第三章 函数的概念与性质 培优卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学第三章 培优卷 函数的概念与性质 2026-2027学年 人教A版必修第一册 解析版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章3.1至3.4及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 本卷难度系数约0.63，为命题预估，未经样本施测。题源与逐题考点见卷末，改编题已单独注明。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 下列函数中，与为同一函数的是（ ） A. B. C. （），（） D. 【答案】B 【解析】 A的定义域为；B的定义域为，且，符合要求。 C排除了；D排除了，且在其定义域上等于，不是绝对值函数。因此只有B正确。 题源：2024年 北京东直门中学高一10月月考数学 第4题 选编 2. 幂函数的图象经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由幂函数形式及过点条件，可确定。 所以。幂函数的系数固定为，不能另设不受限制的系数。 题源：2026年 2025—2026学年度第一学期期末考试（一）高一数学（北京房山） 第3题 选编 3. 已知函数：当时，；当时，。则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 内层自变量，故。 外层自变量为，须改用正半轴分支，得到。 题源：2024年 北京二中2024—2025学年度第一学段高一年级学段考试数学 第14题 改编为单选 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 当遍历时，遍历，故的定义域为。 要使有意义，须，解得。 题源：自编模拟 未标作真题 5. 奇函数的定义域为，且当时，。则当时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 取，则，所以。 由奇函数定义，。原条件在给出，与奇性相容。 题源：自编模拟 未标作真题 6. 若是幂函数，且在上严格递减，则实数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 按幂函数定义，系数须为，即，解得或。 当时，在正半轴为常函数；当时，在正半轴严格递减，故。 题源：自编模拟 未标作真题 7. 函数满足：当时，；当时，。若在上严格递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 两段各自在其区间内严格递增。要使整体严格递增，分界点左侧的函数值均须小于，即对所有成立，等价于。 充分性：若，对于，有。若，取，则，与递增矛盾。因此端点可取。 题源：自编模拟 未标作真题 8. 已知，其中。则能由此确定的的解析式及相应自变量范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 令，则，且。于是。 将自变量字母换为，得到，相应范围。给定关系不能确定时的函数值，不能把范围擅自扩大。 题源：自编模拟 未标作真题 多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 函数定义在上，对任意实数均满足。令，下列结论一定正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 为奇函数 D. 【答案】BC 【解析】 令，得，所以B正确。 有，且定义域关于原点对称，所以C正确。 取，满足题设关系但不是偶函数，故A错误；取，也满足题设，但，故D不一定成立。 题源：自编模拟 未标作真题 10. 设，，。下列结论正确的是（ ） A. 在上严格递增 B. 在其定义域上严格递减 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 对，，后二次式除同时为零外为正，而排除同时为零，故A正确。 虽在与各严格递减，却不能说在不连通的整个定义域严格递减。例如而，所以B错误。 若，则，C正确；若，则，D正确。以上比较均在各自定义域内进行。 题源：自编模拟 未标作真题 11. 定义函数：当时，；当时，；当时，。下列结论正确的是（ ） A. 该函数在实数集上严格递增 B. 该函数为奇函数 C. 该函数的值域为 D. 方程恰有三个实数解 【答案】BCD 【解析】 根据定义，对所有实数成立，故B正确。对，函数值为，其范围为；负半轴由奇性取得同样范围，且，故C正确。 正半轴的零点只有，由奇性另有，加上恰有三个零点，D正确。取，却有，所以A错误。 上述值域没有遗漏：任取，令，即有。 题源：自编模拟 未标作真题 填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 设为函数的定义域，为函数的值域，则为 ____________________。 【答案】 【解析】 根式要求，故。 由，得。所以。 题源：2024年 北京东直门中学高一10月月考数学 第15题 改编为定义域与值域表述 13. 偶函数的定义域为，在上严格递增。则不等式的解集为 ____________________。 【答案】 【解析】 需且，共同范围为。 由偶性，。在共同范围内，递增性给出，两边平方得。与交得。 题源：自编模拟 未标作真题 14. 函数的值域为 ____________________。 【答案】 【解析】 定义域为。有，分母随严格增大，所以严格递减，且。 为证明中间值均可取，任取，令。由、，得到，故值域确为。 题源：自编模拟 未标作真题 解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）已知二次函数的图象经过点与。令。 （1）求的解析式。 （2）写出的单调递增区间与单调递减区间。 （3）求在区间上的最大值、最小值，并写出所有对应的自变量。 【答案】（1）；（2）递减区间，递增区间；（3）最小值在取得，最大值在取得。 【解析】 （1）代入两点得、，解得，故。 （2）配方得。由抛物线图象可知，递减区间为，递增区间为。 （3）当时，。有，等号当且仅当。 又，等号当且仅当或。因此最小值为、最大值为，取值点如上。 【评分建议】 （1）建立方程并求解析式4分。 （2）配方或正确识别对称轴2分，两个单调区间2分，共4分。 （3）上下界证明共3分，所有取值点2分，共5分。 题源：2024年 北京二中高一第一学段考试第19题 改编 增加单调性并限制区间求双侧最值 16. （本小题15分）设。 （1）求定义域，并用定义证明在上严格递减。 （2）求在上的最大值、最小值及对应自变量。 （3）求函数的定义域。 【答案】（1）定义域，在上严格递减；（2）最大值，最小值；（3）。 【解析】 （1）分母要求，所以定义域为。任取，有，故在上严格递减。 （2）由于位于递减区间，最大值为，最小值为，两端均能取到。 （3）内层先要求；外层又要求，即，得。所以所求定义域为。这两个条件也是充分的。 【评分建议】 （1）定义域2分；任取有序两点、作差化简与判号5分，共7分。 （2）依据单调性确定取值点2分，两个最值2分，共4分。 （3）内外层限制各1分，完整结果及充分性2分，共4分。 题源：2025年 2025—2026学年上学期第一次段考高一数学试卷 第17题 据原题增加复合式定义域 原卷未署学校名 17. （本小题15分）某矩形育苗棚占地面积为平方米。棚内沿四边各留宽米的通道，中间再留一条宽米、平行于横边的通道，分成上下两个同样大小的矩形育苗区。设棚的横边长为米，纵边长为米，两育苗区总面积为平方米。 （1）建立总育苗面积关于横边长的函数，并写出实际定义域。 （2）求最大总育苗面积及相应的横边、纵边长。 （3）若场地另要求，求新的最大总育苗面积与对应边长，并说明理由。 育苗棚示意图 不按比例绘制 【答案】（1），；（2）最大平方米，；（3）最大平方米，。 【解析】 （1）由，有。育苗区合计横向宽为，纵向长度为，故。 两方向均须有正长度，所以且，得定义域。在此域内，中间通道上下可均分剩余纵向长度，两育苗区均能实际布置。 （2）由，得。等号当且仅当，即，此时且符合实际定义域。 （3）增加限制后定义域为。任取，有，因为。 所以在新定义域上严格递增，最大值为，此时。原来的取等点不符合新增限制。 【评分建议】 （1）建立面积关系3分，实际定义域2分，共5分。 （2）证明上界3分，取等点与合法性1分，共4分。 （3）新定义域1分，作差证明递增3分，最大面积与边长2分，共6分。 题源：2024年 北京东直门中学高一10月月考数学 第23题 实质改编 改变通道与面积并增加横边限制 18. （本小题17分）已知函数 定义在 上，是奇函数，并且在 上严格递减。 （1）证明 ，并证明 在整个 上严格递减。 （2）解不等式 。 （3）求所有实数 ，使对任意 ，式子 都有意义且不小于 。 【答案】 且全域严格递减；第（2）问解集为 ；第（3）问为 。 【解析】 （1）由奇性得 ，故 。若 ，则 ，由正半轴严格递减得 ，利用奇性可得 。 若 ，由正半轴递减与奇性得 ；若有一个点为零，同理成立。正半轴情形由已知成立，因此全域严格递减。 （2）首先要求 且 ，共同给出 。在此范围内，奇性与严格递减性给出 当且仅当 ，即 ，所以 。结合定义域得 。 （3）所有 的两个自变量均在 ，等价于 ，即 。必要性也可直接令 ，同时要求 与 不小于 。 对满足 的任意 ，两个自变量均合法。又因 ，有 ，由严格递减性得 。所以所要求的不等式恒成立，参数范围恰为 。 【评分建议】 零点1分，负半轴反射证明3分，跨零比较2分（6分） 共同定义域2分，奇性及单调比较2分，完整解集1分（5分） 所有自变量合法的参数条件3分，利用t的符号证明充分性3分（6分） 题源：自编模拟 未标作真题 19. （本小题17分）设 。函数 定义在 上：当 时，；当 时，。 （1）求 的值域，用区间的并集表示。 （2）求 的取值范围，使 在整个 上严格递增。 （3）设 是所有这样的实数 组成的集合：方程 在 内恰有两个不同实数解。求 ，并求使 非空的参数范围。 【答案】值域为 ；全域严格递增当且仅当 。当 时，；当 时，；当 时，；其余参数下 。因此 非空当且仅当 。 【解析】 （1）左段 的值域为 ，右段 的值域为 。两段合并得所求值域 。左段的每个值 由 取得，右段的每个值 由 取得，故没有仅有界而未证明可达的问题。 （2）两段本身均严格递增。若 ，左段任意值均小于 ，右段任意值均不小于 ，所以跨段的大小关系也严格正确，函数全域严格递增。 若 ，由 而左段值可在 中选取大于 的值，因此会有 却 ，不满足严格递增。具体地， 时可取 ； 时可取 。故参数为 。 （3）每段均严格递增，所以每段对一个给定函数值至多提供一个原像。方程恰有两解，当且仅当 同时属于两段值域，即 。 分类求交集：若 或 ，交集为空；若 ，交集为 ；若 ，交集为 ；若 ，交集为 。交集中的每个值分别由左段 、右段 取得，两原像不同。 因此 当且仅当 。特别地， 时共同值仅有 ，对应原像为 和 ； 时两段恰好衔接但左段不取 ，不存在共同值。 【评分建议】 两段值域与开闭端点各2分（4分） 跨段充分性2分，参数不满足时构造反例2分，结论1分（5分） 用值域交集刻画两解3分，正确分段求交集3分，边界与原像核验2分（8分） 题源：自编模拟 未标作真题 题源与命题说明 近三年按2024至2026自然年计。真题题文以已核对的公开原卷或题文为据；改变情境、条件或设问的题目标为改编。自编模拟题不冒称真题。原卷镜像仅作为核对入口，不代表学校或考试机构官方发布渠道。 第1题 函数相同须同时核对定义域与对应法则 2024年 北京东直门中学高一10月月考数学 第4题 选编查看题源 第2题 基本幂函数的图象与解析式 2026年 2025—2026学年度第一学期期末考试（一）高一数学（北京房山） 第3题 选编查看题源 第3题 分段函数逐层代入并判断分支 2024年 北京二中2024—2025学年度第一学段高一年级学段考试数学 第14题 改编为单选查看题源 第4题 抽象函数定义域的整体替换 自编模拟 未标作真题 第5题 奇函数的负半轴解析式 自编模拟 未标作真题 第6题 幂函数定义与单调性的双重限制 自编模拟 未标作真题 第7题 分段函数在分界点处的整体单调性 自编模拟 未标作真题 第8题 换元求解析式须保留新自变量范围 自编模拟 未标作真题 第9题 函数关系中提取奇偶性 自编模拟 未标作真题 第10题 幂函数在负半轴的比较与定义域 自编模拟 未标作真题 第11题 奇性与全局单调性不相互替代 自编模拟 未标作真题 第12题 区分自变量的范围与函数值的范围 2024年 北京东直门中学高一10月月考数学 第15题 改编为定义域与值域表述查看题源 第13题 偶函数的单调性与两个复合自变量的范围 自编模拟 未标作真题 第14题 根式函数的单调性与不可达下界 自编模拟 未标作真题 第15题 待定系数 图象单调性与闭区间最值 2024年 北京二中高一第一学段考试第19题 改编 增加单调性并限制区间求双侧最值查看题源 第16题 单调性定义证明 最值与复合式定义域 2025年 2025—2026学年上学期第一次段考高一数学试卷 第17题 据原题增加复合式定义域 原卷未署学校名查看题源 第17题 面积模型的实际定义域 与限制条件下的最值 2024年 北京东直门中学高一10月月考数学 第23题 实质改编 改变通道与面积并增加横边限制查看题源 第18题 奇函数与单调性 抽象函数比较 定义域约束 自编模拟 未标作真题 第19题 分段函数 跳跃点 单调性 值域与共同函数值 自编模拟 未标作真题 难度与使用建议 建议完成后依次订正定义域、换元范围、奇偶函数比较与分段衔接。解答题训练图象性质、定义证明、实际模型及参数分类，末两题通过递进小问提升综合推理。 本卷重视定义域、分界点、严格单调性与值域可达性。解法限于本章及已学代数，不依赖导数、指数对数、三角、极限或未经证明的竞赛结论。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第三章 培优卷 函数的概念与性质 2026-2027学年 人教A版必修第一册 试题版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章3.1至3.4及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 下列函数中，与为同一函数的是（ ） A. B. C. （），（） D.   2. 幂函数的图象经过点，则等于（ ） A. B. C. D.   3. 已知函数：当时，；当时，。则等于（ ） A. B. C. D.   4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D.   5. 奇函数的定义域为，且当时，。则当时，等于（ ） A. B. C. D.   6. 若是幂函数，且在上严格递减，则实数为（ ） A. B. C. 或 D.   7. 函数满足：当时，；当时，。若在上严格递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   8. 已知，其中。则能由此确定的的解析式及相应自变量范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，   多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 函数定义在上，对任意实数均满足。令，下列结论一定正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 为奇函数 D.   10. 设，，。下列结论正确的是（ ） A. 在上严格递增 B. 在其定义域上严格递减 C. 当时， D. 当时，   11. 定义函数：当时，；当时，；当时，。下列结论正确的是（ ） A. 该函数在实数集上严格递增 B. 该函数为奇函数 C. 该函数的值域为 D. 方程恰有三个实数解   填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 设为函数的定义域，为函数的值域，则为 ____________________。   13. 偶函数的定义域为，在上严格递增。则不等式的解集为 ____________________。   14. 函数的值域为 ____________________。   解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）已知二次函数的图象经过点与。令。 （1）求的解析式。 （2）写出的单调递增区间与单调递减区间。 （3）求在区间上的最大值、最小值，并写出所有对应的自变量。   16. （本小题15分）设。 （1）求定义域，并用定义证明在上严格递减。 （2）求在上的最大值、最小值及对应自变量。 （3）求函数的定义域。   17. （本小题15分）某矩形育苗棚占地面积为平方米。棚内沿四边各留宽米的通道，中间再留一条宽米、平行于横边的通道，分成上下两个同样大小的矩形育苗区。设棚的横边长为米，纵边长为米，两育苗区总面积为平方米。 （1）建立总育苗面积关于横边长的函数，并写出实际定义域。 （2）求最大总育苗面积及相应的横边、纵边长。 （3）若场地另要求，求新的最大总育苗面积与对应边长，并说明理由。 育苗棚示意图 不按比例绘制   18. （本小题17分）已知函数 定义在 上，是奇函数，并且在 上严格递减。 （1）证明 ，并证明 在整个 上严格递减。 （2）解不等式 。 （3）求所有实数 ，使对任意 ，式子 都有意义且不小于 。   19. （本小题17分）设 。函数 定义在 上：当 时，；当 时，。 （1）求 的值域，用区间的并集表示。 （2）求 的取值范围，使 在整个 上严格递增。 （3）设 是所有这样的实数 组成的集合：方程 在 内恰有两个不同实数解。求 ，并求使 非空的参数范围。   第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $