专题02 复数及其应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 复数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01复数的概念 考点02复数的运算 考点03复数的几何意义 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01复数周期性与高次幂化简 难点解读02复数模长综合最值与范围 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01复数基本概念与辨析 题型02复数四则运算与化简求值 题型03共轭复数与复数模长计算 ▶重点突破・考法深研 重点01复数的分类及应用 重点02复数的几何意义应用 重点03复数的模长及简单应用 重点04共轭复数的性质 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01复数相等及其应用 技法点拨02复数的四则混合运算 技法点拨03求复数代数式的两种方法 技法点拨04复数范围内方程的根 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01实部与虚部概念混淆 易错点02纯虚数判定条件遗漏 易错点03错误理解复数比较大小 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，i2=-1，a为实部，b为虚部． 2、复数的分类： 3、复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 4、共轭复数 （1）定义：当；两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． （2）相关运算：①为实数，且为纯虚数； ②，；③，，； ④，，． 【新题对点练】（2026·云南玉溪·模拟预测）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 考点02 复数的运算 1、复数的四则运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ 2、复数运算的几个重要结论 ①(1±i)2＝±2i. ②＝i；＝－i. ③i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 【新题对点练】（2026·湖南·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 考点03 复数的几何意义 1、几何意义 （1）复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． （2）实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． （3）复数的几何表示：复数复平面内的点平面向量． 2、复数的模 （1）定义：设复数在复平面内对应的向量为，则向量的模叫作复数的模，记作或． （2）计算公式：． （3）运算性质：，，，， ． 【新题对点练】（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 难点解读01 复数周期性与高次幂化简 1、常规运算仅掌握基础四则运算，面对复数高次幂、迭代幂次题型易繁琐计算、出错失分．核心难点在于识别i的“四次一循环”周期规律，无法快速降幂化简；同时不会活用共轭复数、模方恒等式简化复杂幂次结构，导致计算量大、耗时过长，是复数提速解题的关键突破点． 2、计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 【典例1】（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【典例2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 难点解读02 复数模长综合最值与范围 1、复数板块中档拔高难点，常作为选填区分度题型考查．核心难点是无法灵活运用模长运算性质整体代换，习惯展开实部虚部硬算，运算繁琐易错；且不能精准将复数模长等式、不等式转化为复平面几何轨迹，不会结合圆的几何性质求解最值与范围，代数转化几何的思维薄弱，导致动态复数问题无从下手． 2、代数结构几何化+几何性质代数化： 将复数对应复平面内的点与向量，模长转化为距离，模长等式转化为圆的轨迹方程，模长不等式转化为圆形区域；依托圆的几何性质求解距离最值、取值范围，结合向量加减几何意义分析动点位置关系． 【典例1】（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 素养进阶·答题技法突破 题型01 复数基本概念与辨析 考情定位：新高考高频必考基础母题，稳定考查，属于必须稳拿的送分题型．命题聚焦复数基础概念精细化辨析，侧重考查学生审题严谨度，命题难度低、无复杂运算，但陷阱密集，极易因概念模糊造成低级失分． 核心考法：①复数分类判定：根据实部、虚部取值，精准区分实数、虚数、纯虚数；②复数相等应用：利用实虚部分别相等的条件，列方程求解参数取值；③虚数单位基础辨析：结合i的定义与基础性质，判断命题正误． 解题要点：明确复数实部、虚部均为实数，不含虚数单位；判定纯虚数必须满足「实部为0且虚部不为0」双重条件，缺一不可；复数相等严格遵循实、虚部分别对应相等；遇到判断类题型优先排查特殊复数陷阱，逐项排除错误选项，全程严谨审题、规避概念性失分． 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 【典例2】（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 题型02 复数四则运算与化简求值 考情定位：复数板块最核心必考母题，近五年考查频率最高，是复数考查的主体题型，常结合共轭复数、模长计算综合命题，侧重考查运算熟练度与准确性，是全卷基础稳分关键题型． 核心考法：①复数加减乘除基础化简与整式展开；②复数分式除法的分母实数化运算；③结合共轭复数嵌套运算求值；④虚数单位高次幂周期性化简；⑤含参复数运算、复数方程参数求解． 解题要点：严格遵循标准化运算流程，加减实虚部分离，乘法展开化简，除法固定分母实数化；高次幂优先周期降幂，不盲目硬算；复杂嵌套式子优先局部化简再整体计算，活用基础性质压缩运算步骤，规避符号、公式、计算类低级失误． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．1 题型03 共轭复数与复数模长计算 考情定位：新高考稳定高频题型，多嵌套在运算、方程、几何题型中综合考查，是连接复数代数运算与几何意义的核心桥梁，侧重考查整体代换思维与性质活用，题型基础但灵活性强，是稳分必抓题型． 核心考法：①基础求解复数的共轭复数与模长；②四则运算、幂次化简后共轭与模长综合求值；③利用恒等式整体化简；④依托共轭、模长条件列方程求参数；⑤结合模长性质求解复数表达式取值范围． 解题要点：坚持先判结构、优先性质代换，拒绝盲目展开实虚部；共轭复数严格执行“实部不变、虚部变号”规则；乘积、分式结构优先虚实转化简化运算；含参问题求解后校验模长非负性与参数约束，杜绝增根失分． 【典例1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 重点01 复数的分类及应用 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 【典例1】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）设，若为实数，则（    ） A． B． C． D．2 【典例2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D．0或2 重点02 复数的几何意义应用 1、复数的几何意义：复数复平面内的点平面向量． 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【典例1】（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（    ） A． B． C． D． 重点03 复数的模长及简单应用 （1）求复数的模时，可直接根据复数的模的公式和性质，进行计算． （2）已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化为代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决． 【典例1】（26-27高三上·广东·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【典例2】（2026·江苏镇江·二模）已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 重点04 共轭复数的性质 复数四则运算后的共轭等于共轭后的四则运算，即和、差、积、商的共轭满足线性对应规律；重点区分易错性质：只有实数的共轭等于自身，纯虚数的共轭等于自身相反数． 解题优先活用核心恒等式，将复数乘积、平方结构直接转化为实数，规避繁琐展开；针对复数方程、参数求解题型，可利用共轭性质构造等式、配对消参，快速求解未知复数与参数，是复数化简、求值、解方程的高阶提速技法． 【典例1】（25-26高三下·广东佛山·阶段检测）设复数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（25-26高三上·山东济南·开学考试）（多选）设是复数，则下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 复数相等及其应用 针对含参复数方程、复数等式求参、复数比较类题型，核心解题依据为复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当实部与实部相等、虚部与虚部相等． 解题步骤：先将等式两边复数统一化为代数形式，再分离实部与虚部，分别列实数方程，联立求解参数． 【典例1】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）设，，则（    ） A．－1 B． C． D．1 技法点拨02 复数的四则混合运算 复数四则运算问题的解题策略 （1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算． （2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并． （3）除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 【典例1】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（    ） A．0 B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山西太原·期中）已知复数，则___． 技法点拨03 求复数代数式的两种方法 1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式； 2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部． 【典例1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·全国·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 复数范围内方程的根 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）复数相等：设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． （3）配方法：利用． 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（    ） A． B． C．2 D．3 【典例2】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 易错点01 实部与虚部概念混淆 辨析：误将虚部看作bi，混淆虚部为实数b；审题看错实部、虚部，导致参数方程列式错误． 【典例1】（2026·广东东莞·二模）复数的实部为（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【典例2】（2026·河南濮阳·二模）已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 易错点02 纯虚数判定条件遗漏 辨析：对复数为纯虚数理解不透彻，复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0． 【典例1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 易错点03 错误理解复数比较大小 辨析：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于． 【典例1】（25-26高三上·云南临沧·阶段检测）设复数，.若，则实数的值（    ） A． B． C． D． 【典例2】若，且，则实数_____________． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东日照·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·河北保定·二模）已知，其中是实数，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）复数分别对应复平面上的点，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南海口·模拟预测）已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（    ） A．10 B． C．6 D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）设复数，其中，若是虚数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖南常德·一模）已知复数 ，且 ，则（    ） A． 是纯虚数 B． C．若 ，则 D．若 ，则 是实数 10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知复数，均不为0，以下等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·重庆·模拟预测）复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 13．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若复数满足，则______. 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，则__________． 四、解答题 15．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 16．（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． $专题02 复数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01复数的概念 考点02复数的运算 考点03复数的几何意义 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01复数周期性与高次幂化简 难点解读02复数模长综合最值与范围 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01复数基本概念与辨析 题型02复数四则运算与化简求值 题型03共轭复数与复数模长计算 ▶重点突破・考法深研 重点01复数的分类及应用 重点02复数的几何意义应用 重点03复数的模长及简单应用 重点04共轭复数的性质 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01复数相等及其应用 技法点拨02复数的四则混合运算 技法点拨03求复数代数式的两种方法 技法点拨04复数范围内方程的根 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01实部与虚部概念混淆 易错点02纯虚数判定条件遗漏 易错点03错误理解复数比较大小 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，i2=-1，a为实部，b为虚部． 2、复数的分类： 3、复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 4、共轭复数 （1）定义：当；两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． （2）相关运算：①为实数，且为纯虚数； ②，；③，，； ④，，． 【新题对点练】（2026·云南玉溪·模拟预测）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【解析】由题意可得，解得. 考点02 复数的运算 1、复数的四则运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ 2、复数运算的几个重要结论 ①(1±i)2＝±2i. ②＝i；＝－i. ③i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 【新题对点练】（2026·湖南·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 考点03 复数的几何意义 1、几何意义 （1）复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． （2）实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． （3）复数的几何表示：复数复平面内的点平面向量． 2、复数的模 （1）定义：设复数在复平面内对应的向量为，则向量的模叫作复数的模，记作或． （2）计算公式：． （3）运算性质：，，，， ． 【新题对点练】（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】复数在复平面内对应的点为， 所以且，解得， 则的取值范围为. 难点解读01 复数周期性与高次幂化简 1、常规运算仅掌握基础四则运算，面对复数高次幂、迭代幂次题型易繁琐计算、出错失分．核心难点在于识别i的“四次一循环”周期规律，无法快速降幂化简；同时不会活用共轭复数、模方恒等式简化复杂幂次结构，导致计算量大、耗时过长，是复数提速解题的关键突破点． 2、计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 难点破解 【典例1】（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 【典例2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 难点解读02 复数模长综合最值与范围 1、复数板块中档拔高难点，常作为选填区分度题型考查．核心难点是无法灵活运用模长运算性质整体代换，习惯展开实部虚部硬算，运算繁琐易错；且不能精准将复数模长等式、不等式转化为复平面几何轨迹，不会结合圆的几何性质求解最值与范围，代数转化几何的思维薄弱，导致动态复数问题无从下手． 2、代数结构几何化+几何性质代数化： 将复数对应复平面内的点与向量，模长转化为距离，模长等式转化为圆的轨迹方程，模长不等式转化为圆形区域；依托圆的几何性质求解距离最值、取值范围，结合向量加减几何意义分析动点位置关系． 难点破解 【典例1】（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 【典例2】（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由题意得，又，所以， 根据复数的几何意义，复数表示复平面上，以原点为圆心，半径的圆， 而的几何意义为，圆上的点到点的距离， 因为圆心到的距离，所以点在圆外， 因此，圆上一点到圆外一定点的最大距离为，即的最大值为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 复数基本概念与辨析 考情定位：新高考高频必考基础母题，稳定考查，属于必须稳拿的送分题型．命题聚焦复数基础概念精细化辨析，侧重考查学生审题严谨度，命题难度低、无复杂运算，但陷阱密集，极易因概念模糊造成低级失分． 核心考法：①复数分类判定：根据实部、虚部取值，精准区分实数、虚数、纯虚数；②复数相等应用：利用实虚部分别相等的条件，列方程求解参数取值；③虚数单位基础辨析：结合i的定义与基础性质，判断命题正误． 解题要点：明确复数实部、虚部均为实数，不含虚数单位；判定纯虚数必须满足「实部为0且虚部不为0」双重条件，缺一不可；复数相等严格遵循实、虚部分别对应相等；遇到判断类题型优先排查特殊复数陷阱，逐项排除错误选项，全程严谨审题、规避概念性失分． 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C. 【典例2】（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为， 所以，解得：．故选：C. 题型02 复数四则运算与化简求值 考情定位：复数板块最核心必考母题，近五年考查频率最高，是复数考查的主体题型，常结合共轭复数、模长计算综合命题，侧重考查运算熟练度与准确性，是全卷基础稳分关键题型． 核心考法：①复数加减乘除基础化简与整式展开；②复数分式除法的分母实数化运算；③结合共轭复数嵌套运算求值；④虚数单位高次幂周期性化简；⑤含参复数运算、复数方程参数求解． 解题要点：严格遵循标准化运算流程，加减实虚部分离，乘法展开化简，除法固定分母实数化；高次幂优先周期降幂，不盲目硬算；复杂嵌套式子优先局部化简再整体计算，活用基础性质压缩运算步骤，规避符号、公式、计算类低级失误． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 题型03 共轭复数与复数模长计算 考情定位：新高考稳定高频题型，多嵌套在运算、方程、几何题型中综合考查，是连接复数代数运算与几何意义的核心桥梁，侧重考查整体代换思维与性质活用，题型基础但灵活性强，是稳分必抓题型． 核心考法：①基础求解复数的共轭复数与模长；②四则运算、幂次化简后共轭与模长综合求值；③利用恒等式整体化简；④依托共轭、模长条件列方程求参数；⑤结合模长性质求解复数表达式取值范围． 解题要点：坚持先判结构、优先性质代换，拒绝盲目展开实虚部；共轭复数严格执行“实部不变、虚部变号”规则；乘积、分式结构优先虚实转化简化运算；含参问题求解后校验模长非负性与参数约束，杜绝增根失分． 【典例1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】若，则.故选：C. 【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】依题意得，，故.故选：D 重点01 复数的分类及应用 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 【典例1】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）设，若为实数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为 为实数， 可得故选：A. 【典例2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D．0或2 【答案】A 【解析】复数为纯虚数， 则，解得：或，且； 综上． 重点02 复数的几何意义应用 1、复数的几何意义：复数复平面内的点平面向量． 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【典例1】（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由， 所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限. 【典例2】（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数的除法得， 又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 重点03 复数的模长及简单应用 （1）求复数的模时，可直接根据复数的模的公式和性质，进行计算． （2）已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化为代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决． 【典例1】（26-27高三上·广东·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【解析】因为，，所以， 所以. 【典例2】（2026·江苏镇江·二模）已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为复数 ， 所以. 重点04 共轭复数的性质 复数四则运算后的共轭等于共轭后的四则运算，即和、差、积、商的共轭满足线性对应规律；重点区分易错性质：只有实数的共轭等于自身，纯虚数的共轭等于自身相反数． 解题优先活用核心恒等式，将复数乘积、平方结构直接转化为实数，规避繁琐展开；针对复数方程、参数求解题型，可利用共轭性质构造等式、配对消参，快速求解未知复数与参数，是复数化简、求值、解方程的高阶提速技法． 【典例1】（25-26高三下·广东佛山·阶段检测）设复数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为，故选项D正确. 【典例2】（25-26高三上·山东济南·开学考试）（多选）设是复数，则下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】，对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，则，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：ABD 技法点拨01 复数相等及其应用 针对含参复数方程、复数等式求参、复数比较类题型，核心解题依据为复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当实部与实部相等、虚部与虚部相等． 解题步骤：先将等式两边复数统一化为代数形式，再分离实部与虚部，分别列实数方程，联立求解参数． 【典例1】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由，得， 因为，所以. 【典例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）设，，则（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题意得，解得，所以 技法点拨02 复数的四则混合运算 复数四则运算问题的解题策略 （1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算． （2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并． （3）除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 【典例1】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】． 【典例2】（25-26高三上·山西太原·期中）已知复数，则___． 【答案】 【解析】. 技法点拨03 求复数代数式的两种方法 1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式； 2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部． 【典例1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得． 【典例2】（2026·全国·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 设，则， 所以， 即，所以. 技法点拨04 复数范围内方程的根 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）复数相等：设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． （3）配方法：利用． 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根，所以， 因此. 【典例2】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】因为是方程的根， 所以 ，化简得： ， 整理得： ， 所以，解得， 因此. 易错点01 实部与虚部概念混淆 辨析：误将虚部看作bi，混淆虚部为实数b；审题看错实部、虚部，导致参数方程列式错误． 【典例1】（2026·广东东莞·二模）复数的实部为（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】A 【解析】因为， 所以的实部为3.故选：A. 【典例2】（2026·河南濮阳·二模）已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以的虚部是. 易错点02 纯虚数判定条件遗漏 辨析：对复数为纯虚数理解不透彻，复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0． 【典例1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 因为z为纯虚数，所以，解得. 【典例2】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，知， 因为复数为纯虚数，所以，所以，故选：C 易错点03 错误理解复数比较大小 辨析：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于． 【典例1】（25-26高三上·云南临沧·阶段检测）设复数，.若，则实数的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. ，，，.故选：C. 【典例2】若，且，则实数_____________． 【答案】 【解析】为实数，故，此时解得， 又． 故答案为： 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以其共轭复数为4−2i. 2．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 3．（2026·山东日照·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】， 所以，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限. 4．（2026·河北保定·二模）已知，其中是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，解得. . 5．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）复数分别对应复平面上的点，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，对应点， ，对应点， 则向量，对应复数为． 6．（2026·海南海口·模拟预测）已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则， 由于，故，所以. 7．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（    ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【解析】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）设复数，其中，若是虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数可得， 所以， ， 所以， 因为是虚数，所以，故选：D 二、多选题 9．（2026·湖南常德·一模）已知复数 ，且 ，则（    ） A． 是纯虚数 B． C．若 ，则 D．若 ，则 是实数 【答案】AD 【解析】在A选项中，的共轭复数为， 则：， 已知，该复数实部为0、虚部不为0，符合纯虚数定义，A正确， 在B选项中，算得：， ， 若二者相等，需要满足且， 即推出，与题设矛盾，B错误， 在C选项中，即， 整理得，满足该方程的有无数组， 对应有无数种可能，不只有，C错误， 在D选项中，若，则， 因此，则：，， 因此结果为实数，D正确. 10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知复数，均不为0，以下等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则， 所以，所以，故A正确； ，， 所以，所以，故B正确； 左边，右边，所以，故C正确； ， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以，故D不正确， 故选：ABC. 11．（2026·江苏·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A选项，，， ，，所以，A 选项正确. 对于B选项，， 所以， ，所以, 因为和是任意角，所以，故B选项错误. 对于C选项，，，所以，， 因此，故C选项错误. 对于D 选项，，， 因此，故D选项正确.故选AD. 三、填空题 12．（2026·重庆·模拟预测）复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 【答案】 【解析】由复数为实数，则，得. 13．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若复数满足，则__________. 【答案】3 【分析】由求解即可. 【解析】由复数的几何意义得 所以. 故答案为：3 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，则__________． 【答案】 【解析】设（且），则，. 因为，由复数相等的定义得①. 又因为，所以，， 化简整理得②，将②代入①得，解得或. 当时，则，所以，不符合题意； 当时，则，所以，. 四、解答题 15．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 【答案】(1)，；(2)， 【解析】（1）(方法一)因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 (方法二)依题意，，则， 由根与系数的关系，得. （2），， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 16．（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)证明见解析 【解析】（1）设， 则 ，则，而， 所以； （2）已知，则， 所以， 因为，所以，即，解得； （3）由棣莫弗定理公式， 得 ； ； ， 则，， 所以. $