2026--2027学年苏科版八年级数学上册期中复习卷3

苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 2．（3分）下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　）CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）的平方根是（　　）2的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 4．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．=3 B．|﹣3|＝﹣3 C．-=-3 D．=±3 6．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．与 C．|-|与 D．-与 7．（3分）如图，线段AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　）AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　） A．OA＝OB B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．AC＝BD 8．（3分）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）比较大小： 　　　　 ． 10．（3分）的相反数是 　　　　 ． 11．（3分）如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，则CD＝　 　 ；S△ABC＝　 　 ． 12．（3分）数的算术平方根是 　 　 ．的算术平方根是 　 　 ． 13．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　 　 ． 14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 15．（3分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ．a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ． 16．（3分）如图，∠BOD＝45°，点E在∠BOD内部，A、B在射线OB上，C、D在射线OD上，AB=2，CD=2+2，S△ABE+S△CDE=12+4．连接OE，则OE的最小值为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）求下列各式中x的值．x的值． （1）2x2﹣8＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 18．（6分）一个正数x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9．x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9． （1）求x和m的值； （2）求x+11m的平方根． 19．（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 20．（6分）如图，已知在四边形中ABCD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE＝46°，且△ABE≌△EDA． （1）求∠ADE的度数； （2）若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 21．（6分）阅读下列材料：∵＜＜，即1＜＜2，∴的整数部分为1，小数部分为-1．请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　　　　 ，小数部分是 　　　　 ． （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值． （3）已知：10+=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值． 22．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 23．（8分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 24．（8分）【阅读理解】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：解：设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，即a2＝　　　　 ①．∵b是整数且不为0，∴a是2的倍数．设a＝2n（n是整数，且n≠0），则a2＝4n2．∴b2＝　　　　 ②．∴b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．∴是无理数．【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；①　　　　 ；②　　　　 （2）证明：是无理数． 25．（10分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE=AB． 26．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，连接AC，点E是CD边上一点，连接BE交AC于点M． （1）如图1，若AB＝3，当BE⊥CD时，求CM的长； （2）以BE为边向右侧作等边△BEF，连接AF，CF．①如图2，点G是AF中点，连接BG．求证：CE＝2BG；②如图3，当DE＝2CE时，直接写出的值． 27．（10分）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字1～12均匀分布，分针转动一周（360°）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 【课题学习】：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为90°；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，20×6°＝120°，时针转动的角度，20×（）°＝10°，三点二十分时，时针与分针所成角度是120°﹣（90°+10°）＝20°． 【问题解决】如图，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度是　　　　 度； （2）如图1，若分针OM从OA的位置开始转动，经过多少分钟，OM第一次平分∠AOB； （3）如图2，两点钟时，时针ON与分针OM所成角度60°，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针OM、时针ON和射线OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有　　　　 个美妙时刻． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 2．（3分）下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　）CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）的平方根是（　　）2的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 4．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．=3 B．|﹣3|＝﹣3 C．-=-3 D．=±3 6．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．与 C．|-|与 D．-与 7．（3分）如图，线段AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　）AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　） A．OA＝OB B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．AC＝BD 8．（3分）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）比较大小： 　　　　 ． 10．（3分）的相反数是 　　　　 ． 11．（3分）如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，则CD＝　 　 ；S△ABC＝　 　 ． 12．（3分）数的算术平方根是 　 　 ．的算术平方根是 　 　 ． 13．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　 　 ． 14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 15．（3分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ．a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ． 16．（3分）如图，∠BOD＝45°，点E在∠BOD内部，A、B在射线OB上，C、D在射线OD上，AB=2，CD=2+2，S△ABE+S△CDE=12+4．连接OE，则OE的最小值为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）求下列各式中x的值．x的值． （1）2x2﹣8＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 18．（6分）一个正数x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9．x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9． （1）求x和m的值； （2）求x+11m的平方根． 19．（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 20．（6分）如图，已知在四边形中ABCD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE＝46°，且△ABE≌△EDA． （1）求∠ADE的度数； （2）若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 21．（6分）阅读下列材料：∵＜＜，即1＜＜2，∴的整数部分为1，小数部分为-1．请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　　　　 ，小数部分是 　　　　 ． （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值． （3）已知：10+=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值． 22．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 23．（8分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 24．（8分）【阅读理解】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：解：设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，即a2＝　　　　 ①．∵b是整数且不为0，∴a是2的倍数．设a＝2n（n是整数，且n≠0），则a2＝4n2．∴b2＝　　　　 ②．∴b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．∴是无理数．【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；①　　　　 ；②　　　　 （2）证明：是无理数． 25．（10分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE=AB． 26．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，连接AC，点E是CD边上一点，连接BE交AC于点M． （1）如图1，若AB＝3，当BE⊥CD时，求CM的长； （2）以BE为边向右侧作等边△BEF，连接AF，CF．①如图2，点G是AF中点，连接BG．求证：CE＝2BG；②如图3，当DE＝2CE时，直接写出的值． 27．（10分）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字1～12均匀分布，分针转动一周（360°）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 【课题学习】：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为90°；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，20×6°＝120°，时针转动的角度，20×（）°＝10°，三点二十分时，时针与分针所成角度是120°﹣（90°+10°）＝20°． 【问题解决】如图，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度是　　　　 度； （2）如图1，若分针OM从OA的位置开始转动，经过多少分钟，OM第一次平分∠AOB； （3）如图2，两点钟时，时针ON与分针OM所成角度60°，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针OM、时针ON和射线OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有　　　　 个美妙时刻． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 参考答案与解析 1．（3分）用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 【答案】C 【解答】解：A．0.0509≈0.1（精确到0.1）， ∴A选项不符合题意；B．0.0509≈0.05（精确到百分位）， ∴B选项不符合题意；C．0.0509≈0.051（精确到千分位）， ∴C选项符合题意；D．0.0509≈0.051（精确到0.001）， ∴D选项不符合题意．故选：C． （来源：2026秋•江夏区校级月考） 2．（3分）下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　）CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：线段CE是△ABC的高的是B，故选：B． （来源：2026•甘孜州期末） 3．（3分）的平方根是（　　）2的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 【答案】D 【解答】解：2=，±=±．故选：D． （来源：2025•汝南县期末） 4．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD=∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°，故选：A． （来源：2024•泾川县校级模拟） 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．=3 B．|﹣3|＝﹣3 C．-=-3 D．=±3 【答案】C 【解答】解：A：是9的立方根，故A错误；B、|﹣3|＝3，故B错误；C、-=-3，故C正确；D、一个正数的算术平方根只有一个，故D错误．故选：C． （来源：2026•南京三模） 6．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．与 C．|-|与 D．-与 【答案】B 【解答】解：A、两者不是相反数，不符合题意；B、=2，=-2，两数互为相反数，符合题意；C、两数相等，不符合题意；D、两数相等，不符合题意；故选：B． （来源：2024•滨江区校级期中） 7．（3分）如图，线段AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　）AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　） A．OA＝OB B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．AC＝BD 【答案】C 【解答】解： ∵CO＝DO，∠AOC＝∠BOD， ∴当∠C＝∠D时，△AOC≌△BOD（ASA），故选：C． （来源：2026•渠县校级期末） 8．（3分）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解： ∵AB⊥AC． ∴∠BAC＝90°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝90° ∵CD、BE分别是△ABC的角平分线， ∴2∠FBC+2∠FCB＝90° ∴∠FBC+∠FCB＝45° ∴∠BFC＝135°故④正确． ∵AG∥BC， ∴∠BAG＝∠ABC ∵∠ABC＝2∠ABF ∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确． ∵AB⊥AC， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AG⊥BG， ∴∠ABG+∠GAB＝90° ∵∠BAG＝∠ABC， ∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．故选：C． （来源：2024春•雁峰区期末） 9．（3分）比较大小： ． 【答案】＜ 【解答】解： ∵-= =-1， ∵1＜3＜4， ∴1＜＜2， ∴＜＜1， ∴-1＜0， ∴＜．故答案为：＜． （来源：2025•马鞍山校级一模） 10．（3分）的相反数是 ． 【答案】-3 【解答】解：的相反数是-，故答案为：-． （来源：2024•海陵区一模） 11．（3分）如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，则CD＝　 　 ；S△ABC＝　 　 ． 【答案】2，4 【解答】解： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°， ∴CD=AC=×4＝2， ∴△ABC的面积=AB•CD=×4×2＝4．故答案为：2，4． （来源：同步） 12．（3分）数的算术平方根是 　 　 ．的算术平方根是 　 　 ． 【答案】 【解答】解： ∵（）2=， ∴的算术平方根是．故答案为：． （来源：2026•北京期末） 13．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　 　 ． 【答案】5 【解答】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC， ∴PA＝PE＝PD， ∵AD＝10， ∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故答案为：5． （来源：2026•渭滨区期末） 14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 【答案】60° 【解答】解：由条件可知CE=AB=BE， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝20°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°， ∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°，故答案为：60°． （来源：娄底期中） 15．（3分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ．a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ． 【答案】9 【解答】解：一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，解方程组，解得， ∵a，b，c是三角形的三条边，且周长为整数， ∴4﹣1＜c＜4+1， ∴3＜c＜5， ∴c＝4， ∴三角形的周长＝4+4+1＝9，故答案为：9． （来源：2024•襄城县月考） 16．（3分）如图，∠BOD＝45°，点E在∠BOD内部，A、B在射线OB上，C、D在射线OD上，AB=2，CD=2+2，S△ABE+S△CDE=12+4．连接OE，则OE的最小值为 ． 【答案】见解析 【解答】解：以O为原点，OB所在直线为x轴正方向， ∵∠BOD＝45°，所以易求得OD所在直线为y＝x（x≥0），E在∠BOD内部，设E（x，y），其中x≥0，y≥0，且y≤x（E在y＝x下方），下面用x，y表示两个三角形面积△ABE，底边AB在x轴上，AB=2，E到x轴的距离等于y，即高为y，S△ABE=⋅AB⋅y=⋅2⋅y=y，底边CD在直线y＝x上，CD=2+2，E到直线y＝x的距离为高，过E（x，y）向直线y＝x作垂线，垂足为H，在OD上取点（x，x）（与E横坐标相同），则E到该点的竖直距离为x﹣y，由于OD与x轴夹角为45°，所以直角边EH满足：EH=，因此S△CDE=⋅CD⋅EH=⋅(2+2)⋅=，已知S△ABE+S△CDE=12+4，y+(x-y)=12+4， ∴2y+(+)(x-y)=24+8化简得：(+)x+(-)y=24+8，这是关于x，y的一次方程，即E的轨迹是一条直线，记为直线L，记A=+，B=-，d=24+8，直线L的方程为Ax+By＝d，由两点间距离公式可知：OE=，即E到原点O的距离．E在直线L上运动，OE的最小值为点O到直线L的垂线段长，令y＝0，得与x轴交点P(，0)，OP=，令x＝0，得与y轴交点Q（0，），OQ=， ∴OP⋅OQ=⋅=，其中AB=(+)(-)=6-2=4，在Rt△POQ中（∠POQ＝90°），由勾股定理：PQ2=OP2+OQ2=d2(+)，下面计算+==，由于A2+B2=(+)2+(-)2=(6+2+2)+(6+2-2)=8+4+8-4=16，代入得+===1，因此PQ2＝d2×1＝d2， ∴PQ＝d，过O作OH⊥L于H，则OH即为OE的最小值，Rt△POQ的面积，⋅OP⋅OQ=⋅PQ⋅OH， ∴OH===，代入d=24+8，AB＝4， ∴OEmin=OH==6+2． （来源：2026春•锦江区校级期末） 17．（6分）求下列各式中x的值．x的值． （1）2x2﹣8＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【答案】见解析 【解答】解： （1）移项得，2x2＝8，两边都除以2得，x2＝4，由平方根的定义得，x＝±2； （2）由平方根的定义得，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8，解得x＝9或x＝﹣7． （来源：2026•南宁校级月考） 18．（6分）一个正数x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9．x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9． （1）求x和m的值； （2）求x+11m的平方根． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意可得3m+2+4m﹣9＝0，解得m＝1， ∴x＝（3×1+2）2＝25； （2）将x＝25，m＝1代入x+11m中，得25+11×1＝36． ∵36的平方根是±6， ∴x+11m的平方根是±6． （来源：2024•射阳县校级期中） 19．（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵D是BC的中点 ∴BD＝CD，又 ∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC； （2） ∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB﹣BE＝AC﹣CF， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． （来源：2025•昌黎县期末） 20．（6分）如图，已知在四边形中ABCD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE＝46°，且△ABE≌△EDA． （1）求∠ADE的度数； （2）若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∵∠BAE＝46°， ∴∠B＝44°， ∵△ABE≌△EDA， ∴∠ADE的度数为44°； （2）AE＝CD，且AE∥CD；理由 ∵△EDA≌△DEC， ∴AE＝CD，∠AED＝∠CDE， ∴AE∥CD． （来源：2024•临淄区期中） 21．（6分）阅读下列材料：∵＜＜，即1＜＜2，∴的整数部分为1，小数部分为-1．请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值． （3）已知：10+=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值． 【答案】3，14-3 【解答】解： （1） ∵＜＜，即3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是-3，故答案为：3，-3； （2） ∵2＜＜3，4＜＜5， ∴m=-2，n＝4， ∴2m+n﹣2＝2（-2）+4﹣2＝2-4+4﹣2＝0； （3） ∵5＜＜6， ∴15＜10+＜16， ∴10+的整数部分是15，小数部分是10+-15=-5， ∵10+=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1， ∴a＝15，b=-5． （来源：2026春•城厢区校级月考） 22．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t=，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t=； （3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， ∴t2＝32+（4﹣t）2，解得：t=，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t=． （来源：2026•南昌期末） 23．（8分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3，答：BD的长度为3． （2）该车符合安全标准，理由如下：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． （来源：2026•玉州区期末） 24．（8分）【阅读理解】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：解：设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，即a2＝ ①．∵b是整数且不为0，∴a是2的倍数．设a＝2n（n是整数，且n≠0），则a2＝4n2．∴b2＝ ②．∴b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．∴是无理数．【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；① ；② （2）证明：是无理数． 【答案】2b2，2n2 【解答】解：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商， ∴是无理数．证明如下： （1）设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，即a2＝2b2． ∵b是整数且不为0， ∴a是不为0的偶数．设a＝2n（n是整数，且n≠0），则a2＝4n2． ∴b2＝2n2． ∴b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． ∴是无理数．故答案为：2b2，2n2； （2）设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则3=， ∴a2＝3b2， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为3的倍数．设a＝3n（n是整数）， ∴b2＝3n2， ∴b也是3的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． （来源：2025春•厦门校级月考） 25．（10分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE=AB． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2） ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴AD=AC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AE=AB． （来源：槐荫区期末） 26．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，连接AC，点E是CD边上一点，连接BE交AC于点M． （1）如图1，若AB＝3，当BE⊥CD时，求CM的长； （2）以BE为边向右侧作等边△BEF，连接AF，CF．①如图2，点G是AF中点，连接BG．求证：CE＝2BG；②如图3，当DE＝2CE时，直接写出的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝3， ∴AB＝BC＝3，AB∥CD，AC平分∠BCD， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠BCA＝∠DCA＝30°， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝90°，∠CBE＝30°， ∴CE=BC=， ∵∠ECM＝30°，∠CEM＝90°， ∴ME===，CM＝2ME=； （2）证明：如图，延长BG至H，使GH＝BG，即BH＝2BG，连接HA， ∵点G为AF的中点， ∴GA＝GF，在△AGH和△FGB中，， ∴△AGH≌△FGB（SAS）， ∴∠AHG＝∠FBG，AH＝BF， ∴AH∥BF， ∴∠HAB+∠ABF＝180°， ∵△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴AH＝BE， ∵∠ABC＝120°， ∴∠ABC+∠EBF＝180°， ∴∠EBC+∠ABF＝180°， ∴∠HAB＝∠EBC，在△ABH和△BCE中，， ∴△ABH≌△BCE（SAS）， ∴BH＝CE， ∵BH＝2BG， ∴CE＝2BG； （3）解：如图，连接BD交AD于点G，过点E作EH⊥AC于点H，设CE＝a，则DE＝2a， ∴AB＝BC＝CD＝3a， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， ∴AB∥CD，BG⊥AC，AG＝CG，∠ABD＝∠CBD＝60°，∠BCG＝∠DCG=∠BCD=30°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BD＝BC，在Rt△BCG中，BG=BC=a，CG=BG=a， ∴AC=3a， ∵CE∥AB， ∴=，即==， ∴CM=AC=a，在Rt△CEH中，HE=CE=， ∴S△CEM=CM⋅HE=×a×=a2， ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°， ∵∠DBE+∠EBC＝∠CBF+∠CBE， ∴∠DBE＝∠CBF，在△BDE和△BCF中，， ∴∠DBE≌∠CBF（SAS）， ∴DE＝CF＝2a，∠BDE＝∠BCF＝60°， ∴∠ACF＝∠BCF+∠BCG＝90°， ∴S△ACF=CF⋅AC=×2a×3a=3a2， ∴==． （来源：2026•沈丘县模拟） 27．（10分）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字1～12均匀分布，分针转动一周（360°）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度．【课题学习】：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为90°；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，20×6°＝120°，时针转动的角度，20×（）°＝10°，三点二十分时，时针与分针所成角度是120°﹣（90°+10°）＝20°．【问题解决】如图，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度是 度； （2）如图1，若分针OM从OA的位置开始转动，经过多少分钟，OM第一次平分∠AOB； （3）如图2，两点钟时，时针ON与分针OM所成角度60°，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针OM、时针ON和射线OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有 个美妙时刻． 【答案】75 【解答】解： （1）三点整，时针与分针所成角度为90°，从三点到三点三十分，分针转动的角度为30×6°＝180°，时针转动的角度为30×()°=15°， ∴三点三十分时，时针与分针所成角度是180°﹣（90°+15°）＝75°，故答案为：75； （2）设经过t分钟，OM第一次平分∠AOB， ∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM=∠AOB，即6t=×90，解得t＝7.5，答：经过7.5分钟，OM第一次平分∠AOB； （3）设经过x分钟，①当分针OM是射线OB与时针ON的角平分线时，6x-60-x=90-6x，解得x=；②当射线OB是时针ON与分针OM的角平分线时，6x-90=30-x，解得x=；③当时针ON是分针OM与射线OB的角平分线时，30-x=60+x-6x，解得x＝6；答：经过6或或分钟，分针OM、时针ON和射线OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）相邻两次成180°之间，分针比时针多走360°，花费的时间为=分， ∵24小时＝1440分， ∴从0时到24时共有1440÷=22个美妙时刻，故答案为：22． （来源：2025秋•龙岗区校级期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 苏科版2026-2027学年数学八上_期中复习卷3 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 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实数的初步认识、第3章 勾股定理 参考答案与解析 1．（3分）用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 【答案】C 【解答】解：A．0.0509≈0.1（精确到0.1）， ∴A选项不符合题意；B．0.0509≈0.05（精确到百分位）， ∴B选项不符合题意；C．0.0509≈0.051（精确到千分位）， ∴C选项符合题意；D．0.0509≈0.051（精确到0.001）， ∴D选项不符合题意．故选：C． （来源：2026秋•江夏区校级月考） 2．（3分）下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（　　）CE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：线段CE是△ABC的高的是B，故选：B． （来源：2026•甘孜州期末） 3．（3分）的平方根是（　　）2的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 【答案】D 【解答】解：2=，±=±．故选：D． （来源：2025•汝南县期末） 4．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD=∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°，故选：A． （来源：2024•泾川县校级模拟） 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．=3 B．|﹣3|＝﹣3 C．-=-3 D．=±3 【答案】C 【解答】解：A：是9的立方根，故A错误；B、|﹣3|＝3，故B错误；C、-=-3，故C正确；D、一个正数的算术平方根只有一个，故D错误．故选：C． （来源：2026•南京三模） 6．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．与 C．|-|与 D．-与 【答案】B 【解答】解：A、两者不是相反数，不符合题意；B、=2，=-2，两数互为相反数，符合题意；C、两数相等，不符合题意；D、两数相等，不符合题意；故选：B． （来源：2024•滨江区校级期中） 7．（3分）如图，线段AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　）AD、BC相交于点O．若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充的条件是（　　） A．OA＝OB B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．AC＝BD 【答案】C 【解答】解： ∵CO＝DO，∠AOC＝∠BOD， ∴当∠C＝∠D时，△AOC≌△BOD（ASA），故选：C． （来源：2026•渠县校级期末） 8．（3分）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解： ∵AB⊥AC． ∴∠BAC＝90°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝90° ∵CD、BE分别是△ABC的角平分线， ∴2∠FBC+2∠FCB＝90° ∴∠FBC+∠FCB＝45° ∴∠BFC＝135°故④正确． ∵AG∥BC， ∴∠BAG＝∠ABC ∵∠ABC＝2∠ABF ∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确． ∵AB⊥AC， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AG⊥BG， ∴∠ABG+∠GAB＝90° ∵∠BAG＝∠ABC， ∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．故选：C． （来源：2024春•雁峰区期末） 9．（3分）比较大小： ． 【答案】＜ 【解答】解： ∵-= =-1， ∵1＜3＜4， ∴1＜＜2， ∴＜＜1， ∴-1＜0， ∴＜．故答案为：＜． （来源：2025•马鞍山校级一模） 10．（3分）的相反数是 ． 【答案】-3 【解答】解：的相反数是-，故答案为：-． （来源：2024•海陵区一模） 11．（3分）如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，则CD＝　 　 ；S△ABC＝　 　 ． 【答案】2，4 【解答】解： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°， ∴CD=AC=×4＝2， ∴△ABC的面积=AB•CD=×4×2＝4．故答案为：2，4． （来源：同步） 12．（3分）数的算术平方根是 　 　 ．的算术平方根是 　 　 ． 【答案】 【解答】解： ∵（）2=， ∴的算术平方根是．故答案为：． （来源：2026•北京期末） 13．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　 　 ． 【答案】5 【解答】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC， ∴PA＝PE＝PD， ∵AD＝10， ∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故答案为：5． （来源：2026•渭滨区期末） 14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 【答案】60° 【解答】解：由条件可知CE=AB=BE， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝20°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°， ∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°，故答案为：60°． （来源：娄底期中） 15．（3分）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ．a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是　 　 ． 【答案】9 【解答】解：一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，解方程组，解得， ∵a，b，c是三角形的三条边，且周长为整数， ∴4﹣1＜c＜4+1， ∴3＜c＜5， ∴c＝4， ∴三角形的周长＝4+4+1＝9，故答案为：9． （来源：2024•襄城县月考） 16．（3分）如图，∠BOD＝45°，点E在∠BOD内部，A、B在射线OB上，C、D在射线OD上，AB=2，CD=2+2，S△ABE+S△CDE=12+4．连接OE，则OE的最小值为 ． 【答案】见解析 【解答】解：以O为原点，OB所在直线为x轴正方向， ∵∠BOD＝45°，所以易求得OD所在直线为y＝x（x≥0），E在∠BOD内部，设E（x，y），其中x≥0，y≥0，且y≤x（E在y＝x下方），下面用x，y表示两个三角形面积△ABE，底边AB在x轴上，AB=2，E到x轴的距离等于y，即高为y，S△ABE=⋅AB⋅y=⋅2⋅y=y，底边CD在直线y＝x上，CD=2+2，E到直线y＝x的距离为高，过E（x，y）向直线y＝x作垂线，垂足为H，在OD上取点（x，x）（与E横坐标相同），则E到该点的竖直距离为x﹣y，由于OD与x轴夹角为45°，所以直角边EH满足：EH=，因此S△CDE=⋅CD⋅EH=⋅(2+2)⋅=，已知S△ABE+S△CDE=12+4，y+(x-y)=12+4， ∴2y+(+)(x-y)=24+8化简得：(+)x+(-)y=24+8，这是关于x，y的一次方程，即E的轨迹是一条直线，记为直线L，记A=+，B=-，d=24+8，直线L的方程为Ax+By＝d，由两点间距离公式可知：OE=，即E到原点O的距离．E在直线L上运动，OE的最小值为点O到直线L的垂线段长，令y＝0，得与x轴交点P(，0)，OP=，令x＝0，得与y轴交点Q（0，），OQ=， ∴OP⋅OQ=⋅=，其中AB=(+)(-)=6-2=4，在Rt△POQ中（∠POQ＝90°），由勾股定理：PQ2=OP2+OQ2=d2(+)，下面计算+==，由于A2+B2=(+)2+(-)2=(6+2+2)+(6+2-2)=8+4+8-4=16，代入得+===1，因此PQ2＝d2×1＝d2， ∴PQ＝d，过O作OH⊥L于H，则OH即为OE的最小值，Rt△POQ的面积，⋅OP⋅OQ=⋅PQ⋅OH， ∴OH===，代入d=24+8，AB＝4， ∴OEmin=OH==6+2． （来源：2026春•锦江区校级期末） 17．（6分）求下列各式中x的值．x的值． （1）2x2﹣8＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【答案】见解析 【解答】解： （1）移项得，2x2＝8，两边都除以2得，x2＝4，由平方根的定义得，x＝±2； （2）由平方根的定义得，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8，解得x＝9或x＝﹣7． （来源：2026•南宁校级月考） 18．（6分）一个正数x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9．x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m﹣9． （1）求x和m的值； （2）求x+11m的平方根． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意可得3m+2+4m﹣9＝0，解得m＝1， ∴x＝（3×1+2）2＝25； （2）将x＝25，m＝1代入x+11m中，得25+11×1＝36． ∵36的平方根是±6， ∴x+11m的平方根是±6． （来源：2024•射阳县校级期中） 19．（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵D是BC的中点 ∴BD＝CD，又 ∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC； （2） ∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB﹣BE＝AC﹣CF， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． （来源：2025•昌黎县期末） 20．（6分）如图，已知在四边形中ABCD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE＝46°，且△ABE≌△EDA． （1）求∠ADE的度数； （2）若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∵∠BAE＝46°， ∴∠B＝44°， ∵△ABE≌△EDA， ∴∠ADE的度数为44°； （2）AE＝CD，且AE∥CD；理由 ∵△EDA≌△DEC， ∴AE＝CD，∠AED＝∠CDE， ∴AE∥CD． （来源：2024•临淄区期中） 21．（6分）阅读下列材料：∵＜＜，即1＜＜2，∴的整数部分为1，小数部分为-1．请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2的值． （3）已知：10+=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值． 【答案】3，14-3 【解答】解： （1） ∵＜＜，即3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是-3，故答案为：3，-3； （2） ∵2＜＜3，4＜＜5， ∴m=-2，n＝4， ∴2m+n﹣2＝2（-2）+4﹣2＝2-4+4﹣2＝0； （3） ∵5＜＜6， ∴15＜10+＜16， ∴10+的整数部分是15，小数部分是10+-15=-5， ∵10+=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1， ∴a＝15，b=-5． （来源：2026春•城厢区校级月考） 22．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t=，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t=； （3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， ∴t2＝32+（4﹣t）2，解得：t=，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t=． （来源：2026•南昌期末） 23．（8分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见解析 【解答】解： （1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3，答：BD的长度为3． （2）该车符合安全标准，理由如下：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． （来源：2026•玉州区期末） 24．（8分）【阅读理解】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：解：设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，即a2＝ ①．∵b是整数且不为0，∴a是2的倍数．设a＝2n（n是整数，且n≠0），则a2＝4n2．∴b2＝ ②．∴b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．∴是无理数．【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；① ；② （2）证明：是无理数． 【答案】2b2，2n2 【解答】解：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商， ∴是无理数．证明如下： （1）设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，即a2＝2b2． ∵b是整数且不为0， ∴a是不为0的偶数．设a＝2n（n是整数，且n≠0），则a2＝4n2． ∴b2＝2n2． ∴b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． ∴是无理数．故答案为：2b2，2n2； （2）设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则3=， ∴a2＝3b2， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为3的倍数．设a＝3n（n是整数）， ∴b2＝3n2， ∴b也是3的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． （来源：2025春•厦门校级月考） 25．（10分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE=AB． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2） ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴AD=AC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AE=AB． （来源：槐荫区期末） 26．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，连接AC，点E是CD边上一点，连接BE交AC于点M． （1）如图1，若AB＝3，当BE⊥CD时，求CM的长； （2）以BE为边向右侧作等边△BEF，连接AF，CF．①如图2，点G是AF中点，连接BG．求证：CE＝2BG；②如图3，当DE＝2CE时，直接写出的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝3， ∴AB＝BC＝3，AB∥CD，AC平分∠BCD， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠BCA＝∠DCA＝30°， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝90°，∠CBE＝30°， ∴CE=BC=， ∵∠ECM＝30°，∠CEM＝90°， ∴ME===，CM＝2ME=； （2）证明：如图，延长BG至H，使GH＝BG，即BH＝2BG，连接HA， ∵点G为AF的中点， ∴GA＝GF，在△AGH和△FGB中，， ∴△AGH≌△FGB（SAS）， ∴∠AHG＝∠FBG，AH＝BF， ∴AH∥BF， ∴∠HAB+∠ABF＝180°， ∵△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴AH＝BE， ∵∠ABC＝120°， ∴∠ABC+∠EBF＝180°， ∴∠EBC+∠ABF＝180°， ∴∠HAB＝∠EBC，在△ABH和△BCE中，， ∴△ABH≌△BCE（SAS）， ∴BH＝CE， ∵BH＝2BG， ∴CE＝2BG； （3）解：如图，连接BD交AD于点G，过点E作EH⊥AC于点H，设CE＝a，则DE＝2a， ∴AB＝BC＝CD＝3a， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， ∴AB∥CD，BG⊥AC，AG＝CG，∠ABD＝∠CBD＝60°，∠BCG＝∠DCG=∠BCD=30°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BD＝BC，在Rt△BCG中，BG=BC=a，CG=BG=a， ∴AC=3a， ∵CE∥AB， ∴=，即==， ∴CM=AC=a，在Rt△CEH中，HE=CE=， ∴S△CEM=CM⋅HE=×a×=a2， ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°， ∵∠DBE+∠EBC＝∠CBF+∠CBE， ∴∠DBE＝∠CBF，在△BDE和△BCF中，， ∴∠DBE≌∠CBF（SAS）， ∴DE＝CF＝2a，∠BDE＝∠BCF＝60°， ∴∠ACF＝∠BCF+∠BCG＝90°， ∴S△ACF=CF⋅AC=×2a×3a=3a2， ∴==． （来源：2026•沈丘县模拟） 27．（10分）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字1～12均匀分布，分针转动一周（360°）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度．【课题学习】：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为90°；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，20×6°＝120°，时针转动的角度，20×（）°＝10°，三点二十分时，时针与分针所成角度是120°﹣（90°+10°）＝20°．【问题解决】如图，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度是 度； （2）如图1，若分针OM从OA的位置开始转动，经过多少分钟，OM第一次平分∠AOB； （3）如图2，两点钟时，时针ON与分针OM所成角度60°，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针OM、时针ON和射线OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有 个美妙时刻． 【答案】75 【解答】解： （1）三点整，时针与分针所成角度为90°，从三点到三点三十分，分针转动的角度为30×6°＝180°，时针转动的角度为30×()°=15°， ∴三点三十分时，时针与分针所成角度是180°﹣（90°+15°）＝75°，故答案为：75； （2）设经过t分钟，OM第一次平分∠AOB， ∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM=∠AOB，即6t=×90，解得t＝7.5，答：经过7.5分钟，OM第一次平分∠AOB； （3）设经过x分钟，①当分针OM是射线OB与时针ON的角平分线时，6x-60-x=90-6x，解得x=；②当射线OB是时针ON与分针OM的角平分线时，6x-90=30-x，解得x=；③当时针ON是分针OM与射线OB的角平分线时，30-x=60+x-6x，解得x＝6；答：经过6或或分钟，分针OM、时针ON和射线OB中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）相邻两次成180°之间，分针比时针多走360°，花费的时间为=分， ∵24小时＝1440分， ∴从0时到24时共有1440÷=22个美妙时刻，故答案为：22． （来源：2025秋•龙岗区校级期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $