精品解析：河南信阳市第七中学2026-2027学年九年级上学期10月学情分析数学试卷

2026—2027学年度九年级上册10月学情分析—数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴的交点 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 9. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 或 10. 如图，已知顶点为的抛物线过点，则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤不等式的解集为；其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 12. 设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 13. 已知某戏曲广播节目所在的电台发出的广播的频率和波长之间满足关系式，且该戏曲广播的波长为．若爷爷想用收音机听该戏曲广播节目，则可以将收音机的频率调到__________．（写一个即可） 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后要滑行__________才能停下来． 15. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为__________． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”，，且，则的取值范围为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 已知一个二次函数图象经过点和点，其最小值为． （1）直接写出这个函数图象的顶点坐标． （2）求该二次函数的解析式并判断点是否在该函数图象上． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式（写过程）； （2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______； （4）若直线与这条抛物线有且只有一个交点，则______． 19. 足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形? 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在轴上是否存在点，使的面积为，若存在，请求出点的坐标． 22. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年6月份的销售量是500件，8月份的销售量是720件． （1）若该网店6月份到8月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能售出20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，但是网店规定降价比率不得超过，若使销售该模型每天获利最大，则售价应降低多少元？最大获利为多少元？（注：降价比率） 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，交轴于点，直线交抛物线于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，求出的取值范围； （3）点是轴的上方抛物线上一点，点与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，设的长为．当随的增大而增大时，直接写出的取值范围； （4）在抛物线上是否存在一点（不与，重合），过点作的平行线，在直线上取一点，使以，，，四点为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度九年级上册10月学情分析—数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当时，不是一元二次方程，不符合题意； D．化简整理后为，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，将方程常数项移动到方程右边，二次项系数化为，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．直接运用配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴的交点 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为； 综上，只有选项D正确，其它选项均错误； 故选D． 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是关键． 左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．把抛物线向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线  向下平移3个单位长度，得到 ， 再向左平移2个单位长度，得到 ． 故选：A． 5. 若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．先由一元二次方程得出两根之间的关系，得，，再将进行通分得到，代入原式可得到结果． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ∴． 故选：D． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 7. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 8. 如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 【答案】C 【解析】 【分析】由x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，根据函数的连续性知，6.18<x<6.19内的某个值时，函数值y=0，即可得出方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围． 【详解】解：x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0， 根据函数的连续性知，6.18<x<6.19内的某个值时，函数值y=0， 则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是C． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质即连续性以及增减性是解题关键． 9. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，由题意可得且，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：． 10. 如图，已知顶点为的抛物线过点，则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤不等式的解集为；其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，则可对①③进行判断；当时，y有最小值，可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到当或时，，利用函数图像得到抛物线不在直线的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过解方程得抛物线与直线的交点的横坐标分别为、，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对⑤进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ，即， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴，即③正确； ∵当时，y有最小值 ∴对于任意的m，均有，即，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线过点， ∴当或时，， ∴当时，或，所以④错误； 解方程得，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标分别为、， ∴当或时，， ∴不等式的解集为或，即⑤错误． 综上，正确的有①③，共2个． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 12. 设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式拆分为与两部分，结合一元二次方程解的定义、根与系数的关系分别求出两部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程可得，即， ∵，是方程的两个不相等的实数根， ∴根据根与系数的关系，两根之和， ∴． 13. 已知某戏曲广播节目所在的电台发出的广播的频率和波长之间满足关系式，且该戏曲广播的波长为．若爷爷想用收音机听该戏曲广播节目，则可以将收音机的频率调到__________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一，取与之间的任意数值均可）． 【解析】 【分析】由关系式知与成反比例，而波长，故随的增大而减小；把的两个端点值代入求出的最大值与最小值，即得频率的允许范围，再在范围内任取一个值． 【详解】解：当时，（）． 当时，（）． ∵在中，，且， ∴随的增大而减小． ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一，取与之间的任意数值均可）． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后要滑行__________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】飞机停下时滑行距离达到最大值，对应开口向下的二次函数的顶点纵坐标，将函数配方为顶点式即可求得该最大值． 【详解】解：对给定函数进行配方变形， ， ， ， ， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行才能停下来． 15. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为__________． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”，，且，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】紧扣“幸运数”的定义，将自变量与函数值相等的条件转化为方程关系，第一问代入已知幸运数计算的值；第二问结合一元二次方程的根的分布特征，利用对应开口向上的二次函数的图象性质求解的范围． 【详解】解：（1）根据“幸运数”的定义，当时，，将点代入． 得． 整理得． 解得． （2）根据“幸运数”的定义，幸运数是满足的值，令． 整理得． 函数有两个相异的“幸运数”． 上述一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式． 解得， 设二次函数，该函数开口向上（二次项系数）， ，即方程的两个根分别在的两侧． 当时，对应的函数值． 代入得．整理得．解得． 满足． 的取值范围为． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）确定一元二次方程的各项系数，再利用公式法求解即可； （2）先对二次三项式进行因式分解，将二次方程转化为两个一次方程求解即可． 【小问1详解】 解： 在方程中，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， 或 所以，． 17. 已知一个二次函数图象经过点和点，其最小值为． （1）直接写出这个函数图象的顶点坐标． （2）求该二次函数的解析式并判断点是否在该函数图象上． 【答案】（1） （2）二次函数解析式为，点不在该函数图象上 【解析】 【分析】（1）由纵坐标相同的两点确定二次函数对称轴，结合函数最小值得到顶点坐标； （2）设二次函数顶点式，代入已知点求出系数，再代入点C的横坐标验证纵坐标是否符合． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和点，两点纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∵函数最小值为， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：设该二次函数的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 把代入解析式，得， ∵， ∴点不在该函数图象上． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式（写过程）； （2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______； （4）若直线与这条抛物线有且只有一个交点，则______． 【答案】（1）将化成的形式为； （2） 解：在中，取点列表如下： 二次函数的图象如下： （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）用配方法把二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表，描点，连线，画出二次函数的图象即可； （3）根据图象即可得的取值范围； （4）根据题意可得的根的判别式为0，解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴将化成的形式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【小问4详解】 解：由得， ， ∵直线与抛物线有且只有一个交点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，描点法画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，二次函数与一次函数的交点． 19. 足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点A的坐标求出a的值，即可解答； （2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线， 把点代入得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，当时，， ， 球不能射进球门． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形? 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）当时，是以为斜边的直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、勾股定理，三角形的三边关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）设，由题意易得，然后根据一元二次方程根与系数的关系可知，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令分别为方程的两个根，则根据根与系数的关系可得：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形，且， ∴， ∴，即， 解得：， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，方程为，解得：，， 此时三边均为正数，且满足三角形的三边关系，符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在轴上是否存在点，使的面积为，若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点的坐标代入反比例函数求，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）观察图像，找到一次函数在反比例函数下方对应的范围； （3）设点的坐标为，求出直线与轴的交点，以为底，拆分为和列方程，解绝对值方程得到坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点， 将点代入， 可得， 则反比例函数为， 将点代入， 可得，解得， 则点的坐标为， 将点和点代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时， 自变量的取值范围为或， 故的解集为或． 【小问3详解】 解：设点的坐标为，直线与轴交于点， 对于， 当，， 则点的坐标为， 可得， ，， 则， 的面积为， 则， 可得， 解得或， 故点的坐标为或． 22. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年6月份的销售量是500件，8月份的销售量是720件． （1）若该网店6月份到8月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能售出20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，但是网店规定降价比率不得超过，若使销售该模型每天获利最大，则售价应降低多少元？最大获利为多少元？（注：降价比率） 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低13元，最大获利为1242元 【解析】 【分析】（1）根据6月、8月的销售量及月平均增长率相同的等量关系列一元二次方程求解； （2）先根据降价比率的限制确定降价金额的取值范围，再结合总利润的计算公式列函数关系式，进而求出最大值． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， ∵6月份销售量为500件，月平均增长率为x， ∴8月份销售量为件， ∵8月份销售量为720件， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低x元，每天获利为W元， ∵降价比率不得超过，原售价为100元， ∴， 解得， 又∵降价金额非负， ∴， ∵每件利润为元，每天销量为件， ∴． ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最大值， 最大值为（元）， 答：售价应降低13元，最大获利为1242元． 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，交轴于点，直线交抛物线于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，求出的取值范围； （3）点是轴的上方抛物线上一点，点与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，设的长为．当随的增大而增大时，直接写出的取值范围； （4）在抛物线上是否存在一点（不与，重合），过点作的平行线，在直线上取一点，使以，，，四点为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据图象交点的意义，确定m的值，继而确定点D的坐标，把A，D的坐标代入解析式，利用待定系数法，解答即可； （2）根据题意，配方法，抛物线的增减性，解答即可； （3）设，，分点两种情况，表示h，再利用配方法，根据抛物线性质，解答即可． （4）分两种情况，利用正切函数，中点坐标公式，解方程，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得直线交抛物线于，两点， ，， 解得，， 故． 由题意得： ， 解得：， 则抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，函数有最大值，且最大值为4． 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，且最小值为． 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，且最小值为． ， 解得或， 而不符合题意，舍去， 故， 故． 【小问3详解】 解：根据题意，得直线的解析式为，抛物线的解析式为 ，， 当时，得， 解得， 故， 当时，此时点P在x轴的上方，且在直线的上方，不妨设，， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴的左侧，h随m的增大而增大， ∴； 当时，此时点P在x轴的上方，且在直线的下方，不妨设，， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴的右侧，h随m的增大而增大， ∴； 故， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 【小问4详解】 解：存在这样的点Q，且．理由： 如图，当Q在矩形的一边的上方时，根据题意，得， 过点D作于点H，过点E作于点G， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， 设， 则， 设，由中点坐标公式得： ， 整理，得， 解得或（与点D重合，舍去） 故， 此时； 如图，当Q在矩形的一边的下方时，根据题意，得， 过点A作于点A，过点作于点M， ， ， ， ； 设， 则，， ， ， ， 整理，得， 解得：或（不符合要求，舍去）， 故； 故存在点Q，使得A，D，Q，E为顶点的四边形是矩形且坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $