专题01 平面向量及其应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单全面覆盖平面向量及其应用专题，包含向量概念、线性运算、数量积、基本定理及坐标运算等核心内容，整合三点共线、奔驰定理、极化恒等式等难点，构建完整知识体系。 清单采用基础梳理与高阶思维分层设计，通过母题探究、技法提炼、易错剖析强化备考针对性，如标注零向量认知疏漏等易错点，提供极化恒等式应用指导，培养学生数学思维与表达能力。配套优题精练与真题关联，助力学生自主高效复习，为教师提供系统教学支持。

专题01 平面向量及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01平面向量的有关概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标运算 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三点共线的结论与推论 难点解读02奔驰定理与三角形的“四心” 难点解读03极化恒等式 难点解读04平面向量的最值与范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平面向量的线性运算 题型02平面向量基本定理及应用 题型03平面向量的数量积及应用 题型04平面向量的平行与垂直问题 ▶重点突破・考法深研 重点01向量基底线性表示与拆分变形 重点02向量基本定理及其应用 重点03向量共线与三点共线问题 重点04向量数量积与夹角 重点05向量平行与垂直的判定与应用 重点06向量平面几何综合应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01解决向量概念问题的关键点 技法点拨02向量的坐标运算 技法点拨03平面向量数量积的求解方法 技法点拨04求向量模的常用方法 技法点拨05投影向量及其应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01向量概念模糊，零向量认知疏漏 易错点02忽视两个向量成为基底的条件 易错点03错误使用向量平行的等价条件 易错点04混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【新题对点练】（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 【新题对点练】（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）已知都是单位向量，若，，，则（    ） A． B． C． D． 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【新题对点练】（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，若，则（    ） A． B． C．1 D． 难点解读01 三点共线的结论与推论 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 【典例1】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 【典例2】（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 难点解读02 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 【典例1】（2026·四川泸州·模拟预测）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（    ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【典例3】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（    ） A． B． C． D． 难点解读03 极化恒等式 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·河南濮阳·阶段检测）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．    难点解读04 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 【典例1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量的线性运算 考情定位：高频基础题型，属于向量板块送分核心考点，常出现在选填基础位置．主要考查向量加减、数乘的基础化简与几何变形，是所有向量综合题型的运算根基，侧重考查学生对向量方向、运算法则的规范掌握程度． 核心考法：①利用三角形法则、平行四边形法则进行向量加减化简；②结合中点、等分点、平行线几何条件简化线性表达式；③实数数乘向量的模长、方向变换运算；④复杂多向量嵌套式子逐层拆分归化化简． 解题要点：严格遵循向量运算规则，加法优先首尾相接，减法固定共起点、指向被减向量；数乘运算重点区分系数正负对向量方向的影响、系数大小对模长的缩放效果；复杂式子分步拆解、逐层化简，杜绝跳步出错，时刻关注向量方向，规避符号失误． 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（    ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【典例2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 题型02 平面向量基本定理及应用 考情定位：高频题型，承接线性运算，侧重考查基底拆分与参数求解，是向量几何转化的核心工具．常结合三角形、四边形图形考查向量分解、系数求值、三点共线问题，区分度适中，为小题重点题型． 核心考法：①选取不共线基底完成任意向量的唯一线性分解；②根据图形几何条件求解基底系数；③利用三点共线推论、系数和结论秒杀参数问题；④结合奔驰定理、三角形四心完成向量分解与面积比例计算． 解题要点：解题核心为“选基底、凑结构、定系数”，必须选取一组不共线向量作为基底，杜绝共线基底导致分解失效；依托几何中点、比例、共线条件凑形拆分，结合三点共线结论快速定参；分解完成后验证式子结构与图形匹配度，保证分解唯一、系数准确． 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 题型03 平面向量的数量积及应用 考情定位：必考核心重难点，考查频率最高、失分率最大，涵盖基础求值、几何应用、最值范围全题型．常作为选填中档、压轴题型考查，极化恒等式、投影问题为近年热门考法，综合性强、灵活度高． 核心考法：①定义法、坐标法求解向量数量积；②向量模长、夹角、投影数量与投影向量计算；③利用极化恒等式求解动态数量积最值与范围；④结合三角形、四边形几何模型求解数量积综合问题；⑤向量平方转化模长的化简求值． 解题要点：解题优先判题型结构，有模长夹角用定义法，有坐标条件用公式法；严格遵循向量夹角共起点判定原则，规避图形内角误判失误；模长求值优先平方转化简化运算；动态最值、中点模型优先适配极化恒等式提速解题，严格区分投影数量与投影向量概念，精准答题． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【典例3】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 题型04 平面向量的平行与垂直问题 考情定位：高考经典常规题型，每年稳定考查，侧重位置关系判定与参数求解，兼具基础性与综合性，可独立命题，也可嵌入综合题型作为解题条件，是向量几何性质的核心考查形式． 核心考法：①坐标形式下向量平行、垂直的判定与参数求解；②几何形式利用共线定理、数量积为0判定位置关系；③结合三点共线、几何垂直证明综合命题；④利用平行垂直条件求解向量夹角、模长与解析式参数． 解题要点：区分几何法与坐标法两类解题路径，坐标结构优先使用交叉相乘、数量积为0的判定公式，简洁高效；几何图形优先依托共线定理、垂直向量数量积为0的性质推理；解题需单独验证零向量特殊情况，三点共线必须附加公共点条件，保证推理严谨、无逻辑漏洞，精准取舍参数多解． 【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则______ 重点01 向量基底线性表示与拆分变形 平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合． 解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 【典例1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）在长方形中，，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·福建福州·三模）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 重点02 向量基本定理及其应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段检测）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【典例2】（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）在中，为的重心，满足，则__________. 重点03 向量共线与三点共线问题 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【典例1】（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【典例2】（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 重点04 向量数量积与夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 【典例1】（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）单位向量，满足，则与的夹角为______． 【典例2】（26-27高三上·湖南株洲·开学考试）平面向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 重点05 向量平行与垂直的判定与应用 解题分两类标准化判定： （1）坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参； （2）几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定． 【典例1】（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知向量，不共线，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山西大同·三模）已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 重点06 向量平面几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 【典例1】（2025·广西钦州·模拟预测）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 技法点拨01 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【典例1】设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B． C．与的方向相同 D． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 技法点拨02 向量的坐标运算 首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定．坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡顿、角度误判、图形分析复杂等问题，是解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法． 【典例1】（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【典例2】（2026·辽宁鞍山·二模）已知为直线上动点，定点，为坐标原点，若，则有（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 平面向量数量积的求解方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【典例2】（2026·河北张家口·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 求向量模的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【典例1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知向量、满足，，则______． 技法点拨05 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知向量是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）已知向量．则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 __________ ． 易错点01 向量概念模糊，零向量认知疏漏 辨析：一是混淆向量与数量，只通过模长相等判定向量相等，忽略向量模长、方向双重属性；二是零向量认知模糊，不清楚零向量模长为0、方向任意，常错误认为其方向固定、不与任意向量平行；三是忽略零向量与任意向量共线、平行的特殊结论，导致位置关系判定失误；四是单位向量概念理解片面，误认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点． 【典例1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点02 忽视两个向量成为基底的条件 辨析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例2】（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 易错点03 错误使用向量平行的等价条件 辨析：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性． 【典例1】（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 易错点04 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 辨析：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开．尤其使用数量积的运算时不可约公因式． 【典例1】（25-26高三下·吉林·阶段检测）“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是线段上靠近的一个三等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 9．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）下列运算结果一定为零向量的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知是单位向量，且，则（   ） A． B．与垂直 C．与的夹角为 D． 11．（25-26高三下·重庆·阶段检测）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题 12．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 13．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 14．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 四、解答题 15．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）已知向量，，是一个平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值． 16．（25-26高三上·新疆昌吉·阶段检测）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)若求的取值范围. $专题01 平面向量及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01平面向量的有关概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标运算 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三点共线的结论与推论 难点解读02奔驰定理与三角形的“四心” 难点解读03极化恒等式 难点解读04平面向量的最值与范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平面向量的线性运算 题型02平面向量基本定理及应用 题型03平面向量的数量积及应用 题型04平面向量的平行与垂直问题 ▶重点突破・考法深研 重点01向量基底线性表示与拆分变形 重点02向量基本定理及其应用 重点03向量共线与三点共线问题 重点04向量数量积与夹角 重点05向量平行与垂直的判定与应用 重点06向量平面几何综合应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01解决向量概念问题的关键点 技法点拨02向量的坐标运算 技法点拨03平面向量数量积的求解方法 技法点拨04求向量模的常用方法 技法点拨05投影向量及其应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01向量概念模糊，零向量认知疏漏 易错点02忽视两个向量成为基底的条件 易错点03错误使用向量平行的等价条件 易错点04混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【新题对点练】（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件.故选：A 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 【新题对点练】（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）已知都是单位向量，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由均为单位向量，，则， 又，则，即，故，， 由零向量与任意向量平行或垂直，则，，，且， 综上，A、C正确，B、D错误.故选：AC. 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【新题对点练】（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又因为两向量有公共点，所以点三点共线， 又, 又， 所以，解得，， 因此.故选：C． 难点解读01 三点共线的结论与推论 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 难点破解 【典例1】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 【答案】 【解析】三点共线， ， ，，， 三点共线，，， ①， ，， ， ， ②， ①代入②，得到， 即， 则，解得， 则. 【典例2】（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解析】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为，故选：D. 难点解读02 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 难点破解 【典例1】（2026·四川泸州·模拟预测）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（    ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【解析】如图，设为边的中点，， ，共线， 即点在底边的中线上．故选：D． 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解析】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心.故选：A. 【典例3】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 难点解读03 极化恒等式 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，因点在圆内，且满足， 由平面向量基本定理，可知点为线段上的一点， 因，且是的一条直径， 将等式两边取平方： ，因，则. 由图知，， 故的取值范围是.故选：C 【典例2】（25-26高三下·河南濮阳·阶段检测）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．    【答案】 【解析】由动点关于圆心对称可得，且， 易知, 所以， 因此. 难点解读04 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么     数量积， 的取值范围是. 【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为.故选：C 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量的线性运算 考情定位：高频基础题型，属于向量板块送分核心考点，常出现在选填基础位置．主要考查向量加减、数乘的基础化简与几何变形，是所有向量综合题型的运算根基，侧重考查学生对向量方向、运算法则的规范掌握程度． 核心考法：①利用三角形法则、平行四边形法则进行向量加减化简；②结合中点、等分点、平行线几何条件简化线性表达式；③实数数乘向量的模长、方向变换运算；④复杂多向量嵌套式子逐层拆分归化化简． 解题要点：严格遵循向量运算规则，加法优先首尾相接，减法固定共起点、指向被减向量；数乘运算重点区分系数正负对向量方向的影响、系数大小对模长的缩放效果；复杂式子分步拆解、逐层化简，杜绝跳步出错，时刻关注向量方向，规避符号失误． 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（    ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【解析】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风，故选：A. 【典例2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】,,即,解得,故选：C 题型02 平面向量基本定理及应用 考情定位：高频题型，承接线性运算，侧重考查基底拆分与参数求解，是向量几何转化的核心工具．常结合三角形、四边形图形考查向量分解、系数求值、三点共线问题，区分度适中，为小题重点题型． 核心考法：①选取不共线基底完成任意向量的唯一线性分解；②根据图形几何条件求解基底系数；③利用三点共线推论、系数和结论秒杀参数问题；④结合奔驰定理、三角形四心完成向量分解与面积比例计算． 解题要点：解题核心为“选基底、凑结构、定系数”，必须选取一组不共线向量作为基底，杜绝共线基底导致分解失效；依托几何中点、比例、共线条件凑形拆分，结合三点共线结论快速定参；分解完成后验证式子结构与图形匹配度，保证分解唯一、系数准确． 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意可知平面向量不共线，且，则. 【典例2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以．故选：B． 题型03 平面向量的数量积及应用 考情定位：必考核心重难点，考查频率最高、失分率最大，涵盖基础求值、几何应用、最值范围全题型．常作为选填中档、压轴题型考查，极化恒等式、投影问题为近年热门考法，综合性强、灵活度高． 核心考法：①定义法、坐标法求解向量数量积；②向量模长、夹角、投影数量与投影向量计算；③利用极化恒等式求解动态数量积最值与范围；④结合三角形、四边形几何模型求解数量积综合问题；⑤向量平方转化模长的化简求值． 解题要点：解题优先判题型结构，有模长夹角用定义法，有坐标条件用公式法；严格遵循向量夹角共起点判定原则，规避图形内角误判失误；模长求值优先平方转化简化运算；动态最值、中点模型优先适配极化恒等式提速解题，严格区分投影数量与投影向量概念，精准答题． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 【典例2】（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以.故选：B. 【典例3】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，， 所以.故选：B. 题型04 平面向量的平行与垂直问题 考情定位：高考经典常规题型，每年稳定考查，侧重位置关系判定与参数求解，兼具基础性与综合性，可独立命题，也可嵌入综合题型作为解题条件，是向量几何性质的核心考查形式． 核心考法：①坐标形式下向量平行、垂直的判定与参数求解；②几何形式利用共线定理、数量积为0判定位置关系；③结合三点共线、几何垂直证明综合命题；④利用平行垂直条件求解向量夹角、模长与解析式参数． 解题要点：区分几何法与坐标法两类解题路径，坐标结构优先使用交叉相乘、数量积为0的判定公式，简洁高效；几何图形优先依托共线定理、垂直向量数量积为0的性质推理；解题需单独验证零向量特殊情况，三点共线必须附加公共点条件，保证推理严谨、无逻辑漏洞，精准取舍参数多解． 【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C. 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则______ 【答案】 【解析】，因为，则， 则，解得. 则，则. 重点01 向量基底线性表示与拆分变形 平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合． 解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 【典例1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）在长方形中，，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在长方形ABCD中，且. 因为，所以且. 因此，相似比为. 所以. 又因为，所以. 【典例2】（2026·福建福州·三模）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且， 所以， 故， 所以， 所以. 重点02 向量基本定理及其应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段检测）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【答案】 【解析】由题意，设 ，， 取 中点 ，则 ， 重心 在中线 上，且 ， 故， 为 边上靠近 的四等分点， 即，而 ， 所以， 由，得： 因此： 【典例2】（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）在中，为的重心，满足，则__________. 【答案】0 【解析】连接并延长交与点， ∵为的重心，∴为中点，且， ， ∴，即， ∴. 重点03 向量共线与三点共线问题 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【典例1】（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】，， 因为与共线，，故选：A． 【典例2】（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【解析】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 重点04 向量数量积与夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 【典例1】（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）单位向量，满足，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】由是单位向量，则，由，则 ， 设的夹角为，则，即，解得. 由，则. 【典例2】（26-27高三上·湖南株洲·开学考试）平面向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 所以，所以. 重点05 向量平行与垂直的判定与应用 解题分两类标准化判定： （1）坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参； （2）几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定． 【典例1】（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知向量，不共线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以存在唯一的实数，使得， 即，所以，解得. 【典例2】（2026·山西大同·三模）已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 因为，所以 ， 即 ，解得． 重点06 向量平面几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 【典例1】（2025·广西钦州·模拟预测）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为，所以， 所以，解得， 所以，得， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以．故选：A 【典例2】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意知， ， 又， 所以， ， 所以，所以，，三点共线. （2）由题意知， ， 所以， 所以. 所以， 又， ， 所以. 技法点拨01 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【典例1】设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B． C．与的方向相同 D． 【答案】C 【解析】当时，与的方向相反；当时，与的方向相同，故A错误； 因为，当且仅当时，，即，故B错误； 因为是非零实数，所以，所以与同向，故C正确； 因为，故D错误． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 【答案】BC 【解析】选项A，任意两个向量不能比较大小，故A错误； 选项B，设的夹角为，则， 所以，即，故B正确； 选项C，由零向量的定义可知，零向量的长度为0，方向是任意的，故C正确； 选项D，零向量与任意向量平行，在同一平面内，对任意两个向量，必然满足且， 但这两个向量不一定平行，仅当共同平行的向量为非零向量时结论才成立，故D错误. 技法点拨02 向量的坐标运算 首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定．坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡顿、角度误判、图形分析复杂等问题，是解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法． 【典例1】（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为，所以， 即，解得，所以. 【典例2】（2026·辽宁鞍山·二模）已知为直线上动点，定点，为坐标原点，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，所以，则 因为为直线上动点，所以，. 技法点拨03 平面向量数量积的求解方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】设 ，，则 ， 由 ，得： 所以， 由于，故 .故选：B. 【典例2】（2026·河北张家口·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 设与的夹角为，则， 又，所以. 技法点拨04 求向量模的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【典例1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由，得 又，所以. 由，得. 所以. 两式相加，得，因此. 【典例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知向量、满足，，则______． 【答案】 【解析】因为，故． 技法点拨05 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知向量是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 所以向量在向量上的投影向量为. 【典例2】（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）已知向量．则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 __________ ． 【答案】 【解析】由向量，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 易错点01 向量概念模糊，零向量认知疏漏 辨析：一是混淆向量与数量，只通过模长相等判定向量相等，忽略向量模长、方向双重属性；二是零向量认知模糊，不清楚零向量模长为0、方向任意，常错误认为其方向固定、不与任意向量平行；三是忽略零向量与任意向量共线、平行的特殊结论，导致位置关系判定失误；四是单位向量概念理解片面，误认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点． 【典例1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【解析】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件.故选：A 易错点02 忽视两个向量成为基底的条件 辨析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式， 故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，D错误. 【典例2】（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 易错点03 错误使用向量平行的等价条件 辨析：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性． 【典例1】（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【解析】已知向量，，则，， 若与平行，则，即. 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得，又因为与平行， 所以，即，解得． 易错点04 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 辨析：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开．尤其使用数量积的运算时不可约公因式． 【典例1】（25-26高三下·吉林·阶段检测）“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则或或， 故“”是“或”的必要不充分条件. 【典例2】（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【解析】A，由向量数量积的运算律知，正确； B，由向量数量积满足分配律知，正确； C，由，得，当时，满足题设，错误； D，由是与共线的向量，是与共线的向量，则等量关系不成立，错误. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得. 由，得. 所以，则.故选：B 2．（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，解得. 3．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是线段上靠近的一个三等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 4．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为等边三角形，则, 由为的中心，则，， 则. 5．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 因为，，所以，解得，所以. 6．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】由是的重心，取的中点，则在线段上，且， 又，则，， 则，， 所以，故． 7．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 8．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】设，， 由，得，所以，即， 所以， 设，则，即， 所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为. 二、多选题 9．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）下列运算结果一定为零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，故A正确； ，不一定为，故B错误； ，不一定为，故C错误； ，故D正确. 10．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知是单位向量，且，则（   ） A． B．与垂直 C．与的夹角为 D． 【答案】BC 【解析】由，得，所以A选项错误； 因为是单位向量，所以，得，所以B选项正确； 由，所以，所以D选项错误； 设与的夹角为，则，， 所以与的夹角为，所以C选项正确. 11．（25-26高三下·重庆·阶段检测）如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得，则，A正确，B不正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C正确； 对于D，由选项C知，， ， 当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题 12．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 13．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】在方向上的数量投影为，故， 又因为，其中， 所以 ，（ ）， ，故的最小值为8. 14．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到，利用基本不等式中“1”的妙用求解. ，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为. 四、解答题 15．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）已知向量，，是一个平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）设. 由可得，①. 由可得，，即②. ①②联立解得，，或，. 所以，或. （2）由可得，. 由可得，，即， 也即，所以. 所以. 所以与的夹角的余弦值为. 16．（25-26高三上·新疆昌吉·阶段检测）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)若求的取值范围. 【答案】(1)8；(2)；(3) 【解析】（1）. （2）由，分别为，的中点，则，， 由图可得， 则，，所以. （3）由（2）可知，， 由，则， ， 可得，解得，令， 由图可得， ， ， 由，则. $