专题04 抛物线及其应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题04 抛物线及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01抛物线的定义 考点02抛物线的标准方程与几何性质 考点03直线与抛物线的位置关系 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01抛物线的定点问题 难点解读02抛物线的定值问题 难点解读03抛物线的最值范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01抛物线的几何性质 题型02抛物线的综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01求抛物线的方程 重点02直线与抛物线相交弦长 重点03抛物线的中点弦问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01抛物线的定义及辨析 技法点拨02利用定义解决距离和差的最值问题 技法点拨03与抛物线有关的轨迹问题 技法点拨04直线与抛物线的位置关系 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01未考虑抛物线开口方向的多解性致错 易错点02遗漏斜率不存在的情况致错 易错点03判别式使用不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 抛物线的定义 1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线的集合表示：． 3、对抛物线定义的理解： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【新题对点练】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则， 由于，故. 考点02 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 3、抛物线的焦半径 （1）焦半径的定义：设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． （2）用坐标表示焦半径公式 ①抛物线，． ②抛物线，． ③抛物线，． ④抛物线，． 【注意】不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【新题对点练】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 考点03 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 4、抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 【新题对点练】（24-25高三下·黑龙江·开学考试）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条，故选：C. 难点解读01 抛物线的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 难点破解 【典例1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． （2）设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 【典例2】（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，动圆圆心P到点的距离比其到直线的距离大1， 圆心P到点的距离等于它到直线的距离， 圆心P的轨迹E是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设E的方程为（），则，，E的方程为． （2）当直线l斜率为0时，l与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线l的方程为，，，联立， 得，，，， ， ， ，或，由题（舍去），则，l过定点． 难点解读02 抛物线的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 难点破解 【典例1】（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【答案】(1)2；(2)；(3)，定值为2． 【解析】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 【典例2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线上的点到焦点的最短距离为1，过点作两条直线与抛物线分别交于点和，弦的中点分别为，记为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若点的坐标为（m，2），求直线方程； (3)若，直线交抛物线于两点（与在轴同侧），直线与轴交于点，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）抛物线，焦点， 根据抛物线的定义，抛物线上任意点到焦点的距离为， 因为，所以当时，距离最小为， 由题目可知，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，，因为在抛物线上， 所以，化简可得， 因为是的中点，， 所以， 因此，即， 因为焦点在直线上， 所以直线的方程为. （3）， 设直线的斜率，则由可得， 直线经过点，所以直线的方程为， 与抛物线联立可得， 化简可得， 设，是的中点， 根据韦达定理可得，则， 代入直线可得，即， 同理可得， 所以直线的斜率， 因此直线的方程为，即 令，代入化简可得， 因为，所以解得，即， 所以直线的方程为， 与抛物线联立可得，化简可得， 设，根据韦达定理可得，， 令，则，， ，， 因为在两侧，即，设，， 则，， 令，则， 设，则，解得或， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 因为与在轴同侧，所以与同号，分类讨论 当时，则，故要求，此时为负根，则， 且，所以，即； 当时，则，故要求，此时为正根，则， 且，所以，即， 综上所述，， 因为，，， 所以，， 因此， 所以. 难点解读03 抛物线的最值范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 难点破解 【典例1】（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)； 【解析】（1）证明：设，， 、为抛物线上不同的两点， 由得，则，. 由，得，即. 由题意，直线斜率不为，设其方程为. 与联立得. 由韦达定理得. 所以，解得. 故直线的方程为，恒过定点. （2）抛物线的焦点，如下图所示： 由（1）知直线过点，则. 由得. 则. 的面积. 当时，取得最小值，. 此时直线的方程为. 【典例2】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意设直线方程为：，设，， 联立消去可得，， 由韦达定理，，则， 由题意得，化简得． 解得或（舍），故抛物线方程为. （2）， 令，故， 由，当且仅当，即时等号成立， 故当，取得最大值． 素养进阶·答题技法突破 题型01 抛物线的几何性质 考情定位：新高考高频基础题型，以选择题、填空题为主，难度中等，侧重对抛物线本身图形特征的理解，常和定义结合考查，是综合大题的基础。 核心考法：围绕抛物线开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线这些基础要素命题；重点考查抛物线上点到焦点与到准线距离的转化，结合对称性分析线段、角度、最值问题；命题多以图像识别、距离转化、简单范围判断为主，计算量偏小。 解题要点：优先使用抛物线定义实现距离转换，看到焦点相关问题，马上联系准线；利用抛物线的对称性简化分析，减少分析情况；画图辅助，理清点、焦点、准线之间的位置关系，区分好不同开口方向对应的特征，避免焦点、准线位置记混。 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 题型02 抛物线的综合应用 考情定位：新高考解答题常考题型，压轴位置居多，综合性强，分值高，重点考查直线与抛物线的位置关系，对运算能力、逻辑推理能力要求较高。 核心考法：以直线和抛物线相交为载体，考查弦长、中点、面积、定点定值、最值与范围问题；常融合向量、距离、角度关系，设置探究性问题，部分题目需要分类讨论直线斜率是否存在。 解题要点：设好直线方程，联立抛物线方程，借助一元二次方程根与系数的关系搭建条件；遇到定点、定值问题，先通过特殊位置预判结果，再做一般性证明；注重设而不求、整体代换的思路，合理简化复杂代数运算；最后检验直线和抛物线是否满足相交的前提条件。 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（    ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 【典例2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD 重点01 求抛物线的方程 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 【典例2】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即，解得或， 故的方程为或. 重点02 直线与抛物线相交弦长 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 【典例1】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 【典例2】（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】如图，因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为， 因为直线的斜率为1，所以直线的方程为； 设直线MN的方程为， 由，消去得， 设，则，于是线段MN的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得， 所以， 所以. 重点03 抛物线的中点弦问题 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 【典例1】（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为.故选：C. 【典例2】（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 【答案】 【解析】由得，由题意知直线的斜率不为0， 所以设直线的方程为，， 联立消去得， ，则由韦达定理得，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 综上，直线OM的斜率的最大值为. 技法点拨01 抛物线的定义及辨析 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 【典例1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为， 所以，因此解得. 【典例2】（2026·山东·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 技法点拨02 利用定义解决距离和差的最值问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 【典例2】（2026·安徽淮南·一模）已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】抛物线焦点，准线方程， 如图，过点作于点，   由抛物线的定义可知， 由圆的性质，当且仅当为线段与圆的交点时等号成立， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时等号成立， 所以， 故的最小值为8. 技法点拨03 与抛物线有关的轨迹问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【典例1】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解：如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 【典例2】（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【解析】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 技法点拨04 直线与抛物线的位置关系 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 【典例1】（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 【答案】5 【解析】因为点为直线与抛物线的一个交点， 所以，且，故，解得， 故抛物线C的焦点为，，. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 易错点01 未考虑抛物线开口方向的多解性致错 辨析：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x轴上的抛物线，可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论． 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为.故选：D 【典例2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为.故选：C. 易错点02 遗漏斜率不存在的情况致错 辨析：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在的类型，设直线方程为可规避讨论． 【典例1】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意得，点在C上，故， 直线的斜率为，即， 所以，解得或16， 当时，，满足要求，当时，，不合要求， 故抛物线C的标准方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，线段的中点Q在直线上，不合要求，舍去， 设直线l的方程为，联立得， 设，则， 则， 故中点Q的纵坐标为， 线段的中点Q在直线上，故，解得， 故，，解得， ，， ， 由（1）知，则， ， 化简得且，解得， 故直线l的方程为. 【典例2】（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． (1)求； (2)证明：为钝角三角形； (3)求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以 ， 当时，的最小值为， 因为的最小值为4，所以，解得； （2）由（1）可得抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以为钝角三角形； （3）由题意可得的中点为，又， 所以的垂直平分线的方程为， 整理得①， 同理可得的垂直平分线的方程为②， ①-②，得， 所以， 所以，所以， ①+②，得 ， 又， 所以， 所以， 所以，所以. 易错点03 判别式使用不当致错 辨析：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”． 【典例1】（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【解析】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即， 因此，抛物线C的准线方程为. 2．（2026·四川南充·一模）设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为，所以，得，则， 则直线的斜率为， 故的方程为，即 3．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知为抛物线准线上一点，为的焦点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 由点在准线上，得，解得， 故，所以. 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以. 二、多选题 5．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（    ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【解析】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 6．（2026·山东威海·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（    ） A．若点，则的最小值为3 B．若点，则的最小值为3 C．抛物线C上存在两点关于直线对称 D．若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 【答案】AD 【解析】对于A，抛物线的焦点为，准线为，设，则． 过作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义得， 所以． 由三角形不等式得，又在准线上， 故不小于点到准线的距离3，所以． 当时，在上，，且三点共线，在线段上， 此时，故A正确； 对于B，设，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C，假设上存在两个不同的点，关于直线对称， 则，且垂直于该直线，因此，得． 线段的中点为，它在直线上，所以， 从而，即，与两点不同矛盾，故C错误； 对于D，设两条切线的交点为，切点为． 将抛物线写为，由知，在处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 切线经过，故，即． 设两切点的横坐标分别为，则，， 且该方程的判别式，所以任意实数都对应两个不同的切点． 两切点的纵坐标之和为，当且仅当时等号成立， 此时，两切点为，，故D正确． 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ，解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 三、填空题 8．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 9．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则______. 【答案】 【解析】由抛物线，可得，焦点 ，准线 ， 则过斜率为的直线方程为. 联立方程，整理得：，即， 解得（如图所示，在左，纵坐标更小，故的纵坐标为，为）. 由， 可得. 10．（2026·福建福州·三模）等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点都在该抛物线上，这个三角形的边长为__________. 【答案】或 【解析】抛物线的焦点为， 因为等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点， 另外两个顶点都在该抛物线上，则等边三角形关于轴对称， 所以两个边的斜率为， 其方程为， 由得， 当时，， 所以等边三角形的边长为； 当时，， 所以等边三角形的边长为； 故答案为：或. 四、解答题 11．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)6；(2) 【解析】（1）抛物线的焦点，设，， 由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得 ，， 所以． （2）由直线l过点，设直线l的方程为， 由消去x并整理得， 由，得， 且，， 则， 所以的取值范围为． 12．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，抛物线的焦点为．经过的上顶点，且的面积为． (1)求的方程； (2)当时，求的坐标； (3)若与除点外还有两个不同的交点，，求的面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)2 【解析】（1）椭圆的上顶点为， 抛物线过点，代入得，得，因此， 设椭圆半焦距为，则焦点，， 的面积，解得 所以，又， 故椭圆的方程为； （2）当时，抛物线的方程为，即， 因为抛物线， ，得，又抛物线的顶点，开口向下， 所以抛物线的焦点在顶点下方处，所以的坐标是； （3）将代入椭圆方程，得， 展开整理得， 对应上顶点，设另外两个交点的横坐标为， 则，由题意存在两个不同交点，故，得， 的纵坐标相同，均为，弦长， 抛物线的焦点为，即， 直线为水平线，因此到的距离， 故的面积， 令，则，代入化简得， 令， 所以 ， 当时，取得最大值，此时或，对应，均满足， 故面积的最大值为. 13．（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）证明：由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则， 得， 则直线恒过点. $专题04 抛物线及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01抛物线的定义 考点02抛物线的标准方程与几何性质 考点03直线与抛物线的位置关系 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01抛物线的定点问题 难点解读02抛物线的定值问题 难点解读03抛物线的最值范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01抛物线的几何性质 题型02抛物线的综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01求抛物线的方程 重点02直线与抛物线相交弦长 重点03抛物线的中点弦问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01抛物线的定义及辨析 技法点拨02利用定义解决距离和差的最值问题 技法点拨03与抛物线有关的轨迹问题 技法点拨04直线与抛物线的位置关系 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01未考虑抛物线开口方向的多解性致错 易错点02遗漏斜率不存在的情况致错 易错点03判别式使用不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 抛物线的定义 1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线的集合表示：． 3、对抛物线定义的理解： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【新题对点练】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点02 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 3、抛物线的焦半径 （1）焦半径的定义：设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． （2）用坐标表示焦半径公式 ①抛物线，． ②抛物线，． ③抛物线，． ④抛物线，． 【注意】不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【新题对点练】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 考点03 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 4、抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 【新题对点练】（24-25高三下·黑龙江·开学考试）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 难点解读01 抛物线的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【典例1】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【典例2】（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 难点解读02 抛物线的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【典例2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线上的点到焦点的最短距离为1，过点作两条直线与抛物线分别交于点和，弦的中点分别为，记为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若点的坐标为（m，2），求直线方程； (3)若，直线交抛物线于两点（与在轴同侧），直线与轴交于点，求证：． 难点解读03 抛物线的最值范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【典例1】（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 【典例2】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)求的最大值． 素养进阶·答题技法突破 题型01 抛物线的几何性质 考情定位：新高考高频基础题型，以选择题、填空题为主，难度中等，侧重对抛物线本身图形特征的理解，常和定义结合考查，是综合大题的基础。 核心考法：围绕抛物线开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线这些基础要素命题；重点考查抛物线上点到焦点与到准线距离的转化，结合对称性分析线段、角度、最值问题；命题多以图像识别、距离转化、简单范围判断为主，计算量偏小。 解题要点：优先使用抛物线定义实现距离转换，看到焦点相关问题，马上联系准线；利用抛物线的对称性简化分析，减少分析情况；画图辅助，理清点、焦点、准线之间的位置关系，区分好不同开口方向对应的特征，避免焦点、准线位置记混。 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（    ） A．12 B． C．6 D． 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型02 抛物线的综合应用 考情定位：新高考解答题常考题型，压轴位置居多，综合性强，分值高，重点考查直线与抛物线的位置关系，对运算能力、逻辑推理能力要求较高。 核心考法：以直线和抛物线相交为载体，考查弦长、中点、面积、定点定值、最值与范围问题；常融合向量、距离、角度关系，设置探究性问题，部分题目需要分类讨论直线斜率是否存在。 解题要点：设好直线方程，联立抛物线方程，借助一元二次方程根与系数的关系搭建条件；遇到定点、定值问题，先通过特殊位置预判结果，再做一般性证明；注重设而不求、整体代换的思路，合理简化复杂代数运算；最后检验直线和抛物线是否满足相交的前提条件。 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（    ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【典例2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 重点01 求抛物线的方程 求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 重点02 直线与抛物线相交弦长 按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解． 【典例1】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 【典例2】（26-27高三上·山东江苏·阶段检测）已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 重点03 抛物线的中点弦问题 1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解． 【典例1】（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 技法点拨01 抛物线的定义及辨析 紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化． 【典例1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例2】（2026·山东·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 技法点拨02 利用定义解决距离和差的最值问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（2026·安徽淮南·一模）已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________． 技法点拨03 与抛物线有关的轨迹问题 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【典例1】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【典例2】（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 技法点拨04 直线与抛物线的位置关系 解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断． 【典例1】（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 易错点01 未考虑抛物线开口方向的多解性致错 辨析：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x轴上的抛物线，可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论． 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 易错点02 遗漏斜率不存在的情况致错 辨析：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在的类型，设直线方程为可规避讨论． 【典例1】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程． 【典例2】（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． (1)求； (2)证明：为钝角三角形； (3)求的外接圆圆心的轨迹方程． 易错点03 判别式使用不当致错 辨析：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”． 【典例1】（2027高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·一模）设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知为抛物线准线上一点，为的焦点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 二、多选题 5．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（    ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 6．（2026·山东威海·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（    ） A．若点，则的最小值为3 B．若点，则的最小值为3 C．抛物线C上存在两点关于直线对称 D．若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 8．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 9．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则______. 10．（2026·福建福州·三模）等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点都在该抛物线上，这个三角形的边长为__________. 四、解答题 11．（2026·云南大理·二模）过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． (1)若线段MN中点的横坐标为2，求的值； (2)求的取值范围． 12．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，抛物线的焦点为．经过的上顶点，且的面积为． (1)求的方程； (2)当时，求的坐标； (3)若与除点外还有两个不同的交点，，求的面积的最大值． 13．（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． $