第三章 函数的概念与性质单元复习卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质单元复习卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 4．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（     ） A．0 B．6 C． D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的单调递增区间是 C．的最小值为－4 D．方程的解集为 10．已知函数是幂函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的图象关于轴对称 C． D．若，则 11．已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 13．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________． 14．设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 16．已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 17．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 18．已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设，求的最大值. 19．定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质单元复习卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 3．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 4．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 5．定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集． 【详解】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，， 可得时，；时，， 则等价为 或 ，解得或， 即所求解集为 6．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 7．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据单调性定义得到在上为减函数，再由的图象关于点中心对称，结合，得到，最后根据分式不等式的解法，结合函数单调性得到的解集为. 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 8．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（     ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】利用奇偶性，得到对称性，结合解析式求解，，再求解. 【详解】由是偶函数得，所以，故函数关于直线对称， 由是奇函数，的定义域为，故， 令，代入， 即，函数关于点中心对称， 由对称得，而，所以， 已知，得， 由中心对称，令， ，则，， 解得，，所以， 由，令，得,即， 由，令，得， 于是，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的单调递增区间是 C．的最小值为－4 D．方程的解集为 【答案】ACD 【分析】由可判断函数的对称性，判断A；结合二次函数性质以及函数的对称性可判断BC；求出时，的解，结合对称性可得时方程的解，可判断D. 【详解】因为，，即， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 当时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为， 又因为的图象关于直线对称，所以在上也单调递增， 故的单调递增区间为和， 两区间中间不可用并集符号，所以B不正确； 当时，所以的最小值为， 结合对称性可知时，的最小值也为，故C正确； 当时，方程的解为，因为关于直线对称， 则时，的解为， 所以方程的解集为，所以D正确. 10．已知函数是幂函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的图象关于轴对称 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用幂函数定义可得或，再逐项分类讨论并判断即可得. 【详解】对A：由是幂函数，则， 即，则或，故A错误； 对B：当时，，有， 且定义域为，故为偶函数， 即的图象关于轴对称； 当时，，有， 且定义域为，故为偶函数，即的图象关于轴对称； 综上可得，的图象关于轴对称，故B正确； 对C：当时，，； 当时，，；故C正确； 对D：当时，，，不符合题意； 当时，，符合题意，故，故D正确. 故选：BCD. 11．已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 【答案】ACD 【分析】应用赋值法计算判断A，应用换元法计算判断值域判断B，应用单调性定义计算判断C，结合单调性计算求解判断D． 【详解】令，，得， 又，所以，故选项A正确； 令，得， 所以，当时，， 得，此时， 所以的值域为，故选项B错误； ，有，， 所以 ， 即，所以在上单调递增，故选项C正确； 若，又，则， 由题可知， 又在上单调递增，得， 由函数在上单调递增，所以，故选项D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】 / 【分析】先利用偶函数性质将转化为，再结合周期为2的性质将自变量转化到区间内，代入已知解析式计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 由可知，函数是周期为的周期函数， 因此. 因为，所以， 故. 13．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与对称性求出值，进而求解一元二次不等式. 【详解】根据幂函数的定义，函数的系数必须为1， 因此，，即，解得或. 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，符合条件； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，不符合条件. 因此，. 于是，即， 展开并化简：， 得，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 16．已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据，代入即可计算得， （2）根据二次函数的对称性，讨论的取值范围，再根据在上的最大值为4，即可求得的值. （3）根据，得出的解析式，再利用换元法转化为二次函数恒成立的问题，即可解. 【详解】（1）因为，所以，； （2）因为是开口向上的抛物线，对称轴为，则自变量离对称轴越远，函数值越大.因，则区间中点对应数字为. ①当，即时， ，解得：，满足要求： ②当，即时， ，解得：，满足要求； 综上：或． （3）； ，令，当且仅当时取等号； 由题意，恒成立，即为，恒成立， 又在上单调递减，所以当时，，所以，即． 17．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18．已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出的值； （2）根据的单调性解不等式即可； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，符合题意， 所以． （2）若，即， ∵函数在上单调递增， ∴，解得． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当取等号， ∴的最大值为2． 19．定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； 【答案】(1) 令，则，解得：； 令，则， 为定义在上的奇函数. (2) 设，则，； ，，，； 又， ，又当，，， ，即，在上是减函数. (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解， （2）根据函数单调性的定义即可求解， （3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由得：； 定义域为且在上是减函数， ，解得：，不等式的解集为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $