专题5.1 认识二次函数（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题5.1 认识二次函数 教学目标 1.通过实际问题情境，理解二次函数的概念，能识别二次函数。 2.掌握二次函数的一般形式；分清二次项、一次项、常数项，以及对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c。 3.会判断一个函数是不是二次函数；能根据实际问题列出简单的二次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 4.经历从实际问题抽象出函数关系式的过程，体会函数建模思想；通过对比一次函数、反比例函数，辨析二次函数表达式特征，提升观察、归纳、类比能力。 5.感受二次函数在面积、利润、运动等实际问题中的应用，体会数学来源于生活；在列式辨析中养成严谨审题的习惯，增强用函数刻画变量关系的意识。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的概念；二次函数一般形式（a≠0）的理解； （2）识别二次函数，能正确指出二次项、一次项、常数项及各项系数； （3）根据实际情境列出二次函数解析式。 2.难点 （1）理解a≠0这个限制条件，a=0时函数退化为一次函数或常数函数，不再二次函数； （2）实际问题中，根据题意建立二次函数模型，并且准确写出自变量的取值范围； （3）辨析化简后才能判断是否为二次函数的式子（需要先整理成整式一般形式再判断）。 知识点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a, b, c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2.二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 4.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 5.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 6.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【即学即练】 1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． ，是一次函数，此选项不符合题意；     B． ，只有满足时是二次函数，此选项不符合题意； C． ，是二次函数，此选项符合题意；D． ，不是二次函数，此选项不符合题意． 2．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，， B．1，3，2 C．1，3， D．0，， 【答案】A 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，，． 3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则的值是________． 【答案】1 【详解】解：函数是关于的二次函数，且，解得. 4．（2026·四川成都·校考二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】D 【详解】解：由题意得， 与之间满足的函数关系是二次函数，故选：D． 5.（25-26九年级上·安徽安庆·月考）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该商品的销售单价为元个，则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润，故选：D． 6.（25-26九年级上·宁夏固原·月考）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加． (1)求y与x之间的函数关系式；（整理成一般形式）(2)计算当增加面积为8时，x的值是多少． 【答案】(1)(2)1 【详解】（1）解：∵矩形的长为，宽为，∴矩形的面积． ∵矩形的长与宽都增加，∴增加后矩形的面积， ∴，即，故y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，令，即， ∴，解得：（舍去）或，∴x的值是1． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（26-27九年级上·安徽宣城·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项，未明确，当时不是二次函数； 选项，的最高次项次数为，是一次函数； 选项，，最高次项次数为，是一次函数； 选项，符合二次函数的要求． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】初中阶段二次函数的定义是：形如（是常数，且）的函数，核心要求是自变量的最高次数为2，且含自变量的代数式必须是整式． 选项A：是自变量最高次数为1的一次函数，不符合二次函数要求． 选项B：没有限定，当时函数就变为一次函数或常数函数，不一定是二次函数． 选项C：将式子展开得，符合二次函数的定义，一定是二次函数． 选项D：中含有分式，不是整式函数，不属于二次函数． 【变式2】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．右边不是整式，y不是关于x的二次函数，不符合题意； B．y是关于x的一次函数，不符合题意； C．变形得，y是关于x的二次函数，符合题意； D．y不是关于x的二次函数，不符合题意． 【变式3】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0． 选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数． 选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数． 【变式4】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数；②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数；④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数；∴只有②是二次函数，个数为1，故选：A． 题型02 二次函数的辨别（实际应用） 【典例1】（25-26九年级下·湖北·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量，∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【答案】D 【详解】解：∵工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型， ∴函数图像是抛物线的是二次函数，故选：． 题型03 根据二次函数的定义求参数 【典例1】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）如果函数是关于x的二次函数，则_________． 【答案】 【详解】解：函数是关于x的二次函数，且，． 【变式1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且，由得．由得，∴． 【变式2】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，∴. 【变式3】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 【答案】或 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，，即，解得：或， ∵和都满足，∴或． 【变式4】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）若是二次函数，则a的值是_____． 【答案】 【详解】解：根据二次函数定义可得，解得，，，． 题型04 二次函数的一般形式（各项系数） 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）y关于x的二次函数：的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(     ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【详解】解：的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】解：在二次函数中，可得，，， 所以该二次函数的二次项系数是．故选：A． 【变式2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式，∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式3】（26-27九年级上·云南·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（     ） A．4 B．5 C． D．1 【答案】D 【详解】解：二次函数的二次项系数为，一次项系数为，故它们的和为． 【变式4】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 二次项系数是，不符合题意； B. 二次项系数是1，不符合题意；C. 二次项系数是，不符合题意；     D. 二次项系数是，符合题意；故选：D． 【变式5】（26-27九年级上·广东·课后作业）把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 题型05 列二次函数关系式-面积类 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，，∵正方形的边长为2，∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，，∴解得，∴x的取值范围为． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知，∴． 【变式2】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）；(2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【答案】(1)；(2)当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【详解】（1）解：由题意得，∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则，解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【变式3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． (1)求与之间的函数关系式；(2)当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 【答案】(1)(2)矩形车棚的面积为 【详解】（1）解：由题意可知，车棚的宽，则垂直于墙的三条边总长为， 因为栅栏总长为，且左右两侧各有一个的出口， 所以平行于墙的边的长度为：， 根据矩形面积公式，得y与x的函数关系式为, 因为墙长最多，所以解得， 所以，与之间的函数关系式为 （2）解：把代入解析式：． 所以，矩形车棚的面积为． 题型06 列二次函数关系式-利润类 【典例1】（26-27九年级上·成都·课后作业）销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 【答案】 【详解】解：∵每台护眼灯进价为元，原销售单价为元，单价下降元， ∴每台的利润为， ∵原本每天可卖出台，每降价元每天多卖出台，∴降价元后每天的销售量为台， ∵总利润每台利润销售量，∴，展开整理得， ∵利润非负，为非负数，∴，∴， 即与之间的函数解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·广东·课后作业）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得，即． 【变式2】（26-27九年级上·山东·课后作业）完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，一年后的年销售量为：，两年后产品的年销售量． 【变式3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼每盒的售价降低x元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应降低多少元？ 【答案】(1)（）(2)每盒月饼的售价应降低6元 【详解】（1）解：售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元时，每天可多售出5盒，则： ；； 答：y关于x的函数解析式为，且． （2）将代入解析式，可得： ；；；；解得， 因为要尽快减少库存，所以x越大越好，故取．答：每盒月饼的售价应降低6元． 题型07 列二次函数关系式-增长率类 【典例1】（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为，故，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得：与满足的函数关系式是．故选：D 题型08 列二次函数关系式-循环传播类 【典例1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为.故答案为： 【变式2】同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式_______________． 【答案】 【详解】解：n位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握（）次手， 考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n位同学共握手次． 即 故答案为： 题型09 列二次函数关系式-其他问题 【典例1】（26-27九年级上·重庆·课后作业）物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式；(2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 【答案】(1)（） (2)速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 【详解】（1）解：设该车行驶速度增加时，它的动能增加， ∴（）． （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 【变式1】（26-27九年级上·湖北·课后作业）如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为的边框．已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式． 【答案】 【详解】解：由题意得，边框宽， ∵镜面半径为，∴含边框的大圆半径是，∴镜面面积为， ∴边框面积为， ∵镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元， ∴总价格． 【变式2】（26-27九年级上·江苏·课后作业）设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存．如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式． 【答案】 【详解】解：一年到期后，本息之和为元， 则两年后的本息之和为元，即 1.（25-26九年级上·吉林·月考）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：D． 2．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 函数的自变量的最高次为1次，是一次函数，不是二次函数，故A错误. B. 函数中，当时，函数不是二次函数，故B错误. C. 函数的自变量的最高次为2次，是二次函数，故C正确. D. 函数的自变量在分母中，不是二次函数，故D错误. 3．（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是，故选：A． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：二次函数的常数项是1，故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 【答案】B 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，1．故选：B． 6.（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为，故选：C． 7．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的常数项为_________． 【答案】 【详解】解：对于二次函数，不含未知数的项为，因此该二次函数的常数项为． 8．（26-27九年级上·山东·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为，因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若函数是二次函数，则m的值为______． 【答案】3 【分析】根据形如的函数称为二次函数进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·成都·课后作业）写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【详解】（1）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （2）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （3）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （4）解：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 1.（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，米，∴，故选：． 2．（26-27九年级上·广东·单元复习）一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为，∵面积为，∴与的函数解析式是． 3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）若是二次函数，则的值是________． 【答案】 【详解】解：若是二次函数，则，解得． 4．（26-27九年级上·广东·课后作业）个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【答案】 是 【详解】解：∵个人参加聚会，每个人需要和除自身外的个人握手， ∴计算得到未去重的总握手次数为， ∵与握手和与握手是同一次握手，每次握手被计算了2次，∴实际总握手次数， 整理得，符合二次函数的定义，因此它是二次函数． 5.（25-26九年级上·安徽合肥·月考）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且，∴． 故答案为：， 6.（25-26九年级上·江苏·月考）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______． 【答案】 【详解】解：m=n（n-1）=n2-n，故答案为：m=n（n-1）=n2-n． 7.（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得，由得且，∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 8．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】解：乙说法正确，理由：由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数，所以乙的说法正确． 9．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即与之间的函数解析式为． 10．（26-27九年级上·成都·课后作业）用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． (1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)当时，矩形的面积为多少? 【答案】(1)．(2) 【详解】（1）解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 矩形面积：， 又矩形边长必须大于0，，解得：， 函数解析式：，自变量取值范围． （2）解：把代入解析式：， 当时，矩形面积为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 认识二次函数 教学目标 1.通过实际问题情境，理解二次函数的概念，能识别二次函数。 2.掌握二次函数的一般形式；分清二次项、一次项、常数项，以及对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c。 3.会判断一个函数是不是二次函数；能根据实际问题列出简单的二次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 4.经历从实际问题抽象出函数关系式的过程，体会函数建模思想；通过对比一次函数、反比例函数，辨析二次函数表达式特征，提升观察、归纳、类比能力。 5.感受二次函数在面积、利润、运动等实际问题中的应用，体会数学来源于生活；在列式辨析中养成严谨审题的习惯，增强用函数刻画变量关系的意识。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的概念；二次函数一般形式（a≠0）的理解； （2）识别二次函数，能正确指出二次项、一次项、常数项及各项系数； （3）根据实际情境列出二次函数解析式。 2.难点 （1）理解a≠0这个限制条件，a=0时函数退化为一次函数或常数函数，不再二次函数； （2）实际问题中，根据题意建立二次函数模型，并且准确写出自变量的取值范围； （3）辨析化简后才能判断是否为二次函数的式子（需要先整理成整式一般形式再判断）。 知识点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a, b, c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2.二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 4.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 5.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 6.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【即学即练】 1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，， B．1，3，2 C．1，3， D．0，， 3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则的值是________． 4．（2026·四川成都·校考二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 5.（25-26九年级上·安徽安庆·月考）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26九年级上·宁夏固原·月考）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加． (1)求y与x之间的函数关系式；（整理成一般形式）(2)计算当增加面积为8时，x的值是多少． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（26-27九年级上·安徽宣城·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 二次函数的辨别（实际应用） 【典例1】（25-26九年级下·湖北·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 题型03 根据二次函数的定义求参数 【典例1】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）如果函数是关于x的二次函数，则_________． 【变式1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【变式2】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 【变式4】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）若是二次函数，则a的值是_____． 题型04 二次函数的一般形式（各项系数） 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）y关于x的二次函数：的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(     ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 【变式2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 【变式3】（26-27九年级上·云南·阶段检测）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（     ） A．4 B．5 C． D．1 【变式4】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27九年级上·广东·课后作业）把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 题型05 列二次函数关系式-面积类 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【变式2】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）；(2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【变式3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． (1)求与之间的函数关系式；(2)当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 题型06 列二次函数关系式-利润类 【典例1】（26-27九年级上·成都·课后作业）销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 【变式1】（26-27九年级上·广东·课后作业）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【变式2】（26-27九年级上·山东·课后作业）完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 【变式3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼每盒的售价降低x元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应降低多少元？ 题型07 列二次函数关系式-增长率类 【典例1】（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【变式3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 题型08 列二次函数关系式-循环传播类 【典例1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【变式2】同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式_______________． 题型09 列二次函数关系式-其他问题 【典例1】（26-27九年级上·重庆·课后作业）物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式；(2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 【变式1】（26-27九年级上·湖北·课后作业）如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为的边框．已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式． 【变式2】（26-27九年级上·江苏·课后作业）设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存．如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式． 1.（25-26九年级上·吉林·月考）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 6.（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的常数项为_________． 8．（26-27九年级上·山东·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若函数是二次函数，则m的值为______． 10．（26-27九年级上·成都·课后作业）写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 1.（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广东·单元复习）一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）若是二次函数，则的值是________． 4．（26-27九年级上·广东·课后作业）个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 5.（25-26九年级上·安徽合肥·月考）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 6.（25-26九年级上·江苏·月考）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______． 7.（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 8．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 9．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 10．（26-27九年级上·成都·课后作业）用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． (1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)当时，矩形的面积为多少? 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $