精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷

青铜峡市宁朔中学2026-2027（一）高三年级第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.） 1. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即得. 【详解】由可得. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数定义域可化简集合B，然后由交集补集知识可得答案. 【详解】 或，则，又因为， 所以. 故选：B. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，，且在上连续不间断， 由零点存在定理可得在上存在零点. 4. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解． 【详解】设切点的横坐标为t ，则，解得：t=2， 故选：C． 5. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，求出，从而可求得解析式，进而可求出. 【详解】由，得， 因为函数在处取得极大值，所以， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 所以. 故选：B 6. 已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出，，再利用向量夹角公式即可得到答案 【详解】解：， ， 所以， 故选：C. 7. 心理学家有时使用函数来测定在时间（分钟）能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有300个单词要记忆，心理学家测定在6分钟时该学生记忆了30个单词，则该学生记忆57个单词大约需要（ ） A. 30分钟 B. 24分钟 C. 18分钟 D. 12分钟 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，将这些值代入函数中， 可得，所以，解得， 所以，即，所以，解得， 即该学生记忆57个单词大约需要12分钟. 8. 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由分段函数在上是减函数求出a的一个范围，然后作出的图象和直线，讨论图象交点的位置，得到方程解的情况，讨论求解即可． 【详解】由在上单调递减可知，参数a需满足 ，解得； 结合函数图象，当时，函数的图象和直线有且只有一个公共点， 即当时，方程只有一个实数解． 因此，只需当时，方程恰有一个实数解． 根据已知条件可得，当时，，即只需方程恰有一个实数解， 即，即， 在上恰有一个实数解， 判别式， 因为，所以． 当，即时，方程有一个正实根、一个负实根，满足要求； 当，即时，方程的一个根为，一个根为，满足要求； 当，即时，因为， 此时方程有两个负实根，不满足要求； 当时，方程有两个相等的负实根，满足要求． 综上可知，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的单调性，考查方程根的分布问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先方程的根的个数转化为函数图象交点个数，然后函数图象交点个数又转化为二次方程根的分布．本题还考查了数形结合思想．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是2 B. 的最小正周期为 C. 在上是增函数 D. 的图像关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C，先求出的单调递增区间，即可判断. 【详解】解：对A，， 故当时，，故A正确； 对B，的最小正周期，故B错误； 对C，令， 解得：， 故的单调递增区间为：， 当时，的一个单调递增区间为：， 故在上单调递增，故C正确； 对D，令， 解得：， 故的对称中心为：， 令， 即， 解得：， 故不是的对称中心，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】解：对于A，，，由 ，可得 ，当且仅当，时，取得最大值 ，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，选项B错误； 对于C，由，得，且，所以， 当，时，等号成立，选项C正确； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，选项D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值点为-1 B. 恰有三个零点 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意知，当时，；当或时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，故A正确； 令，解得或，所以恰有两个零点，故B错误； 因为，则，且，可得，因为函数在上单调递减，所以，故C正确； 因为，若在区间上有最大值，则 解得，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，与共线，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】由，，得，， 因为与共线，所以. 则. 故答案为：2 13. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在直线上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由角终边所在直线，利用任意角三角函数定义求出，再代入正切二倍角公式求出. 【详解】因为角的终边在直线上，根据任意角正切函数的定义，对终边上异于原点的任意点， 有，结合，得. 由正切二倍角公式，代入， 得. 14. 已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】设过点的直线与的图象相切于点， 则切线斜率，由切线过点，得， 因此，整理得. 令，则， 原问题等价于有三个不同零点. 当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为，极小值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 （1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 老年人患白内障的概率为，非老年人患白内障的概率为. （2）认为患白内障与年龄有关. 【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，进而求概率即可. （2）提出零假设，根据公式求出卡方，进一步比较判断即可. 【小问1详解】 列联表为 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 估计老年人患白内障的概率为， 非老年人患白内障的概率为. 【小问2详解】 零假设为：患白内障与年龄无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关. 16. 已知数列 的前 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明 . 【答案】（1） （2）由（1）得，又 ， 所以， 所以， 即， 所以． 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）由与的关系，可得，并求得，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求得数列的通项公式； （2）先求得，再求得，根据裂项相消求和法求得，由此即可证明结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 略 【点睛】 17. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解； （2）先由正弦定理求得，再由三角形面积公式求得，利用割补法求面积即可. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∵，∴为锐角， ∴. ∴在中，由余弦定理得， ∴. 【小问2详解】 由题可得， ∴在中，由正弦定理得， ∴. ∴， ∴. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面， ，，，，为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以是的中位线，故. 又，即. 由，，得；而是的中点，，故 . 于是 且，则四边形 是平行四边形，所以. 由，平面，不在平面内，得平面，同理平面，又，平面，则平面平面. 又平面，故平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）取中点 ，由得平面平面，从而平面； （2）由面面垂直取中点作轴，再证作轴建系，求两平面法向量夹角的余弦即得二面角余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点 ，连接.因为，所以为等边三角形，故，. 又平面 平面 ，交线为 ，故 平面. 在底面 内，连接.因为为中点，，故. 在 中，，，， 由余弦定理，，故 . 于是，由勾股定理的逆定理知，即，故两两垂直. 以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，， 由且，得，可得. 设平面的法向量为. 由，， 得 令，解得，，故. 设平面的法向量为. 由，， 得 令，解得，，故. 设两平面夹角为， 则. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2026-2027（一）高三年级第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.） 1. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 心理学家有时使用函数来测定在时间（分钟）能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有300个单词要记忆，心理学家测定在6分钟时该学生记忆了30个单词，则该学生记忆57个单词大约需要（ ） A. 30分钟 B. 24分钟 C. 18分钟 D. 12分钟 8. 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是2 B. 的最小正周期为 C. 在上是增函数 D. 的图像关于点对称 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值点为-1 B. 恰有三个零点 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，与共线，则___________. 13. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在直线上，则__________. 14. 已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 （1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列 的前 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明 . 17. 在中，，点在边上，的面积为，，． （1）求； （2）求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面， ，，，，为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $