重庆市名校联盟2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

数学答案（高2027届) 1.A【解析】易知3-4=V32+4=5,所以z=5,=。 51-2i) =1-2i. -1+2i(1+21)1-21） 2.C【解析】因为x=x,即x3-x=0,解得x=0,x2=l,=-1,则A={0,1,-1,故 A∩B={0,1}. 3.A【解析】由x2<3,得-√5<x<√5. 由2x+1<5,得-5<2x+1<5,解得-3<x<2; 因为-V5<x<V5→-3<x<2,-3<x<2推不出-V5<x<5, 所以“x2<3”是“|2x+1K5”成立的充分不必要条件. 4.c【解析】由题设2a+b=(-1,2+),又a1(2a+b),则a-(2a+b)=1+2+1=0,可 得t=-3. 5.D【解析】因为an1=3Sn+3,所以当n≥2时，an=3Sn+3. 两式相减，得an1-an=3an,所以an+1=4an,即等比数列{an}的公比为9=4， 当n=1时，a2=4a1=3a1+3,解得a=3,所以an=3×4"-,所以a4=3×43=192. 6.A【解析】由得4 sinacosa=-2sin2a,又因为sina≠0，故2cosa=-sina,故tana=-2, 因此l+sin2g_sin'a+cos2a+2 sinacoa (sina+cosa)2 cos2a cos2 a-sin2 a (cosa-sina)(cosa +sina) sina+cosa tana+1(-2)+1 1 cosa-sina 1-tana 1-(-2) 31 7B【解折】函数y=a+2r-在xe[日e]内有丙个零点，即a=-2加rxe[ 有两解令f)=r-21x,则fy=2r-, 当xe[时，了<0，当xeLe时，了)>0，散当x=1时，f取最小值1， 又f0a+2<f)=e2-2,所以ae日+2， 故选：B 8A【解行1由题盒得：a6-的子又a5e小，所以a6-之 第1页共8页（高2027届数学） 设=0（引5=0丽-(5=圆所标。 由a-c6-c行所以CacB-子所以∠4CB=号 所以∠ACB+∠AOB=π，所以O,A,B,C四点共圆， 又这点oao叭停 三点的圆D的圆心D(xo,yD)在y轴上，所以 xD=0, 接0，由o-0,所以-w-, 解得yo=1, 所以过点oQo叭4停引到副三有的属0前方程为4+0-旷- 由a-b=(N3,0,令E(-V3,0,连接EC,ED,DC, 所以a-b+c=OC-OE=EC, 又点c在圆D上，且满足+0--2<ys2,所以1DG=1, ED=V5+P=2,所以a-b+d=ECs ED+Dd=3. 9.AC【解析】在同一坐标系中作出函数f(x)=2,g(x)=2x的草图如下，由图可知： y=f(x) =g(x)/小012 对A:函数f(x)与g(x)的图象仅有(1,2)，(2,4)两个公共点，故A正确； 第2页共8页（高2027届数学） 对B:不等式f(x)>g(x)的解集为(-o,)U(2,+o),故B错误； 对C:不等式f(x)<g(x)的解集为(L,2),故C正确： 对D:,当x→-o和x→+o时，y=f(x)-g(x)》→+o,无最大值，故D错误. 10.BC【解析】对于A,因为a>0,b>0,4=a+b≥2√ab,所以ab≤4， 当且仅当a=b=2时取等号，即a≤行，所以a-音≤0，所以A不正确： a b 4a b 当且仅当a=b=2时取等号，所以B正确： 对于c,因为Va+B 2 W@'+(b-2,所以a+b≤22， 2 当且仅当a=b=2时取等号，所以C正确； 对于D,因为a>0,b>0,且a=4-b,所以a2+3b2=(4-b)2+3b2=4b-1)2+12, 又因为0<b<4,可得12≤4(b-1)2+12<48,所以D不正确. 11.BCD【解析】选项A:若4=2，根据定义，正整数1≤S,但数列各项均为正整数且 an≥an1,后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示1，与条件矛盾，选项A错误； 选项B:当n=3时：为使能表示的正整数范围最大，数列应取a=1,a=2,4=4, 此时可表示的最大数为1+2+4=7<15，故n=3无法满足S=15; 当n=4时：数列取1,2,4,8，其和为1+2+4+8=15，且取1,2,4,8中若干项之和可表示1到 15的所有整数，因此n=4满足条件，故n的最小值为4，选项B正确； 选项C:设数列首项为a,公比为9（q>1且为正整数)，数列单调递增， 由条件可知，1必须能被表示，故4=1，数列变为1,9,9，，9， 要表示2，则q=2(若q23,无法表示2)，验证公比为2时，1,2,4,8，…可通过项的和 表示任意正整数，符合条件，选项C正确； 选项D:记Sk1=a+a2+.+ak-,假设a>S1+1, 由题干得a≥a1,则S1+1<a.≤ak1≤..≤an, 此时正整数S-1+1≤S,无法用前k-1项的和表示（最大值为Sk-1),也无法用a及后续 项（均大于S+1)表示，与题设矛盾， 故假设不成立，即a+a2+..+ak-1+1≥a,选项D正确。 12.2e2【解析】因为lh2<2,所以f(n2)=f(2+ln2)=e22=2e2 13将【解标】因为ueo引引则a+BeQ动， 且mB-手cosa+到-号，则eos月=1-smB-} 4 第3页共8页（高2027届数学） 如a+-oa+A-=是，所议 cosa-c0[(a+p)-]-c0s(a+p)cosB+sin(a+)sinp--34 25'2510 14.45【解析】 ab ab 当且仅当号总，即a子6名时，等号成立。 6 A 因为--可g，当且仅当=6-时等号立 所以c2+bc21 ahC+d≥5c+45, 当且仅当-兰，即心-行时，等号成立 故ae2+bc2 ab 15.【解折】(1)mm,2引sinx+V5coar)-6inx=0, 2分 .'tanx= 5 3 …4分 ∴x=km+匹(keZ). 5分 6 (2)f(x)=mn, f(x)=9+sinx(sinx+cosx)=sin+sinxcosx+9... 6分 10分 令2km-≤2x-≤2m+得m-sx≤m+keZ), 6 6 一f八单调递增区间是a-云似+写e2). 12分 值城为[引 …13分 16.【解折】1)由/)-得r)=22_2 er 1分 第4页共8页（高2027届数学） 令f'(x)=0得x=0或x=2, f-=e,f0=0,f)-,f-, 3分 当x在[-l,3]上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f'(x) 0 0 9 f(x) 4 因为f(-1)>f(2),f(3)>f(0), 所以f(x)在[-l,3]上的最大值为f(-1)=e,最小值为f0)=0. .7分 (2)因为f=,定义域为R 设过原点的阿线与曲线)=。的切点为化，(6》，则切线斜率k=了化。 所以切线方程为y-f(x)=f'(x0)(x-X),.9分 由切线过原点得/6)=f化)即三=气化，解得飞=0或=1…1分 当x。=0时，切点为(0,0)，切线的斜率为f'(0)=0,所以切线方程为y=0: 当x=1时，切点为 切线的斜率为f()=,所以切线方程为y-】(x-), 1 即y=一x 综上，所求切线方程为y=0和y=一x. .15分 e 17.【解析】(1)由(sinB+sinC)=sinBsinC+sin2A, 得sin2B+sin2C-sin2A=-sinBsinC,… …1分 故由正弦定理得b2+c2-a2=-bc,… 2分 由余弦定理得cosA=+c2-d 1 4分 2bc 2 又因为A∈(0，，所以A=2 37 .6分 a=24V3 (2)由正弦定理可得sinA sin？ 视2π3,7分 3 第5页共8页（高2027届数学） 所以b= 4 3 sin B.c= -sin C, 9分 3 由A-可得B+C=骨即C-骨ABe0》 3 b+c=45V3 sin B+- 13分 3 2 当B+弩-2即8-爱时，smB+写到有最大值1，故6+e有最大值45， 所以△ABC周长的最大值2+4 3 .15分 18【解折】0证剪：0=3+2，则号会+1-引经+ 1分 当m=1时，28=4-2+1，又4=5，所以4=8=1：首项号+1-0，所以侵+} 是以为首项，弓为公比的等比数列： 3分 是+1)，所以a- .4分 20由w知，6=][引 因为3”=(4-1)”=C4”+C,4"(-1)+…+C4×(-1)+C%(-1) =4×[C%40-1+C40-2(-1)+…+CW(-1)-+C%(-10,7分 当为时，[ 当为属数时[散引 ,(用不完全归纳酌情扣分)…8分 所以T2026=G+C3+…+C2025+C2+C4+…+C2026 =3+33+…+32025 3,32+34+…+3202 -1013×2+ -1013× 4 4 4 131-32026 3202 =一X -1013= 10分 4 1-3 -1013-3 8 8 (i)存在n∈N*使得不等式c,≤2” 4成立， 3 3 n+ 将其参变分离，得：几≥ 4令 Cn+ g(n)= 4,等价于求g(n)mn…11分 2" 第6页共8页（高2027届数学） 当为商数时：g0训-行。 显然随着奇数m的增大而单调递增，故入≥g山=} .13分 当为供时8-+ sa+2-8++ 5×3”-6 2n+4 .15分 因为n≥2时，5×3”-6>0，所以g(n+2)>g(n),所以偶数项的最小值为g(2)= 11 16 由于80<g(2),故1的最小值为 …17分 8 19.【解析】(1)由f(=a(x-)e+2r,a>-,得xeR,f=ae+x…1分 若a≥0，则ae+1>0,当x∈(-o,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，…2分 当x∈(0，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 当-1<a<0时， 令f(x)=0,得x=0或x=n 且有n(》0, 当x∈(-o,0),则f'(x)<0,f(x)单调递减， 当xon》 则f'(x)>0,f(x)单调递增， 当xe( 则f'(x)<0,f(x)单调递减： 4分 综上，当a≥0时，f(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增： 当-1<a<0时，f(x)在(-o,0)上单调递减， 在Q(日》上单递瑞，在（日》口 上单调递减5分 (2)f(倒对x[0+m)恒成立，即f(e以之月 由(1)知，当a≥0时，f(x)在[0，+o)上单调递增， 所以f(xn=f0)=a0-1)e+x02=-a, 则-2解得a57所以0≤a分： 7分 第7页共8页（高2027届数学） 当-1a<0时，四在Qh》上单调递增，在n(》+上单调递减 f(0)=-a, 当x→+o时，f(田→0，不满足f(x)≥-， 9分 综上，a的取值范国是0引 10分 (3)证明由(12)得，当a=2时，f)=x-e+),f在0+o)上单调递增， 所以国2f0=即c-e+2 2 2 2 当0≤x<1时，整理，得e≤+ ,12分 1-x 令x=(n≥2，且neN), 2n 得e2n≤ 4n+L=1+ 2n+1=1+ 21+ 1=2n-1,.14分 1- 4n2-2n 4n2-2n 2n-2+ 2n-22n-2 2n 2n+1 两边同时取自然对数，得，<n 2n-1 .15分 2n 2n-2’ 则叶好号-h ，7。 -=n 2n-2"2×4×6×…×(2n-2) 即当m22且neN时，++片子2h35x7X- 2×4×6×.…×(2n-2) 17分 第8页共8页（高2027届数学） 数学试卷（高2027届） 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知平面向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设向量，，满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列说法正确的是（ ） A．与图像有两个公共点 B．的解集为 C．的解集为 D．有最大值和最小值 10．若，，，则（ ） A． B． C． D． 11．设数列，，…，各项均为正整数，满足，其所有项的和为，若对于任意正整数，，为数列中的某一项或若干项的和，则（ ） A．可能为 B．当时，的最小值为 C．当该数列为递增的等比数列时，其公比为 D．对任意的，，…，，都有 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则________． 13．已知、都是锐角，，，则________． 14．正实数，，，满足且，则的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，，函数 （1）若，求的值； （2）求函数的单调递增区间和值域． 16．（15分）已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 17．（15分）的内角，，的对边分别为，，，设． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 18．（17分）设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设． （i）求数列的前项和； （ii）若存在不等式成立，求实数的最小值． 19．（17分）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）当且时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $秘密★启用前。 【考试时间：2026年10月29日15：00一17：00】 数学试卷（高2027届） 0(0 本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。 证学法法容酒海真减商（写 注意事项： 城面高民将函随义宝 ▣ 1,作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 昌 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若z(1+21）=3-41,则z=() 口 A.1-2i B.1+2i c.9 p 2.若集合A={x=x},B={x0≤x≤，则AnB=（ ) (代「)，P A. B.1 c.{0,} D.{0,-1,} 单验x八年 3.”x2<3"是"|2x+1K5"成立的() A.充分不必要条件 图雷果的来B.必要不充分条件 ≤()几张 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知平面向量ā=(-1，)，=（自，），若a1(2a+),则1=（) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5.已知Sn为等比数列{a}的前n项和，若a=3Sn+3,则a,=（) 如 A.18 B.24 C.48 D.192 数 6.已知2im2a=c0s2a-1(s血a≠0，则+sim20-() cos2a A月 B.-3 C.3 D.±3 7.者数y=+2x在。小 内有两个零点，e=2.718…是自然对数的底数，则实数 a的取值范围是() 第1页共4页（高2027届数学） A.(1,e2-2] C.2-2 D.(3,。-2] 共疆本客微，四 8.设向量a.6c满足同--1，a6=号且ā-e与6-e的夹角为号则白-6+的最 大值为() 强的常，卷（国 A.3 B.4 的C.5眼断背维的保八薄D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.已知fx)=2,g(x)=2x,则下列说法正确的是（) A.f(x)与g(x)图像有两个公共点 B.f(x)>g(x)的解集为(-o,1) C.f(x)<g(x)的解集为，2) D.y=f(x)-g(x)有最大值和最小值 10.若a>0,b>0,a+b=4,则() Aa0 B.1+1 a b C.√a+b≤22 D.12<a2+3b2<48 11.设数列a,a2,,a,（(n≥2)各项均为正整数，满足a≥a(n≥2)，其所有项的和 为S,若对于任意正整数m,m≤S,m为数列中的某一项或若干项的和，则()「 A.a可能为2 kniamied mie=mia nia B.当S=15时，n的最小值为4 :北() C。当该数列为递增的等比数列时，其公比为2卧大桌的来，。( D.对任意的k=2,3,,n,都有4+42+…+a1+1≥a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)= e,x≥2 /x+2,x<2'则/(a2)=. 13.已知a、B都是锐角，加月=-手，oe+)=- 2,则osa= 第2页共4页（高2027届数学） 4.正实数a,h,c,d清足c>d且a+h=l,则女C+C+的最小值为 ab 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分)已知向量me(号simn=(6simx+5c0s,xeR,函数f=mn 8 (1)若m∥n,求x的值： 》长天 (2)求函数f(x)的单调递增区间和值域. ,中贵的出量暖小量年。众8共，代è服小君，强小8共本数， 曾资诗，食代暗身的拟数代格，食。卧的探数暗全，水要自塑合济预金青 合颜房烟双 代0黔的 )县的重斯销校T眼，=，公=联后， 16.(15分)已知函数f(x)= 点共公个两言图以是庆，A (1)求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值； (2)求f(x)过原点的切线方程 g0大聚微的习几，3 ),=6+。,0<d0<容，0 A 0< t00+6>.0 CC之A+y,0 床的亦其≤】≤常，漆盗面代面会(S≤用 少：低资货， 17.(15分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设意干，2 (sin B+sin C)2=sin Bsin C+sin24. S长验可.A (1)求A; 代身小量的n:顿1=？当9 (2)若a=2,求△ABC周长的最大值.S出公其，顺诞出白量试低邀对兰O 0S+D+一4+0官暗，，C=馆意台板，0 。价头，代己配小#小8共喝本空其，日 =sc4 =八爱西脱5太 =go项，=代+0)0，=A2,成端05 第3页共4页（高2027届数学） 18.(17分)设数列{a,}的前n项和为S,已知a=3a,+2”,且a=5.★ (1)证明： 径+小为等比数列，并求数列包，}的通项公式：学烫 (2)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字 定义的函数称为高斯函数f(x)=[x小，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[23]=2， 被，凝法，多视的后自就净是尘法，随善清 人春数省其，牙@得卉世资学部丝整，加答的S (1)求数列{cn}的前2026项和T6; 得草，等出，年烟接部吸束的归生，8 蹈 士()若存在nEN不等式c,名2成立，求实数2的最小值，服本单盖 的球要自退合你显一膏只，中 》顶话-=春， 8 A 19.(17分)已知函数f)-a(x-e号，a1.台果容 08 0月-A (1)讨论f(x)的单调性： ()立为”之列1景e女“，8 (2)若fy)之2对xe[0,+o)恒成立，求a的取值范围： 11 1 3x5×7×…x(2n-1） 梁理衣○的 3)当≥2且neN时，证明2有日2×4x6x*2n-2列：m与。 - LA 政无=，落序煎馆的{}低婆州容式么脱5 0,8 8. )=2间（0片n应)1n。=nCc职5a 姓 A 实尖的的是次参自：零个而- ()最周高卧速施 第4页共4页（高2027届数学）