专题04一元二次方程的概念及解法期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题04一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为 2 的整式方程；能识别一元二次方程，会把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，准确找出二次项、一次项、常数项及对应系数，注意a≠0这个核心限制条件。 2.掌握一元二次方程根的概念，会检验一个数是否为方程的根；能利用方程的根代入原式，求代数式或者参数的值。 3.熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；能根据方程特征，灵活选择简便方法解方程。 4.理解配方法的原理，掌握配方的完整步骤，能用配方法求代数式最值，体会转化的数学思想。 5.熟记求根公式，理解公式推导来自配方法；会用判别式=b2-4ac，判断一元二次方程实数根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实数根）。 6.规范解方程书写步骤，会处理含参数的一元二次方程，注意分类讨论，警惕丢根、漏检验等问题。 7.厘清易错点：区分一元一次、一元二次方程；配方时等号两边同加常数；因式分解法解方程不能随意约去含未知数的式子，避免丢失根。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十三 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十四 换元法解一元二次方程 ★★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：一元二次方程的定义 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.三个必备条件（缺一不可） 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 只含 1 个未知数（通常用x表示）； 未知数最高次数为 2，且二次项系数不能为 0。 3.辨析对比 方程类型 核心判定条件 标准形式 核心区别 一元二次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 2；④二次项系数≠0 ax2+bx+c=0(a≠0) 未知数最高次数为 2 一元一次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 1 ax+b=0(a≠0) 未知数最高次数为 1 二元一次方程 ①整式方程；②含有两个未知数；③未知数次数均为 1 ax+by+c=0 存在两个不同未知数 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 2.各项名称 ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项（不含未知数）。 3.关键要求：a≠0 若a=0，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是二次方程。 4.特殊形式（一般形式的变形） 缺一次项：ax2+c=0(b=0)； 缺常数项：ax2+bx=0(c=0)； 缺一次项、常数项：ax2=0(b=0,c=0)。 5.化为一般形式步骤 去分母→去括号→移项（全部移到等号左边，右边为 0）→合并同类项，按降幂排列。 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根。 3.简单应用：已知方程的根，将根代入方程，可求方程中未知参数的值。 知识点04：根据实际问题列一元二次方程（建模） 通用步骤 审题，找出题目中的等量关系； 设未知数（直接设 / 间接设）； 用含未知数的代数式表示相关量； 根据等量关系列出等式，整理得到一元二次方程。 知识点 05 直接开平方法解一元二次方程 1.非负数 a 的算术平方根为 ，平方根为 。 例如：144 的算术平方根为 =12，平方根为 =12。 2.根据 平方根的意义 直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 例如 x2=25，解得 x=5。 一般地，对于方程 x2=p： 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1) 将方程化为 x2 = p 或(mx + n)2 = p(p 0,m 0)的形式； (2) 直接开平方化为两个一元一次方程； (3) 解两个一元一次方程得到原方程的解。 知识点 06 配方法解一元二次方程 （1）解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为 (x + a)2 = b 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解。这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 （2）配方法解一元二次方程的一般步骤（示例） 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根。 （3）解题依据：(ab)2 = a2 2ab + b2把公式中的 a 看作未知数 x，并用 x 代替，则 (x b)2 = x2 2bx + b2 知识点07：因式分解法（最简便，优先选用） 1. 适用条件 方程整理后右边为 0，左边二次三项式能分解成两个一次因式乘积。 2. 核心原理 若 A·B=0，则 A=0 或 B=0 3. 解题步骤 （1）移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； （2）对左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方差）； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一次方程，得到两根。 4. 常见分解类型 提公因式：x2-3x=0 x(x-3)=0 平方差：x2-4=0 (x+2)(x-2)=0 十字相乘：x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0 易错提醒 不能两边同时约去含未知数的因式，容易丢根。 知识点08：公式法（通用万能解法） 1. 求根公式推导来源 由配方法对一般式配方推出 (a≠0) 2. 判别式Δ=b2−4ac（判断根的情况） Δ>0：方程有两个不相等实数根； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根。 3. 公式法解题步骤 （1）先把方程整理为标准形式 ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）确定 a、b、c，注意携带前面正负符号； （3）计算判别式Δ ，判断有无实数根； （4）Δ0 时代入求根公式计算两根。 知识点09:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点10:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点11:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 题型一：一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．未知数最高次数为1，不是一元二次方程． B．含有两个未知数，不是一元二次方程． C．不是整式方程，不是一元二次方程． D．符合一元二次方程的定义． 2．下列等式中，属于一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据一元二次方程的三个判定条件（只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程）逐一验证选项即可得出答案． 【详解】解：A选项：方程含有2个未知数，不符合要求； B选项：方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； C选项：方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合要求； D选项：当时，方程变为，是一元一次方程，不一定是一元二次方程． 3．下列方程：①②③④⑤⑥，是一元二次方程的有_________个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，根据定义依次对各方程进行判断即可． 【详解】解：①为一元一次方程，不符合； ②含两个未知数，不符合； ③为一元二次方程，符合； ④是分式方程，不符合； ⑤展开得，整理得，为一元一次方程，不符合； ⑥整理为为一元二次方程，符合； 综上，符合条件的方程共2个． 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化为一般形式后，常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∴常数项为． 5．把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左右两边，再移项合并同类项，整理得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型三：由一元二次方程的定义求参数 7．关于x的方程是一元二次方程，则m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得． 8．若是关于的一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解，得，即或， 由，得， ∴． 9．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 题型四：判断是否是一元二次方程的解 10．下列方程中，有一个根为3的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需同时满足一元二次方程的定义及有一个根为3两个条件，先从方程类型入手筛选． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∴ A选项为一元一次方程，不符合题意； B选项未知数最高次数为3，不符合题意； D选项不是整式方程，不符合题意； 将代入C选项， 左边右边，符合题意； 11．根据表格中的数据，判断关于的方程的根是（     ） … … … … A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据表格找到的值为6时x的值即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，当和时，， ∴关于的方程的根是，． 12．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：把代入，得：， 解得． 14．若是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】由方程根的定义得到关于的关系式，变形求出的值，再整体代入所求代数式计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 15．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将代入方程中得到，进而即可得到的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个解， ， 即， ， 故选：D． 题型六：一元二次方程的解的估算 16．关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是找出两个方程的联系，利用换元法求解． 把后面一个方程中的看作整体，用y来表示，相当于前面一个方程中的x的解．从而解出后面这个方程的解. 【详解】解：设． 由题意，得方程的解是，. 关于的方程的解满足，. 解得,． 故答案为：, ． 17．根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（     ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合表格中代数式的取值变化确定解的区间． 【详解】解：方程的解对应代数式的值为3时的值， ∵当时，； 当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 18．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（     ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格，找出的值由小于0.06变到大于0.06对应的x的范围即可． 【详解】解：∵当时， ，当 时， ， ∴方程 的一个解的范围是 ． 题型七：直接开平方法 19．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，开平方得，即. 20．如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由，可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的利用整体法解方程是解本题的关键． 21．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过解方程逐一判断即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：、，右边为负数，无实数根，不符合题意； 、，解得，即两个相等的实数根，符合题意； 、，解得，，有两个不等实根，不符合题意； 、，解得，有两个不等实根，不符合题意； 故选：． 22．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如．若，则_______． 【答案】或 【分析】根据新定义，分和两种情况列方程求解，验证后得到符合条件的． 【详解】解：分两种情况讨论：当时， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合条件； 当时， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合条件； 综上，或． 题型八：配方法 23．一元二次方程配方后化为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 移项得， 两边加得， 故． 24．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 25．亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为．    ① ，即．    ② ．        ③ ，．        ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据用配方法求解一元二次方程的步骤解答即可； 【详解】解：步骤①将常数项移到等号右侧，得到，变形正确； 步骤②，给左侧加1凑完全平方，根据等式的性质，右侧的4也必须同步加1，才能保证等式成立，但亮亮只给左侧加了1，右侧没有加，错误得到，实际正确结果应该是，所以出错的是步骤②； 步骤③、④都是基于步骤②的错误推导的连锁结果，但最初的错误出在步骤②． 题型九：配方法的应用 26．已知，（为任意实数），则关于，的大小关系判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差配方，利用平方的非负性判断差的符号，进而比较与的大小． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 即， ∴． 27．若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【答案】等边 【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出，即可判断出的形状． 【详解】解：原式两边都乘2，得． 整理，得， 即． ，，， ，，， ． 故是等边三角形． 28．已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据作差法，分别比较和的大小关系，即可求解； 【详解】解：，， ， ； ， ； 最大． 题型十：公式法解一元二次方程 29．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用求根公式即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 即“”处应填． 30．用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴ ． 31．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 题型十一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 32．一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】先确定一元二次方程里a，b，c的值，代入根的判别式计算，根据判断该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． 33．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了新定义实数运算、一元二次方程根的判别式等知识点． 根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：由题意可得：可化为：，即 ∵， ∴关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 34．在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果． 【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为， 代入得，，解得， 直线l的解析式为， 与二次函数联立则有：， 整理得：， ， 当且仅当时，， 即时，，直线l与二次函数有两个交点． 故选C． 题型十二：根据一元二次方程根的情况求参数 35．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 36．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，列不等式，再根据一元二次方程有两个不相等实数根即可得，据此列不等式，解出即可得m的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， ∴，解得：， ∵原方程有两个不相等的实数根 ∴，解得：， 综上所述，的取值范围是且. 37．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解. 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且. 题型十三：因式分解法解一元二次方程 38．一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用因式分解法解方程即可，注意不要漏掉这个根． 【详解】解：由得，解得，． 39．将4个数a，b，c，d排成2行2列，记成，若，则________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将给定行列式转化为一元二次方程，整理后求解即可． 【详解】解：，且， ， 展开并整理得， 因式分解得， 解得． 40．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 题型十四：换元法解一元二次方程 41．已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，则由原方程，得，解方程求得t值，即可得的值. 【详解】解：设，则由原方程，得， 整理，得， 解得或． ∴或； 故选C． 42．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】， 【分析】令，代入，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：令，代入， 则， 则由题意得，或， ∴或， 解得或， ∴一元二次方程的解为，． 43．若关于的一元二次方程有一个根，则方程，必有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：， ， 一元二次方程有一个根， 必有一根为， 解得． 题型十五：解分式方程 44．用换元法解方程，设，则得到的整式方程为______________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元法解分式方程，掌握整体换元的思想是解本题的关键．把代入化简即可． 【详解】解：把代入， 得， 去分母，得， ∴， 故答案为：． 45．若满足，则__________． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程与含绝对值的方程；方程两边同乘，得， 再变形得，由此即可求解，注意验证分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 即， ∴或， ∴或； 对于，则， 解得：或； 当时，，此时分母为0，分式无意义，故舍去； 综上，a的值为或． 46．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 解答题 47．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 常数项移到等号右侧： 两边同除以4， 得， 等号左右两边同时加1， 得， 即 开平方， 得， ∴，． （2）解：， 因式分解，得， 方程两边同乘最简公分母，去分母， 得， 展开整理，得， 解得 验根：把代入最简公分母， 得， ∴是增根，舍去； 把代入最简公分母， 得， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 48．解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)； (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）利用公式法求解即可． （3）利用直接开平方法求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 解得． （2）解：∵， 在这里，， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （4）解：∵， ， ∴， 解得． 49．新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． (1)判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； (2)已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 【答案】(1)是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； (2) 【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 50．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当=1时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． (1)代数式的逆值是______________． (2)①若关于的代数式的逆域值为0，求的值； ②若关于的代数式的逆域值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)和2 (2)①；②1，，2 【分析】（1）令，通过因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）①令，由于逆域值为0，则说明有两个相等解，通过判别式，解出的值即可； ②令，设方程的两根为，，由韦达定理得出逆域值为：，化简得到，由于逆域值为正整数，且b为整数，求出或，验证的值是否满足题意即可． 【详解】（1）解：令 移项得 因式分解得 令或 解得或 故答案为：和2； （2）解：①令， 移项得， 由于关于x的代数式的逆域值为0， 则此方程有两个相等的实数根， 所以， 整理得：，即， 解得：； ②令， 移项得， 设方程的两根为， 由韦达定理得， ，， 逆域值为：， 先将化简： ∵ , ， 所以， 由于逆域值为正整数，且b为整数，所以或， 当时，；当时，； 当时，；当时，，舍去， 因此整数b的值为1，，2． 51．阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）将二次项与一次项组合，利用完全平方公式配成完全平方式，调整常数项即可得到配方形式； （2）将等式中含x、y的项分别分组配方，根据平方的非负性求出x、y的值，代入代数式计算； （3）将等式左边拆项后分组配方，根据平方的非负性求出a、b、c的值，代入代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为 2 的整式方程；能识别一元二次方程，会把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，准确找出二次项、一次项、常数项及对应系数，注意a≠0这个核心限制条件。 2.掌握一元二次方程根的概念，会检验一个数是否为方程的根；能利用方程的根代入原式，求代数式或者参数的值。 3.熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；能根据方程特征，灵活选择简便方法解方程。 4.理解配方法的原理，掌握配方的完整步骤，能用配方法求代数式最值，体会转化的数学思想。 5.熟记求根公式，理解公式推导来自配方法；会用判别式=b2-4ac，判断一元二次方程实数根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实数根）。 6.规范解方程书写步骤，会处理含参数的一元二次方程，注意分类讨论，警惕丢根、漏检验等问题。 7.厘清易错点：区分一元一次、一元二次方程；配方时等号两边同加常数；因式分解法解方程不能随意约去含未知数的式子，避免丢失根。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十三 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十四 换元法解一元二次方程 ★★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：一元二次方程的定义 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.三个必备条件（缺一不可） 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 只含 1 个未知数（通常用x表示）； 未知数最高次数为 2，且二次项系数不能为 0。 3.辨析对比 方程类型 核心判定条件 标准形式 核心区别 一元二次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 2；④二次项系数≠0 ax2+bx+c=0(a≠0) 未知数最高次数为 2 一元一次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 1 ax+b=0(a≠0) 未知数最高次数为 1 二元一次方程 ①整式方程；②含有两个未知数；③未知数次数均为 1 ax+by+c=0 存在两个不同未知数 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 2.各项名称 ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项（不含未知数）。 3.关键要求：a≠0 若a=0，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是二次方程。 4.特殊形式（一般形式的变形） 缺一次项：ax2+c=0(b=0)； 缺常数项：ax2+bx=0(c=0)； 缺一次项、常数项：ax2=0(b=0,c=0)。 5.化为一般形式步骤 去分母→去括号→移项（全部移到等号左边，右边为 0）→合并同类项，按降幂排列。 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根。 3.简单应用：已知方程的根，将根代入方程，可求方程中未知参数的值。 知识点04：根据实际问题列一元二次方程（建模） 通用步骤 审题，找出题目中的等量关系； 设未知数（直接设 / 间接设）； 用含未知数的代数式表示相关量； 根据等量关系列出等式，整理得到一元二次方程。 知识点 05 直接开平方法解一元二次方程 1.非负数 a 的算术平方根为 ，平方根为 。 例如：144 的算术平方根为 =12，平方根为 =12。 2.根据 平方根的意义 直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 例如 x2=25，解得 x=5。 一般地，对于方程 x2=p： 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1) 将方程化为 x2 = p 或(mx + n)2 = p(p 0,m 0)的形式； (2) 直接开平方化为两个一元一次方程； (3) 解两个一元一次方程得到原方程的解。 知识点 06 配方法解一元二次方程 （1）解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为 (x + a)2 = b 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解。这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 （2）配方法解一元二次方程的一般步骤（示例） 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根。 （3）解题依据：(ab)2 = a2 2ab + b2把公式中的 a 看作未知数 x，并用 x 代替，则 (x b)2 = x2 2bx + b2 知识点07：因式分解法（最简便，优先选用） 1. 适用条件 方程整理后右边为 0，左边二次三项式能分解成两个一次因式乘积。 2. 核心原理 若 A·B=0，则 A=0 或 B=0 3. 解题步骤 （1）移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； （2）对左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方差）； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一次方程，得到两根。 4. 常见分解类型 提公因式：x2-3x=0 x(x-3)=0 平方差：x2-4=0 (x+2)(x-2)=0 十字相乘：x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0 易错提醒 不能两边同时约去含未知数的因式，容易丢根。 知识点08：公式法（通用万能解法） 1. 求根公式推导来源 由配方法对一般式配方推出 (a≠0) 2. 判别式Δ=b2−4ac（判断根的情况） Δ>0：方程有两个不相等实数根； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根。 3. 公式法解题步骤 （1）先把方程整理为标准形式 ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）确定 a、b、c，注意携带前面正负符号； （3）计算判别式Δ ，判断有无实数根； （4）Δ0 时代入求根公式计算两根。 知识点09:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点10:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点11:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 题型一：一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．下列等式中，属于一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 3．下列方程：①②③④⑤⑥，是一元二次方程的有_________个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化为一般形式后，常数项是（     ） A． B． C． D． 5．把一元二次方程化成一般形式是__________． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：由一元二次方程的定义求参数 7．关于x的方程是一元二次方程，则m的范围是（     ） A． B． C． D． 8．若是关于的一元二次方程，则的值为__________． 9．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 题型四：判断是否是一元二次方程的解 10．下列方程中，有一个根为3的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 11．根据表格中的数据，判断关于的方程的根是（     ） … … … … A．， B．， C．， D．， 12．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A． B． C． D． 14．若是方程的一个根，则代数式的值为___________． 15．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型六：一元二次方程的解的估算 16．关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是_______． 17．根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（     ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 18．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（     ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 题型七：直接开平方法 19．方程的根是（     ） A． B． C． D． 20．如果，那么的值为______． 21．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 22．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如．若，则_______． 题型八：配方法 23．一元二次方程配方后化为（     ） A． B． C． D． 24．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 25．亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为．    ① ，即．    ② ．        ③ ，．        ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 题型九：配方法的应用 26．已知，（为任意实数），则关于，的大小关系判断正确的是（        ） A． B． C． D． 27．若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 28．已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（    ） A． B． C． D．不能确定 题型十：公式法解一元二次方程 29．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 30．用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 31．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 题型十一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 32．一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 33．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 34．在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 题型十二：根据一元二次方程根的情况求参数 35．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 36．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___． 37．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 题型十三：因式分解法解一元二次方程 38．一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 39．将4个数a，b，c，d排成2行2列，记成，若，则________． 40．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 题型十四：换元法解一元二次方程 41．已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 42．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 43．若关于的一元二次方程有一个根，则方程，必有一个根为（     ） A． B． C． D． 题型十五：解分式方程 44．用换元法解方程，设，则得到的整式方程为______________． 45．若满足，则__________． 46．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 解答题 47．解方程： (1)； (2) 48．解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)； (4) 49．新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． (1)判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； (2)已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 50．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当=1时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． (1)代数式的逆值是______________． (2)①若关于的代数式的逆域值为0，求的值； ②若关于的代数式的逆域值为正整数，求整数的值． 51．阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $