精品解析：贵州遵义航天高级中学2026-2027学年高二第一学期第一次月考数学试卷

遵义航天高级中学2026-2027学年第一学期第一次月考试卷 高二数学 考试时间120分 满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的． 1. 设集合，，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 10. 已知函数的图象关于直线对称，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递增，则 D. 的图象与直线有3个公共点 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与为异面直线 C. 与为相交直线 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点为中点，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 13. 已知，则的值为________． 14. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点．，． （1）求直线与平面所成的角； （2）在棱上是否存在点使平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 16. 记的内角，，的对边分别为，，， 已知． （1）求角的大小； （2）若点为的边中点，且，求面积的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令，（为常数） （i）判断函数的图象是否是中心对称图形，若是则求出对称中心，若不是则说明理由； （ii）设函数有三个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2026-2027学年第一学期第一次月考试卷 高二数学 考试时间120分 满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的． 1. 设集合，，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 要使有意义，则，即，所以. 显然有. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数满足， 所以， 所以. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】已知圆台上、下底面半径分别为和，母线与底面的夹角为， 则圆台的高， 则圆台体积为. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案. 【详解】，所以， 两边同除，得到，即. ，. 故选：C. 7. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，内切球的半径为， 因为上下底面面积之比为1：9，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， 所以，得，所以，， 所以，得， 所以该球的表面积为， 故选：A 8. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用所给递推关系式推导函数的周期性，结合偶函数性质与给定区间解析式，确定的图象特征；将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，把的零点个数等价转化为与的交点个数；数形结合求解即可. 【详解】由对任意 ，有 ，则 ， 即 的一个周期为 2，函数 是定义在 上的偶函数， 当 时，，则当 时，， 函数 ， 又函数 在区间 内恰有 5 个不同的零点， 则函数 与 的图象在区间 上有 5 个不同的交点，如图： 则 且 ，解得 ， 即实数 的取值范围是 . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，，那么 B. 如果，，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】BCD 【解析】 【详解】如果，，那么或； 所以当时，与的位置关系不确定； 当时，.所以A错误，B正确. 如果，，那么，所以C正确. 由，得； 由，得. 设， 则， 所以. 又，所以. 因为，所以， 所以. 如果，，，那么.所以D正确. 10. 已知函数的图象关于直线对称，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递增，则 D. 的图象与直线有3个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象关于对称求出参数的值，化简，求出，根据奇函数定义可判断A，代入计算进行判断B，求出单调递增区间，根据包含于增区间建立不等式求解判断C；换元转化方程，构造奇函数，借助零点存在定理与函数对称性判断交点个数判断D. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 即，解得，所以. 选项A：，定义域为， 满足，是奇函数，A正确； 选项B：，B错误； 选项C：令， 得递增区间为， 当时，，由在上单调递增，得， 解得，C正确； 选项D：令，等价于， 令，易知是奇函数， 当时，，即是一个零点； 当时，，， 由零点存在定理知，在上有一个正零点； 由奇函数对称性，当时，在上必有对应的负零点； 又时，，不存在其他零点. 综上，一共3个零点，即3 个公共点，D正确. 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与为异面直线 C. 与为相交直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得出； 对BC，利用反证法，假设与共面，推导出，这与正方体性质矛盾，从而判断位置关系； 对D，利用等体积法，分析底面的面积和高是否为定值. 【详解】对于A，连接，因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，假设与共面，设该平面为，则平面，平面，  因为平面平面，所以， 但在正方体中，，在直线上，而与相交，所以与不平行， 故假设不成立，因此与不共面，即为异面直线，故B正确； 对于C，由选项B可知，与为异面直线，不可能相交，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为平面，所以点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点为中点，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量夹角公式求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】因为平面，底面是正方形，所以两两垂直. 以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，则，，，，. 因为点为的中点，所以. 因此，. 设异面直线与所成角为，， 则  . 故异面直线与所成角的余弦值为. 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. 14. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件确定，设底面的中心为，则平面，可求得，又的方向与相同，代入计算求解. 【详解】 ， 设底面的中心为，连接，，则平面， 又，，平面，故，，， ，， 在中，，则， 又的方向与相同，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点．，． （1）求直线与平面所成的角； （2）在棱上是否存在点使平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出向量以及平面的法向量，利用向量法求解即可； （2）设在棱上存在点使平面，令， 则，设，利用向量关系求出点关于的坐标，然后求出的坐标，结合（1）中的平面的法向量，得出，解出分析即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，由平面，且， 所以直线两两互相垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，又， 所以， 又为的中点，所以， 由， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以 设直线与平面所成的角为，由， 所以， 又，所以，所以直线与平面所成的角为. 【小问2详解】 设在棱上存在点使平面，令， 则，设，由， 所以， 由得：，即， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以若平面，则，即 也即， 化简得：，因为，所以，所以由解得：， 所以在棱上存在点使平面，此时. 16. 记的内角，，的对边分别为，，， 已知． （1）求角的大小； （2）若点为的边中点，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边再利用余弦定理求解即可； （2）由等面积法得，由中线向量形式及数量积的运算律得，然后结合基本不等式求解三角形面积的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 由正弦定理可得，，即， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 因为点为的边中点，， 即， 所以，由，所以， 所以，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为，因为， 则，故面积的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，设与相交于点，连接． 四边形是菱形，为的中点． 是棱的中点，． 又平面，平面， 平面． （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）利用空间向量法求解平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角． ，，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得． ，即，从而． 四边形是菱形，且，， 是等边三角形，从而． 又，，． ，从而． 又，平面，平面， 平面． 取的中点为，连接， 点为中点，，平面． 又且 三棱锥的体积为． 【小问3详解】 取的中点为，连接，由底面是菱形，，可得， 由第（2）问知平面，以为原点，建立空间直角坐标系， ，， 菱形边长，，因此，，， 为中点，故， ，， 设，则 令，解得，，即， ，， 设，则， 令，解得，，即， 设平面与平面所成的角为，所以， 故平面与平面所成角的余弦值为. 18. 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①若甲得5分，则甲A，B两题回答正确，则有，若甲得3分，则甲A题回答错误，B题回答正确，联立即可求得. ②由题意列出甲、乙回答问题后可能的得分情况，设甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，记比赛后总得分不低于8分为事件E，则有，检验独立性后进行计算即可. （2）由题意得，，经过计算后将之做差可得，因为，，，所以，当且仅当时取等号，即，即可得出. 【小问1详解】 ①由题意得，解得，. ②比赛结束后，甲、乙各自得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，且，相互独立， 记比赛后总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，，，， 所以 ， 所以比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率为． 【小问2详解】 若甲、乙总得分为5分，可知、、、两两互斥， 则， 即， ， 因为，，， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令，（为常数） （i）判断函数的图象是否是中心对称图形，若是则求出对称中心，若不是则说明理由； （ii）设函数有三个零点，证明：． 【答案】（1）在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即，故在区间上单调递减. （2）（i）函数是中心对称图形，对称中心为，理由如下： 因为， 所以， 由，则定义域为， 关于对称， 故函数关于点对称， 所以函数的图象是中心对称图形，对称中心为. （ii）结合（1）易知在上单调递减， 由函数有三个零点，则， 由，可得， 而，， 所以， 由，则，则， 又，在上单调递减，所以． 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）（i）结合函数的对称性证明即可. （ii）根据零点存在定理判断范围，结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $