第三章 函数的概念与性质 拔尖卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学第三章 拔尖卷 函数的概念与性质 2026-2027学年 人教A版必修第一册 试题版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章3.1至3.4及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则等于（ ） A. B. C. D.   2. 幂函数的图象经过第一、第二象限，且在上严格递增。下列中符合条件的是（ ） A. B. C. D.   3. 偶函数定义在上，并在上严格递减。则方程的实数解集为（ ） A. B. C. D.   4. 若函数在上严格递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.   5. 设。函数在上的值域恰为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   6. 设函数满足：当时，；当时，。若对任意实数，方程都有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   7. 设，。若对每个，都存在使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   8. 用表示不超过实数的最大整数。设，。若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 下列各组函数中，两个函数不是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，   10. 函数 定义在 上，是奇函数且严格递增。令 。下列结论正确的是。（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在 上严格递增 D. 不等式 的解集为   11. 设。下列结论正确的是（ ） A. B. 在上严格递增 C. 在上严格递减 D. 的值域为   填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 函数在区间上的值域为 ____________________。   13. 函数满足：当时，；当时，。若，则的所有可能值为 ____________________。   14. 若方程恰有三个不同的实数解，则实数为 ____________________。   解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）函数 定义在 上，满足：对任意实数 ，有 ；当 时，；并且 。 （1）证明 ，且 是奇函数。 （2）用单调性的定义证明 在 上严格递增，并求 与 。 （3）解不等式 。   16. （本小题15分）设 ，函数 ，定义域为 。 （1）证明 为奇函数，并写出它的分段解析式。 （2）求包含 的最大严格递增区间，并求函数的值域。 （3）解关于 的不等式 。   17. （本小题15分）两个测量通道使用同一类型的装置。若给一个通道分配的标准化资源为 ，其标准化输出强度 满足 。现给两通道分别分配资源 ，其输出强度分别记为 ，且总预算约束为 。 （1）写出一个通道输出强度关于资源的函数，并用定义证明它在 上严格递增。 （2）在没有其他限制时，求两通道总输出强度 的最大值及相应资源分配。 （3）若第一通道另有容量约束 ，求新的最大总输出强度及相应资源分配。   18. （本小题17分）设函数类 中的每个函数都定义在 上，都是奇函数，在 上严格递增，并满足 。 （1）对任意 ，求它在 上的最小值、最大值及 。 （2）对任意，是否都能保证每个都能写成某个？若不一定，请构造一个明确的函数作反例，并写出该函数的完整值域。 （3）求所有实数 ，使得对每一个 ，都至少存在一个 使 。   19. （本小题17分）定义 ，。设 。 （1）判断 的奇偶性，写出它在 上的严格单调区间，并求值域。 （2）讨论方程 的不同实数解的个数。 （3）若上述方程恰有六个不同实数解，且这六个解的平方和等于 ，求 的值，并写出全部六个解。   第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第三章 拔尖卷 函数的概念与性质 2026-2027学年 人教A版必修第一册 解析版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章3.1至3.4及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 本卷难度系数约0.46，为命题预估，未经样本施测。题源与逐题考点见卷末，改编题已单独注明。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 先用正半轴公式求。 由奇性，。负自变量不能直接代入仅对正半轴给出的公式。 题源：2025年 北京四中2025—2026学年度第一学期期中试卷高一数学 第5题 选编 2. 幂函数的图象经过第一、第二象限，且在上严格递增。下列中符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 时为常函数，不能严格递增；时，实数定义域为非负数，图象不经过第二象限。 时为平方函数，图象经过所要求的两个象限且正半轴严格递增；时，在正半轴严格递减，不符合。因此选C。 题源：2025年 山东省菏泽市2025—2026学年高一上学期期中考试数学试题B卷 第7题 选编 3. 偶函数定义在上，并在上严格递减。则方程的实数解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由偶性，原方程等价于。由于在非负半轴严格递减，两个函数值相等当且仅当。 解或，分别得或，两者均可代回原方程。 题源：自编模拟 未标作真题 4. 若函数在上严格递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 当时，；当时，。两段都严格递增须且，即。 当时，两段在分界点有相同函数值，结合各段严格递增，可得整体严格递增。时，函数在为常数，不能取。 题源：自编模拟 未标作真题 5. 设。函数在上的值域恰为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为在值域中，必须能取，即。另一方面遍历，要使恒成立，须，即。 当时，取，即可遍历；其他不会超出此范围。因此条件充分，参数为。 题源：自编模拟 未标作真题 6. 设函数满足：当时，；当时，。若对任意实数，方程都有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 所求等价于函数值域为。右段值域为。 若，左段含抛物线顶点，值域为；两段合起来覆盖实数集当且仅当，结合本类得。 若，左段值域为。需，即；结合本类得。 合并得。相接处的等号可取，因为左段能取得其最小值，恰好填补右段的开端点。 题源：2025年 北京四中2025—2026学年度第一学期期中试卷高一数学 第15题 第（2）问改编为单选 7. 设，。若对每个，都存在使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 任取，有。所以在正半轴严格递增，在上的函数值不超出。 其间每个值均可取：对，解得正根；结合严格递增和两端值可知该根在内。因此的此段值域确为。 在的值域为。量词条件等价于，故且，即。所有端点均能取得，范围是闭区间。 题源：2024年 北京景山学校高一上学期期中数学 第18题 第（2）问改编为单选 8. 用表示不超过实数的最大整数。设，。若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 取整条件等价于，所以。 因，不属于的实数构成两根之间的闭区间；时该集合为。所求条件等价于此闭区间包含于。 当时，两根均为负，只能放在内，须，得。当时显然满足。 当时，两根均为正，只能放在内，须且，即。合并得。 题源：2026年 人大附中2025—2026学年度第一学期高一年级期末练习数学II卷 第21题 选编 人大附中校本II卷 多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 下列各组函数中，两个函数不是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 A中的定义域为，的定义域为，不同。B中自变量用或不影响函数，两个函数都是实数集上的绝对值函数，故B不是所选项。 C中两个定义域均为，但取时，，，对应法则不同。D中排除，而不排除，故不同。应选A、C、D。 题源：2025年 2025—2026学年上学期第一次段考高一数学试卷 第10题 选编 原卷未署学校名 10. 函数 定义在 上，是奇函数且严格递增。令 。下列结论正确的是。（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在 上严格递增 D. 不等式 的解集为 【答案】ABD 【解析】 由 得 ，所以 A 正确。输入只与 有关，故 B 正确。 当 在 上递增时， 严格递减，故复合后函数严格递减，C 错误。 奇性给出 ，严格递增性给出 当且仅当 ，再结合定义域得 ，所以 D 正确。 题源：自编模拟 未标作真题 11. 设。下列结论正确的是（ ） A. B. 在上严格递增 C. 在上严格递减 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 函数定义域为，直接计算，故A错误。令，则。 对，有。当时该差为正；当时该差为负。因此B、C正确。 由知，且时取等，D遗漏了可取的右端点，故错误。 题源：自编模拟 未标作真题 填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 函数在区间上的值域为 ____________________。 【答案】 【解析】 当时，，函数值遍历。 当时，，函数值遍历。两段并集为，最大值在取得，最小值在取得。 题源：自编模拟 未标作真题 13. 函数满足：当时，；当时，。若，则的所有可能值为 ____________________。 【答案】或 【解析】 先求内层。若，即，外层用二次式，得，即。 两根为，只有加号根符合，应排除另一根。 若，即，外层用，得，所以，符合限制。 两个保留值分别代回各分支，均满足；参数无遗漏。 题源：2025年 2025—2026学年上学期第一次段考高一数学试卷 第12题 实质改编 将原条件f(2)=9改为复合条件 原卷未署学校名 14. 若方程恰有三个不同的实数解，则实数为 ____________________。 【答案】 【解析】 若无解；若，方程为，只有两个实数解。 当时，将方程拆为与。第一式恒有两个不同实根。若，第二式另有两个不同实根，共四个；若，第二式只有实根，共三个；若，第二式无解，共两个。两式因不可能共根，故仅。 题源：自编模拟 未标作真题 解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）函数 定义在 上，满足：对任意实数 ，有 ；当 时，；并且 。 （1）证明 ，且 是奇函数。 （2）用单调性的定义证明 在 上严格递增，并求 与 。 （3）解不等式 。 【答案】， 为奇函数且全域严格递增；，；不等式解集为 。 【解析】 （1）令 ，得 ，所以 。再令 ，得 ，因此 ，函数为奇函数。 （2）任取 ，则 ，从而 。所以 在全体实数上严格递增。又 ，得 ；。 （3）利用加法关系，左侧为 ，而 。由严格递增性，原不等式当且仅当 ，故 。所有自变量均为实数，故没有额外定义域限制。 【评分建议】 代入零点并推出奇性（3分） 任取两点用加法关系证明严格增3分，两个函数值2分（5分） 合并函数值2分，合法比较自变量2分，解集1分（5分） 题源：自编模拟 未标作真题 16. （本小题15分）设 ，函数 ，定义域为 。 （1）证明 为奇函数，并写出它的分段解析式。 （2）求包含 的最大严格递增区间，并求函数的值域。 （3）解关于 的不等式 。 【答案】奇函数。 时为 ； 时为 ； 时为 。包含零的最大严格递增区间为 ，值域为 。当 时，不等式解集为 ；当 时，解集为 。 【解析】 （1）由绝对值性质，，所以函数为奇函数。分别在 、、 上去绝对值，可得所述三个解析式。 （2）函数在 上等于 ，所以严格递增；在两侧区间上分别恒为 与 。若把包含零的递增区间向左或向右再延长，就会包含两个相同函数值的不同点，因此最大区间为 。值域为 ，其中间每个值 可由 取得，两端也可取。 （3）由分段式可知，对任意实数 ，有 当且仅当同时满足 、、。前一条件保证自变量方向正确，后两条件排除两点同处一个常值平台；反之，在三条件下，两点之间必经过严格递增的中央段，故函数值严格有序。 令 、，三条件化为 、、。所以解集为 。 比较两个上界： 时 ； 时上界为 。于是得到答案。所有端点都是严格条件，均不取。 【评分建议】 奇性2分，三个分段式及端点3分（5分） 最大递增区间2分，完整值域1分（3分） 识别平台对严格比较的限制3分，代入三条件2分，按a分段与端点2分（7分） 题源：自编模拟 未标作真题 17. （本小题15分）两个测量通道使用同一类型的装置。若给一个通道分配的标准化资源为 ，其标准化输出强度 满足 。现给两通道分别分配资源 ，其输出强度分别记为 ，且总预算约束为 。 （1）写出一个通道输出强度关于资源的函数，并用定义证明它在 上严格递增。 （2）在没有其他限制时，求两通道总输出强度 的最大值及相应资源分配。 （3）若第一通道另有容量约束 ，求新的最大总输出强度及相应资源分配。 【答案】输出函数为 ；无容量限制时最大值为 ，在 时取得；增加 后，最大值为 ，在 时取得。 【解析】 （1）由 及 ，得 。任取 ，有 ，分母为正，所以严格递增。 （2）由 、 得 。直接展开验证 ，所以 。又总输出非负，得 。 等号要求 ，结合预算得 ，对应 ，可以实现最大值 。这里使用的估计已由平方恒等式证明，不需引用额外不等式。 （3）容量约束等价于 ，而 。记 ，需在 上求最大值。 任取 ，作差有 。 因为 ，而分母不小于 ，所以方括号内为正， 在 上严格递增。故最大值为 。此时 ，资源为 ，同时满足预算与容量条件。 【评分建议】 建模1分，取两点作差证明严格增2分（3分） 平方恒等式得上界3分，合法取等及分配2分（5分） 写出容量下的目标函数2分，定义证明递增3分，最值及实际分配2分（7分） 题源：自编模拟 未标作真题 18. （本小题17分）设函数类 中的每个函数都定义在 上，都是奇函数，在 上严格递增，并满足 。 （1）对任意 ，求它在 上的最小值、最大值及 。 （2）对任意，是否都能保证每个都能写成某个？若不一定，请构造一个明确的函数作反例，并写出该函数的完整值域。 （3）求所有实数 ，使得对每一个 ，都至少存在一个 使 。 【答案】最小值为 ，最大值为 ，；不一定填满整个区间；第（3）问为 。 【解析】 （1）由奇性得 、。由严格递增性，函数在左端点取得最小值 ，在右端点取得最大值 。这只说明函数值位于两端值之间，尚不能保证中间每个数都能取得。 （2）构造 ：当 时，； 时，；当 时，。 这个函数是奇函数；两侧各自严格递增，且负半轴函数值为负、正半轴函数值为正，因此在全区间严格递增；并有 。故 。它的值域为 ，例如 不能取得，因此所述保证不成立。 （3）由第（1）问， 对每个函数都可分别由 取得。而 时，每个函数都不可能取得。 再考虑 。取 ，则 。构造 ：当 时，； 时为 ；当 时，，定义域仍为 。 由于 ，可按第（2）问同样验证 。它的正值都大于 ，负值都小于 ，所以不能取得满足 的 。于是任何这样的 都不能对全部函数作出存在保证。 综上，所有符合第（3）问的实数恰为 。反例均已明确给出，不使用连续性、极限或一般反函数定理。 【评分建议】 奇性得到两个特殊值2分，单调性得到最小最大值2分（4分） 明确合法反例3分，完整值域2分（5分） 三个保证值2分，排除范围外1分，针对任意中间非零b构造合法反例5分（8分） 题源：自编模拟 未标作真题 19. （本小题17分）定义 ，。设 。 （1）判断 的奇偶性，写出它在 上的严格单调区间，并求值域。 （2）讨论方程 的不同实数解的个数。 （3）若上述方程恰有六个不同实数解，且这六个解的平方和等于 ，求 的值，并写出全部六个解。 【答案】 为偶函数，在 上严格递减，在 上严格递增，值域为 。不同实根个数： 时为 ； 时为 ； 时为 ； 时为 ； 时为 。第（3）问 ，六根为 。 【解析】 （1），故为偶函数。对 ， 时为 ， 时为 ，由此得到两个严格单调区间。函数非负，且任取 ，令 可得 ，所以值域恰为 。 （2）令 。外层方程为 。若 ，无解；若 ，只有 ，而 给出 ，共三个不同解。 若 ，则 或 。前者在 内，给出 ；后者大于 ，给出 。因为 ，三个正数 互不相同，故共有六个不同实根。 若 ，外层给出 或 ，分别得到 与 ，共四个不同解。若 ，因 不可作为 ，只剩 ，得到 ，共两个不同解。 （3）恰有六个不同实根要求 。六根为 ，其平方和为 。 由，得，结合，得。全部六个解为、、，均不同且满足方程。 【评分建议】 （1）偶性1分，两个单调区间2分，值域及可达1分，共4分。 （2）中间变量与外层求解2分，五类参数及临界根去重5分，共7分。 （3）六根范围1分，列根及平方和3分，参数与核验2分，共6分。 题源：自编模拟 未标作真题 题源与命题说明 近三年按2024至2026自然年计。真题题文以已核对的公开原卷或题文为据；改变情境、条件或设问的题目标为改编。自编模拟题不冒称真题。原卷镜像仅作为核对入口，不代表学校或考试机构官方发布渠道。 第1题 奇函数的函数值与分支适用范围 2025年 北京四中2025—2026学年度第一学期期中试卷高一数学 第5题 选编查看题源 第2题 基本幂函数的图象与单调性 2025年 山东省菏泽市2025—2026学年高一上学期期中考试数学试题B卷 第7题 选编查看题源 第3题 偶函数的严格单调性与等值自变量 自编模拟 未标作真题 第4题 绝对值函数的分段斜率及严格性 自编模拟 未标作真题 第5题 绝对值二次函数的精确值域条件 自编模拟 未标作真题 第6题 分段函数值域覆盖全实数的参数充要条件 2025年 北京四中2025—2026学年度第一学期期中试卷高一数学 第15题 第（2）问改编为单选查看题源 第7题 全称存在条件转为两个函数值域的包含 2024年 北京景山学校高一上学期期中数学 第18题 第（2）问改编为单选查看题源 第8题 取整函数的新定义与原像区间及集合包含 2026年 人大附中2025—2026学年度第一学期高一年级期末练习数学II卷 第21题 选编 人大附中校本II卷查看题源 第9题 函数三要素 根式化简与约分的限制 2025年 2025—2026学年上学期第一次段考高一数学试卷 第10题 选编 原卷未署学校名查看题源 第10题 偶对称复合 函数定义域与单调性 自编模拟 未标作真题 第11题 根式函数的作差单调性与对称自变量 自编模拟 未标作真题 第12题 绝对值分段二次函数的值域 自编模拟 未标作真题 第13题 分段复合函数 内层取值决定外层分支 2025年 2025—2026学年上学期第一次段考高一数学试卷 第12题 实质改编 将原条件f(2)=9改为复合条件 原卷未署学校名查看题源 第14题 函数图象与水平线交点数的临界值 自编模拟 未标作真题 第15题 自包含的加法型抽象函数 奇偶性 单调性 自编模拟 未标作真题 第16题 带平台的奇函数 绝对值分段表示 参数比较 自编模拟 未标作真题 第17题 平方根幂函数的实际模型 资源分配 单调性定义与容量约束 自编模拟 未标作真题 第18题 单调函数的值域可达 反例构造 全称存在量词 自编模拟 未标作真题 第19题 绝对值折叠函数 复合函数 原像与不同实根个数 自编模拟 未标作真题 难度与使用建议 适合已掌握本章基础方法的学生。先完成前部辨析与综合值域，再训练抽象函数、平台比较、资源分配、可达反例和复合原像计数；讲评时重视必要性与充分性。 本卷重视定义域、分界点、严格单调性与值域可达性。解法限于本章及已学代数，不依赖导数、指数对数、三角、极限或未经证明的竞赛结论。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $