精品解析：天津市滨海新区大港第三中学2026-2027学年第一学期高三第一次月考数学试题

天津市滨海新区大港第三中学 2026-2027 第一学期高三数学第一次月考 一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列结论正确的是 （ ） A. 是最小正周期为 的偶函数 B. 在 上单调递减 C. 是最小正周期为 的奇函数 D. 在 上的最小值为 9. 已知函数的部分图象如图所示，（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 11. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 12. 计算：__________． 13. 已知向量的夹角为30°，且，则______ 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 15. 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是__________. 16. 若，且，则的最小值为______． 17. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____. 18. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________. 三、解答题(本大题共 4 小题，共 60 分) 19. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 20. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，求在上的最大值和最小值. 21. 已知在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 22. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区大港第三中学 2026-2027 第一学期高三数学第一次月考 一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集定义求出，再根据交集定义即可求出的结果. 【详解】解：，，， ， . 故选：B. 2. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递增， 所以由可以得到，故充分性成立， 由可以推得出，故必要性成立， 所以是的充要条件，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递减，由可得，故充分性成立， 由不一定得到，故必要性不成立， 故是的充分不必要条件，故B正确； 对于C：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立， 当，时满足，但是，故必要性不成立， 所以是的既不充分又不必要条件，故C错误； 对于D：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立， 当，时满足，但是不成立，即必要性不成立， 所以是的既不充分又不必要条件，故D错误. 故选：B 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为，且函数在单调递增， 当时，，，， ，， 所以，所以函数在必有一个零点. 故选：D 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可比较，再由指数函数的单调性可得， 再由对数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】因为为增函数，所以. 因为为减函数，所以，则. 又为减函数，所以， 故，即. 故选：B 6. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出. 【详解】因为为偶函数，且， 所以不等式等价于， 又在上单调递增， ，即或 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，， 所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入函数的解析式，得，则， ，因此，. 故选：C. 8. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列结论正确的是 （ ） A. 是最小正周期为 的偶函数 B. 在 上单调递减 C. 是最小正周期为 的奇函数 D. 在 上的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换化简，再根据平移规则得到的解析式，依次判断周期、奇偶性、单调性和区间最值即可得出结论. 【详解】 向左平移个单位长度得到. 对于A：的最小正周期，A错误； 对于B：当时，，余弦函数在上不单调， 故在上不单调递减，B错误； 对于C：是最小正周期为的偶函数，C错误； 对于D：当时，，，故，最小值为，D正确. 9. 已知函数的部分图象如图所示，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得. 【详解】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，. 故选：B. 10. 已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值. 【详解】恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于， 所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根， 令，则， 当时，，故当此时单调递增， 当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值， 且当时，， 当时，，且单调递增， 在直角坐标系中画出的大致图象如图： 要使有两个交点，则， 故选：D 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 11. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12. 计算：__________． 【答案】##3.75 【解析】 【分析】利用指数运算、对数运算及对数换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为： 13. 已知向量的夹角为30°，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 15. 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由于为奇函数，所以， 在区间上单调递减，故在区间上也单调递减，故在单调递减， 由得， 所以，解得， 故答案为： 16. 若，且，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知的等式，利用基本不等式可以求出的最小值. 【详解】因为，所以（当且仅当取等号，即时取等号）. 故答案为：9 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于基础题. 17. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】导数的几何意义求切线方程，再分别求出坐标轴的截距，即可求面积. 【详解】由，得， 在处，切线斜率为， 切点为，所以切线方程为，即， 令，得，令，得， 因此围成的直角三角形两直角边长度分别为和，面积为. 18. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________. 【答案】 ①. ②. ； 【解析】 【分析】对于第一问，根据向量的加法、减法以及中点的性质，逐步将用和表示出来.对于第二问，先求出，再利用向量数量积公式（这里是与的夹角），结合已知条件求出的表达式，再求其最大值. 【详解】（1）(1)因为点D为AB的中点，所以. 又因为，根据向量加法，可得. 因为点E为CD的中点，所以，即. 再根据向量加法，可得. （2）因为，，所以. . ， 在中，，根据向量数量积公式， 可得.由， 根据余弦定理， 即. 根据基本不等式，可得，即. 将代入的表达式： 因为，，取得最大值，最大值为. 故答案为：；. 三、解答题(本大题共 4 小题，共 60 分) 19. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 20. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数式，结合函数的性质确定参数值，即可得解析式； （2）应用整体法求单调递增区间； （3）根据图象平移写出函数解析式，再由正弦型函数的性质求最值. 【小问1详解】 由题设 ， 由题意，相邻对称轴之间的距离为，即半个周期，所以周期， 又​（），所以， 因此，的解析式为； 【小问2详解】 令，正弦函数的单调递增区间为，， 所以有，则， 所以，的单调递增区间为； 【小问3详解】 横坐标缩短为原来的，得， 纵坐标伸长为原来的倍，得， 再向左平移个单位，得， 因为，则，结合正弦函数图象可知： 当时，即，取得最大值，此时， 当时，即，取得最小值，此时， 综上所述，在区间 上的最大值为，最小值为. 21. 已知在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）． （2）单调递增区间为、，单调递减区间为． （3）在上的最大值为，在或时取得；最小值为，在时取得． 【解析】 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出，再检验导数是否变号． （2）根据导数的正负确定函数的单调区间． （3）方法一：比较闭区间端点和极值点的函数值．方法二：由候选值作差并因式分解，确定函数在闭区间上的上、下界． 【小问1详解】 ．因在处取得极值，故，解得． 此时，在两侧由正变负，确实取得极值． 【小问2详解】 由小问1知，当或时，； 当时，．故的单调递增区间为、，单调递减区间为． 【小问3详解】 方法一：由小问2知，内两个极值点的横坐标为和． 计算得，，，，所以最大值为，在或时取得； 最小值为，在时取得． 方法二：由得，计算得，，． 当时，，等号在或时成立； 又，其中，等号仅在时成立． 故最大值为，最小值为． 22. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $