第三章 函数的概念与性质单元复习卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 第三章 函数的概念与性质单元复习卷 （满分100分，建议用时90分钟） 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 使用说明 本卷为第三章单元复习卷，只测本章内容，共19题、满分100分、建议用时90分钟。 范围：3.1 函数的概念及其表示、3.2 函数的基本性质、3.3 幂函数、3.4 函数的应用（一）。 集合与不等式只作先修工具使用，不单独设题。 多项选择题全对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分。填空题每题4分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。 题目均标注来源。 本卷附答题卡与双向细目表，解析版另附编者评分参考。 一、单项选择题（本大题8题，每题4分，共32分） 1． （24-25高一上·贵州遵义·期末） 若函数，则（   ） A．506 B．1024 C．1012 D．2024 【原解析】 【答案】 C 【分析】 根据计算. 【详解】 由题意可得，， 则 故选：C 2． （24-25高一上·湖北武汉·期末） 已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】 设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 3． （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测） 若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，所以，解得． 故选：A 4． （25-26高一上·黑龙江大庆·期末） 已知幂函数在上单调递减，则（       ） A．－1 B．1 C． D．2 【原解析】 【答案】 C 【分析】 首先根据幂函数的定义确定的值，再结合幂函数的单调性进一步确定的值，最后代入，求出的值. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得. 又幂函数在上单调递减，所以，所以， 所以，所以. 故选：C 5． （25-26高一上·海南·期末） 已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 根据幂函数的定义及单调性求得，然后利用二次函数的对称性确定整数解，进而列不等式求解的范围即可. 【详解】 依题意，，解得或， 又在区间上单调递增，所以，所以. 关于的不等式恰有4个整数解， 因为抛物线的对称轴是，则4个整数解分别为， 于是可得 解得. 故选：B 6． （25-26高一上·浙江嘉兴·期末） 已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】 因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 7． （26-27高一上·湖南·期中） 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 由函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】 因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 8． （25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【详解】 设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C 二、多项选择题（本大题3题，每题5分，共15分） 9． （24-25高一上·江西吉安·阶段检测） 下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【原解析】 【答案】 ABC 【分析】 求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】 对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 10． （25-26高一上·陕西西安·阶段检测） 若幂函数是奇函数，则（   ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递减 【原解析】 【答案】 BCD 【分析】 根据为幂函数、奇函数求出的值，进而判断函数的单调性，得到单调区间. 【详解】 因为为幂函数， 所以，即，， 解得或. 当时，，，此时为奇函数； 当时，，，此时为偶函数； 综上，，，定义域为. 取，则， , 所以在单调递减. 同理可证，在单调递减. 故选：BCD. 11． （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） ，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．函数，的值域为 【原解析】 【答案】 BD 【分析】 结合高斯取整函数的定义：对任意实数，是不超过的最大整数，满足，对各选项逐一判断，特称命题可通过举特例验证，全称命题可通过定义或举反例判断正误. 【详解】 选项A：根据取整函数定义，对任意，都有恒成立， 不存在满足，故A错误； 选项B：取，则，，等式成立，故B正确； 选项C：取，，则，， 此时，故C错误； 选项D：由取整函数定义得， 故函数的值域为，故D正确. 三、填空题（本大题3题，每题4分，共12分） 12． （25-26高一上·山东泰安·阶段检测） 若函数的定义域为，则的定义域为_________． 【原解析】 【答案】 【分析】 根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13． （25-26高一上·河南南阳·阶段检测） 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 【原解析】 【答案】 【分析】 求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】 设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14． （2026高一上·全国·专题练习） 已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 【原解析】 【答案】 【详解】 由题意得偶函数在上单调递增，若， 则，两边平方可得， 即，解得， 所以的解集为. 四、解答题（本大题5题，共41分（7、8、8、9、9分）） 15． （25-26高一上·江苏连云港·期末） 已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 【原解析】 【答案】 (1) (2)①若；②；③ (3) 【分析】 （1）换元法即可求解； （2）因式分解，再讨论根的大小即可； （3）按照二次项系数是否为零，分情况讨论即可. 【详解】 （1）因为，令则，化简得，所以. （2）即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. （3）由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 16． （25-26高一上·河南·期末） 已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 【原解析】 【答案】 (1)， (2) 【分析】 （1）由幂函数的定义求得，再结合点求得，即可； （2）由（1）将不等式展开，结合一元二次不等式求解即可. 【详解】 （1）因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． （2）由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 17． （24-25高一上·河南信阳·阶段检测） 已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【原解析】 【答案】 (1)证明：任取，且， 由 ， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； (2) 【分析】 （1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】 （1）略 （2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 18． （25-26高一上·江苏无锡·期末） 已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【原解析】 【答案】 (1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】 （1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】 （1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 19． （25-26高一上·广西河池·期末） 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【原解析】 【答案】 (1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【分析】 （1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】 （1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 编者评分参考 解答题按小问给分，各小问分值之和等于该题分值；学生写出等价解法时按同样的逻辑给分。 第15题（7分）：第(1)问换元求得解析式得2分；第(2)问正确因式分解，并按 a 与2的大小分类写出解集得3分；第(3)问根据函数最小值及 m 的符号讨论，求出 m 的范围得2分。 第16题（8分）：第(1)问由幂函数系数及过点条件定出参数和解析式得3分；第(2)问正确转化并求解不等式得3分，写出完整解集得2分。正确的代数解法或性质解法均可。 第17题（8分）：任取 、作差并判断符号的证明过程完整得6分；求出闭区间上的最值得2分。 第18题（9分）：任取与作差过程完整得5分；单调性结论表述清楚得2分；解不等式并写出解集得2分。 第19题（9分）：第(1)问按总收入减购置及维修保养费用建立盈利函数得3分，写明 x 为正整数得1分；第(2)问写出年平均盈利函数得2分，证明其最大值为22万元得2分，写出等号在使用7年时成立得1分。 只写结论不写过程的，按该小问分值的一半给分；关键步骤缺失但结论正确的酌情给分。 分类讨论题若漏掉某一类参数范围，扣该类分值的一半。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第三章 函数的概念与性质单元复习卷 （满分100分，建议用时90分钟） 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 使用说明 本卷为第三章单元复习卷，只测本章内容，共19题、满分100分、建议用时90分钟。 范围：3.1 函数的概念及其表示、3.2 函数的基本性质、3.3 幂函数、3.4 函数的应用（一）。 集合与不等式只作先修工具使用，不单独设题。 多项选择题全对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分。填空题每题4分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。 题目均标注来源。 一、单项选择题（本大题8题，每题4分，共32分） 1． （24-25高一上·贵州遵义·期末） 若函数，则（   ） A．506 B．1024 C．1012 D．2024 2． （24-25高一上·湖北武汉·期末） 已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3． （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测） 若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 4． （25-26高一上·黑龙江大庆·期末） 已知幂函数在上单调递减，则（       ） A．－1 B．1 C． D．2 5． （25-26高一上·海南·期末） 已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6． （25-26高一上·浙江嘉兴·期末） 已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 7． （26-27高一上·湖南·期中） 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8． （25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 二、多项选择题（本大题3题，每题5分，共15分） 9． （24-25高一上·江西吉安·阶段检测） 下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 10． （25-26高一上·陕西西安·阶段检测） 若幂函数是奇函数，则（   ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递减 11． （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） ，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．函数，的值域为 三、填空题（本大题3题，每题4分，共12分） 12． （25-26高一上·山东泰安·阶段检测） 若函数的定义域为，则的定义域为_________． 13． （25-26高一上·河南南阳·阶段检测） 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 14． （2026高一上·全国·专题练习） 已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 四、解答题（本大题5题，共41分（7、8、8、9、9分）） 15． （25-26高一上·江苏连云港·期末） 已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 16． （25-26高一上·河南·期末） 已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 17． （24-25高一上·河南信阳·阶段检测） 已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 18． （25-26高一上·江苏无锡·期末） 已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 19． （25-26高一上·广西河池·期末） 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 答题卡 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 一、单项选择题（每题4分，共32分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、多项选择题（每题5分，共15分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9 10 11 多项选择题评分规则：全部选对得5分；部分选对且无错选得2分；有错选得0分。 三、填空题（每题4分，共12分） 12． 13． 14． 四、解答题（共41分） 题号 分值 得分 15 7 16 8 17 8 18 9 19 9 合计 41 解答题作答区：建议写在原卷对应题号后；下方书写框亦可使用，按题号标注，每题预留 8 行。 第 15 题（7 分） 第 16 题（8 分） 第 17 题（8 分） 第 18 题（9 分） 第 19 题（9 分） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 双向细目表 第三章 函数的概念与性质单元复习卷　满分100分　建议用时90分钟 章节点 题号 题型 分值 主考点 能力要求 来源 难度 系数 3.1 函数的概念及其表示 1 单选题 4 分式函数 配对求和 基础运算 （24-25高一上·贵州遵义·期末） 0.85 6 单选题 4 递推分段函数求函数值 基础运算 （25-26高一上·浙江嘉兴·期末） 0.65 9 多选题 5 定义域、值域及函数性质综合判断 性质判断 （24-25高一上·江西吉安·阶段检测） 0.65 11 多选题 5 取整函数的性质与值域判断 性质判断 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） 0.7 12 填空题 4 由抽象函数定义域求复合式定义域 定义域求解 （25-26高一上·山东泰安·阶段检测） 0.65 15 解答题 7 换元法求解析式与含参二次不等式 定义域与解析式 （25-26高一上·江苏连云港·期末） 0.65 3.2 函数的基本性质 2 单选题 4 构造偶函数xf(x)利用单调性解不等式 性质应用 （24-25高一上·湖北武汉·期末） 0.6 7 单选题 4 偶函数单调性比较函数值 性质应用 （26-27高一上·湖南·期中） 0.85 14 填空题 4 偶函数单调性解不等式 性质应用 （2026高一上·全国·专题练习） 0.7 17 解答题 8 用定义法证明在区间上单调并求值域 定义法证明 （24-25高一上·河南信阳·阶段检测） 0.94 18 解答题 9 用定义法证明单调并解含参不等式 定义法证明 （25-26高一上·江苏无锡·期末） 0.65 3.3 幂函数 3 单选题 4 幂函数过点 (8,4) 求指数 α 性质应用 （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测） 0.85 4 单选题 4 幂函数参数与单调性求 f(2) 性质应用 （25-26高一上·黑龙江大庆·期末） 0.85 5 单选题 4 幂函数单调性与不等式整数解个数 性质应用 （25-26高一上·海南·期末） 0.65 8 单选题 4 幂函数过点 (4,2) 判断图象与性质 性质判断 （25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） 0.65 10 多选题 5 幂函数为奇函数时定参数并判单调性 性质应用 （25-26高一上·陕西西安·阶段检测） 0.85 13 填空题 4 幂函数单调性解不等式 性质应用 （25-26高一上·河南南阳·阶段检测） 0.65 16 解答题 8 幂函数过点定参数并用单调性解不等式 性质综合 （25-26高一上·河南·期末） 0.65 3.4 函数的应用（一） 19 解答题 9 设备年平均盈利模型与最值 实际建模 （25-26高一上·广西河池·期末） 0.72 题型 3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质 3.3 幂函数 3.4 函数的应用（一） 单选题 2题/8分 2题/8分 4题/16分 — 多选题 2题/10分 — 1题/5分 — 填空题 1题/4分 1题/4分 1题/4分 — 解答题 1题/7分 2题/17分 1题/8分 1题/9分 合计 6题/29分 5题/29分 7题/33分 1题/9分 题型 题数 每题分 小计 单项选择题 8 4 32 多项选择题 3 5 15 填空题 3 4 12 解答题 5 7、8、8、9、9 41 合计 19 — 100 难度档 题数 占比 易（系数 ） 6 32% 中（ 系数 ） 12 63% 较难（系数 ） 1 5% 说明 章节点按题目实际考查内容归类；能力要求列标注该题主要考查的操作层次。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $