精品解析：辽宁营口市鲅鱼圈区实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

营口市鲅鱼圈区实验学校2026—2027（上） 九年（数学）九月份限时作业 作业时间：120分钟 参考公式：抛物线 顶点坐标为 第一部分 选择题（30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移2个单位,再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为y=（x+3）2+2. 故选A. 【点睛】考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键. 2. 已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 3. 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 4. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 7. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小．反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； A、两点在同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； B、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； C、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，本选项符合题意； D、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时，I的取值范围是 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出反比例函数关系式，然后逐项求解判断． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B正确，不符合题意； 当时，，故D正确，不符合题意； ∵， ∴在第一象限，I随R增大而减小， ∴当时，，故A错误，符合题意； 当时，的取值范围是，故C正确，不符合题意． 第二部分 非选择题（90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理为一边为0的形式，通过因式分解求解． 【详解】解：． ． ∴ 或 ． 解得，． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，结合给定的的取值范围，先判断各点对应值的正负，再利用同一象限内的函数增减性比较同象限的值大小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 反比例函数的比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、位于第二象限的函数分支上，对应的、均为正数，且， ∵ ， ∴ 点位于第四象限的函数分支上，对应的为负数，即， 综上可得． 13. 自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据函数解析式直接将代入求解即可． 【详解】解：∵，刹车距离为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：刹车时的速度为． 故答案为：50． 14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 15. 如图，将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，得到一个新图像（图中的实线），新图像与直线有4个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先找到一次函数与新图像有三个交点的和，分别求出此时m的取值，再结合一次函数的性质确定m的范围即可． 【详解】解：令，则，解得或， ∴如图：， ∵将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，得到一个新图像， ∴如图：折叠部分得到抛物线， 如图：平移直线知：直线位于和时，它与新图像有三个不同的公共点， ①当直线位于时，此时与函数的图像有一个公共点， ∴方程，即有两个相等实根， ∴，即； ②当直线位于时，此时过点， ∴，即． 由①②知若直线与新图像只有四个交点，m的取值范围为． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）（配方法） （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）把常数项移到等号的右边，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再两边同时开方即可求出方程的解； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 17. 探究不同情境，回答下面问题． （1）已知二次函数的图像经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． （2）已知二次函数的图像的顶点坐标为，且经过点，求二次函数的解析式． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2）二次函数的解析式为 【解析】 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点代入求得a的值，再将解析式化成一般式即可； （2）设二次函数解析式为，将点代入求得c的值，再将解析式化成一般式即可； 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ，解得：， ∴ 二次函数解析式为，整理得． 【小问2详解】 解：设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ，解得， ∴ 二次函数解析式为，整理得． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 19. 已知：二次函数 （1）将函数解析式化为的形式； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … （3）结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 【答案】（1） （2）0，3，4，3，0； 如图， ； （3）①；②；③4． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）利用配方法化为顶点式即可； （2）先求出各点的纵坐标，完成表格，再描点连线即可； （3）①观察图象可知，当时，x的取值范围为；②当时，；当时，，当时，y有最大值4，据此即可得到答案；③方程变形为方程，当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根，而抛物线的顶点的纵坐标为4，据此即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0，3，4，3，0； 【小问3详解】 ①当时，x的取值范围为； 故答案为：； ②当时，； 当时，， 当时，y有最大值4， 当时，y的取值范围为； 故答案为：； ③方程变形为方程， 当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根， 而抛物线的顶点的纵坐标为4， 所以， 即m的最大值为4． 故答案为：4． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点在轴正半轴上，点的坐标是，连接，点是的中点，反比例函数的图象经过点． （1）点的坐标是______，的值是______； （2）反比例函数图象交于点，过点作轴，交于点，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式可求得点的坐标是，再利用待定系数法求解即可； （2）设，求得；求得直线的解析式为，由轴，设，代入直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标是，点是的中点， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，反比例函数解析式为， ∵四边形是正方形，点的坐标是，在上， ∴设， ∵反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，将代入,得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设， ∵点在直线上， ，即． 21. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）①；②米； （2）解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【解析】 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【小问1详解】 解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； 【小问2详解】 略 22. 某商家正在热销一种商品，其成本为元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为元/件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元．该商品销售量（件）与售价（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）． （1）直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）（为整数） （2）当售价为元时，商家所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，可知销售量是关于售价的一次函数，通过待定系数法即可求解关于的函数解析式； （2）设商家获得的利润为元，根据利润等于售价减去成本，分段列出利润关于售价的解析式，得到是关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质得到利润的最大值． 【小问1详解】 解：∵，观察函数图象可知， 当时，销售量是关于售价的一次函数， 当时，销售量也是关于售价的一次函数， 当时，设第一段一次函数的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴第一段一次函数的解析式为， 当时，设第二段一次函数的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴第二段一次函数的解析式为， ∴与的函数解析式为： （为整数）； 【小问2详解】 解：设商家获得的利润为元， 根据题意可得：， 当时，根据题意可得：， 此时利润是关于售价的二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴当时，有最大值为元， 当时，根据题意可得：， 此时利润是关于售价的二次函数，对称轴为直线，， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最大值为元， ∴当售价为元时，商家所获利润最大，最大利润是元． 23. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）2 （3）①②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ①当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上：； ②∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 营口市鲅鱼圈区实验学校2026—2027（上） 九年（数学）九月份限时作业 作业时间：120分钟 参考公式：抛物线 顶点坐标为 第一部分 选择题（30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 2. 已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 6. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时，I的取值范围是 D. 当时， 第二部分 非选择题（90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为____________． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 13. 自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为______． 14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 15. 如图，将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，得到一个新图像（图中的实线），新图像与直线有4个交点，则的取值范围是______． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）（配方法） （2）． 17. 探究不同情境，回答下面问题． （1）已知二次函数的图像经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． （2）已知二次函数的图像的顶点坐标为，且经过点，求二次函数的解析式． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 19. 已知：二次函数 （1）将函数解析式化为的形式； （2）补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … （3）结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点在轴正半轴上，点的坐标是，连接，点是的中点，反比例函数的图象经过点． （1）点的坐标是______，的值是______； （2）反比例函数图象交于点，过点作轴，交于点，求点的坐标． 21. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 22. 某商家正在热销一种商品，其成本为元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为元/件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元．该商品销售量（件）与售价（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）． （1）直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 23. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $