专题06 圆锥曲线选填题（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

专题06 圆锥曲线选填题（高效培优专项训练） 数学新教材人教版高二上期 题型一 判断直线与圆锥曲线的位置关系 题型二 圆锥曲线的切线 题型三 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数或其范围 题型四 圆锥曲线的弦长 题型五 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题 题型六 圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 题型七 圆锥曲线的中点弦 题型八 圆锥曲线中的范围最值问题 题型九 圆锥曲线中直线过定点问题 题型十 圆锥曲线中存在定点满足条件问题 题型十一 圆锥曲线中的定值问题 题型十二 圆锥曲线中向量共线的比例问题 题型一 判断直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得的坐标和渐近线方程，得到，进而得到直线与双曲线的交点个数. 【详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以 ，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 2．（22-23高二上·湖北咸宁·期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】根据以及分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，由直线与其关系即可求解. 【详解】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 4．（2025高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】先找出椭圆的上顶点和右焦点，求直线的斜率与直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离条件，联立直线与椭圆方程，利用判别式求参数，进而确定直线的方程； 【详解】椭圆：，， 所以椭圆的上顶点为，右焦点为， 直线的斜率为, 因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同， 设直线的方程为，即 因为上有且仅有三个点到的距离为，说明椭圆与直线的距离为的平行线中， 一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况） 设与平行且距离为的直线为，根据两平行线距离公式： ，化简得，即， 联立，消元整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，解得， 当时，结合，有，解得（取号）， 此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号） 此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意； 故或满足题意； 故选：D.    6．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 7.（多选题）（25-26高二上·广东深圳·期中）双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出双曲线的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D. 【详解】由双曲线过点，可得， 则双曲线的标准方程为：； 所以，因为双曲线的焦距为，所以选项A正确； 因为双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 因为双曲线的离心率为，所以选项C不正确； 将直线与双曲线联立消可得：， 化简可得 ，此时 ，所以直线与双曲线只有一个公共点 ，所以选项D不正确； 故选：AB. 8.（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作_________条（填“条数”）． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】明确点与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解. 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 题型二 圆锥曲线的切线 1．（24-25高二下·福建莆田·阶段检测）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求抛物线的切线方程 【分析】求出抛物线的切线，利用在曲线和切线上建立方程组可得答案. 【详解】易知切线的斜率存在且不为0，设切线方程为， 联立，，由得， 又，解得. 故选：D 2.（24-25高二下·江苏南京·开学考试）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案； 【详解】由可得，故焦点, 如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得（因在抛物线上且异于原点，等号不可取）， 即； 故选：B. 3.（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.22 【知识点】求双曲线的切线方程、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设，根据切线知直线，与曲线C联立可得韦达定理，设线段的中点为，可知三点共线，可得，，结合长度关系运算求解即可. 【详解】设，，，，， 因为直线OP的斜率为，即， 又因为点在曲线外，则， 由题意可知：曲线在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，且，解得， 则切线方程为， 因为点在曲线上，则， 所以曲线在点A处的切线方程为，即， 同理可得：曲线在点B处的切线方程为， 又因为两条切线均过点，则，可得直线， 则点到直线的距离为， 因为，，，则，， 联立方程，消去x可得， 则，，则， 即，整理可得， 即，整理可得， 设线段的中点为，则， 且，可得，即， 因为直线的斜率为，可知三点共线， 且，即，即， 可知，则， 即，整理可得， 则，即，解得， 即，所以直线OP的斜率为. 4.（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、求椭圆的切线方程 【分析】设，根据题意可得直线的方程，进而可得面积的最小值. 【详解】设， 由题意可知切线，即， 可知， 则面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：B. 5.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（    ） A．18 B．24 C．27 D．36 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设出直线的方程及，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根的判别式得到方程，求出的方程，同理可得的方程，联立与的方程可得，求出的中点的坐标，得到两点横坐标相同，不妨设，求出，由基本不等式求出面积最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.显然直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由得，则. 设直线的方程为， 由得. 因为直线与抛物线相切，所以， 所以，即直线的方程为.同理直线的方程为， 联立与可得，， 又，所以. 设的中点为，则的坐标为. 故两点横坐标相同，即与轴平行， 不妨设， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为36. 故选：D 6.（2026高二上·全国·专题练习）若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、求双曲线的切线方程 【分析】根据题意设切线方程，得到相切的条件，根据条件分析时，点，此时不存在与双曲线相切的直线，时，根据切线过渐近线上的点确定切线的唯一性即可判断ABC，与渐近线平行或与双曲线相切的直线与双曲线都是只有一个交点即可判断D. 【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切）， 则设切线方程为， 则， ， 所以， 当时，，解得与题设矛盾， 即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切， 当时， ， 又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点， 则，解得， 所以， 又，所以，则， 所以每一个点，的值只有一个， 所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误； 对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点， 与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误； 故选：C. 7.（多选题）（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（    ） A．当时， B．当时，抛物线在点处的切线方程为 C．以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D．经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】对于A选项由焦半径公式即可判断；对于B选项，先求出点，设出直线，联立直线与抛物线，利用即可解出答案；对于C选项，写出圆的方程，联立圆与抛物线解出其交点坐标即可；对于D选项，分别求的坐标，即可求出的面积. 【详解】对于A选项：抛物线的焦点，准线， 由焦半径公式可知， 若，则，解得，A正确； 对于B选项：当时，，则点，由题意知切线斜率存在且不为， 设切线斜率，则切线方程为：， 联立直线与抛物线：消得： 因为直线与抛物线相切 所以 解得：， 所以切线方程为：,B错误； 对于C选项：以为圆心且与轴相切的圆，半径为，圆的方程为. 联立抛物线方程，解得,, 所以圆与抛物线仅有一个公共点,C正确； 对于D选项：由题意知直线：，则, 又， 所以，点， 所以直线：，化简得：， 联立直线与抛物线得：消得： 解得 所以， 所以，点到直线：的距离， 所以的面积为，D正确. 故选：ACD. 8.（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知椭圆的方程为，点P的坐标为，则过点P且与椭圆相切的直线方程为________． 【答案】或． 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的切线方程 【分析】设出切线方程，联立方程组，通过判别式为0，求解即可． 【详解】椭圆的方程为，可得，点P的坐标为， 过点P且与椭圆相切的直线方程之一是， 另一条切线为：， 由可得， ，解得， 所以切线方程为； 所以过点P且与椭圆相切的直线方程：或． 故答案为：或． 题型三 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数或其范围 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【详解】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 2.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】利用直线与双曲线方程联立，转化为方程没有实数根，求参数的取值范围. 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 3.（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】结合“蒙日圆”定义，设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，分两切线斜率都存在与两条切线中有一条斜率不存在，另一条斜率为进行讨论即可得. 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】由题可设直线方程为，与椭圆方程联立，用表示出线段中点的坐标，根据中点在直线上，求出的值，再利用求得的取值范围；或根据中点坐标公式，利用点差法求得直线的斜率，并根据中点在直线上求出线段的中点坐标，根据中点在椭圆内求得的取值范围. 【详解】由题意知，设直线. ，得. 则. 所以线段中点的横坐标为，纵坐标为. 因为线段的中点在直线上，，解得. 所以，解得． 方法二：由题意知，设． ∵线段的垂直平分线为. 设线段的中点为，则点在直线上，即. 因为是椭圆上的点，所以. 两式相减，得，即. 由中点坐标公式得，可得， 所以.代入，得. 因为是椭圆上的点，所以线段的中点在椭圆内部， 所以，即，解得． 故选：C. 5.（25-26高二下·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 6.（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线、的斜率互为相反数，进而结合韦达定理建立关于的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 【详解】设，，由；整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则，所以， 又，所以，因此双曲线的离心率为. 7.（多选题）（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 【答案】BC 【难度】0.55 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求点到直线的距离 【分析】由实轴的定义计算可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；联立方程组后解不等式可判断C选项；设出直线方程，联立后利用韦达定理可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可知，，，， 则实轴长，故A错误； 对于B，渐近线方程为，即，焦点为， 则焦点到渐近线距离为，故B正确； 对于C，联立得， 由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为， 则，， ，， 解得，故C正确； 对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，设直线方程为， 设的横坐标分别为，则， 联立，得， 故，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误． 8.（26-27高二上·全国·课后作业）已知双曲线上存在关于直线对称的两点，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线与双曲线的联立方程，求解两点坐标关系，基于对称关系，即可求解参数范围. 【详解】当时，显然不成立．当时，由， 可设直线的方程为，代入 中， 得． 所以，， 即．① 设的中点为，由根与系数的关系， 得，所以，． 因为点在直线上， 所以，即．② 把②代入①得，解得或． 所以或，即或，且． 故的取值范围是． 题型四 圆锥曲线的弦长 1.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆中的最值问题、轨迹问题——椭圆、求椭圆中的弦长 【分析】利用椭圆定义及其性质计算即可得. 【详解】由， 可得点到与的距离之和为，又， 由椭圆定义可知，曲线为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 由椭圆中长轴为最长弦，故的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【难度】0.76 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 3.（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 4.（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【详解】易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 5.（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆中的弦长 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 6.（24-25高二上·广东·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是.故选：B. 7.（多选题）（25-26高二下·湖北·期中）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的斜率为 B．若为等边三角形，则 C．若，则直线的倾斜角为 D．若的面积为，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线定义的理解 【分析】先求得p值，设直线l方程并与抛物线联立，由韦达定理得表达式，根据焦半径求出A点坐标，代入斜率公式判断A；根据条件求直线l的斜率，进而求出的值，由弦长公式，即可判断B；由与韦达定理联立求出的值，即可判断C；根据面积公式，求出的值，再求出和结合韦达定理，计算即可判断D. 【详解】依题意，抛物线的准线方程为，解得， 则抛物线C的方程为，， 设直线l的方程为， 联立，得， 则， 选项A：由抛物线定义，得， 代入抛物线方程得，即，又，所以的斜率，故A正确； 选项B：若为等边三角形，则直线l的倾斜角为，斜率为， 即，解得，所以，故B正确； 选项C：直线l的方程为，令，得， 则， 因， 由，得， 整理得，由，得， 又，所以，解得， 则直线的斜率，故C错误； 选项D：若的面积， 又，解得， 又，所以， 同理， 则， 故D正确. 8.（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线 只与双曲线右支相交，②直线 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案． 【详解】解：过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 如果在同一支上，则有；如果在两支上，则， 又与不可能同时等于6， 要使得，这样的直线有且只有两条， 则或，解得或． 则实数的取值范围是. 故答案为： 题型五 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题 1．（23-24高二上·湖北·阶段检测）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的短半轴长度为（    ）天文单位． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】根据椭圆的性质列方程来求得正确答案. 【详解】依题意， 两式相乘得， 所以. 故选：C 2.（22-23高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与交于两点，若满足的直线有且仅有1条，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线的焦半径与焦点弦问题 【分析】求出双曲线的实轴长和通径长，由题意，过点的最短弦长为，从而求出，以及双曲线的离心率． 【详解】双曲线的实轴长为，通径长为 由题意可得，过点的弦最短时，长为，解得，此时，则双曲线的离心率为 故选：B 3.（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】法一：当直线的斜率不存在时，可得，即可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再表示出、后，结合所得韦达定理计算即可得.法二：利用焦长公式计算即可得. 【详解】法一：令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 方程的判别式， 所以，，设椭圆的离心率为， 则， 同理， 所以 ， 综上，； 法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设， 则，； 故． 4.（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 5.（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离，故， 又，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 6.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线的焦半径公式、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 7.（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段长度的最小值为3 B．若，则 C．若点的坐标为，则直线，的斜率之和为0 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于选项A，求出焦点的坐标，得到的方程，解出的值，从而得到抛物线的方程，将直线 代入抛物线，整理得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，利用弦长公式求出，利用得到的最小值；对于选项B，求出，利用得到，利用得到的值，代入得解；对于选项C，求出，，计算得解；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，整理得到，利用求出，利用两平行线间的距离公式求出直线与直线的距离，即为上一动点到直线的距离的最小值. 【详解】对于选项A，，令，则，直线过， 直线：过抛物线：（）的焦点， ，，，抛物线：， 将代入，得到，整理得到， 已知直线：与抛物线交于，两点，设， ， ， ，，，的最小值为，故选项A错误； 对于选项B，，，， ，，，， ，，， ，，，， ，，，故选项B正确； 对于选项C，，，， ，同理， ， ，，故选项C正确； 对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 转化为，将代入得到， 整理得到，直线与抛物线相切，，， 与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 直线与直线的距离为， 上一动点到直线的距离的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD. 8.（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，左､右焦点分别为，离心率为，椭圆上两点（在轴上方），满足，设点关于轴的对称点为，记的外接圆半径为，的内切圆半径为，则的值为__________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】椭圆的焦半径与焦点弦问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用椭圆的定义可先求解焦半径的长度，再结合余弦定理来求解边长和角度，最后用正弦定理求外接圆半径，用等面积法求内切圆半径，从而得到比值. 【详解】不妨设 ，则 ， 根据椭圆的定义可知：， 根据余弦定理得： ， ， 联立两式可得：， 化简得： ， 再由离心率 代入化简得：，再化简得： ， 解得：，即， 所以可知点 为椭圆的上、下顶点，且 ， 再由余弦定理： ， 又由余弦定理得： ， 在三角形中，则有， 即三角形外接圆半径满足：；则有， ，， 则，则，故答案为：. 题型六 圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 1．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、双曲线定义的理解、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由题得点到直线的距离为点到直线距离的2倍，用点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】，，所以，， 由题可得点到直线的距离为点到直线距离的2倍， 所以，即， 两边平方得，因为， 所以，即， 解得（舍去）或. 2.（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】求出点到直线AB的距离和点到直线AB的距离即可求得答案. 【详解】设点到直线AB的距离为，点到直线AB的距离为， 对于双曲线，，， 所以， 所以，， 则， 所以. 3.（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，直线与交于点，，若四边形的面积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据题意可知四边形为平行四边形，联立直线与椭圆方程得出，坐标，由四边形的面积为，得到关于e的方程，解方程即可. 【详解】如图，不妨设点在第一象限，N在第三象限， 由已知，联立， 得， 由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，， 又四边形的面积为， 则， 又， 则， 又离心率，得， 由，得，解得. 故选：A 4．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，已知直线与椭圆恰有一个公共点与圆相交于两点，点与点关于坐标原点对称，若的面积可取到最大值，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】联立直线与椭圆的方程，根据相切，利用判别式可得，进而根据对称以及面积关系得，即可根据点到直线的距离公式，结合离心率公式求解. 【详解】根据题意联立 得， 由．化简整理，得； 因点与点关于坐标原点对称，故到直线的距离是到距离的两倍， 故的面积是的面积的两倍，则的面积取到最大值， 由于的面积为， 故，此时，从而原点到直线的距离， 又，故，代入，可得， 从而，即， 故选：B． 5.（25-26高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 6.（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．16 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】先分别设出椭圆和双曲线的基本量，再分别由椭圆和双曲线的定义及焦点三角形的面积综合可得进而再由基本不等式可得所求和式的最小值. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为，所以. 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，如图： 设，则由椭圆和双曲线定义可得——①，——②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得——③， ③得——④，由面积公式可得， 即，代入④整理得，即，所以， 即，因为，所以， 所以，得，所以， 即，所以， 即 ， 当且仅当时等号成立，即，再代入 解得，故的最小值为. 故选：A 7.（多选题）（25-26高二下·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（    ） A．的离心率为 B．的最大值为5 C．存在四个不同的点，使得的面积为1 D．存在四个不同的点，使得为等腰三角形 【答案】AC 【难度】0.71 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用离心率用公式计算判断A；由椭圆的性质得到焦半径的范围判断B；利用三角形的面积公式推得的值，结合椭圆的性质即可判断C；分三类情况分析点的个数，即可判断D. 【详解】由题可知，，，，则，A正确； 由于，B错误； 由于，则，则这样的点有四个，C正确； 由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误. 8.（25-26高二上·河北唐山·期中）已知直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），则的面积为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】解法一：设点，，联立可得，，由根与系数的关系可得，，由可得，解得.根据弦长公式可求得，根据三角形面积公式即可求解；（也可利用二级结论：在抛物线 中，若是抛物线上异于原点的两点，且，则直线恒过定点，求得） 解法二：设点，，联立可得，由根与系数的关系可得，.由，得，解得.根据直角三角形面积公式即可求解. 【详解】（解法一）设点，，联立可得，， 由根与系数的关系可得，. 因为，所以，解得. 所以，，则. 如图，直线交轴于点 （二级结论    在抛物线 中，若是抛物线上异于原点的两点， 且，则直线恒过定点，本题也可利用此结论得，从而）， 所以. （解法二）设点，，联立可得， ，由根与系数的关系可得，. 因为， 所以 ， 解得， 所以， ，. 因为，所以 . 故答案为：. 题型七 圆锥曲线的中点弦 1．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 2.（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即，∴， 又，∴，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 3．（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设，利用设而不求点差法求得，再根据的中垂线与直线垂直建立方程得，求解即可. 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合，所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 4.（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、椭圆中向量共线比例问题 【分析】利用椭圆的点坐标关系、向量线性运算和点差法求解斜率，先建立与的倍数关系，再通过向量转化将与弦中点斜率关联. 【详解】设，，，，其中，． 则，，即，， ，． 设，中点为， 由于，则， ，，三点共线． ，，两式相减得， 整理得，， ．故选：A． 6.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设,由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则.， 由代入得，.所以椭圆的离心率为. 故选：A. 7.（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点，使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】对于，根据椭圆性质求得椭圆方程，计算离心率即可；对于，利用以为直径的圆与椭圆的位置关系进行判断；对于，利用点差法求直线的斜率，继而求得方程；对于，根据焦点三角形的性质直接求周长. 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且，即，所以， 则椭圆的方程为，则其离心率故错误； 对于,由椭圆方程可知，以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得，则正确； 对于，设，因为的中点为，则， 又在椭圆上，则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点，则直线为，即，故错误； 对于直线过点，则的周长为，故正确， 故选： 8.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 题型八 圆锥曲线中的范围最值问题 1．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线中的最值问题 【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值. 【详解】由题意可知： ，左准线方程为 ， 故设，则, 当在轴上，此时为0，时当不在轴时， 在中，由余弦定理得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，由于,故最大为， 故选：B 2.（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，由建立关于k的不等式，解之即可求解. 【详解】设直线的斜率为k，则直线的方程为， 由题意得直线与抛物线C有交点，联立方程， 得， 当时，，即； 当时，，解得且， 综上所述，k的最大值为． 故选：D． 3.（23-24高二上·广东惠州·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若上存在无数个点满足：，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的参数及范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由题意得以为直径的圆与椭圆有四个交点，从而，即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：， 所以以为直径的圆与椭圆有四个交点，则，所以，所以． 故选：D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的参数及范围 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，，，解得或（舍去）， 故选：C. 5.（25-26高二上·浙江宁波·期末）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆中的最值问题 【分析】根据椭圆的定义将转化为，进而转化为到直线的距离减去6，再用点到直线的距离公式解得. 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 6.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、求椭圆中的最值问题 【分析】先验证曲线关于对称且在斜椭圆上，求出直线与椭圆的交点，化简得到 ，当位于点时，最大为. 【详解】因为关于直线的对称点分别为， 易知点都在曲线上，所以曲线关于对称， 因为满足曲线方程，所以在斜椭圆上， 设的中点为，则， 联立，得或，所以， ， 当位于点时，最大，此时. 故选：B 7.（多选题）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的参数及范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】首先利用点差法求出，然后设，写出的表达式，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为， 所以，，， 把代入椭圆方程得，两式相减得， 整理得，即，所以， 所以椭圆方程为， 设， 则， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值， 故选：BCD 8.（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】点关于直线的对称点、轨迹问题——圆、椭圆中的最值问题、直线与圆的位置关系求距离最值 【分析】根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又点到直线的距离的倍，分析求解即可. 【详解】如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 题型九 圆锥曲线中直线过定点问题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的直线过定点问题 【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解. 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由，得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 2.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、直线过定点问题、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，设的方程，将其与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得的表达式，由推出，借助于韦达定理求得，即可判断. 【详解】当直线垂直于轴时，设其方程为，，则， 由，可得，解得，此时直线：，恒过定点； 当直线的斜率存在时，设其方程为代入抛物线，得， 设，则，且，， 所以 ，解得，则直线，恒过定点. 综上，可得直线过定点， 故选：B. 3.（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线l的方程为，代入抛物线方程由韦达定理可表示出，结合也表示出，可解出的值得直线所过定点． 【详解】设，，则，， 设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，， ，，所以直线l一定过定点. 故选：A． 4.（22-23高二上·福建漳州·期中）已知椭圆的右顶点为A，离心率为，若直线与椭圆交于两点(不是左、右顶点)且满足，则直线在轴上的截距为(    ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】设直线，联立直线l和椭圆的方程，根据韦达定理和可求出m和k的关系，从而确定直线在x轴上的截距． 【详解】由，结合，可得，又，则， 故椭圆的方程为，A为(2，0)﹒ 设，，则， 由得，即， 设直线，由，得 ， 由得，则，， 由 得， 将 代入上式可得， 则，即， ∴(此时直线过右顶点，应舍去)或， 则直线的方程为，即，则直线在轴上的截距为． 当l斜率不存在时，设l为x=t≠2， ∵，则AE⊥AF，根据椭圆对称性可知E、F的坐标为(t,±(2－t))， 代入椭圆的方程可求得或t＝2(舍去)． 综上，直线l在x轴上的截距为． 故选：D． 5.（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点. 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴，∴直线BD方程为． 令，得；∴故直线BD过定点． 故选：A 6.（25-26高二上·安徽安庆·期末）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用半径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内取一定点，且.把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；展开纸片后留下折痕，与折痕交于点.不断重复此过程，得到动点的轨迹为曲线.以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知点在曲线上，过点作两条斜率之积为的直线，分别交曲线于，两点，则直线恒过的定点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求平面轨迹方程 【分析】先根据椭圆的定义求椭圆的标准方程，设，根据已知及斜率的两点式得，进而判断直线斜率的存在性，并设，联立椭圆方程，应用韦达定理代入前式化简整理求参数，即可得到定点坐标. 【详解】设，由题意，且， 点的轨迹是以E，F为左、右焦点的椭圆，长轴长，焦距，； 所以椭圆的标准方程为：， 设，所以， 因为，所以， 若直线AB的斜率不存在，则， 此时两条直线MA、MB的斜率分别为：， 因为，则，化简得到， 又因为，解得，即直线为轴，不合题意； 设直线AB：， 联立方程，得到， 由，， 因为，所以， 化简得到， 即， 化简得到，解得， 当时，直线为，恒过点，与题意不符（异于M），舍去； 当时，直线为，恒过点. 7.（多选题）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点，点关于原点对称，若，则（    ） A． B．椭圆过个定点 C．存在实数，使得 D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求椭圆中的弦长 【分析】将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，表述出，，根据可探索的关系，判断A的真假；根据的关系，可判断椭圆上的点，判断B的真假；进一步，利用的关系，可求弦的范围，判断CD的真假. 【详解】设，.如图： 由得， ， 则，. 因为，所以，又， 所以， 所以有，，故A正确； 所以，即椭圆过定点，故B正确； 由可知 ， 又，所以 ， 所以，所以. 所以的取值范围为.又，故C错误，且D错误. 故选：AB 8.（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，点和为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶点均在拋物线上），且均以点为直角顶点，则直线与直线的交点坐标为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的直线过定点问题 【分析】设，求出直线的方程，又得，与直线的方程作比较可得直线过定点，同理直线过相同定点可得答案． 【详解】设，则， 即， 又， 则有， 则对于而言，当时，，即直线过定点． 同理，也过定点，则可知直线和的交点坐标为． 故答案为：． 题型十 圆锥曲线中存在定点满足条件问题 1．（20-21高二上·浙江宁波·期中）已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆C上的点P满足∠F1PF2＝90°，则点P的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】由椭圆方程求得椭圆的长半轴长及离心率，设出的坐标，由焦半径公式得到左右焦半径，结合勾股定理求得的坐标得答案． 【详解】设，为椭圆上的一点，则 由焦半径公式得：， 若， 则，解得：． 椭圆上能够满足的点共有4个． 故选：D 2．（22-23高二上·四川德阳·期中）已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（    ） ①椭圆的离心率为；②；③；④以为直径的圆过点. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中的定值问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】根据的关系可求离心率，根据两点斜率公式可判断②，联立方程，根据斜率公式以及韦达定理即可判断③④. 【详解】由椭圆方程可知：，因此离心率 ，故①正确， 设,则，，由斜率公式可得 ,即，故②正确, 设，则直线的方程为，所以 故 联立直线与椭圆：的方程可得， 由根与系数的关系可得，将其代入中，又 ， 故， 所以 ,所以以为直径的圆过点，故④正确， ，故③正确， 综上，①②③④均正确， 故选：D 3．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于，两点，，若点是椭圆上的动点，则下列说法错误的是（   ） A．的最小值为 B．的面积的最大值为 C．的取值范围为 D．上有且只有个点，使得是直角三角形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中向量点乘问题、余弦定理解三角形、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由题意得是等边三角形，从而可求得，再根据通径可求得，即可求得椭圆方程，由当点位于上下顶点时，最大，结合余弦定理即可判断A；设，再根据即可判断B；根据数量积的坐标表示结合的范围，即可判断C；分别分析以三个点为直角顶点的直角三角形的个数，即可判断D. 【详解】由题意得是等边三角形， 所以的周长为，所以， 令，则， 则，所以， 所以椭圆， 对于A，当点位于上下顶点时，最大， 此时的最小为， 故A错误； 对于B，设， 则， 所以的面积的最大值为，故B正确； 对于C，设， 则，所以， 又， 则， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，由A选项可知，最大时为锐角， 所以以点为直角顶点的不存在， 以点为直角顶点的分别有个， 所以上有且只有个点，使得是直角三角形，故D正确. 故选：A. 4．（21-22高二下·河南南阳·阶段检测）已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】设，按和分类讨论，时，结合正切的二倍角公式求得值，从而得正确选项． 【详解】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即. 当时，，. 因为，所以. 将代入并整理得，由解得. 故选：A． 5.（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立，可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线， 垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，. 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：B 6.（24-25高二下·上海·期末）已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】基本不等式的应用、平面向量线性运算的坐标表示、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】假设存在这样的三角形，设且，则，由向量加法坐标运算及相关性质得，结合基本不等式得到矛盾，即可得. 【详解】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点， 设，则，，， 因为，所以，， 设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则， 则，故， 所以，显然不成立， 所以不存在这样的三角形满足这3个条件. 故选：A 7.（多选题）（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法中正确的是（   ） A．若过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为 C．以为直径的圆与椭圆有四个不同的交点 D．的内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】对A，先根据椭圆的基本量关系求解方程，再根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，得的轨迹，再分析与椭圆的交点个数即可；对D，根据的面积表达式分析即可. 【详解】对于A，椭圆，则， 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确； 对于B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为，故B错误； 对于C，椭圆，则，所以以为直径的圆的方程为， 则，得，即，，结合图象可知圆与椭圆有四个交点，故C正确； 对于D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 8.（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线和双曲线交于两点．若双曲线C上存在一点R使得是等边三角形，则______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】先求出的中点为，再结合题设可求得或，进而代入双曲线方程即可求解. 【详解】设， 联立，得，而， 则，且， 则， 则，，即的中点为， 由于是等边三角形，且直线的斜率为1， 则直线的斜率为，则直线的方程为，即， 设，则， 而， 由于，则，解得， 则或， 又点在双曲线上， 则或， 即或， 则或， 即或， 解得或（舍去）. 题型十一 圆锥曲线中的定值问题 1.（22-23高二下·湖北·期中）已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】联立直线与抛物线方程，得到，代入两点斜率公式即可化简求解. 【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】根据双曲线性质先确定双曲线方程，设Q坐标及切线方程，联立双曲线方程，借助韦达定理得，计算即可. 【详解】由题意得，又， 所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得，则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以． 故选：B 3.（24-25高二上·全国·课前预习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点为坐标原点，则是（    ） A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点位置有关 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的定值问题 【分析】方法一：设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积分析判断；方法二：根据结论，，结合数量积分析判断. 【详解】方法一：抛物线的焦点的坐标为，由题意可知：直线的斜率一定存在， 设，，直线的方程为， 与抛物线联立，得，恒成立， 则，， 所以，所以为钝角． 方法二：因为抛物线焦点在轴上，则，， 则，故为钝角． 故选：C. 4.（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】设直线，，，    由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 5.（24-25高二上·福建龙岩·阶段检测）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题 【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D. 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 6.（25-26高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线 与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．当时，若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中的定值问题 【分析】根据椭圆的定义判断A；根据点差法求斜率判断B；根据椭圆中过焦点的弦中通径最短求出离心率判断C；根据平面向量的数量积和椭圆的几何性质求出离心率的范围，判断D． 【详解】因为弦过椭圆的左焦点， 所以的周长为，所以A错误； 设，，则，有，， 所以， 由，得，所以， 则有，所以B错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，所以C错误； 设，，， 所以， 则有，可得，故D正确． 故选：D 7.（多选题）（25-26高二上·河南南阳·期中）已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最小值为2 B．当直线的倾斜角为时， C．线段的中点到的准线的距离等于 D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到 ，可判断D. 【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程，得整理得，则，. 对于A，， 故时，的面积取得最小值，为2，故A正确； 对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为， 将代入，得，解得，， 所以，，所以，故B错误； 对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，， 所以， 又，所以，故C正确； 对于D，由前面的分析，知，， 设，则 ， 所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确. 故选：ACD 8.（25-26高二上·江苏南通·期中）从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】切点弦及其方程、椭圆中的定值问题 【分析】设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则，， 因为，可得， 即，且，可得， 所以切线的方程为，同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为，则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以.故答案为：. 题型十二 圆锥曲线中向量共线的比例问题 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在椭圆中，为下顶点，、为左、右焦点，延长交椭圆于，，则焦距与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中向量共线比例问题 【分析】设点，根据结合平面向量的线性运算可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 设点，易知点、，则，， 由，可得，解得，即点， 将点的坐标代入椭圆方程得，解得， 所以，故. 故选：A. 2．（23-24高二上·江西九江·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】由向量共线结合椭圆定义即可得解. 【详解】，且 四边形为平行四边形， . 故选：B. 3．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量共线比例问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心， 是的角平分线， . 又 ， . 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ， . ， ， . 由椭圆的定义得，， ，. 在中，由余弦定理得, ，化简得 . 该椭圆的离心率为. 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量共线比例问题 【分析】由条件确定椭圆方程，再设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点 代入得 ，解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由 可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②，又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 5．（23-24高二上·安徽·期中）已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中向量共线比例问题 【分析】设直线，直线，则，分别与椭圆的方程联立得出的坐标，结合已知，，即可得出与的关系.然后根据，即可得出，进而即可得出答案. 【详解】设直线，直线，则， 联立解得， 则，所以，. 由可得，；① 联立解得， 则，所以，. 由可得，；② 又，所以， 所以；③ 联立①②，得，， 代入③中，得，则． 故选：B. 6.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】设，可得，，，在中根据余弦定理建立关于的方程，求解可得，可以判断为等边三角形，再结合余弦定理求解离心率. 【详解】如图，因为，故设， 则，，． 在中，， 由余弦定理得， 化简得，即， 可得，所以为等边三角形， 所以，在中， 由余弦定理得， 所以离心率为． 7.（多选题）（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是（    ） A．若，则的周长为20 B．直线斜率的取值范围是 C．若，则实数只能为1 D．若的内切圆半径分别为，则恒成立 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】由题可知，结合双曲线的定义，可求得的周长，判断A；由双曲线的方程可求得渐近线的方程，当直线的斜率为时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点，由此可判断B不正确；由题意求得点的坐标，设直线的方程为，联立双曲线的方程，表示出的中点坐标，联立渐近线的方程，表示出的中点坐标，由此可得出的中点与的中点重合，从而判断C正确；设直线的方程为，联立双曲线的方程，利用韦达定理用表示，从而求得其取值范围判断D. 【详解】设双曲线的焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，则，所以.所以. 对于A，若， 则的周长为，所以A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为. 当直线的斜率为时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点，不合题意， 所以B不正确. 对于C，设直线的方程为，联立双曲线的方程，得. . ，所以. 所以，；即的中点为. 由，得. 所以的中点为，即. 所以的中点与的中点重合，记为，则. 所以若，则的值只能为.所以C正确. 对于D，设直线的方程为，联立双曲线的方程，得. ；. 因为，所以，所以. 所以 ，. 若的内切圆半径分别为， 则， . . 由，得，所以，所以， 即恒成立.所以D正确. 故选：ACD. 8.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题 【分析】先写出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再根据向量相等的性质列出方程，进而求出的值. 【详解】直线过点且斜率为，则直线的方程为. 令，得，. 联立直线与椭圆方程，整理得：. 设，则. ，. ，，即. 又，代入整理得：，. 故答案为： 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆锥曲线选填题（高效培优专项训练） 数学新教材人教版高二上期 题型一 判断直线与圆锥曲线的位置关系 题型二 圆锥曲线的切线 题型三 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数或其范围 题型四 圆锥曲线的弦长 题型五 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题 题型六 圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 题型七 圆锥曲线的中点弦 题型八 圆锥曲线中的范围最值问题 题型九 圆锥曲线中直线过定点问题 题型十 圆锥曲线中存在定点满足条件问题 题型十一 圆锥曲线中的定值问题 题型十二 圆锥曲线中向量共线的比例问题 题型一 判断直线与圆锥曲线的位置关系 1．【答案】C 【详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以 ，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 2．【答案】B 【详解】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 3．【答案】C 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 4．【答案】C 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 5．【答案】D 【详解】椭圆：，， 所以椭圆的上顶点为，右焦点为， 直线的斜率为, 因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同， 设直线的方程为，即 因为上有且仅有三个点到的距离为，说明椭圆与直线的距离为的平行线中， 一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况） 设与平行且距离为的直线为，根据两平行线距离公式： ，化简得，即， 联立，消元整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，解得， 当时，结合，有，解得（取号）， 此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号） 此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意； 故或满足题意； 故选：D.    6．【答案】D 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 7.（多选题）【答案】AB 【详解】由双曲线过点，可得， 则双曲线的标准方程为：； 所以，因为双曲线的焦距为，所以选项A正确； 因为双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 因为双曲线的离心率为，所以选项C不正确； 将直线与双曲线联立消可得：， 化简可得 ，此时 ，所以直线与双曲线只有一个公共点 ，所以选项D不正确； 故选：AB. 8.【答案】4 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 题型二 圆锥曲线的切线 1．【答案】D 【详解】易知切线的斜率存在且不为0，设切线方程为， 联立，，由得， 又，解得. 故选：D 2.【答案】B 【详解】由可得，故焦点, 如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得（因在抛物线上且异于原点，等号不可取）， 即； 故选：B. 3.【答案】C 【详解】设，，，，， 因为直线OP的斜率为，即， 又因为点在曲线外，则， 由题意可知：曲线在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，且，解得， 则切线方程为， 因为点在曲线上，则， 所以曲线在点A处的切线方程为，即， 同理可得：曲线在点B处的切线方程为， 又因为两条切线均过点，则，可得直线， 则点到直线的距离为， 因为，，，则，， 联立方程，消去x可得， 则，，则， 即，整理可得， 即，整理可得， 设线段的中点为，则， 且，可得，即， 因为直线的斜率为，可知三点共线， 且，即，即， 可知，则， 即，整理可得， 则，即，解得， 即，所以直线OP的斜率为. 4.【答案】B 【详解】设， 由题意可知切线，即， 可知， 则面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：B. 5.【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.显然直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由得，则. 设直线的方程为， 由得. 因为直线与抛物线相切，所以， 所以，即直线的方程为.同理直线的方程为， 联立与可得，， 又，所以. 设的中点为，则的坐标为. 故两点横坐标相同，即与轴平行， 不妨设， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为36. 故选：D 6.【答案】C 【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切）， 则设切线方程为， 则， ， 所以， 当时，，解得与题设矛盾， 即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切， 当时， ， 又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点， 则，解得， 所以， 又，所以，则， 所以每一个点，的值只有一个， 所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误； 对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点， 与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误； 故选：C. 7.（多选题）【答案】ACD 【详解】对于A选项：抛物线的焦点，准线， 由焦半径公式可知， 若，则，解得，A正确； 对于B选项：当时，，则点，由题意知切线斜率存在且不为， 设切线斜率，则切线方程为：， 联立直线与抛物线：消得： 因为直线与抛物线相切 所以 解得：， 所以切线方程为：,B错误； 对于C选项：以为圆心且与轴相切的圆，半径为，圆的方程为. 联立抛物线方程，解得,, 所以圆与抛物线仅有一个公共点,C正确； 对于D选项：由题意知直线：，则, 又， 所以，点， 所以直线：，化简得：， 联立直线与抛物线得：消得： 解得 所以， 所以，点到直线：的距离， 所以的面积为，D正确. 故选：ACD. 8.【答案】或． 【详解】椭圆的方程为，可得，点P的坐标为， 过点P且与椭圆相切的直线方程之一是， 另一条切线为：， 由可得， ，解得， 所以切线方程为； 所以过点P且与椭圆相切的直线方程：或． 故答案为：或． 题型三 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数或其范围 1．【答案】B 【详解】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 2.【答案】B 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 3.【答案】C 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 4．【答案】C 【详解】由题意知，设直线. ，得. 则. 所以线段中点的横坐标为，纵坐标为. 因为线段的中点在直线上，，解得. 所以，解得． 方法二：由题意知，设． ∵线段的垂直平分线为. 设线段的中点为，则点在直线上，即. 因为是椭圆上的点，所以. 两式相减，得，即. 由中点坐标公式得，可得， 所以.代入，得. 因为是椭圆上的点，所以线段的中点在椭圆内部， 所以，即，解得． 故选：C. 5.【答案】D 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 6.【答案】A 【详解】设，，由；整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则，所以， 又，所以，因此双曲线的离心率为. 7.（多选题）【答案】BC 【详解】对于A，由题意可知，，，， 则实轴长，故A错误； 对于B，渐近线方程为，即，焦点为， 则焦点到渐近线距离为，故B正确； 对于C，联立得， 由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为， 则，， ，， 解得，故C正确； 对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，设直线方程为， 设的横坐标分别为，则， 联立，得， 故，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误． 8.【答案】 【详解】当时，显然不成立．当时，由， 可设直线的方程为，代入 中， 得． 所以，， 即．① 设的中点为，由根与系数的关系， 得，所以，． 因为点在直线上， 所以，即．② 把②代入①得，解得或． 所以或，即或，且． 故的取值范围是． 题型四 圆锥曲线的弦长 1.【答案】C 【详解】由， 可得点到与的距离之和为，又， 由椭圆定义可知，曲线为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 由椭圆中长轴为最长弦，故的最大值为. 故选：C. 2．【答案】C 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 3.【答案】C 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 4.【答案】A 【详解】易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 5.【答案】C 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 6.【答案】B 【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是.故选：B. 7.（多选题）【答案】ABD 【详解】依题意，抛物线的准线方程为，解得， 则抛物线C的方程为，， 设直线l的方程为， 联立，得， 则， 选项A：由抛物线定义，得， 代入抛物线方程得，即，又，所以的斜率，故A正确； 选项B：若为等边三角形，则直线l的倾斜角为，斜率为， 即，解得，所以，故B正确； 选项C：直线l的方程为，令，得， 则， 因， 由，得， 整理得，由，得， 又，所以，解得， 则直线的斜率，故C错误； 选项D：若的面积， 又，解得， 又，所以， 同理， 则， 故D正确. 8.【答案】 【详解】解：过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 如果在同一支上，则有；如果在两支上，则， 又与不可能同时等于6， 要使得，这样的直线有且只有两条， 则或，解得或． 则实数的取值范围是. 故答案为： 题型五 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题 1．【答案】C 【详解】依题意， 两式相乘得， 所以. 故选：C 2.【答案】B 【详解】双曲线的实轴长为，通径长为 由题意可得，过点的弦最短时，长为，解得，此时，则双曲线的离心率为 故选：B 3.【答案】B 【详解】法一：令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 方程的判别式， 所以，，设椭圆的离心率为， 则， 同理， 所以 ， 综上，； 法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设， 则，； 故． 4.【答案】D 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 5.【答案】A 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离，故， 又，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 6.【答案】D 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 7.（多选题）【答案】BCD 【详解】对于选项A，，令，则，直线过， 直线：过抛物线：（）的焦点， ，，，抛物线：， 将代入，得到，整理得到， 已知直线：与抛物线交于，两点，设， ， ， ，，，的最小值为，故选项A错误； 对于选项B，，，， ，，，， ，，， ，，，， ，，，故选项B正确； 对于选项C，，，， ，同理， ， ，，故选项C正确； 对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 转化为，将代入得到， 整理得到，直线与抛物线相切，，， 与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 直线与直线的距离为， 上一动点到直线的距离的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD. 8.【答案】 【详解】不妨设 ，则 ， 根据椭圆的定义可知：， 根据余弦定理得： ， ， 联立两式可得：， 化简得： ， 再由离心率 代入化简得：，再化简得： ， 解得：，即， 所以可知点 为椭圆的上、下顶点，且 ， 再由余弦定理： ， 又由余弦定理得： ， 在三角形中，则有， 即三角形外接圆半径满足：；则有， ，， 则，则，故答案为：. 题型六 圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 1．【答案】A 【详解】，，所以，， 由题可得点到直线的距离为点到直线距离的2倍， 所以，即， 两边平方得，因为， 所以，即， 解得（舍去）或. 2.【答案】D 【详解】设点到直线AB的距离为，点到直线AB的距离为， 对于双曲线，，， 所以， 所以，， 则， 所以. 3.【答案】A 【详解】如图，不妨设点在第一象限，N在第三象限， 由已知，联立， 得， 由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，， 又四边形的面积为， 则， 又， 则， 又离心率，得， 由，得，解得. 故选：A 4．【答案】B 【详解】根据题意联立 得， 由．化简整理，得； 因点与点关于坐标原点对称，故到直线的距离是到距离的两倍， 故的面积是的面积的两倍，则的面积取到最大值， 由于的面积为， 故，此时，从而原点到直线的距离， 又，故，代入，可得， 从而，即， 故选：B． 5.【答案】A 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 6.【答案】A 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为，所以. 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，如图： 设，则由椭圆和双曲线定义可得——①，——②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得——③， ③得——④，由面积公式可得， 即，代入④整理得，即，所以， 即，因为，所以， 所以，得，所以， 即，所以， 即 ， 当且仅当时等号成立，即，再代入 解得，故的最小值为. 故选：A 7.（多选题）【答案】AC 【详解】由题可知，，，，则，A正确； 由于，B错误； 由于，则，则这样的点有四个，C正确； 由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点； 当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误. 8.【答案】 【详解】（解法一）设点，，联立可得，， 由根与系数的关系可得，. 因为，所以，解得. 所以，，则. 如图，直线交轴于点 （二级结论    在抛物线 中，若是抛物线上异于原点的两点， 且，则直线恒过定点，本题也可利用此结论得，从而）， 所以. （解法二）设点，，联立可得， ，由根与系数的关系可得，. 因为， 所以 ， 解得， 所以， ，. 因为，所以 . 故答案为：. 题型七 圆锥曲线的中点弦 1．【答案】C 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 2.【答案】B 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即，∴， 又，∴，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 3．【答案】C 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合，所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 4.【答案】C 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 5．【答案】A 【详解】设，，，，其中，． 则，，即，， ，． 设，中点为， 由于，则， ，，三点共线． ，，两式相减得， 整理得，， ．故选：A． 6.【答案】A 【详解】由双曲线，可知. 设,由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则.， 由代入得，.所以椭圆的离心率为. 故选：A. 7.（多选题）【答案】BD 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且，即，所以， 则椭圆的方程为，则其离心率故错误； 对于,由椭圆方程可知，以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得，则正确； 对于，设，因为的中点为，则， 又在椭圆上，则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点，则直线为，即，故错误； 对于直线过点，则的周长为，故正确， 故选： 8.【答案】 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 题型八 圆锥曲线中的范围最值问题 1．【答案】B 【详解】由题意可知： ，左准线方程为 ， 故设，则, 当在轴上，此时为0，时当不在轴时， 在中，由余弦定理得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，由于,故最大为， 故选：B 2.【答案】D 【详解】设直线的斜率为k，则直线的方程为， 由题意得直线与抛物线C有交点，联立方程， 得， 当时，，即； 当时，，解得且， 综上所述，k的最大值为． 故选：D． 3.【答案】D 【详解】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：， 所以以为直径的圆与椭圆有四个交点，则，所以，所以． 故选：D． 4．【答案】C 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，，，解得或（舍去）， 故选：C. 5.【答案】C 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 6.【答案】B 【详解】因为关于直线的对称点分别为， 易知点都在曲线上，所以曲线关于对称， 因为满足曲线方程，所以在斜椭圆上， 设的中点为，则， 联立，得或，所以， ， 当位于点时，最大，此时. 故选：B 7.（多选题）【答案】BCD 【详解】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为， 所以，，， 把代入椭圆方程得，两式相减得， 整理得，即，所以， 所以椭圆方程为， 设， 则， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值， 故选：BCD 8.【答案】 【详解】如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 题型九 圆锥曲线中直线过定点问题 1．【答案】A 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由，得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 2.【答案】B 【详解】当直线垂直于轴时，设其方程为，，则， 由，可得，解得，此时直线：，恒过定点； 当直线的斜率存在时，设其方程为代入抛物线，得， 设，则，且，， 所以 ，解得，则直线，恒过定点. 综上，可得直线过定点， 故选：B. 3.【答案】A 【详解】设，，则，， 设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，， ，，所以直线l一定过定点. 故选：A． 4.【答案】D 【详解】由，结合，可得，又，则， 故椭圆的方程为，A为(2，0)﹒ 设，，则， 由得，即， 设直线，由，得 ， 由得，则，， 由 得， 将 代入上式可得， 则，即， ∴(此时直线过右顶点，应舍去)或， 则直线的方程为，即，则直线在轴上的截距为． 当l斜率不存在时，设l为x=t≠2， ∵，则AE⊥AF，根据椭圆对称性可知E、F的坐标为(t,±(2－t))， 代入椭圆的方程可求得或t＝2(舍去)． 综上，直线l在x轴上的截距为． 故选：D． 5.【答案】A 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴，∴直线BD方程为． 令，得；∴故直线BD过定点． 故选：A 6.【答案】B 【详解】设，由题意，且， 点的轨迹是以E，F为左、右焦点的椭圆，长轴长，焦距，； 所以椭圆的标准方程为：， 设，所以， 因为，所以， 若直线AB的斜率不存在，则， 此时两条直线MA、MB的斜率分别为：， 因为，则，化简得到， 又因为，解得，即直线为轴，不合题意； 设直线AB：， 联立方程，得到， 由，， 因为，所以， 化简得到， 即， 化简得到，解得， 当时，直线为，恒过点，与题意不符（异于M），舍去； 当时，直线为，恒过点. 7.（多选题）【答案】AB 【详解】设，.如图： 由得， ， 则，. 因为，所以，又， 所以， 所以有，，故A正确； 所以，即椭圆过定点，故B正确； 由可知 ， 又，所以 ， 所以，所以. 所以的取值范围为.又，故C错误，且D错误. 故选：AB 8.【答案】 【详解】设，则， 即， 又， 则有， 则对于而言，当时，，即直线过定点． 同理，也过定点，则可知直线和的交点坐标为． 故答案为：． 题型十 圆锥曲线中存在定点满足条件问题 1．【答案】D 【详解】设，为椭圆上的一点，则 由焦半径公式得：， 若， 则，解得：． 椭圆上能够满足的点共有4个． 故选：D 2．【答案】D 【详解】由椭圆方程可知：，因此离心率 ，故①正确， 设,则，，由斜率公式可得 ,即，故②正确, 设，则直线的方程为，所以 故 联立直线与椭圆：的方程可得， 由根与系数的关系可得，将其代入中，又 ， 故， 所以 ,所以以为直径的圆过点，故④正确， ，故③正确， 综上，①②③④均正确， 故选：D 3．【答案】A 【详解】由题意得是等边三角形， 所以的周长为，所以， 令，则， 则，所以， 所以椭圆， 对于A，当点位于上下顶点时，最大， 此时的最小为， 故A错误； 对于B，设， 则， 所以的面积的最大值为，故B正确； 对于C，设， 则，所以， 又， 则， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，由A选项可知，最大时为锐角， 所以以点为直角顶点的不存在， 以点为直角顶点的分别有个， 所以上有且只有个点，使得是直角三角形，故D正确. 故选：A. 4．【答案】A 【详解】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即. 当时，，. 因为，所以. 将代入并整理得，由解得. 故选：A． 5.【答案】B 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立，可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线， 垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，. 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：B 6.【答案】A 【详解】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点， 设，则，，， 因为，所以，， 设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则， 则，故， 所以，显然不成立， 所以不存在这样的三角形满足这3个条件. 故选：A 7.（多选题）【答案】ACD 【详解】对于A，椭圆，则， 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确； 对于B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为，故B错误； 对于C，椭圆，则，所以以为直径的圆的方程为， 则，得，即，，结合图象可知圆与椭圆有四个交点，故C正确； 对于D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 8.【答案】/ 【详解】设， 联立，得，而， 则，且， 则， 则，，即的中点为， 由于是等边三角形，且直线的斜率为1， 则直线的斜率为，则直线的方程为，即， 设，则， 而， 由于，则，解得， 则或， 又点在双曲线上， 则或， 即或， 则或， 即或， 解得或（舍去）. 题型十一 圆锥曲线中的定值问题 1.【答案】A 【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 2．【答案】B 【详解】由题意得，又， 所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得，则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以． 故选：B 3.【答案】C 【详解】方法一：抛物线的焦点的坐标为，由题意可知：直线的斜率一定存在， 设，，直线的方程为， 与抛物线联立，得，恒成立， 则，， 所以，所以为钝角． 方法二：因为抛物线焦点在轴上，则，， 则，故为钝角． 故选：C. 4.【答案】B 【详解】设直线，，，    由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 5.【答案】D 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 6.【答案】D 【详解】因为弦过椭圆的左焦点， 所以的周长为，所以A错误； 设，，则，有，， 所以， 由，得，所以， 则有，所以B错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，所以C错误； 设，，， 所以， 则有，可得，故D正确． 故选：D 7.（多选题）【答案】ACD 【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程，得整理得，则，. 对于A，， 故时，的面积取得最小值，为2，故A正确； 对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为， 将代入，得，解得，， 所以，，所以，故B错误； 对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，， 所以， 又，所以，故C正确； 对于D，由前面的分析，知，， 设，则 ， 所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确. 故选：ACD 8.【答案】/ 【详解】由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则，， 因为，可得， 即，且，可得， 所以切线的方程为，同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为，则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以.故答案为：. 题型十二 圆锥曲线中向量共线的比例问题 1．【答案】A 【详解】如下图所示： 设点，易知点、，则，， 由，可得，解得，即点， 将点的坐标代入椭圆方程得，解得， 所以，故. 故选：A. 2．【答案】B 【详解】，且 四边形为平行四边形， . 故选：B. 3．【答案】C 【详解】如图所示； 是内心， 是的角平分线， . 又 ， . 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ， . ， ， . 由椭圆的定义得，， ，. 在中，由余弦定理得, ，化简得 . 该椭圆的离心率为. 4．【答案】D 【详解】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点 代入得 ，解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由 可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②，又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 5．【答案】B 【详解】设直线，直线，则， 联立解得， 则，所以，. 由可得，；① 联立解得， 则，所以，. 由可得，；② 又，所以， 所以；③ 联立①②，得，， 代入③中，得，则． 故选：B. 6.【答案】C 【详解】如图，因为，故设， 则，，． 在中，， 由余弦定理得， 化简得，即， 可得，所以为等边三角形， 所以，在中， 由余弦定理得， 所以离心率为． 7.（多选题）【答案】ACD 【详解】设双曲线的焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，则，所以.所以. 对于A，若， 则的周长为，所以A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为. 当直线的斜率为时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点，不合题意， 所以B不正确. 对于C，设直线的方程为，联立双曲线的方程，得. . ，所以. 所以，；即的中点为. 由，得. 所以的中点为，即. 所以的中点与的中点重合，记为，则. 所以若，则的值只能为.所以C正确. 对于D，设直线的方程为，联立双曲线的方程，得. ；. 因为，所以，所以. 所以 ，. 若的内切圆半径分别为， 则， . . 由，得，所以，所以， 即恒成立.所以D正确. 故选：ACD. 8.【答案】 【详解】直线过点且斜率为，则直线的方程为. 令，得，. 联立直线与椭圆方程，整理得：. 设，则. ，. ，，即. 又，代入整理得：，. 故答案为： 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆锥曲线选填题（高效培优专项训练） 数学新教材人教版高二上期 题型一 判断直线与圆锥曲线的位置关系 题型二 圆锥曲线的切线 题型三 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数或其范围 题型四 圆锥曲线的弦长 题型五 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题 题型六 圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 题型七 圆锥曲线的中点弦 题型八 圆锥曲线中的范围最值问题 题型九 圆锥曲线中直线过定点问题 题型十 圆锥曲线中存在定点满足条件问题 题型十一 圆锥曲线中的定值问题 题型十二 圆锥曲线中向量共线的比例问题 题型一 判断直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 2．（22-23高二上·湖北咸宁·期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 4．（2025高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 7.（多选题）（25-26高二上·广东深圳·期中）双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 8.（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作_________条（填“条数”）． 题型二 圆锥曲线的切线 1．（24-25高二下·福建莆田·阶段检测）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（24-25高二下·江苏南京·开学考试）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线上的一点P（异于原点O）作C的切线l，过O作l的平行线交PF（F为C的焦点）于点Q，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（    ） A．18 B．24 C．27 D．36 6.（2026高二上·全国·专题练习）若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 7.（多选题）（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（    ） A．当时， B．当时，抛物线在点处的切线方程为 C．以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D．经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 8.（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知椭圆的方程为，点P的坐标为，则过点P且与椭圆相切的直线方程为________． 题型三 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数或其范围 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7.（多选题）（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的实轴长为3 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与的右支有两个公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 8.（26-27高二上·全国·课后作业）已知双曲线上存在关于直线对称的两点，，则实数的取值范围为________． 题型四 圆锥曲线的弦长 1.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 3.（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 6.（24-25高二上·广东·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（多选题）（25-26高二下·湖北·期中）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的斜率为 B．若为等边三角形，则 C．若，则直线的倾斜角为 D．若的面积为，则 8.（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是_______. 题型五 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题 1．（23-24高二上·湖北·阶段检测）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的短半轴长度为（    ）天文单位． A． B． C． D． 2.（22-23高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与交于两点，若满足的直线有且仅有1条，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．或 3.（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 4.（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段长度的最小值为3 B．若，则 C．若点的坐标为，则直线，的斜率之和为0 D．上一动点到直线的距离的最小值为 8.（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，左､右焦点分别为，离心率为，椭圆上两点（在轴上方），满足，设点关于轴的对称点为，记的外接圆半径为，的内切圆半径为，则的值为__________. 题型六 圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 1．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C．3 D．2 3.（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，直线与交于点，，若四边形的面积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，已知直线与椭圆恰有一个公共点与圆相交于两点，点与点关于坐标原点对称，若的面积可取到最大值，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．16 C．7 D．8 7.（多选题）（25-26高二下·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（    ） A．的离心率为 B．的最大值为5 C．存在四个不同的点，使得的面积为1 D．存在四个不同的点，使得为等腰三角形 8.（25-26高二上·河北唐山·期中）已知直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），则的面积为________． 题型七 圆锥曲线的中点弦 1．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 4.（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 7.（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点，使得 C．直线的方程为 D．的周长为 8.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 题型八 圆锥曲线中的范围最值问题 1．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 3.（23-24高二上·广东惠州·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若上存在无数个点满足：，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 5.（25-26高二上·浙江宁波·期末）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C． D． 7.（多选题）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 8.（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 题型九 圆锥曲线中直线过定点问题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高二上·福建漳州·期中）已知椭圆的右顶点为A，离心率为，若直线与椭圆交于两点(不是左、右顶点)且满足，则直线在轴上的截距为(    ) A． B． C．或 D． 5.（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·安徽安庆·期末）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用半径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内取一定点，且.把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；展开纸片后留下折痕，与折痕交于点.不断重复此过程，得到动点的轨迹为曲线.以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知点在曲线上，过点作两条斜率之积为的直线，分别交曲线于，两点，则直线恒过的定点坐标为（   ） A． B． C． D． 7.（多选题）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点，点关于原点对称，若，则（    ） A． B．椭圆过个定点 C．存在实数，使得 D． 8.（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，点和为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶点均在拋物线上），且均以点为直角顶点，则直线与直线的交点坐标为______． 题型十 圆锥曲线中存在定点满足条件问题 1．（20-21高二上·浙江宁波·期中）已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆C上的点P满足∠F1PF2＝90°，则点P的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（22-23高二上·四川德阳·期中）已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（    ） ①椭圆的离心率为；②；③；④以为直径的圆过点. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于，两点，，若点是椭圆上的动点，则下列说法错误的是（   ） A．的最小值为 B．的面积的最大值为 C．的取值范围为 D．上有且只有个点，使得是直角三角形 4．（21-22高二下·河南南阳·阶段检测）已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 6.（24-25高二下·上海·期末）已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 7.（多选题）（25-26高二上·江苏常州·期中）已知椭圆，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法中正确的是（   ） A．若过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为 C．以为直径的圆与椭圆有四个不同的交点 D．的内切圆半径的最大值为 8.（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线和双曲线交于两点．若双曲线C上存在一点R使得是等边三角形，则______． 题型十一 圆锥曲线中的定值问题 1.（22-23高二下·湖北·期中）已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·全国·课前预习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点为坐标原点，则是（    ） A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点位置有关 4.（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 5.（24-25高二上·福建龙岩·阶段检测）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 6.（25-26高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线 与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．当时，若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 7.（多选题）（25-26高二上·河南南阳·期中）已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最小值为2 B．当直线的倾斜角为时， C．线段的中点到的准线的距离等于 D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 8.（25-26高二上·江苏南通·期中）从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 题型十二 圆锥曲线中向量共线的比例问题 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在椭圆中，为下顶点，、为左、右焦点，延长交椭圆于，，则焦距与的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西九江·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽·期中）已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 7.（多选题）（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是（    ） A．若，则的周长为20 B．直线斜率的取值范围是 C．若，则实数只能为1 D．若的内切圆半径分别为，则恒成立 8.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $