精品解析：辽宁省营口市鲅鱼圈区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年数学12月教与学反馈试题 一、单选题（每题3分，合计30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 通常加热到100℃时，水沸腾 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 掷一次骰子，向上一面的点数为6 4. 如图，在⊙O中，弦AB所对的圆周角∠C＝45°，AB＝，BC＝1，则∠A度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 36° D. 30° 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而减小 6. 为响应政府号召，加强防疫物资储备，我州某服装厂改装一条生产线加工口罩，今年一月口罩产量是80万只，第一季度总产量是340万只，设二、三月份的产量月平均增长率为x，根据题意可得方程为(　　) A. 80(1+x)2＝340 B. 80+80(1+x)+80(1+2x)＝340 C. 80(1+x)3＝340 D. 80+80(1+x)+80(1+x)2＝340 7. 刘皖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《论语》、孔子、《道德经》、老子，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E B. ＝且∠B＝∠E C. ＝＝ D. ＝且∠A＝∠D 9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的面积是1，则四边形BCED的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下， 小明：若b＝-3，则点M的个数为0； 小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1； 小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2． 下列判断正确的是（ ）． A. 小云错，小朵对 B. 小明，小云都错 C. 小云对，小朵错 D. 小明错，小朵对 二、填空题（每题3分，合计18分） 11. 如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是________（用表示）． 12. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 ______ 时，羊圈的面积最大． 13. 如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则______． 14. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为______． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______． 三、解答题 17. 先化简，再求值：，其中． 18. （1）操作发现 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上.现将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则_______． （2）解决问题 如图2，在等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 某校准备组织九年级同学去“发现王国”秋游，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对“发现王国”的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）九年级1班共有学生 名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为 ； （2）九年级共有学生600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？ （3）九年级1班在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游策划师”，用画树状图或列表的方法求出抽到的一男一女的概率． 21. “一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 22. 如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，交AB的延长线于点B1． （1）请你探究：是否都成立？请说明理由． （2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图2所示，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学12月教与学反馈试题 一、单选题（每题3分，合计30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A项：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B项：该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； C项：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D项：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，即可求解，理解并掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 通常加热到100℃时，水沸腾 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 掷一次骰子，向上一面的点数为6 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【详解】解：、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，符合题意； 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不合题意； 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意； 、掷一次骰子，向上一面的点数为6，是随机事件，不合题意； 故选：． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 4. 如图，在⊙O中，弦AB所对的圆周角∠C＝45°，AB＝，BC＝1，则∠A度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 36° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，由圆周角定理可知，是等腰直角三角形，由，以及勾股定理可知，有，可知是等边三角形，故有，进而可得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6. 为响应政府号召，加强防疫物资储备，我州某服装厂改装一条生产线加工口罩，今年一月口罩产量是80万只，第一季度总产量是340万只，设二、三月份的产量月平均增长率为x，根据题意可得方程为(　　) A. 80(1+x)2＝340 B. 80+80(1+x)+80(1+2x)＝340 C. 80(1+x)3＝340 D. 80+80(1+x)+80(1+x)2＝340 【答案】D 【解析】 【分析】根据二、三月份的产量月平均增长率为x，即可求得二、三月份的产量，再根据第一季度总产量是340万只，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为： 80+80(1+x)+80(1+x) 2＝340． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，用含有x的代数式表示出二、三月份的产量是解决本题的关键． 7. 刘皖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《论语》、孔子、《道德经》、老子，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先画出树状图，确定所有的等可能的结果数，在其中找出满足抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的结果数，再根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：不妨用A，B、C、D分别表示《论语》、孔子、《道德经》、老子，画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中满足条件的结果数为4种， 抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率：， 故选：B． 【点睛】本题考查了通过用列表法或树状图法来解决概率问题，解题的关键是：利用树状图展示所有等可能的结果，再从中选出符合题中事件的结果数，然后用概率公式：来计算出概率． 8. 在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E B. ＝且∠B＝∠E C. ＝＝ D. ＝且∠A＝∠D 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出△ABC∽△DEF，故此选项符合题意； C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； D、＝，且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的面积是1，则四边形BCED的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴==， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3， ∵△ADE的面积是1 ∴四边形BCED的面积是3 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10. 如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下， 小明：若b＝-3，则点M的个数为0； 小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1； 小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2． 下列判断正确的是（ ）． A. 小云错，小朵对 B. 小明，小云都错 C. 小云对，小朵错 D. 小明错，小朵对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分、、三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵点， 当时，则，整理得， ∵， ∴有两个不相等的值， ∴点的个数为2； 当时，则，整理得， ∵， ∴有两个相同的值， ∴点的个数为1； 当时，则，整理得， ∵， ∴点的个数为0； ∴小明错，小云对，小朵错 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 二、填空题（每题3分，合计18分） 11. 如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是________（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，根据勾股定理可得母线长，弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 ______ 时，羊圈的面积最大． 【答案】15 【解析】 【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解． 【详解】解：设为，面积为， 由题意可得：， 当时，取得最大值， 即时，羊圈的面积最大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 13. 如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题. 【详解】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P， ∴垂直平分,即， ∴， 又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中， ∴， 在中，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键. 14. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点P，如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最小， 此时， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】分情况进行讨论，当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，先证△DHO∽△DAB，得到，求出，，证明∠HOP=∠HPO=45°，得到OH=PH=15，则PD=HD-PH=5；当∠PFD=90°时，先求出，得到，从而得到∠DAO=∠ODA；证明△OFE∽△BAD，推出，则，最后证明△PDF∽△BDA，则． 【详解】解：如图1所示，当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H， ∴∠HPF=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=2OD，∠BAD=∠OHD=90°，AD=BC=40， ∴OH∥AB， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∴∠HOP=45°， ∴∠HOP=∠HPO=45°， ∴OH=PH=15， ∴PD=HD-PH=5； 如图2所示，当∠PFD=90°时， ∴∠OFE=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°，CD=AB=30， ∴， ∴， ∴∠DAO=∠ODA， 由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA， 又∵∠OFE=∠BAD=90°， ∴△OFE∽△BAD， ∴， ∴， ∴， ∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA， ∴△PDF∽△BDA， ∴， ∴， ∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 三、解答题 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键． 18. （1）操作发现 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上.现将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则_______． （2）解决问题 如图2，在等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论． 【详解】（1）将绕点A按顺时针方向旋转， ∴， ∴； 故答案为：；. （2）是等边三角形， ， 将绕点B顺时针旋转得出，如图2， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，则是直角三角形； ； 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理逆定理，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接OD，CD， ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°， ∵D为AB的中点， ∴BD=AD=AB， ∴AD=AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCO=90°-60°=30°， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠DCO=30°， ∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°， 即OD⊥AB， ∵OD过圆心O， ∴直线AB是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可； （2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB， 又∵AC=， ∴BD=AC=， ∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°， ∴∠BOD=60°，BO=2DO， 由勾股定理得：BO2=OD2+BD2， 即（2OD）2=OD2+（）2， 解得：OD=1（负数舍去）， 所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=． 【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键． 20. 某校准备组织九年级同学去“发现王国”秋游，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对“发现王国”的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）九年级1班共有学生 名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为 ； （2）九年级共有学生600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？ （3）九年级1班在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游策划师”，用画树状图或列表的方法求出抽到的一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）估计九年级学生选择类的大约有90人 （3） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识． （1）根据的人数和所占的百分比求出九年级1班的人数，再用乘以类所占的百分比即可求出类所在扇形的圆心角度数； （2）用该校的总人数乘以类所占的百分比即可得出答案； （3）画树状图，得出所有等可能的结果为12种，其中抽到的一男一女的结果为8种，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：九年级1班共有学生为：（名， 扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：类的人数有：（人， 估计九年级学生选择类大约有（人， 答：估计九年级学生选择类的大约有840人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8， 抽到的一男一女的概率为：． 21. “一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式． （1）结合已知的图象，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得，设每天获取的利润为元，可得：，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得， ； 【小问2详解】 每天“中国结”的销售量不低于240件， ， 解得， 设每天获取的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴是直线， 时，取最大值，最大值是（元， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 22. 如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，交AB的延长线于点B1． （1）请你探究：是否都成立？请说明理由． （2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图2所示，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值． 【答案】 （1）两个等式都成立，理由如下： ∵为等边三角形，为角平分线 ∴垂直平分，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，即 又∵ ∴ 在中，，∴， ∴ （2）结论依然成立， 证明：如下图： 过点作交延长线于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和含直角三角形的性质，求得对应边的比值，即可求解； （2）过点作交延长线于点，利用等腰三角形的性质可得，再利用相似三角形的性质即可求解； （3）连接，由（2）可得，，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接 ∵平分 ∴为和的内角角平分线 由（2）的性质可得，， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解即可． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O顺时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图， ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O顺时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $