精品解析：宁夏银川市第二中学2026-2027学年第一学期高三年级第二次月考数学试题

银川二中2026-2027学年第一学期高三年级统练二 数学试题 注意事项： 1．本试卷共19题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案. 【详解】由题意，，设 ，解得：或，设或 显然A是B的真子集，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意， 所以. 4. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可求得结果. 【详解】因为数列的前项和为， 则. 故选：C. 5. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 6. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 在区间上的所有实根之和为 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出和的值，确定函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为3，最小值为−1，所以，选项A错误； 因为函数图象过点，所以，解得，又，所以， 所以. 令，得，函数的图象关于点对称，选项B错误； 令，即，等价于，或，解得或者， 因为，所以或或或，所有实数根之和为，选项C错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到，选项D正确. 7. 已知函数.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用参变分离可求参数的取值范围，注意结合基本不等式和导数求新函数的最值. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立即为： 且 ， 因为时， 恒成立，此时； 当时，故原不等式即为 且 ， 当时， ， 当且仅当时等号成立，故； 当时，设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，故 ，故， 综上 . 8. 已知函数，其图象过点，，且在处的导数．则正数的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数过零点与最高点的坐标建立相位方程，结合导数小于0确定零点处于下降沿（对应相位为奇数倍π），消去后结合，筛选出最小正数ω. 【详解】已知， 由图象过点，得 ① 由图象过点（最大值点），得 ② ，由且 ，可得， 代入①式得，因此为奇数， 用②式减去①式，得，即， 设奇数，令整数，代入化简得， 由 得，从小到大的候选值依次为 由①式变形得 ，代入候选值验证： 当时，代入奇数计算得到的，均不满足，舍去； 当时，取，得 ，满足， 因此正数的最小值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 【答案】BD 【解析】 【详解】 选项A：由正弦定理可得，而非， 例如的直角三角形中，边比为，角比为， 二者不相等，故A错误； 选项B：在中，可推出大边， 结合正弦定理（为三角形外接圆半径）， 可得，故B正确； 选项C：若，因，则或， 即或，此时为等腰三角形或直角三角形， 并非一定是等腰三角形，故C错误； 选项D：代入正弦定理，得， 因，故，，且， 则既可以为锐角，也可以为钝角；验证为钝角，， 得，故，符合三角形内角和的要求， 因此有两解，故D正确. 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，,则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用为奇函数，赋值代入计算即得；对于B，通过对已知等式两边求导代换，可推得函数的图象关于点对称即可判断；对于C，利用和条件可得，从而判断函数是以4为周期的函数，利用周期性即可求和判断；对于D，利用条件推出与都是以4为周期的函数，利用周期性计算即可判断. 【详解】对于A，因为奇函数，则，取，则得，即，故A正确； 对于B，由两边求导得，则， 又，则，即， 故函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因，则，可得①，为常数， 因，则 ②，由②①，可得， 取，可得，故有，又，则得， 即，则，即函数是以4为周期的函数. 在中，取，则得，即，取，则得， 即，则，故C正确； 对于D，因，，则， 故，两式相减可得，，即， 故函数是以4为周期的函数，故，即函数为以4为周期的函数. 由可得，， ， 故， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在的展开式中，常数项为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 13. 某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【解析】 【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 14. 设，，是一个锐角三角形的三个内角，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】用余弦定理，实现边化角，再用正弦定理，将边化角，结合三角形内角范围，推出角的范围，再用三角函数的单调性求范围. 【详解】由余弦定理可得， 所以， 因为，所以 由正弦定理可得， 所以 因为，是一个锐角三角形， 所以所以 所以所以所以 所以 所以 所以的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021－2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份/年 年份代码 销量/万把 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过万把； （2）已知该工坊年售出的油纸伞中，有万把通过线上售出，用频率估计概率，现从年售出的油纸伞中随机抽取把，求其中线上售出数量的分布列及数学期望． 附：为回归直线方程，，． 【答案】（1）线性回归方程为，该工坊油纸伞销量最早在2029年超过20万把； （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望（或）. 【解析】 【分析】第一小问， 先计算样本均值，代入给定公式求出线性回归方程系数，再解不等式求得最小年份代码对应年份； 第二小问先求单把伞线上售出的概率，判断服从二项分布，计算各取值概率的分布列，再利用二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 计算样本均值，， 计算求和项，， 代入回归系数公式：， ，因此关于的线性回归方程为， 令，即，解得， 由于为正整数，故最小取9，对应年份，即最早2029年销量超过20万把. 【小问2详解】 2023年油纸伞总销量为10万把，其中线上售出6万把，用频率估计概率得单把油纸伞为线上售出的概率. 由题意，随机抽取3把为独立重复试验，故，的可能取值为， ，， ，， 因此的分布列为： 数学期望（或）. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】(1) ．(2) 【解析】 【分析】（1）第一题考查的是正弦定理，边化角即可． （2）由正弦的面积公式和余弦定理可求得． 【详解】（1）∵， 由正弦定理，得， ∵，∴，即， ∵，∴． （2）由三角形的面积公式，得，解得， 由余弦定理， 得， 故． 【点睛】解三角形一般先用正弦定理再用余弦定理． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】（1）， （2）的最小值为，此时；的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论； （2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值. 【小问1详解】 故； 由令 则 故函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 即时，即时有最小值0， 当，即时有最大值3． 18. 在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知． （1）求角 C 的大小； （2）若 c = 2，D 为边 AB 的中点，求中线 CD 长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得，根据角C的范围，即可得答案； （2）由题意得，两边同时平方，化简整理，结合余弦定理，可得，根据正弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角A的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， 因为，所以，可得，即， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为，则，所以， 则， 则， 故中线CD的长度的取值范围为. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若，，是的两个零点.证明： （i）； （ii）. 【答案】（1）时，在为增函数；时，在为增函数，在为减函数， （2）证明：（i）原不等式等价于， 因为①，②， 由②-①得，，则， 则等价于， 因为，所以， 即证，等价于③， 设，，设，， ③等价于，， 在上为增函数. ，即； （ii）设，则，令，解得， 所以在上递增，在上递减， 因为有两个不相等的实根，则且， 易知对恒成立，则对恒成立， ，因为，所以， 又因为，，所以或， 因为且，所以，， 因为，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求出导数，讨论和两种情况根据导数正负即可得出单调性； （2）（i）可得不等式等价于，令，则利用导数证明即可； （ii）由题可得且，根据可得，，即可由此证明. 【详解】解：（1）定义域，， 则当时，，在为增函数； 当时，令，解得，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数， 综上，时，在为增函数；时，在为增函数，在为减函数， （2）略 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，解题的关键是恰当的构造函数，将不等式转化为利用导数求函数的最值问题，考查学生的转化能力，计算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2026-2027学年第一学期高三年级统练二 数学试题 注意事项： 1．本试卷共19题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 6. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 在区间上的所有实根之和为 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 7. 已知函数.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其图象过点，，且在处的导数．则正数的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，,则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在的展开式中，常数项为______． 13. 某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 14. 设，，是一个锐角三角形的三个内角，若，，则的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021－2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份/年 年份代码 销量/万把 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过万把； （2）已知该工坊年售出的油纸伞中，有万把通过线上售出，用频率估计概率，现从年售出的油纸伞中随机抽取把，求其中线上售出数量的分布列及数学期望． 附：为回归直线方程，，． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 18. 在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知． （1）求角 C 的大小； （2）若 c = 2，D 为边 AB 的中点，求中线 CD 长的取值范围． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若，，是的两个零点.证明： （i）； （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $