重庆市万州中学开州中学等七校联盟2026-2027学年高三上学期10月联考数学试卷

数学答案（高2027届) 1.A【解析】易知3-4=V32+4=5,所以z=5,=。 51-2i) =1-2i. -1+2i(1+21)1-21） 2.C【解析】因为x=x,即x3-x=0,解得x=0,x2=l,=-1,则A={0,1,-1,故 A∩B={0,1}. 3.A【解析】由x2<3,得-√5<x<√5. 由2x+1<5,得-5<2x+1<5,解得-3<x<2; 因为-V5<x<V5→-3<x<2,-3<x<2推不出-V5<x<5, 所以“x2<3”是“|2x+1K5”成立的充分不必要条件. 4.c【解析】由题设2a+b=(-1,2+),又a1(2a+b),则a-(2a+b)=1+2+1=0,可 得t=-3. 5.D【解析】因为an1=3Sn+3,所以当n≥2时，an=3Sn+3. 两式相减，得an1-an=3an,所以an+1=4an,即等比数列{an}的公比为9=4， 当n=1时，a2=4a1=3a1+3,解得a=3,所以an=3×4"-,所以a4=3×43=192. 6.A【解析】由得4 sinacosa=-2sin2a,又因为sina≠0，故2cosa=-sina,故tana=-2, 因此l+sin2g_sin'a+cos2a+2 sinacoa (sina+cosa)2 cos2a cos2 a-sin2 a (cosa-sina)(cosa +sina) sina+cosa tana+1(-2)+1 1 cosa-sina 1-tana 1-(-2) 31 7B【解折】函数y=a+2r-在xe[日e]内有丙个零点，即a=-2加rxe[ 有两解令f)=r-21x,则fy=2r-, 当xe[时，了<0，当xeLe时，了)>0，散当x=1时，f取最小值1， 又f0a+2<f)=e2-2,所以ae日+2， 故选：B 8A【解行1由题盒得：a6-的子又a5e小，所以a6-之 第1页共8页（高2027届数学） 设=0（引5=0丽-(5=圆所标。 由a-c6-c行所以CacB-子所以∠4CB=号 所以∠ACB+∠AOB=π，所以O,A,B,C四点共圆， 又这点oao叭停 三点的圆D的圆心D(xo,yD)在y轴上，所以 xD=0, 接0，由o-0,所以-w-, 解得yo=1, 所以过点oQo叭4停引到副三有的属0前方程为4+0-旷- 由a-b=(N3,0,令E(-V3,0,连接EC,ED,DC, 所以a-b+c=OC-OE=EC, 又点c在圆D上，且满足+0--2<ys2,所以1DG=1, ED=V5+P=2,所以a-b+d=ECs ED+Dd=3. 9.AC【解析】在同一坐标系中作出函数f(x)=2,g(x)=2x的草图如下，由图可知： y=f(x) =g(x)/小012 对A:函数f(x)与g(x)的图象仅有(1,2)，(2,4)两个公共点，故A正确； 第2页共8页（高2027届数学） 对B:不等式f(x)>g(x)的解集为(-o,)U(2,+o),故B错误； 对C:不等式f(x)<g(x)的解集为(L,2),故C正确： 对D:,当x→-o和x→+o时，y=f(x)-g(x)》→+o,无最大值，故D错误. 10.BC【解析】对于A,因为a>0,b>0,4=a+b≥2√ab,所以ab≤4， 当且仅当a=b=2时取等号，即a≤行，所以a-音≤0，所以A不正确： a b 4a b 当且仅当a=b=2时取等号，所以B正确： 对于c,因为Va+B 2 W@'+(b-2,所以a+b≤22， 2 当且仅当a=b=2时取等号，所以C正确； 对于D,因为a>0,b>0,且a=4-b,所以a2+3b2=(4-b)2+3b2=4b-1)2+12, 又因为0<b<4,可得12≤4(b-1)2+12<48,所以D不正确. 11.BCD【解析】选项A:若4=2，根据定义，正整数1≤S,但数列各项均为正整数且 an≥an1,后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示1，与条件矛盾，选项A错误； 选项B:当n=3时：为使能表示的正整数范围最大，数列应取a=1,a=2,4=4, 此时可表示的最大数为1+2+4=7<15，故n=3无法满足S=15; 当n=4时：数列取1,2,4,8，其和为1+2+4+8=15，且取1,2,4,8中若干项之和可表示1到 15的所有整数，因此n=4满足条件，故n的最小值为4，选项B正确； 选项C:设数列首项为a,公比为9（q>1且为正整数)，数列单调递增， 由条件可知，1必须能被表示，故4=1，数列变为1,9,9，，9， 要表示2，则q=2(若q23,无法表示2)，验证公比为2时，1,2,4,8，…可通过项的和 表示任意正整数，符合条件，选项C正确； 选项D:记Sk1=a+a2+.+ak-,假设a>S1+1, 由题干得a≥a1,则S1+1<a.≤ak1≤..≤an, 此时正整数S-1+1≤S,无法用前k-1项的和表示（最大值为Sk-1),也无法用a及后续 项（均大于S+1)表示，与题设矛盾， 故假设不成立，即a+a2+..+ak-1+1≥a,选项D正确。 12.2e2【解析】因为lh2<2,所以f(n2)=f(2+ln2)=e22=2e2 13将【解标】因为ueo引引则a+BeQ动， 且mB-手cosa+到-号，则eos月=1-smB-} 4 第3页共8页（高2027届数学） 如a+-oa+A-=是，所议 cosa-c0[(a+p)-]-c0s(a+p)cosB+sin(a+)sinp--34 25'2510 14.45【解析】 ab ab 当且仅当号总，即a子6名时，等号成立。 6 A 因为--可g，当且仅当=6-时等号立 所以c2+bc21 ahC+d≥5c+45, 当且仅当-兰，即心-行时，等号成立 故ae2+bc2 ab 15.【解折】(1)mm,2引sinx+V5coar)-6inx=0, 2分 .'tanx= 5 3 …4分 ∴x=km+匹(keZ). 5分 6 (2)f(x)=mn, f(x)=9+sinx(sinx+cosx)=sin+sinxcosx+9... 6分 10分 令2km-≤2x-≤2m+得m-sx≤m+keZ), 6 6 一f八单调递增区间是a-云似+写e2). 12分 值城为[引 …13分 16.【解折】1)由/)-得r)=22_2 er 1分 第4页共8页（高2027届数学） 令f'(x)=0得x=0或x=2, f-=e,f0=0,f)-,f-, 3分 当x在[-l,3]上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f'(x) 0 0 9 f(x) 4 因为f(-1)>f(2),f(3)>f(0), 所以f(x)在[-l,3]上的最大值为f(-1)=e,最小值为f0)=0. .7分 (2)因为f=,定义域为R 设过原点的阿线与曲线)=。的切点为化，(6》，则切线斜率k=了化。 所以切线方程为y-f(x)=f'(x0)(x-X),.9分 由切线过原点得/6)=f化)即三=气化，解得飞=0或=1…1分 当x。=0时，切点为(0,0)，切线的斜率为f'(0)=0,所以切线方程为y=0: 当x=1时，切点为 切线的斜率为f()=,所以切线方程为y-】(x-), 1 即y=一x 综上，所求切线方程为y=0和y=一x. .15分 e 17.【解析】(1)由(sinB+sinC)=sinBsinC+sin2A, 得sin2B+sin2C-sin2A=-sinBsinC,… …1分 故由正弦定理得b2+c2-a2=-bc,… 2分 由余弦定理得cosA=+c2-d 1 4分 2bc 2 又因为A∈(0，，所以A=2 37 .6分 a=24V3 (2)由正弦定理可得sinA sin？ 视2π3,7分 3 第5页共8页（高2027届数学） 所以b= 4 3 sin B.c= -sin C, 9分 3 由A-可得B+C=骨即C-骨ABe0》 3 b+c=45V3 sin B+- 13分 3 2 当B+弩-2即8-爱时，smB+写到有最大值1，故6+e有最大值45， 所以△ABC周长的最大值2+4 3 .15分 18【解折】0证剪：0=3+2，则号会+1-引经+ 1分 当m=1时，28=4-2+1，又4=5，所以4=8=1：首项号+1-0，所以侵+} 是以为首项，弓为公比的等比数列： 3分 是+1)，所以a- .4分 20由w知，6=][引 因为3”=(4-1)”=C4”+C,4"(-1)+…+C4×(-1)+C%(-1) =4×[C%40-1+C40-2(-1)+…+CW(-1)-+C%(-10,7分 当为时，[ 当为属数时[散引 ,(用不完全归纳酌情扣分)…8分 所以T2026=G+C3+…+C2025+C2+C4+…+C2026 =3+33+…+32025 3,32+34+…+3202 -1013×2+ -1013× 4 4 4 131-32026 3202 =一X -1013= 10分 4 1-3 -1013-3 8 8 (i)存在n∈N*使得不等式c,≤2” 4成立， 3 3 n+ 将其参变分离，得：几≥ 4令 Cn+ g(n)= 4,等价于求g(n)mn…11分 2" 第6页共8页（高2027届数学） 当为商数时：g0训-行。 显然随着奇数m的增大而单调递增，故入≥g山=} .13分 当为供时8-+ sa+2-8++ 5×3”-6 2n+4 .15分 因为n≥2时，5×3”-6>0，所以g(n+2)>g(n),所以偶数项的最小值为g(2)= 11 16 由于80<g(2),故1的最小值为 …17分 8 19.【解析】(1)由f(=a(x-)e+2r,a>-,得xeR,f=ae+x…1分 若a≥0，则ae+1>0,当x∈(-o,0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，…2分 当x∈(0，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 当-1<a<0时， 令f(x)=0,得x=0或x=n 且有n(》0, 当x∈(-o,0),则f'(x)<0,f(x)单调递减， 当xon》 则f'(x)>0,f(x)单调递增， 当xe( 则f'(x)<0,f(x)单调递减： 4分 综上，当a≥0时，f(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增： 当-1<a<0时，f(x)在(-o,0)上单调递减， 在Q(日》上单递瑞，在（日》口 上单调递减5分 (2)f(倒对x[0+m)恒成立，即f(e以之月 由(1)知，当a≥0时，f(x)在[0，+o)上单调递增， 所以f(xn=f0)=a0-1)e+x02=-a, 则-2解得a57所以0≤a分： 7分 第7页共8页（高2027届数学） 当-1a<0时，四在Qh》上单调递增，在n(》+上单调递减 f(0)=-a, 当x→+o时，f(田→0，不满足f(x)≥-， 9分 综上，a的取值范国是0引 10分 (3)证明由(12)得，当a=2时，f)=x-e+),f在0+o)上单调递增， 所以国2f0=即c-e+2 2 2 2 当0≤x<1时，整理，得e≤+ ,12分 1-x 令x=(n≥2，且neN), 2n 得e2n≤ 4n+L=1+ 2n+1=1+ 21+ 1=2n-1,.14分 1- 4n2-2n 4n2-2n 2n-2+ 2n-22n-2 2n 2n+1 两边同时取自然对数，得，<n 2n-1 .15分 2n 2n-2’ 则叶好号-h ，7。 -=n 2n-2"2×4×6×…×(2n-2) 即当m22且neN时，++片子2h35x7X- 2×4×6×.…×(2n-2) 17分 第8页共8页（高2027届数学） 重庆市名校联盟(七校)高三上期联考 数学试卷 （高2027届） 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 若 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 若集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 3. “”是“ ”成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量 ，若 ，则 ( ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 5. 已知 为等比数列 的前 项和，若 ，则 ( ) A. 18 B. 24 C. 48 D. 192 6. 已知 ,则 ( ) A. B. -3 C. 3 D. 7. 若函数 在 内有两个零点, 是自然对数的底数,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 设向量 满足 ,且 与 的夹角为 ,则 的最大值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知 ,则下列说法正确的是( ) A. 与 图像有两个公共点 B. 的解集为 C. 的解集为 D. 有最大值和最小值 10. 若 ,则( ) A. B. C. D. 11. 设数列 各项均为正整数,满足 ,其所有项的和为 ,若对于任意正整数 为数列中的某一项或若干项的和,则( ) A. 可能为 2 B. 当 时, 的最小值为 4 C. 当该数列为递增的等比数列时, 其公比为 2 D. 对任意的 ,都有 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知函数 ,则 _____. 13. 已知 、 都是锐角， ，则 _____. 14. 正实数 满足 且 ，则 的最小值为_____. 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 15. (13 分) 已知向量 ，函数 (1)若 ，求 的值； (2)求函数 的单调递增区间和值域. 16. (15 分)已知函数 . (1)求 在 上的最大值和最小值； (2) 求 过原点的切线方程. 17. (15 分) 的内角 的对边分别为 ,设 (1)求 ； (2)若 ，求 周长的最大值. 18.(17 分)设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 . (1)证明: 为等比数列，并求数列 的通项公式； (2)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，设 . (i) 求数列 的前 2026 项和 ; (ii) 若存在 不等式 成立,求实数 的最小值. 19. (17 分) 已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)若 对 恒成立，求 的取值范围； (3)当 且 时，证明: . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $