （2）证明：设过点的直线l的方程为 ，即， 代入得 ， , 设 ，则 ， 直线的斜率分别为，， 所以 , 即为定值，该定值为. 42．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； (3)过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 【详解】（1）因为点在抛物线：上，点F为的焦点，且， 所以点到抛物线准线的距离，得， 则抛物线的方程为， 代入，得， 所以，所以或； （2）抛物线的焦点与的圆心重合，即为， 显然，直线斜率存在，所以设直线方程为，点、， 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得， ，由韦达定理得，. 由抛物线的定义可知，，，. ，即为定值； （3），， 所以切线的方程为，即， 同理可得，切线的方程为， 联立两切线方程，解得，即点， 所以点到直线的距离为． 设， ， 令，则，， 所以在上是增函数， 当时，即当时，，即与的面积之和的最小值为 43．（22-23高二上·上海浦东新·月考）已知抛物线的焦点F到准线的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)设点E是抛物线C上任意一点，求线段EF中点D的轨迹方程； (3)过点的直线与抛物线C交于、两个不同的点（均与点不重合），设直线、的斜率分别为、，求证：为定值. 【详解】（1）解：由题意抛物线的焦点为，准线为， 又焦点到准线的距离为， 所以，即，所以抛物线方程为． （2）解：由（1）知，设，，则，即， 而点在抛物线上，， ，即，此即所求点的轨迹方程． （3）证明：设，，，，直线的方程为， 代入抛物线方程得． 所以，，． 所以 ， 所以是定值． 1．（25-26高三上·上海金山·月考）已知双曲线． (1)求的离心率和实轴长； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 【详解】（1）由题意，，则， ∴，． （2）设，， 则直线与双曲线联立后解得， 同理解得， 故，同理， 又由于，所以， 故S的取值范围为； （3）设切线方程为， 与双曲线联立后得， 由，得，且， 化简得关于k的方程，该方程也要有两个不同的实根， 于是根据，得到且， 故且，根据韦达定理， 得t的取值范围为． 2．（22-23高三下·上海·月考）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，． (1)求双曲线的方程； (2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标； (3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标． 【详解】（1）因为焦距长为，即， 且右顶点A的横坐标为1，则， 所以， 所以双曲线的方程为； （2）已知，由于和关于轴对称，可知，，则， 直线，令，可得，则， 直线，令，可得，则， 所以，则以线段为直径的圆的半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 令，得， 又， 所以，即； （3）因为， 当且仅当时，取得最小值， 此时M的坐标是或或或. 3．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 故直线的斜率为. （2）圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为， 设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、， 不妨设过点的切线方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离为，即， 整理可得， 依题意，、是关于的方程的两根， 所以，且，， 易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. （3）若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为， 其准线的方程为，设点， 圆的圆心为，半径为，    由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离为，则， 整理可得， 设切线、的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 故，， 将直线的方程与抛物线的方程联立，可得， 由韦达定理可得，同理可得， 故 为定值，则， 因为，解得， 故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值. 4．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【详解】（1）由抛物线方程知：，设， 由得：，. （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，， ，又因为中点的纵坐标为，所以， 所以的面积为； （3）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，，所以中点为， 因为线段的垂直平分线与抛物线交于点， 设， 联立可得， 由韦达定理可得，， 若以线段为直径的圆经过点， ， ，不相等，不相等， 所以，同理 可得，不相等， 所以 即，解得. 所以直线的方程为. 5．（24-25高三上·上海·月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. (1)求当面积最大时直线的斜率； (2)若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，面积最大， 若为上顶点，此时， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为. （2）如下图所示： ①设，由题意直线斜率一定存在，即， 所以，有直线，又，且相互垂直，则， 所以，故直线， 综上，，结合，可得， 所以直线交点横坐标为， 同理得，即直线交点横坐标为， 综上，直线为； ②设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得， 又，同理可得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以最大值为. 6．（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 【详解】（1）中，，故离心率为， （2）设，则，则， 故到直线的距离， 所以为定值. （3）设，则， 由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等， 故， 设直线：， 联立其与椭圆的方程可得， 设，则， 故， ，故， ， 令，由于在直线上，所以， 由于，故， 化简可得， 由于该关于的方程在上有解，故，解得， 则，故当时，此时取到最大值. 7．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1），，右焦点，， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， （2）由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到， 由可知，， 结合韦达定理， 解得， 所以直线方程为或， （3）当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 而韦达定理可得，因而得证， 综上，存在定点， 8．（2025·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【详解】（1）由椭圆方程可知，， 所以的周长为； （2）因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； （3）因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线定点、定值、定直线问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆中的定点 1 题型二、椭圆中的定值 3 题型三、椭圆中的定直线 7 题型四、双曲线中的定点 9 题型五、双曲线中的定值 12 题型六、双曲线中的定直线 14 题型七、抛物线中的定点 15 题型八、抛物线中的定值 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆中的定点 1．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，直线与椭圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 2．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． (1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； (2)若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线的斜率分别为，且 求面积的取值范围． 3．（24-25高二上·上海·月考）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点(不过点). (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积. (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点. 4．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点. (1)若的周长是，求椭圆的方程. (2)在（1）的条件下，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标. (3)若，求实数的取值范围. 5．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. (3)若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 题型二、椭圆中的定值 7．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)若，求； (2)若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 8．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 9．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 10．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 11．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 12．（24-25高二下·上海松江·月考）已知直线l：与椭圆Γ：相交于A，B两点，其中点A在第一象限，M是椭圆上的动点， (1)当时，求的大小； (2)若点M，A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程； (3)设直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点时，求证：为定值． 13．（24-25高二下·上海虹口·期末）在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． (1)若的离心率为，且，求的方程； (2)若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； (3)设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 题型三、椭圆中的定直线 14．已知椭圆，点为椭圆外一点． （1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 15．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程； (3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 16．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)求线段长的最小值； (3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上. 17．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点. （1）若是直线l的一个法向量，求直线l的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上. 18．如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点. （1）求椭圆M的方程； （2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上. 题型四、双曲线中的定点 19．（23-24高二下·上海·月考）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点. (1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离； (2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由; 20．（24-25高二下·上海松江·月考）已知双曲线，设其左、右顶点分别为，中心为. (1)求双曲线的焦点； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点满足直线与在轴上的截距之比为，判断直线是否过定点，并说明理由. 21．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线C：的离心率为，且过点 (1)求双曲线C的方程； (2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； (3)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 22．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； (3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点（异于），点（常数）是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值． 23．（22-23高二下·上海宝山·月考）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围； (3)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由. 24．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线，设其左､右顶点分别为A，B，中心为O. (1)求双曲线的焦距和虚轴长； (2)斜率为的直线交双曲线于C，D两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点M，N满足直线AM与BN在y轴上的截距之比为1∶3，判断直线MN是否过定点，并说明理由. 题型五、双曲线中的定值 25．（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 26．（24-25高二下·上海金山·月考）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 27．（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 28．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 29．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型六、双曲线中的定直线 30．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 31．（24-25高二下·上海·月考）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 32．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 题型七、抛物线中的定点 33．（23-24高二上·江苏南京·期末）设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证： (1)直线 经过点 ; (2)的外接圆过定点. 34．（25-26高二上·上海·期中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 35．（25-26高三上·上海·月考）已知点（其中），、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为d． (1)若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标； (2)若，、、都在抛物线上，点的横坐标为3，求证：线段的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标； (3)若、、都在椭圆上，且，求实数a的取值范围． 36．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 37．（25-26高二上·上海·期末）如图，设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线，直线与轴交于点，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点.    (1)用表示点到点的距离； (2)设，若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (3)设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在曲线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 38．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 题型八、抛物线中的定值 39．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 40．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 41．（22-23高二上·上海青浦·期末）已知抛物线过点，过点的直线与抛物线交于 两个不同的点（均与点A不重合）. (1)求抛物线的方程及焦点坐标； (2)设直线的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值. 42．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； (3)过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 43．（22-23高二上·上海浦东新·月考）已知抛物线的焦点F到准线的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)设点E是抛物线C上任意一点，求线段EF中点D的轨迹方程； (3)过点的直线与抛物线C交于、两个不同的点（均与点不重合），设直线、的斜率分别为、，求证：为定值. 1．（25-26高三上·上海金山·月考）已知双曲线． (1)求的离心率和实轴长； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 2．（22-23高三下·上海·月考）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，． (1)求双曲线的方程； (2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标； (3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标． 3．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 5．（24-25高三上·上海·月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. (1)求当面积最大时直线的斜率； (2)若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 6．（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 7．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 8．（2025·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $