精品解析：四川省达川中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026年秋季初二年级第一学月质量检测 数学试卷 （本试卷满分：150分；考试时间：120分钟） A卷（共100分） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 1，，2 2. 下列说法中，能确定物体具体位置的是（ ） A. 距离学校米 B. 北偏东方向 C. 北纬，东经 D. 在人民广场 3. 在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 4与6之间 5. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于的函数中，正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是三角形的高，，三角形的面积是，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 5或7 8. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 25的算术平方根是 _______ . 10. 若式子有意义，则实数的取值范围是_______． 11. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 12. 已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于________． 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．点P是线段AB上一点，且，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为______秒时，为直角三角形． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 求x的值或计算： （1）； （2）； （3）计算：． 15. 已知与成正比例，且它的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式； （2）若点在此函数图象上，求点的坐标． 16. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 17. 如图，在中，，，D是上一点，，． （1）求证：； （2）求的长． 18. 对于实数x、y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 ， ． （2）已知，． ①求 ， ； ②若正格线性数为，求满足的正格数对有多少个． B卷（共50分） 一．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 一次函数（是常数，）的图象经过点，若，则的值是________. 20. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为_______． 21. 如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________． 22. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为时，输出的的值为．若输入的值为时，则输出的值为_______ ． 23. 点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为____________． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根． 25. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为（），扫过的图形面积为（）． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 26. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． （1）则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； （2）当点C在上运动时，求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季初二年级第一学月质量检测 数学试卷 （本试卷满分：150分；考试时间：120分钟） A卷（共100分） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，勾股数是三个正整数，且满足勾股定理（为最大数），需检查各选项是否均为正整数并验证等式． 【详解】解：选项A：，不是勾股数，不合题意； 选项B：含有小数，不是勾股数，不合题意； 选项C：，且均为正整数，是勾股数，符合题意； 选项D：不是正整数，不是勾股数，不合题意； 故选：C． 2. 下列说法中，能确定物体具体位置的是（ ） A. 距离学校米 B. 北偏东方向 C. 北纬，东经 D. 在人民广场 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了确定物体位置．确定物体具体位置需要两个明确的定位要素，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵确定物体具体位置需要两个精准的定位条件 A选项只有距离，没有明确方向，无法确定唯一位置． B选项只有方向，没有明确距离，无法确定唯一位置． C选项的北纬和东经是两个确定的定位要素，能确定唯一的具体位置． D选项仅说明在人民广场，范围宽泛，无法确定具体位置． 故选：C 3. 在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数， 无理数的个数是个． 故选：B． 4. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 4与6之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解决本题的关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 点在第二象限， ， 故选：． 6. 下列关于的函数中，正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数是正比例函数，根据正比例函数的定义逐一判断选项，即可得到答案. 【详解】解：A. 是一次函数，常数项，不是正比例函数； B .是一次函数，常数项，不是正比例函数； C .是反比例函数，不符合正比例函数形式，不是正比例函数； D .，符合的形式，其中，故该函数是正比例函数. 7. 已知是三角形的高，，三角形的面积是，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 5或7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出的长，再分高在三角形内部、外部两种情况计算的长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴， 解得． 分两种情况： ①当点在线段上时，； ②当点在线段的延长线上时，． 综上所述，的长为或． 8. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 10. 若式子有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 12. 已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形等面积公式的运用，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题干条件和勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，再利用等面积公式即可求出答案； 【详解】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， 三角形的三边分别为， ∴， ∴三角形是直角三角形（斜边长是）， ∵， ∴解得， ∴最长边上的高等于； 故答案为：； 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．点P是线段AB上一点，且，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为______秒时，为直角三角形． 【答案】11或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 当时，过点P作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上所述，t为11秒或秒时，为直角三角形． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 求x的值或计算： （1）； （2）； （3）计算：． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得或； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： ． 15. 已知与成正比例，且它的图象经过点． （1）求与之间的函数解析式； （2）若点在此函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）将点的坐标代入解析式，列出方程求解，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， 将点代入解析式，得， 解得， ∴与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：将点代入，得， 解得， ∴点的坐标为． 16. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）台风中心经过从B点移到D点 （2）A市受到台风影响的时间持续 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； 【小问2详解】 解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 17. 如图，在中，，，D是上一点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：，，， ∴ ，， ∴， ， ； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据，，，得到，根据勾股定理逆定理即可得到，问题得证； （2）设，则，根据勾股定理得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意得， 设，则， ， ， ， 解得：， 即． 18. 对于实数x、y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 ， ． （2）已知，． ①求 ， ； ②若正格线性数为，求满足的正格数对有多少个． 【答案】（1）， （2）①，②满足条件的正格数对有个 【解析】 【分析】（1）将给定数对代入新运算表达式，直接计算结果； （2）①将已知两组数对代入新运算定义，列二元一次方程组求解；②先根据正格线性数的定义确定的取值要求，再结合不等式求正整数解的个数． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． 【小问2详解】 解：①已知，， 则，解得． ②由①得， ∴， ∵是正格线性数， ∴为正整数，为正整数，即且为正整数． ∵， ∴， 解得， 结合且为正整数，可取，对应的分别为9,10,11,12,13,14，都为正整数，共个， 所以满足条件的正格数对有个． B卷（共50分） 一．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 一次函数（是常数，）的图象经过点，若，则的值是________. 【答案】2 【解析】 【分析】将点A（2，3）代入一次函数y=kx+b中即可求解． 【详解】∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）， ∴2k+b=3， ∵kx+b=3， ∴x=2 故答案是：2 【点睛】考查的是一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上的点一定满足对应的函数解析式是解答此题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解a和b的值，然后计算． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴且， 解得， ∴． 故答案为：10． 21. 如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再根据a所在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 22. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为时，输出的的值为．若输入的值为时，则输出的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据输入的的值为时，输出的的值为求出，可得为，把代入求值即可． 【详解】解：输入的的值为时，输出的的值为， ， ， ， ， 当时， 可得：． 23. 点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】轴上的点横坐标为，先求出的值得到点坐标；平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为，分左右两种情况计算的横坐标． 【详解】解：∵点在轴上． ∴，解得． 把代入纵坐标表达式，得． ∴点的坐标为． ∵轴． ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即点的纵坐标为． 设点的横坐标为． ∵． ∴，解得或． ∴点的坐标为或． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． （1）根据在x轴上的点纵坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到与互为相反数，故，解出的值，由此得到答案． 【小问1详解】 解：因为点在轴上， 所以， 解得， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为直线轴， 所以， 解得， 所以， 所以． 【小问3详解】 解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， 所以， 解得， 所以， 所以的立方根是． 25. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为（），扫过的图形面积为（）． （1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求出解析式； （2）因为当时，，分别求出当扫过的图形面积（）为矩形面积的和当扫过的图形面积（）为矩形面积的的时间，即可求出点运动的时间． 【小问1详解】 解：当点在上运动时， ， ， ，， ； 当点在上运动时，如下图所示， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ； 综上所述，； 【小问2详解】 解：当时，，， 当时，， 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， ； 当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了秒． 26. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． （1）则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； （2）当点C在上运动时，求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． 【小问4详解】 解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $