精品解析：河南南阳市卧龙区南阳开元学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测（10月21）

九上数学周测 第一部分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 若二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求解后判断符合条件的选项即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数需满足， 解得， 故选项中只有满足，符合要求． 2. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴． 3. 若，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 4. 如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（ ） A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例列比例式即可求得答案． 【详解】解：， ， ∴． 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 6. 如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 8. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 9. 已知，，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 10. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 11. 函数的自变量的取值范围是________； 【答案】且 【解析】 【分析】函数同时含有分式和二次根式，需满足分式分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分) 13. 解方程． （1）(用配方法)； （2）(用公式法)； （3） （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； 【小问2详解】 解：移项，得， 因为，，， ， 所以， 即，； 【小问3详解】 解：因为，，， ， 所以， 即，． 【小问4详解】 解：因式分解得， 即， ∴或， ． 14. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 15. 如图， 在中， ， ，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作的平行线，交于点E，设，则，证明，根据相似三角形的性质求出，证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解. 【详解】解： 如图，过点D作的平行线，交于点E，设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， . 第二部分 16. 如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 17. 如图，在矩形中，，对角线相交于点为的中点，交于点交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行线分线段成比例得到、，进而由三角形中位线的判定与性质得到，进而结合等角对等边得出，再求出，最后由矩形性质及勾股定理求解即可得到的长． 【详解】解：点为的中点， ， ， ，即， 是的中位线，则， ， ， ， ，即， 是的中位线，则， 在矩形中，，， 由勾股定理可得． 18. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分；②连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值；③先证，再根据相似三角形的性质及，即可判断；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分，故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接，， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ，， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为6， ∴由勾股定理得，， ， 即的最小值为，故②正确； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ，故③正确； ④垂直平分， ， 又， ，故④不正确； 综上，正确的是：①②③． 19. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【解析】 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】（1）； （2）20． 【解析】 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：， 的最大值为； 【小问2详解】 解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 21. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； （2）作出线段AC上的点D，使 ． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以分别连接，分别延长到格点，使，再将顺次连接得到． （2）在图中取格点F和H，连，交于点D，点D即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作图，略； 理由：连， 由网格可知，， ∴， ∴， 则点D即为所求． 22. 图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）米 【解析】 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 23. 在 中， ，. 【观察与发现】 （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点D与点C是对应点．点E，F分别在边，上，，连接，． 求证：． 【思考与探究】 （2）如图2， 过点A作 交于点H． 点E，F分别在边，上，， 连接， ，． 猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：； 理由如下： ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，得到，再根据勾股定理，得到，即可得出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学周测 第一部分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 若二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（ ） A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 9. 已知，，则的值为______． 10. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 11. 函数的自变量的取值范围是________； 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 三、解答题(本大题共9小题，满分72分) 13. 解方程． （1）(用配方法)； （2）(用公式法)； （3） （4）． 14. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 15. 如图， 在中， ， ，求 的值． 第二部分 16. 如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17. 如图，在矩形中，，对角线相交于点为的中点，交于点交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10 18. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是_________． 19. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 21. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； （2）作出线段AC上的点D，使 ． 22. 图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 23. 在 中， ，. 【观察与发现】 （1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点D与点C是对应点．点E，F分别在边，上，，连接，． 求证：． 【思考与探究】 （2）如图2， 过点A作 交于点H． 点E，F分别在边，上，， 连接， ，． 猜想线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $